سوالات کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

کدام مورد، یکای توان نیست؟

توان یک شخص بالغ در انجام کار معمولی، $300\,\mathrm{W}$ است. اگر جرم این شخص $60\,\mathrm{kg}$ باشد، با همین توان در هر دقیقه چند پله را بالا می‌رود؟ (ارتفاع هر پله $25\,\mathrm{cm}$ و $g=10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}$)

۴۵ دور بر دقیقه برابر با چند رادیان بر ثانیه است؟

کدام ویژگی مربوط به تمام موج‌های الکترومغناطیسی است؟
الف ـ سرعت آن‌ها در خلأ یکسان است.
ب ـ منشأ تولید همه، تغییر تراز انرژی الکترون‌های اتم است.
ج ـ همه موج عرضی هستند.
د ـ تشخیص و آشکارسازی همه، به یک روش است.

متحرکی به جرم $m_1=5\,\mathrm{kg}$ با تندی $V_1$ در حرکت است. تندی آن ۲۵ درصد افزایش یافته و انرژی جنبشی آن نیز ۲۵ درصد افزایش یافته است. جرم جسم چند کیلوگرم کاهش یافته است؟

معادلهٔ مکان ـ زمان متحرکی که در مسیر مستقیم حرکت می‌کند، در $\mathrm{SI}$ به صورت $x=\frac{3}{4}t^2-15t+30$ است. سرعت متوسط در ۵ ثانیهٔ اول، چند برابر سرعت متوسط در ۵ ثانیهٔ سوم است؟

سهمی زیر، نمودار مکان ـ زمان متحرکی است که روی محور $x$ حرکت می‌کند. سرعت متحرک در لحظهٔ $t=5\,\mathrm{s}$ چند متر بر ثانیه است؟

شکل: نمودار مکان ـ زمان: محور افقی $t(\mathrm{s})$ و محور قائم $x(\mathrm{m})$. سهمی در $t=0$ از $x=20$ شروع می‌شود، کاهش می‌یابد، محور زمان را در $t=2$ قطع می‌کند، به کمینه (زیر محور) می‌رسد و دوباره در $t=5$ محور زمان را قطع می‌کند و بالا می‌رود.

سنگی را در شرایط خلأ از ارتفاع $12/8$ متر رها می‌کنیم. این سنگ $0/6$ ثانیه قبل از رسیدن به زمین از ارتفاع چند متری می‌گذرد؟ ($g=10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}$)

شکل زیر، نمودار نیروی خالص وارد بر جسمی به جرم $4\,\mathrm{kg}$ را نشان می‌دهد. اگر جسم تحت اثر این نیرو از حال سکون شروع به حرکت کند، شتاب متوسط جسم در این ۵ ثانیه، چند متر بر مربع ثانیه است؟

شکل: نمودار نیروی خالص $F(\mathrm{N})$ بر حسب زمان $t(\mathrm{s})$: از $t=0$ تا $t=2$ نیرو برابر $5$؛ از $t=2$ تا $t=4$ نیرو برابر $8$؛ از $t=4$ تا $t=5$ نیرو برابر $6$. محور قائم دارای مقادیر $5$، $6$ و $8$ و محور افقی دارای مقادیر $2$، $4$ و $5$ است.

خودرویی در یک سطح افقی درحال حرکت است و از سقف آن آونگی آویزان است. اگر خودرو شتاب رو به جلو داشته باشد و یا اگر خودرو در مسیر دایره‌ای یکنواخت حرکت کند، به‌ترتیب، در هر مورد آونگ به کدام سمت منحرف می‌شود؟

معادلهٔ مکان ـ زمان نوسانگر ساده‌ای در SI به صورت $x=0/05\cos 20\pi t$ است. اگر جرم نوسانگر ۱۲۰ گرم باشد، انرژی جنبشی نوسانگر در لحظهٔ $t=\frac{1}{8}\,\mathrm{s}$ ، چند میلی‌ژول است؟

در شکل زیر، نوسانگر ساده‌ای بین دو نقطهٔ $A$ و $-A$ در نوسان است. در کدام حالت بزرگی شتاب نوسانگر بیشینه است و در کدام حالت درحالی که حرکت نوسانگر کندشونده است، شتاب در جهت محور $x$ است؟

شکل: محور افقی x با جهت مثبت به سمت راست (پیکان). روی محور سه نقطه از چپ به راست: $-A$، مبدأ (مرکز نوسان، ۰) و $A$.

