سوالات کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

در کدام واپاشی، عدد جرمی تغییر می‌کند؟

شکل زیر، آهنربای تیغه‌ای را نشان می‌دهد که از سیم‌لوله دور می‌شود. در این حالت، جریان الکتریکی القایی که از گالوانومتر می‌گذرد، به کدام جهت است و در A و B، به‌ترتیب چه قطب‌های مغناطیسی ایجاد می‌شود؟

شکل: سیم‌لوله‌ای افقی در سمت چپ با دو سر A (سمت راست سیم‌لوله) و B (سمت چپ سیم‌لوله). دو سر سیم‌لوله از پایین به گالوانومتر G وصل شده‌اند؛ نقطه a در سمت چپ و نقطه b در سمت راست گالوانومتر. در سمت راست سیم‌لوله یک آهنربای تیغه‌ای قرار دارد که قطب S آن در سمت چپ (نزدیک سیم‌لوله) و قطب N آن در سمت راست است و یک پیکان زیر آن به سمت راست، یعنی دور شدن از سیم‌لوله را نشان می‌دهد.

۲۵ کیلووات ساعت، معادل چند مگاژول است؟

از نقطه‌ای به ارتفاع $h$ هر دو ثانیه یک گلوله رها می‌شود. اگر در لحظهٔ رها شدن گلولهٔ سوم، گلولهٔ اول به زمین برسد، در این لحظه گلولهٔ دوم از ارتفاع چند متری عبور می‌کند؟ ($g=10\,\mathrm{m/s^2}$ و مقاومت هوا ناچیز است.)

متحرکی روی محور $x$ از مبدأ محور با شتاب ثابت $0/5\,\mathrm{m/s^2}$ از حال سکون به حرکت درمی‌آید. سه ثانیه بعد، متحرک دیگری روی محور $x$ از همان نقطه و در همان جهت با شتاب ثابت $2\,\mathrm{m/s^2}$ از حال سکون به حرکت درمی‌آید. در این حرکت، چند ثانیه فاصلهٔ بین دو متحرک درحال کاهش است؟

معادلهٔ سرعت ـ زمان متحرکی در SI به صورت $V=3t^2-8$ است. شتاب متوسط آن در ۲ ثانیهٔ دوم چند متر بر مربع‌ثانیه است؟

روی سطح افقی بدون اصطکاک، جسمی به جرم ۸۰۰ گرم با تندی $5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ به سمت غرب در حرکت است. نیروی ثابت $2\,\mathrm{N}$ به‌طور پیوسته به سمت شرق بر جسم وارد می‌شود تا جسم متوقف شود و سپس به همان تندی $5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ به سمت شرق برسد. زمان اثر این نیرو چند ثانیه است؟

جسمی به جرم $50\,\mathrm{kg}$ را می‌خواهیم با طنابی پایین بیاوریم. بیشینهٔ نیروی کششی که طناب می‌تواند تحمل کند، $430\,\mathrm{N}$ است. جسم را در راستای قائم با شتاب چند متر بر مربع‌ثانیه پایین بیاوریم تا طناب در آستانهٔ پاره شدن باشد؟ ($g=9/8\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}$)

نیروی خالص $F$ به جسمی به جرم $m_1$ شتاب $12\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}$ و به جسمی به جرم $m_2$ شتاب $4\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}$ می‌دهد. اگر این نیرو به جسمی به جرم $m_2-m_1$ وارد شود، شتاب آن چند متر بر مربع‌ثانیه می‌شود؟

یک میز افقی دوار حول مرکز خود به‌طور یکنواخت می‌چرخد و هر ۳/۱۴ ثانیه، ۳ دور کامل می‌زند. سکه‌ای روی میز در ۱۰ سانتی‌متری مرکز دوران قرار دارد که در آستانهٔ لغزش است. ضریب اصطکاک ایستایی بین سکه و سطح میز چقدر است؟ ($g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}$)

