نمونه سوال فصل ۵ حسابان یازدهم با جواب

تابع پیوسته $f$ یک‌به‌یک بوده و وارون خود را در نقطه $A(a,f(a))$ قطع می‌کند. اگر $f(0)=2$ باشد، مقدار $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x}$ کدام است؟

اگر $f(x)=1-\sqrt{x}$ و $g(x)=[1-x]$ باشد، به ازای چند مقدار صحیح $a$، $\lim_{x\to a^+} fog(x)=1+a$ است؟

حاصل $\lim_{x\to -1}\frac{\cos 2\pi x-1}{x+2\sqrt{-x}-1}$ کدام است؟

مجموع مقادیر حدهای چپ و راست تابع $f(x)=\frac{x-2}{x^2-[x^2]}$ در نقطه $x=2$ کدام است؟

اگر $\lim_{x\to 0}\frac{k+\cos(\sqrt{a}\,x)}{kx^2}=3$ باشد، مقدار $\frac{a}{k}$ کدام است؟

حاصل $\lim_{x\to 3a^+}\frac{2\sqrt{x-3a}+3\sqrt{x}-\sqrt{27a}}{\sqrt{x^2-9a^2}}$ کدام است؟ $(a>0)$

اگر $f(x)=\left(\frac{-1+\sin x}{1+\sin x}\right)^2$ و $f(x)=xg(x)+1$ باشد، حاصل $\lim_{x\to0}g(x)$ کدام است؟

تابع $f(x)=\begin{cases}(1-a)[x]+(3a^2-1)[-x] & x\notin\mathbb{Z}\\ b\sin(\frac{\pi}{a}) & x\in\mathbb{Z}\end{cases}$ روی مجموعه اعداد حقیقی پیوسته است. مقدار $\frac{a}{b}$ کدام است؟

به‌ازای مقادیر طبیعی $c$، تابع $f(x)=\begin{cases}\sqrt{x^2-2x+1} & |x|\le c\\ ax^2+bx+2 & |x|>c\end{cases}$ روی مجموعه اعداد حقیقی پیوسته است. کدام می‌تواند مقدار $\left[\frac{a}{b}\right]$ باشد؟

اگر تابع f با ضابطهٔ $f(x)=\begin{cases}\frac{x^2+|x|}{x^2+a|x|} & x\neq 0\\ \frac{2a-1}{2a+2} & x=0\end{cases}$ در $\mathbb{R}$ پیوسته باشد، مقدار $\lim_{x\to\frac{1}{a}}f(x)$ کدام است؟

حاصل $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin 2x\cot\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)}{x-\frac{\pi}{2}}$ کدام است؟