کدام مورد راجع‌به «اثر فوتوالکتریک» صحیح است؟

در تابش‌های اتم هیدروژن در رشتهٔ براکت ($n'=4$)، نسبت بلندترین طول موج گسیل‌شده به کوتاه‌ترین طول موج این رشته، چقدر است؟

در واکنش هسته‌ای «$^{1}_{0}\mathrm{n}+{}^{235}_{92}\mathrm{U}\rightarrow{}^{133}_{50}\mathrm{Sn}+{}^{101}_{42}\mathrm{Mo}+$ تعدادی نوترون»، چند نوترون آزاد می‌شود و اگر مجموع جرم ذرات اولیه و مجموع جرم ذرات ثانویهٔ واکنش را به‌ترتیب $M_1$ و $M_2$ بنامیم، کدام رابطه درست است؟

شعاع و جرم نوترون در SI به‌ترتیب $8/4\times10^{-16}$ و $1/7\times10^{-27}$ است. چگالی آن چند گرم بر سانتی‌متر مکعب است؟ ($\pi=3$)

کرهٔ فلزی توپُر، روی پایهٔ عایقی قرار دارد. جسم رسانای باردار را با آن تماس داده و دور می‌کنیم. به‌ترتیب: بار الکتریکی در کره چگونه پخش می‌شود، پتانسیل الکتریکی نقاط مختلف کره چگونه است و میدان الکتریکی در درون کره چگونه است؟

دو سر خازنی با صفحات موازی به باتری وصل است و بین دو صفحه هوا است. اگر در همین حال فاصلهٔ بین دو صفحه را ۷۵ درصد کاهش دهیم بار الکتریکی خازن چگونه تغییر می‌کند؟

یک باتری با نیروی محرکهٔ $\varepsilon=9\,\mathrm{V}$ به دو سر یک مقاومت وصل است و جریان $I=1/5\,\mathrm{A}$ از مقاومت عبور می‌کند. اگر در این حالت اختلاف پتانسیل دو سر باتری ۶ ولت باشد، توان خروجی باتری چند وات است؟

اگر قطر سیم مقاومت یک لامپ بر اثر تبخیر یک درصد کاهش یابد، با ثابت ماندن ولتاژ دو سر لامپ و مقاومت ویژهٔ سیم، توان مصرفی آن تقریباً چگونه تغییر می‌کند؟

در شکل روبه‌رو، آمپرسنج آرمانی چند میلی‌آمپر را نشان می‌دهد؟

شکل: مداری پل‌مانند: شاخهٔ بالا شامل دو مقاومت متوالی $10\,\Omega$ (چپ) و $20\,\Omega$ (راست)، شاخهٔ پایین شامل دو مقاومت متوالی $30\,\Omega$ (چپ) و $40\,\Omega$ (راست). یک آمپرسنج آرمانی (A) بین نقطهٔ وسط شاخهٔ بالا (بین ۱۰ و ۲۰) و نقطهٔ وسط شاخهٔ پایین (بین ۳۰ و ۴۰) وصل است. دو شاخه موازی‌اند و به یک باتری با نیروی محرکهٔ $\varepsilon=50\,\mathrm{V}$ در پایین مدار وصل شده‌اند.