جرم و نیروی کشش دو تار مسی $A$ و $B$ با هم برابر و سطح مقطع تار $A$، ۴ برابر سطح مقطع تار $B$ است. اگر تندی انتشار موج عرضی در تار $A$، $100\,\mathrm{\frac{m}{s}}$ باشد، تندی انتشار این موج در تار $B$ چند متر بر ثانیه است؟

اگر کهکشانی به ما نزدیک شود، کدام مشخصهٔ نور دریافتی از آن، افزایش می‌یابد؟

فنری را از یک نقطه آویزان می‌کنیم و به سر دیگر آن وزنهٔ ۲۰۰ گرمی وصل می‌کنیم. طول فنر $2/5\,\mathrm{cm}$ افزایش می‌یابد و وزنه به تعادل می‌رسد. اگر این وزنه را در راستای قائم با دامنهٔ $2\,\mathrm{cm}$ به نوسان درآوریم، بیشینهٔ انرژی جنبشی آن چند میلی‌ژول می‌شود؟ ($g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}$)

پرتو نوری شامل نورهای آبی و قرمز مطابق شکل بر تیغهٔ شیشه‌ای متوازی‌السطوح می‌تابد. نوری که از طرف دیگر شیشه خارج می‌شود، چگونه است؟

شکل: مستطیلی که تیغهٔ شیشه‌ای متوازی‌السطوح را نشان می‌دهد؛ بالای آن «هوا»، داخل آن «شیشه» و زیر آن «هوا» نوشته شده است. یک پرتو نور (شامل آبی و قرمز) از بالا سمت چپ به‌صورت مایل به سطح بالایی تیغه می‌تابد.

در یک آزمایش فوتوالکتریک، اگر طول موج نور فرودی کاهش یابد، کدام کمیت افزایش می‌یابد؟

مدل اتمی بور، کدام موارد را نمی‌تواند توضیح دهد و در تحلیل آن‌ها ناتوان است؟
الف ـ محاسبهٔ انرژی یونش اتم هیدروژن
ب ـ متفاوت بودن شدت خط‌های طیف گسیلی اتم هیدروژن
ج ـ حالتی که بیش از یک الکترون به دور هسته می‌گردد.
د ـ طیف‌های جذبی گاز هیدروژن اتمی

پس از گذشت ۸ ساعت، تعداد هسته‌های پرتوزای یک نمونه، به $\frac{1}{16}$ تعداد موجود در آغاز کاهش یافته است. نیم‌عمر ماده چند ساعت است؟

خازنی که بین صفحات آن هوا است به دو سر یک باتری وصل است. اگر با ماده‌ای با ثابت دی‌الکتریک $k=3$ فضای بین دو صفحه را پر کنیم، انرژی خازن و میدان الکتریکی بین دو صفحه، به‌ترتیب چند برابر می‌شوند؟

جنس و دمای دو سیم استوانه‌ای A و B یکسان است. اگر طول سیم A دو برابر طول سیم B و جرم آن نصف جرم B باشد، مقاومت الکتریکی سیم A چند برابر مقاومت سیم B است؟

مطابق شکل، پرتوهایی از دو ذرهٔ آلفا و پوزیترون در جهت نشان‌داده‌شده وارد میدان مغناطیسی یکنواخت درون‌سو می‌شوند. جهت انحراف ذرات در درون میدان چگونه است؟

شکل: ناحیه‌ای با میدان مغناطیسی $\vec{B}$ درون‌سو (علامت × ها) در بالای شکل. در پایین دو پیکان رو به بالا: سمت چپ $e^+$ (پوزیترون) و سمت راست $\alpha$ (آلفا) که به‌سمت بالا وارد میدان می‌شوند.

