۱۰۰ هزار تومان هدیهٔ ثبت‌نام، تا ۱ میلیونبا ثبت‌نام گردونهٔ هدیه را بچرخان: دست‌کم ۱۰۰٬۰۰۰ تومان و تا ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان اعتبار هدیه، بدون کارت بانکیگردونهٔ هدیه۱ میلیون برای تو، ۱ میلیون برای دوستتدوستانت را دعوت کن: برای هر دوستی که فعال شود ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان اعتبار هدیه می‌گیری و خودش هم ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومانجوایز
1xAi
ریاضی ۱ · فصل ۲

نمونه سوال فصل ۲ ریاضی دهم با جواب

«مثلثات»، فصل ۲ کتاب ریاضی ۱، صفحهٔ ۲۸ تا ۴۶. ۱۱ نمونه سوال چهارگزینه‌ای با جواب تشریحی و ۱۴ سوال کنکور تجربی از فصل ۲ ریاضی ۱ (مثلثات)، پایهٔ دهم.

نمونه سوال‌ها را هوش مصنوعی از روی متن همین فصل نوشته و فقط سوالی منتشر شده که دو حل‌کنندهٔ مستقل به همان جواب رسیده‌اند. اول خودت جواب بده، بعد «نمایش پاسخ» را بزن.

پیش از تست: خلاصه درس و نکات مهم فصل ۲ ریاضی دهم

نمونه سوال‌ها و جواب تشریحی

۱۱ سوال

نمونه سوال ۱

تولید هوش مصنوعی

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

نقطهٔ P(x,y)P(x,y) روی دایرهٔ مثلثاتی، نقطهٔ انتهایی زاویهٔ θ\theta است و هر دو مؤلفهٔ آن ناصفرند. کدام گزینه برای هر چنین نقطه‌ای درست است؟

  1. گزینهٔ ۱: sin⁡θ=y\sin\theta=y و cos⁡θ=x\cos\theta=x
  2. گزینهٔ ۲: sin⁡θ=x\sin\theta=x و cos⁡θ=y\cos\theta=y
  3. گزینهٔ ۳: tan⁡θ=xy\tan\theta=\dfrac{x}{y}
  4. گزینهٔ ۴: cot⁡θ=yx\cot\theta=\dfrac{y}{x}
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱

پاسخ تشریحی

در دایرهٔ مثلثاتی، شعاع برابر یک است و نسبت‌های سینوس و کسینوس زاویه، به‌ترتیب با عرض و طول نقطهٔ انتهایی آن برابرند؛ بنابراین sin⁡θ=y\sin\theta=y و cos⁡θ=x\cos\theta=x. همچنین برای مؤلفه‌های ناصفر، tan⁡θ=yx\tan\theta=\frac{y}{x} و cot⁡θ=xy\cot\theta=\frac{x}{y} است. پس تنها رابطه‌های گزینهٔ نخست همواره درست‌اند. (صفحه‌های ۳۶ و ۳۷)
پاسخ: گزینهٔ ۱

نمونه سوال ۲

تولید هوش مصنوعی

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

نقطهٔ انتهایی زاویهٔ θ\theta روی دایرهٔ مثلثاتی در ربع سوم قرار دارد و مختصات آن در رابطهٔ y=2xy=2x صدق می‌کند. حاصل sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta+\cos\theta کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 355\dfrac{3\sqrt{5}}{5}
  2. گزینهٔ ۲: −55-\dfrac{\sqrt{5}}{5}
  3. گزینهٔ ۳: −355-\dfrac{3\sqrt{5}}{5}
  4. گزینهٔ ۴: 55\dfrac{\sqrt{5}}{5}
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳

پاسخ تشریحی

چون P(x,y)P(x,y) روی دایره‌ای با مرکز مبدأ و شعاع واحد است، با استفاده از فیثاغورس داریم x2+y2=1x^2+y^2=1. از y=2xy=2x نتیجه می‌شود 5x2=15x^2=1. نقطه در ربع سوم است؛ بنابراین x=−15x=-\frac{1}{\sqrt{5}} و y=−25y=-\frac{2}{\sqrt{5}}. اکنون sin⁡θ+cos⁡θ=y+x=−35=−355\sin\theta+\cos\theta=y+x=-\frac{3}{\sqrt{5}}=-\frac{3\sqrt{5}}{5}. (صفحه‌های ۳۱، ۳۶ و ۳۸)
پاسخ: گزینهٔ ۳

نمونه سوال ۳

تولید هوش مصنوعی

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

دو نقطه روی زمین افقی، در یک سمت برج و در امتداد پای آن قرار دارند و فاصلهٔ آن‌ها 20 m20\,\mathrm{m} است. زاویهٔ خط دید به بالای برج از نقطهٔ دورتر 30∘30^\circ و از نقطهٔ نزدیک‌تر 60∘60^\circ است. اگر محل مشاهده در سطح زمین باشد، فاصلهٔ نقطهٔ دورتر تا پای برج کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 10 m10\,\mathrm{m}
  2. گزینهٔ ۲: 103 m10\sqrt{3}\,\mathrm{m}
  3. گزینهٔ ۳: 203 m20\sqrt{3}\,\mathrm{m}
  4. گزینهٔ ۴: 30 m30\,\mathrm{m}
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴

پاسخ تشریحی

فاصلهٔ نقطهٔ نزدیک‌تر تا پای برج را xx و ارتفاع برج را hh می‌گیریم. از تعریف تانژانت داریم h=xtan⁡60∘=x3h=x\tan60^\circ=x\sqrt{3} و h=(x+20)tan⁡30∘=x+203h=(x+20)\tan30^\circ=\frac{x+20}{\sqrt{3}}. با برابر قرار دادن این دو رابطه، 3x=x+203x=x+20 و در نتیجه x=10x=10 به دست می‌آید. پس فاصلهٔ نقطهٔ دورتر تا پای برج برابر x+20=30 mx+20=30\,\mathrm{m} است. (صفحه‌های ۳۰ و ۳۲)
پاسخ: گزینهٔ ۴

نمونه سوال ۴

تولید هوش مصنوعی

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

در مثلث ABCABC که در رأس BB قائم است، نقطهٔ DD روی ضلع ABAB قرار دارد و خط موازی BCBC از DD، ضلع ACAC را در EE قطع می‌کند. اگر AD=6AD=6، DB=4DB=4 و BC=15BC=15 باشد، مقدار cot⁡∠AED\cot\angle AED کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 23\dfrac{2}{3}
  2. گزینهٔ ۲: 32\dfrac{3}{2}
  3. گزینهٔ ۳: 52\dfrac{5}{2}
  4. گزینهٔ ۴: 25\dfrac{2}{5}
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۲

پاسخ تشریحی

داریم AB=AD+DB=6+4=10AB=AD+DB=6+4=10. چون DE∥BCDE\parallel BC، مثلث‌های ADEADE و ABCABC متشابه‌اند؛ پس DE15=610\frac{DE}{15}=\frac{6}{10} و در نتیجه DE=9DE=9. در مثلث قائم‌الزاویهٔ ADEADE، نسبت ضلع مجاور زاویهٔ AEDAED به ضلع مقابل آن برابر کتانژانت این زاویه است؛ بنابراین cot⁡∠AED=DEAD=96=32\cot\angle AED=\frac{DE}{AD}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}. (صفحه‌های ۲۹ و ۳۰)
پاسخ: گزینهٔ ۲

نمونه سوال ۵

تولید هوش مصنوعی

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

در یک مثلث قائم‌الزاویه، طول وتر 2020 واحد است و برای یکی از زاویه‌های حادهٔ آن، sin⁡A+cos⁡A=75\sin A+\cos A=\frac{7}{5} برقرار است. مساحت مثلث، برحسب واحد مربع، کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 4848
  2. گزینهٔ ۲: 9696
  3. گزینهٔ ۳: 192192
  4. گزینهٔ ۴: 196196
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۲