در شکل زیر، الکترونی در جهت نشان‌داده‌شده وارد ناحیه‌ای با میدان مغناطیسی یکنواخت می‌شود که به طرف بیرون صفحه (برون‌سو) است. اولین انحراف الکترون پس از ورود به این ناحیه به کدام سمت است؟

شکل: ناحیه‌ای مستطیلی در سمت راست شامل نقطه‌های (⊙) میدان مغناطیسی برون‌سو در ۴ سطر و ۳ ستون. در سمت چپ ناحیه، الکترون (e) با بردار سرعت $\vec{V}$ به سمت راست (به‌طرف ناحیهٔ میدان) در حرکت است و وارد ناحیه می‌شود.

در شکل زیر، آهنربایی از بالا رها شده تا در راستای قائم از درون حلقه‌های رسانا بگذرد. در لحظهٔ نشان‌داده‌شده، از نگاه بالا، جهت جریان القایی در حلقه‌های ۱، ۲ و ۳ به‌ترتیب، چگونه است؟

شکل: آهنربایی میله‌ای به‌صورت قائم با قطب N در بالا و قطب S در پایین، با سرعت $\vec{v}$ رو به پایین در حرکت است. سه حلقهٔ رسانای افقی: حلقهٔ ۱ بالای آهنربا (بالاتر از قطب N)، حلقهٔ ۲ در میانهٔ آهنربا (دور آن)، حلقهٔ ۳ زیر آهنربا (پایین‌تر از قطب S). خطوط میدان مغناطیسی آهنربا از N به بیرون و به S بازمی‌گردند.

بر اثر رسوبات، قطر قسمتی از یک رگ نسبت به سایر قسمت‌ها ۴۰ درصد کاهش یافته است. اگر خون از این قسمت وارد قسمت گشاد همان رگ شود، تندی آن چگونه تغییر می‌کند؟

در شکل زیر، چگالی مایع درون ظرف و لوله $2/8\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}$ است. اگر فشار هوا در محیط ۷۵/۵ سانتی‌متر جیوه باشد، فشار هوای جمع‌شده در انتهای لوله چند پاسکال است؟ ($g=10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}$ و $\rho_{\text{جیوه}}=13/6\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}$)

شکل: ظرفی پر از مایع (با سطح آزاد مایع در ظرف) و لوله‌ای شیشه‌ای وارونه که انتهای بسته آن در بالاست و انتهای باز آن در مایع ظرف فرو رفته است. مایع درون لوله بالا آمده و در انتهای بستهٔ بالای لوله مقداری هوای جمع‌شده وجود دارد. با پیکانی دوسر، ارتفاع ستون مایع درون لوله از سطح مایع ظرف تا سطح مایع در لوله برابر $51\,\mathrm{cm}$ نشان داده شده است.

مطابق جدول زیر، به سه ماده با جرم‌های معلوم، گرمای معین داده‌ایم و افزایش دمای هر کدام مشخص است. در مقایسهٔ گرمای ویژهٔ آنها کدام رابطه درست است؟

مقدار معینی گاز کامل، از طریق فرایندهای متفاوتی از حالت ($P_1$، $V_1$ و $T_1$) به حالت ($P_2$، $V_2$ و $T_2$) رسیده است. کدام کمیت‌های ذکرشده، به نوع فرایند در این مسیر بستگی ندارد؟

دمای گاز درون یک کپسول، صفر درجهٔ سلسیوس و فشار پیمانه‌ای گاز نیز صفر است. در حجم ثابت، دمای گاز را به آرامی به چند درجهٔ سلسیوس برسانیم تا فشار پیمانه‌ای آن برابر ۱۰ سانتی‌متر جیوه شود؟ ($P_0=75\,\mathrm{cmHg}$)

شمار الکترون‌های ظرفیت اتم کدام عنصر، نصف شمار الکترون‌های دارای $n=4$، در اتم $_{34}\mathrm{Se}$ است؟

کدام مورد درست است؟

اگر شمار الکترون‌های $3d$ در اتم $\mathrm{X}$، با شمار الکترون‌های $3p$ در لایهٔ ظرفیت اتم $\mathrm{Y}$ برابر باشد، کدام مورد دربارهٔ آنها، نادرست است؟

