سوالات کنکور انسانی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

تابع هزینه برای تولید تعداد $x$ کالا از یک محصول، به‌صورت خطی است. به ازای هزینه‌های ۸۵۰ و ۱۰۰۰ تومانی به‌ترتیب ۲۰ و ۲۵ کالا تولید می‌شود. اگر شرکت هر کالا را ۵۵ تومان بفروشد، این شرکت، حداقل چه تعداد از این کالا را باید بفروشد تا سوددهی آغاز شود؟

۳ نفر به همراه علی و حسن قرار است در یک هتل، هرکدام در یک اتاق، اقامت کنند. هتل سه اتاق خالی کنار هم در یک طرف راهرو و دو اتاق دیگر در کنار هم، در طرف دیگر راهرو دارد. به چند طریق، این افراد در اتاق‌ها می‌توانند اقامت کنند، به‌طوری‌که علی و حسن در اتاق‌های کنار هم ساکن شوند؟

مقدار $a_3=\frac{17}{12}$ از رابطهٔ بازگشتی $a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{a_1}{a_n}\right)$، تقریبی از $\sqrt{k}$ است. اگر $k\in\mathbb{N}$ و $a_1=k$ باشد، مقدار $k$ کدام است؟

اگر ریشهٔ دوم جملات دوم، نهم و شانزدهم از یک دنبالهٔ حسابی، سه جملهٔ متوالی از یک دنبالهٔ هندسی را تشکیل دهند، نسبت مشترک دنبالهٔ هندسی کدام است؟