جریان الکتریکی $2/5\,\mathrm{A}$ از سیملولهٔ آرمانی به طول $10\,\mathrm{cm}$ می‌گذرد. اگر میدان مغناطیسی ایجادشده در درون سیملوله $157\,\mathrm{G}$ باشد، تعداد حلقه‌های آن چقدر است؟ ($\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\frac{\mathrm{T.m}}{\mathrm{A}}$)

درون یک ظرف استوانه‌ای، $2/5$ لیتر مایع به چگالی $1/2\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}$ قرار دارد. اگر سطح مقطع استوانه $50\,\mathrm{cm^2}$ باشد، فشار پیمانه‌ای در کف ظرف چند سانتی‌متر جیوه است؟ ($\rho_{\text{جیوه}}=13/6\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}$)

در شکل زیر، درون لولهٔ U شکل مقداری جیوه قرار دارد. در یکی از شاخه‌ها روی جیوه به ارتفاع $17\,\mathrm{cm}$ مایعی به چگالی $2\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}$ می‌ریزیم. در شاخهٔ مقابل، سطح جیوه نسبت به موقعیت اولیه، چند سانتی‌متر بالا می‌آید؟ ($\rho_{\mathrm{Hg}}=13/6\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}$)

شکل: لولهٔ U شکل با دو شاخهٔ قائم هم‌قطر که تا ارتفاعی مساوی از جیوه (ناحیهٔ خاکستری) پر شده است؛ بالای جیوه در هر دو شاخه خالی است.

جسمی به جرم $60\,\mathrm{kg}$ از موقعیت A به موقعیت B می‌رود. کار کل انجام‌شده روی جسم در این جابه‌جایی $24\,\mathrm{kJ}$ است. اگر تندی جسم در موقعیت A برابر $126\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ باشد، تندی آن در موقعیت B چند $\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ است؟

پدری با پسرش می‌دود. جرم پدر دو برابر جرم پسر است ولی انرژی جنبشی او، نصف انرژی جنبشی پسرش است. اگر پدر $2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ بر تندی خود اضافه کند، انرژی جنبشی آنها برابر می‌شود. تندی اولیهٔ پدر چند متر بر ثانیه است؟

کدام مورد همرفت طبیعی است؟

اگر دمای هوای اتاقی را از $24\,^\circ\mathrm{C}$ به $25\,^\circ\mathrm{C}$ برسانیم، چه کسری از مولکول‌های هوا خارج شود تا فشار هوای اتاق تغییر نکند؟

ماشین بنزینی، چرخه‌ای را طی می‌کند که شامل ۶ فرایند است. از این تعداد، چند فرایند همراه با حرکت پیستون است؟

کدام مورد دربارهٔ سیاره‌های زمین و مشتری، نادرست است؟

در دما و فشار معیّن، بالونی دارای گاز کربن مونوکسید است. اگر مقداری از آن را خارج کرده و به‌جای آن، گاز آرگون وارد شود به‌طوری‌که حجم ثابت بماند، مجموع جرم گازهای درون بالون، برابر ۶۲۰ گرم و درصد جرمی آرگون، برابر ۳۰ می‌شود. مقدار اولیهٔ گاز کربن مونوکسید، برابر چند گرم بوده است؟ ($\mathrm{C=12,\ O=16,\ Ar=40:g.mol^{-1}}$)

چند گرم آلومینیم برای واکنش با مقدار کافی از سولفوریک اسید (مطابق واکنش I) لازم است تا هیدروژن موردنیاز برای واکنش کامل آن با 8/96 لیتر گاز کلر در شرایط STP (مطابق واکنش II)، فراهم شود؟ (معادلهٔ واکنش‌ها موازنه شود و $\mathrm{Al=27\,g.mol^{-1}}$)

I) $\mathrm{Al(s)+H_2SO_4(aq)\rightarrow Al_2(SO_4)_3(aq)+H_2(g)}$

II) $\mathrm{H_2(g)+Cl_2(g)\rightarrow HCl(g)}$

کدام مورد همواره درست است؟

اگر شمار الکترون‌های ظرفیت اتم عنصر $\mathrm{Y}$ از دستة $d$ جدول تناوبی، دو برابر شمار الکترون‌های ظرفیت اتم عنصر $\mathrm{X}$ از دستة $s$ باشد، کدام مورد دربارة آنها به‌یقین درست است؟ ($\mathrm{Y}$، در دورة چهارم جدول تناوبی جای دارد.)