بدن فردی در شبانه‌روز به طور میانگین، ۴۵۰ گرم گلوکز مصرف می‌کند. اگر هر درخت در سال، ۲۲ کیلوگرم $\mathrm{CO_2}$ مصرف کند، چند درخت لازم است تا ردپای ایجادشده توسط این فرد را در یک سال از بین ببرد؟ (معادلۀ واکنش موازنه شود و $\mathrm{H=1,\ C=12,\ O=16:\ g.mol^{-1}}$)
$\mathrm{C_6H_{12}O_6(aq)+O_2(g)\rightarrow CO_2(g)+H_2O(l)}$

حداکثر مقدار لیتیم سولفات قابل انحلال در ۲۷ و ۴۸ گرم از محلول آن، به ترتیب در دمای $0^\circ\mathrm{C}$ و $100^\circ\mathrm{C}$، برابر ۷ و ۸ گرم است. معادلۀ انحلال‌پذیری آن (با فرض خطی بودن) کدام است؟

با توجه به شکل داده شده، پس از گذشت زمان مناسب، کدام موارد اتفاق خواهد افتاد؟
الف ـ شمار یون‌های ستون (۱)، با اعمال فشار افزایش می‌یابد.
ب ـ با افزایش فشار به ستون (۱)، یون‌های $\mathrm{Cl^-}$ بیشتر از $\mathrm{Na^+}$ وارد ستون (۲) می‌شود.
ج ـ غلظت مولی نمک در ستون (۱)، همانند مقدار آب در ستون (۲)، افزایش می‌یابد.
د ـ با برداشتن غشای نیمه‌تراوا، در هر مرحله‌ای از فرایند، غلظت مولی محلول جدید، برابر 0/05 خواهد شد.

شکل: ظرف U شکل با دو ستون. ستون (۱) در سمت راست: ۲۰۰ mL محلول NaCl با غلظت 0/1 M که فشار (فلش رو به پایین، «اعمال فشار») از بالا بر آن وارد می‌شود. ستون (۲) در سمت چپ: ۲۰۰ mL آب مقطر. در پایین ظرف بین دو ستون یک غشای نیمه‌تراوا قرار دارد.

در یک ظرف دارای ۲۰۰ گرم محلول در دمای مشخص، ۲۵ گرم از حل‌شونده ته‌نشین شده است. اگر افزایش دمای محلول، باعث انحلال مادۀ ته‌نشین‌شده شود، کدام مورد درست است؟

کدام مورد دربارۀ روند تغییر ویژگی‌های عنصرهای اصلی جدول تناوبی درست است؟

۱۰/۲ گرم گاز هیدروژن سولفید با مقدار کافی نیتریک اسید واکنش می‌دهد. اگر بازده درصدی واکنش، برابر ۷۵ باشد، چند لیتر گاز در شرایط آزمایش تشکیل می‌شود؟ (حجم مولی گازها، برابر ۲۴ لیتر درنظر گرفته شود، معادلۀ واکنش موازنه شود، $\mathrm{H=1,\ S=32:\ g.mol^{-1}}$)
$\mathrm{HNO_3(aq)+H_2S(g)\rightarrow S(s)+NO(g)+H_2O(l)}$

اگر جرم مولی یک آلکان زنجیری، برابر ۱۱۴ گرم باشد، این ترکیب، دارای چند فرمول ساختاری متفاوت است که در آنها، نسبت شمار گروه‌های $\mathrm{CH_3}$ به شمار گروه‌های $\mathrm{CH_2}$، برابر ۲ باشد؟ ($\mathrm{H=1,\ C=12:\ g.mol^{-1}}$)

اگر ظرفیت گرمایی ویژۀ مایع خالص M، دو برابر ظرفیت گرمایی ویژۀ مایع خالص X باشد، کدام مورد دربارۀ جرم برابر از دو مایع، نادرست است؟

با توجه به واکنش داده‌شده، اگر در مدت ۰/۵ دقیقه، ۱۱/۲ لیتر گاز هیدروژن در شرایط استاندارد مصرف شود، در مدت چند ثانیه، ۰/۴ مول آب تشکیل می‌شود؟ (معادلۀ واکنش موازنه و سرعت واکنش، ثابت درنظر گرفته شود.)
$\mathrm{NO_2(g) + H_2(g) \rightarrow NH_3(g) + H_2O(l)}$

با توجه به اطلاعات واکنش داده‌شده، اگر از سوختن کامل ۰/۲ مول متانول، ۱۴۴ کیلوژول گرما آزاد شود و آنتالپی سوختن پروپین، ۲/۷ برابر آنتالپی سوختن متانول باشد، آنتالپی سوختن پروپان، چند کیلوژول بر مول است؟ (آنتالپی سوختن هیدروژن، برابر $-286\,\mathrm{kJ.mol^{-1}}$ است.)
$\mathrm{C_3H_4(g) + 2H_2(g) \rightarrow C_3H_8(g)}$ , $\Delta H = -282\,\mathrm{kJ}$

کدام مورد همواره درست است؟

در یک دمای معیّن، درجۀ یونش اسید ضعیف $\mathrm{HA}$، برابر 0/1 و $K_a = 10^{-3}$ است، به ۲۵۰ میلی‌لیتر از محلول این اسید، چند میلی‌لیتر آب اضافه شود تا درجۀ یونش اسید، دو برابر شود؟

کدام مورد درست است؟

با توجه به اطلاعات داده شده، کدام مورد دربارۀ سلول گالوانی استاندارد تشکیل‌شده از $\mathrm{X}$ و $\mathrm{Y}$ درست است؟
$\mathrm{X^{2+} + 2e^- \rightarrow X}$ , $|E^\circ| = 0/4\,\mathrm{V}$ و $\mathrm{Y^{2+} + 2e^- \rightarrow Y}$ , $|E^\circ| = 0/34\,\mathrm{V}$
ـ در سلول گالوانی استاندارد تشکیل‌شده از $\mathrm{Y}$ و گاز هیدروژن، کاتیون‌های $\mathrm{H^+}$، به سمت نیم‌سلول $\mathrm{Y}$ در حرکتند.
ـ محلول $\mathrm{XCl_2(aq)}$ را می‌توان در ظرفی از جنس $\mathrm{Y}$، نگهداری کرد.

کدام مورد دربارۀ «سلول برقکافت آب» و «سلول سوختی هیدروژن ـ اکسیژن»، نادرست است؟

کدام مورد، نادرست است؟

اگر در مولکول کربونیل سولفید، به‌جای اتم گوگرد، اتم اکسیژن قرار گیرد، کدام مورد دربارۀ تغییر ویژگی‌های آن در تبدیل به مولکول جدید درست است؟

در نمودار «انرژی ـ پیشرفت واکنش»، برای واکنش گازی: $2\mathrm{X} \rightarrow \mathrm{A}$ ، تفاوت سطح انرژی قلّه با فراورده‌ها، دو برابر $|\Delta H|$ است. اگر انرژی فعال‌سازی، برابر ۶۰ کیلوژول و واکنش گرماده باشد، آنتالپی آن، برابر چند کیلوژول است؟

اگر در یک واکنش تعادلی با اجزای گازی، با افزایش حجم ظرف و افزایش دما، تعادل به یک سمت جابه‌جا شود، کدام مورد دربارۀ این واکنش درست است؟

در یک ظرف ۲ لیتری دربسته، 0/9 مول گاز $\mathrm{SO_3}$ وارد می‌شود تا تعادل گازی: $2\mathrm{SO_3} \rightleftharpoons 2\mathrm{SO_2} + \mathrm{O_2}$ ، در دمای معیّن برقرار شود. اگر مجموع شمار مول‌های فراورده‌ها، ۳ برابر شمار مول‌های واکنش‌دهنده باشد، ثابت تعادل واکنش کدام است؟

کدام‌یک از دنباله‌های اعداد حقیقی زیر، همواره تشکیل یک دنباله هندسی می‌دهد؟

مقدار عبارت $\frac{24x^3+36x^2+18x+3}{(4x^2+4x+1)^2}$ به ازای ریشه مثبت معادله $x^2+x=1$ کدام است؟