کدام واکنش با جذب گرما و کاهش شمار مول‌های گازی فراورده(ها) نسبت به واکنش‌دهنده(ها) همراه است؟

نوع پلیمر استفاده‌شده در ساخت «منبع بزرگ پلاستیکی (تانکر) آب» و «تایر اتومبیل» به‌ترتیب، کدام‌اند؟

اگر در دمای اتاق، $0/5$ لیتر محلول $0/1$ مولار هیدروکلریک اسید (ظرف (I))، توسط مقدار معیّنی از محلول سدیم هیدروکسید (ظرف (II)) خنثی شود، کدام مورد، نادرست است؟

اگر تفاوت شمار اتم‌های هیدروژن در مولکول یک پاک‌کنندهٔ صابونی جامد و اتم‌های هیدروژن حلقهٔ بنزنی در مولکول یک پاک‌کنندهٔ غیرصابونی گوگرددار، برابر ۳۱ و هر دو دارای زنجیر هیدروکربنی سیرشده باشند، کدام مورد دربارهٔ آنها به یقین درست است؟ ($\mathrm{H}=1, \mathrm{C}=12, \mathrm{O}=16, \mathrm{Na}=23, \mathrm{S}=32: \mathrm{g.mol^{-1}}$)

اگر حجم محلولی که از حل کردن $15/5$ گرم نمونه دارای سدیم اکسید و $2/35$ گرم پتاسیم اکسید خالص در آب مقطر در دمای اتاق تشکیل می‌شود برابر $0/5$ لیتر و $\mathrm{pH}=13/7$ باشد، درصد خلوص نمونه سدیم اکسید کدام است؟ (ناخالصی، یون تولید نمی‌کند و $\mathrm{O}=16, \mathrm{Na}=23, \mathrm{K}=39: \mathrm{g.mol^{-1}}$)
$\mathrm{K_2O(s)} + \mathrm{H_2O(l)} \rightarrow 2\mathrm{KOH(aq)}$
$\mathrm{Na_2O(s)} + \mathrm{H_2O(l)} \rightarrow 2\mathrm{NaOH(aq)}$

دربارهٔ هر واکنش «اکسایش ـ کاهش»، کدام مورد درست است؟

درصد جرمی سیلیس و رطوبت، در یک نمونه خاک رُس، به‌ترتیب برابر ۳۶ و ۱۰ است. اگر درصد جرمی رطوبت در نمونه، با اضافه کردن آب، به ۲۰ درصد برسد، درصد جرمی سیلیس کدام خواهد شد؟

اگر $x^2+\frac{10}{x^2+1}=9$ باشد، مقدار $(x^2+1)^2+\frac{100}{(x^2+1)^2}$ کدام است؟

در نیم‌دایرهٔ زیر، اگر $\sin\alpha=0/8$ باشد، مقدار $\frac{BE}{EF}$ کدام است؟

شکل: نیم‌دایره با قطر $AC$ و مرکز $O$. نقطهٔ $B$ روی کمان و $F$ روی کمان بالای $O$ به طوری که $OF$ بر $AC$ عمود است. پاره‌خط‌های $AB$ و $BC$ رسم شده‌اند. نقطهٔ $E$ محل برخورد $BC$ و $OF$ است. زاویهٔ $\alpha$ در رأس $A$ بین $AC$ و $AB$ مشخص شده است.