نقطه $S(a, 3)$ روی نیم‌دایره شکل زیر داده شده است. اگر طول وتر $PS$ برابر شعاع نیم‌دایره باشد، مقدار $a$ کدام است؟

شکل: نیم‌دایره‌ای در بالای محور x با مرکز مبدأ مختصات O؛ انتهای راست قطر نیم‌دایره نقطهٔ P روی محور x است. نقطهٔ S روی کمان نیم‌دایره در ناحیهٔ اول (با عرض 3) قرار دارد و وتر PS رسم شده است. محورهای x و y رسم شده‌اند.

اگر معادله $|4x-2| = x^2 - x + a$ دارای سه ریشه حقیقی باشد، ریشه بزرگ‌تر معادله کدام است؟

اگر $f(x)=\begin{cases} x+1 & x>2 \\ -3x+7 & x\le 2 \end{cases}$ و $g(x)=\begin{cases} -x+4 & f(x)\ge 0 \\ x-4 & f(x)<0 \end{cases}$ باشد، مقدار $fog(-4)$ کدام است؟

تابع $f$ با ضابطهٔ $f(x)=6x-x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+10$ در یک همسایگی از $a$، وارون‌پذیر است. اگر $fof(a)=a$ باشد، مقدار $f(a-9)$ کدام است؟

شکل زیر، نمودار تابع $f(x)=\log_3(ax+b)$ را نشان می‌دهد. مقدار $f^{-1}(-2)$ کدام است؟

شکل: نمودار در دستگاه مختصات xOy: منحنی‌ای که در سمت چپ محور y به خط مجانب قائم $x=-\frac{1}{2}$ نزدیک می‌شود (به سمت پایین میل می‌کند)، محور x را در نقطه‌ای با طول مثبت کوچک قطع می‌کند و سپس صعودی و مقعر به سمت پایین است و با فاصله گرفتن به سمت راست به خط افقی $y=2$ نزدیک می‌شود. روی محور y عدد ۲ با خط‌چین افقی تا منحنی مشخص شده و روی محور x نقطه $x=4$ با خط‌چین قائم تا منحنی (در ارتفاع ۲) مشخص شده است. مقدار $-\frac{1}{2}$ روی محور x در سمت چپ مبدأ نوشته شده است.

اگر $\tan(\alpha+12^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{4}$ باشد، مقدار $\cot(18^\circ-\alpha)$ کدام است؟

حاصل عبارت $A=\sqrt{3}\cos(210^\circ)\sin(243^\circ)-\sqrt{2}\sin(135^\circ)\cos(153^\circ)$ چند برابر $\cos(27^\circ)$ است؟

معادلهٔ مثلثاتی $\tan 2x+\tan 3x=\tan 5\pi$ چند جواب در بازهٔ $(0,\pi)$ دارد؟

حاصل $\lim_{x\to 3a^+}\frac{2\sqrt{x-3a}+3\sqrt{x}-\sqrt{27a}}{\sqrt{x^2-9a^2}}$ کدام است؟ $(a>0)$

نمودار تابع $y=f(x)$ به صورت زیر داده شده است. اگر $\lim_{x\to-\infty}\frac{f^{-1}(x)}{|2f(x)-af^{-1}(x)|}=2$ باشد، مقدار غیرصحیح a کدام است؟

شکل: دستگاه مختصات xOy؛ نمودار f یک خط راست نزولی است که محور y را در نقطه‌ای به عرض a (مثبت) و محور x را در نقطه‌ای به طول ۲ قطع می‌کند. روی محور y عدد a و روی محور x عدد ۲ نوشته شده است.

اگر تابع f با ضابطهٔ $f(x)=\begin{cases}\frac{x^2+|x|}{x^2+a|x|} & x\neq 0\\ \frac{2a-1}{2a+2} & x=0\end{cases}$ در $\mathbb{R}$ پیوسته باشد، مقدار $\lim_{x\to\frac{1}{a}}f(x)$ کدام است؟

حاصل $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin 2x\cot\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)}{x-\frac{\pi}{2}}$ کدام است؟

تابع $f$ با ضابطهٔ $f(x)=\begin{cases} a+\sqrt{x^2} & x<1 \\ b\sqrt[3]{x^2} & x\geq 1 \end{cases}$ در $\mathbb{R}$ پیوسته است. اگر $f$ فقط در یک نقطه مشتق‌پذیر نباشد، مقدار $a+b$ کدام است؟

تابع $f$ با ضابطهٔ $f(x)=x^2-5|x|$ را در نظر بگیرید. اگر $m$ و $n$ به‌ترتیب، تعداد نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی تابع $y=|f(x)|$ باشند، مقدار $\frac{n}{m}$ کدام است؟

اگر عدد طبیعی $a>3$ اعداد $7m+2$ و $11m+4$ را عاد کند، کدام مورد نمی‌تواند عدد اول بزرگ‌تر از ۳ باشد؟

۱۰ نفر به چند طریق می‌توانند در پنج اتاق ۲ نفرهٔ یکسان واقع در یک هتل اسکان یابند؟

در کیسه‌ای ۶ گوی آبی، ۵ گوی سبز، ۴ گوی قرمز و ۷ گوی سفید وجود دارد. حداقل چند گوی از کیسه بیرون بیاوریم تا مطمئن شویم که حداقل ۳ گوی آبی یا حداقل ۴ گوی سبز یا حداقل ۲ گوی قرمز یا حداقل ۵ گوی سفید بیرون آورده‌ایم؟

با استفاده از کدام روش رسم زیر، می‌توانیم نقطه‌ای در فاصله بین دو ضلع یک زاویه بیابیم به‌طوری‌که فاصله آن نقطه از یک ضلع زاویه دو برابر فاصله آن نقطه از ضلع دیگر زاویه باشد؟

تمام وجه‌های مکعب به ابعاد $4\times4\times4$ شکل زیر، رنگ‌آمیزی شده است. چند مکعب به ابعاد $1\times1\times1$ وجود دارد که فقط یک وجه‌شان رنگ شده است؟

شکل: مکعبی به ابعاد 4×4×4 که از مکعب‌های واحد 1×1×1 ساخته شده و خطوط تقسیم روی سه وجه دیده‌شدهٔ آن (جلو، بالا، راست) رسم شده است.

اگر $A=\begin{bmatrix}-1&4&0\\0&\frac{1}{2}&5\\0&0&\frac{1}{3}\end{bmatrix}$ و $B=\begin{bmatrix}-2&0&0\\0&3&0\\0&0&4\end{bmatrix}$ باشد، دترمینان ماتریس $D=BA^{T}B$ کدام است؟

نقطهٔ $A(\alpha,\beta)$ روی سهمی $x=-y^{2}+5y-6$ قرار دارد. اگر فاصلهٔ نقطهٔ $A$ از کانون سهمی برابر 1/5 باشد، مقدار $\alpha$ کدام است؟

ساده‌شدهٔ عبارت $(A' \cap B) \cup [((B \cap A) - B') \cap (B \cup A)]$ کدام است؟

گزارهٔ $r \Rightarrow (p \wedge q)$ همارز منطقی کدام گزاره است؟

به ۱۶ داده آماری با واریانس ۴۰، دو داده جدید اضافه می‌کنیم. اگر میانگین داده‌های جدید تغییر نکند ولی واریانس آن‌ها ۱ واحد افزایش یابد، اختلاف دو دادهٔ جدید کدام است؟

در یک کلاس ۱۰ نفره که هیچ دو نفری از آن‌ها هم‌قد نیستند دو دانش‌آموز پشت سرهم به تصادف انتخاب کرده و مشاهده می‌کنیم که دومی از اولی کوتاه‌قدتر است. احتمال اینکه دانش‌آموز اول بلندقدترین عضو کلاس باشد، کدام است؟