اگر مجموع ۹ جملهٔ اول یک دنباله هندسی با قدر نسبت صحیح، ۷۳ برابر مجموع ۳ جملهٔ اول آن باشد، جملهٔ سوم این دنباله چند برابر جملهٔ اول آن است؟

تابع $f$ با ضابطهٔ $f(x)=\frac{5}{\sqrt{mx^2-8x+39}}$ روی $\mathbb{R}$ تعریف شده است. اگر برای یک مقدار $m$، بیشترین مقدار تابع $f$ برابر ۱ باشد، مقدار $[m]$ کدام است؟

اگر $f(x)=\begin{cases}x-1 & 0\le x\le 2\\ x+1 & -2\le x<0\end{cases}$ باشد، معادله $f\circ f(x)=0$ چند ریشه دارد؟

تابع پیوسته $f$ یک‌به‌یک بوده و وارون خود را در نقطه $A(a,f(a))$ قطع می‌کند. اگر $f(0)=2$ باشد، مقدار $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x}$ کدام است؟

اگر $\log(3x+1)=\begin{vmatrix}\log 5 & \log 2\\ \log 2 & \log 5\end{vmatrix}$ باشد، مقدار $\log_{\sqrt{2}} x$ کدام است؟

اگر $2\sin\alpha<\sin 2\alpha$ و $0>\frac{\cot\alpha}{\sin\alpha}$ باشد، انتهای کمان $\alpha$ در کدام ربع قرار دارد؟

حاصل عبارت $\frac{\sin(-285^\circ)+2\cos(-105^\circ)}{2\sin(165^\circ)+3\sin(375^\circ)}$ کدام است؟

اگر $\lim_{x\to 0}\frac{k+\cos(\sqrt{a}\,x)}{kx^2}=3$ باشد، مقدار $\frac{a}{k}$ کدام است؟

حاصل $\lim_{x\to\pi^-}\frac{\cot x}{[x-\pi]}$ کدام است؟

نمودار تابع $f$ و خط مماس بر آن در نقطهٔ $(3,5)$ در شکل زیر رسم شده است. مقدار $f'(3)$ کدام است؟

شکل: دستگاه مختصات با محور افقی و قائم. نمودار تابع $f$ منحنی صعودی و مقعر (رو به پایین) است و خط مماس بر آن در نقطهٔ $(3,5)$ رسم شده است. این خط مماس محور عمودی را در نقطهٔ با عرض 1 قطع می‌کند (عدد 1 روی محور عمودی نوشته شده است).

تابع $f$ با ضابطهٔ $f(x)=\begin{cases}2bx+c & x>a\\ 3x^2 & x\le a\end{cases}$ روی $\mathbb{R}$ مشتق‌پذیر است. مقدار $a^3+b-c$ کدام است؟

ماکزیمم مطلق تابع $f(x)=\sqrt[3]{x^2}\,|x-a|$ روی بازهٔ $[0,a]$ برابر ۱/۵ است. مقدار $a$ کدام است؟

چند نقطه با مختصات صحیح روی منحنی $8x^2+xy+3x-y=0$ قرار دارد؟

در گراف $G$، $p(G)>4$ و $\delta(G)\geq 3$ است. اگر طول بلندترین دور در گراف $G$ برابر $4$ باشد، کمترین مقدار $p(G)$ کدام است؟

در مربع شکل زیر، $CD=3ED$ و نقطه $F$، وسط پاره‌خط $BE$ قرار دارد. اگر $AF=5$ باشد، مساحت چهارضلعی $ADEF$ کدام است؟

شکل: مربع $ABCD$ با رأس $B$ بالا چپ، $C$ بالا راست، $A$ پایین چپ و $D$ پایین راست. نقطه $E$ روی ضلع $CD$ (ضلع راست) قرار دارد. پاره‌خط $BE$ رسم شده و $F$ وسط $BE$ است. پاره‌خط $AF$ نیز رسم شده است.

مثلث متساوی‌الساقین قائم‌الزاویه‌ای بر دایره‌ای به شعاع $\sqrt{2}$ محیط شده است. برای رسم عمودمنصف یکی از ساق‌های این مثلث، باید دهانهٔ پرگار را حداقل بیشتر از کدام عدد زیر باز کرد؟

در شکل زیر، مثلث $ABC$ متساوی‌الساقین بوده و $AB=2CE$ است. اگر $DE=2\sqrt{3}+4$ باشد، اندازهٔ $BF$ کدام است؟

شکل: مثلث متساوی‌الساقین $ABC$ با رأس $A$ در بالا، $B$ پایین سمت چپ و $C$ پایین سمت راست. $D$ پای ارتفاع وارد از $A$ بر $BC$ (زاویهٔ قائمه در $D$). نقطهٔ $E$ روی ضلع $AB$ است به طوری که $CE$ بر $AB$ عمود است (زاویهٔ قائمه در $E$). نقطهٔ $F$ روی $BC$ پای عمود رسم‌شده از $E$ بر $BC$ است (زاویهٔ قائمه در $F$). پاره‌خط‌های $ED$ و $EC$ رسم شده‌اند. ترتیب نقاط روی $BC$: $B$، $F$، $D$، $C$.

نقطهٔ $A'$ تصویر نقطهٔ $A$ در بازتاب نسبت به خط $d$ و نقطهٔ $O$ روی خط $d$ قرار دارد. اگر $OA'=10$ و فاصلهٔ نقطهٔ $A'$ از خط $OA$ برابر ۹/۶ باشد، مجموع مقادیر ممکن برای $AA'$ کدام است؟

در مثلث محیطی شکل زیر، اضلاع $AB=4$ و $AC=5$ به‌ترتیب در نقاط $T$ و $T'$ بر محیط دایرهٔ محاطی، مماس هستند. اگر $BC=7$ باشد، اندازهٔ وتر $TT'$ کدام است؟

شکل: مثلث $ABC$ با رأس $A$ در بالا و $B$ پایین‌چپ و $C$ پایین‌راست. دایرهٔ محاطی با مرکز $O$ درون مثلث. دایره بر ضلع $AB$ در نقطهٔ $T$ و بر ضلع $AC$ در نقطهٔ $T'$ مماس است. وتر $TT'$ و شعاع‌های $OT$ و $OT'$ رسم شده‌اند (خط‌چین).

اگر زاویهٔ بین دو بردار $\vec{a}$ و $\vec{b}$، $60^\circ$ باشد، اندازهٔ تصویر قائم بردار $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ بر امتداد بردار $\vec{a}$ کدام است؟

برای ماتریس $A=\begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{bmatrix}$، اگر $|A^2+kA-A|=125$ باشد، دترمینان $(k+1)I_3$ کدام است؟ $(k\in\mathbb{Z})$

برای ماتریس $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ با درایه‌های صحیح و ماتریس $B=\begin{bmatrix}1&0&a\\0&\sqrt{2}\,b&0\\c&0&d\end{bmatrix}$، اگر $|A|=2$ و $B^2=2I$ باشد، حاصل‌ضرب درایه‌های غیرصفر ماتریس $B^3$ کدام است؟

$A$ و $B$ دو زیرمجموعه از مجموعه مرجع $U$ هستند. اگر $A\cup B'\subseteq A\cap B$ باشد، کدام مورد همواره برقرار است؟

اگر انحراف ۵ داده آماری از $y$، به‌ترتیب برابر $-1$، $-5$، $-6$، $-7$ و $4$ باشد، واریانس داده‌های اصلی کدام است؟

برای دو پیشامد $A$ و $B$ از فضای نمونه $S$، روابط $P(A-B)=P(A)P(B')$ و $P(A)=1/6\,P(B)$ برقرار است. اگر $P(A'\cap B')=0/25$ باشد، مقدار $P(A\cup B')$ کدام است؟