پاسخ تشریحی

طول دو ضلع قائم را aa و bb می‌نامیم. از تعریف سینوس و کسینوس داریم a20+b20=75\frac{a}{20}+\frac{b}{20}=\frac{7}{5}؛ بنابراین a+b=28a+b=28. همچنین با فیثاغورس، a2+b2=202=400a^2+b^2=20^2=400. پس 784=(a+b)2=a2+b2+2ab=400+2ab784=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=400+2ab و در نتیجه ab=192ab=192. مساحت مثلث برابر ab2=96\frac{ab}{2}=96 واحد مربع است. (صفحه‌های ۳۱ و ۳۳)
پاسخ: گزینهٔ ۲

نمونه سوال ۶

تولید هوش مصنوعی

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

از نقطهٔ AA روی زمین افقی، زاویهٔ خط دید به بالای یک برج قائم 45∘45^\circ است. مشاهده‌گر از AA، روی مسیری مستقیم به طول 20 m20\,\mathrm{m} با شیب رو به بالای 30∘30^\circ نسبت به افق، به سمت برج حرکت می‌کند. در پایان مسیر، زاویهٔ خط دید به بالای برج 60∘60^\circ می‌شود. مسیر حرکت و برج در یک صفحهٔ قائم‌اند و مشاهده‌گر هنوز به برج نرسیده است. با صرف‌نظر از ارتفاع چشم از مسیر، ارتفاع برج کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 10(3−1) m10(\sqrt{3}-1)\,\mathrm{m}
  2. گزینهٔ ۲: 203 m20\sqrt{3}\,\mathrm{m}
  3. گزینهٔ ۳: 20(3+1) m20(\sqrt{3}+1)\,\mathrm{m}
  4. گزینهٔ ۴: 10(3+1) m10(\sqrt{3}+1)\,\mathrm{m}
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴

پاسخ تشریحی

فاصلهٔ افقی پای برج از AA را XX و ارتفاع برج را HH می‌گیریم. از مشاهدهٔ نخست، tan⁡45∘=HX=1\tan45^\circ=\frac{H}{X}=1، پس H=XH=X. حرکت روی مسیر، جابه‌جایی افقی 20cos⁡30∘=10320\cos30^\circ=10\sqrt{3} و افزایش ارتفاع 20sin⁡30∘=1020\sin30^\circ=10 ایجاد می‌کند. بنابراین از مشاهدهٔ دوم داریم H−10X−103=3\frac{H-10}{X-10\sqrt{3}}=\sqrt{3}. با جای‌گذاری H=XH=X، به X−10=3X−30X-10=\sqrt{3}X-30 می‌رسیم؛ پس X=203−1=10(3+1)X=\frac{20}{\sqrt{3}-1}=10(\sqrt{3}+1). ارتفاع برج نیز همین مقدار است. (صفحه‌های ۳۰ تا ۳۳)
پاسخ: گزینهٔ ۴

نمونه سوال ۷

تولید هوش مصنوعی

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

برای زاویهٔ θ\theta با 0∘<θ<360∘0^\circ<\theta<360^\circ، دو شرط sin⁡θcos⁡θ<0\sin\theta\cos\theta<0 و sin⁡θtan⁡θ>0\sin\theta\tan\theta>0 برقرار است. نقطهٔ انتهایی این زاویه در کدام ربع قرار دارد؟

  1. گزینهٔ ۱: ربع چهارم
  2. گزینهٔ ۲: ربع دوم
  3. گزینهٔ ۳: ربع اول
  4. گزینهٔ ۴: ربع سوم
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱

پاسخ تشریحی

از sin⁡θcos⁡θ<0\sin\theta\cos\theta<0 نتیجه می‌شود سینوس و کسینوس مخالف علامت‌اند؛ بنابراین زاویه در ربع دوم یا چهارم است. در ربع دوم، سینوس مثبت و تانژانت منفی است، پس حاصل‌ضرب آن‌ها منفی می‌شود و شرط دوم برقرار نیست. در ربع چهارم، سینوس و تانژانت هر دو منفی‌اند و حاصل‌ضرب آن‌ها مثبت است؛ ضمن آنکه کسینوس مثبت است و شرط نخست نیز برقرار می‌ماند. پس زاویه در ربع چهارم قرار دارد. (صفحه‌های ۳۲، ۳۷ و ۳۸)
پاسخ: گزینهٔ ۱

نمونه سوال ۸

تولید هوش مصنوعی

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

زاویهٔ θ\theta در ربع سوم قرار دارد و sin⁡θ+2cos⁡θ=−5\sin\theta+2\cos\theta=-\sqrt{5} است. مقدار tan⁡θ\tan\theta کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 22
  2. گزینهٔ ۲: −2-2
  3. گزینهٔ ۳: 12\dfrac{1}{2}
  4. گزینهٔ ۴: −12-\dfrac{1}{2}
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳

پاسخ تشریحی

می‌گذاریم x=cos⁡θx=\cos\theta و y=sin⁡θy=\sin\theta. چون نقطهٔ (x,y)(x,y) روی دایرهٔ مثلثاتی است، از فیثاغورس x2+y2=1x^2+y^2=1 به دست می‌آید. همچنین y+2x=−5y+2x=-\sqrt{5}، پس y=−5−2xy=-\sqrt{5}-2x. با جای‌گذاری داریم x2+(−5−2x)2=1x^2+(-\sqrt{5}-2x)^2=1؛ یعنی 5x2+45x+4=05x^2+4\sqrt{5}x+4=0. این معادله به صورت (5x+2)2=0(\sqrt{5}x+2)^2=0 نوشته می‌شود؛ بنابراین x=−25x=-\frac{2}{\sqrt{5}} و سپس y=−15y=-\frac{1}{\sqrt{5}}. هر دو مؤلفه با ربع سوم سازگارند و tan⁡θ=yx=12\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{1}{2}. (صفحه‌های ۳۱، ۳۲، ۳۶ و ۳۸)
پاسخ: گزینهٔ ۳

نمونه سوال ۹

تولید هوش مصنوعی

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

در یک مثلث قائم‌الزاویه، تانژانت یکی از زاویه‌های حاده برابر 512\frac{5}{12} و اختلاف طول دو ضلع قائم برابر 1414 واحد است. محیط مثلث چند واحد است؟

  1. گزینهٔ ۱: 6060
  2. گزینهٔ ۲: 3434
  3. گزینهٔ ۳: 6868
  4. گزینهٔ ۴: 2626
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱

پاسخ تشریحی

طبق تعریف تانژانت، نسبت ضلع مقابل زاویه به ضلع مجاور آن برابر 512\frac{5}{12} است؛ پس می‌توان طول دو ضلع قائم را 5k5k و 12k12k در نظر گرفت (صفحه‌های ۳۱–۳۲). از اختلاف طول آن‌ها داریم 12k−5k=1412k-5k=14، بنابراین k=2k=2 و طول دو ضلع قائم برابر 1010 و 2424 است. با استفاده از فیثاغورس، مانند محاسبهٔ وتر در فعالیت صفحهٔ ۴۲، طول وتر برابر 102+242=676=26\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{676}=26 می‌شود. در نتیجه محیط مثلث برابر 10+24+26=6010+24+26=60 واحد است. پاسخ: گزینهٔ ۱

نمونه سوال ۱۰

تولید هوش مصنوعی

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

برای زاویهٔ θ\theta که در یکی از چهار ناحیهٔ مثلثاتی قرار دارد، روابط sin⁡θ=a−1\sin\theta=a-1 و cos⁡θ=2a−1\cos\theta=2a-1 برقرار است. مقدار aa کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 11
  2. گزینهٔ ۲: −15-\frac{1}{5}
  3. گزینهٔ ۳: 15\frac{1}{5}
  4. گزینهٔ ۴: 65\frac{6}{5}
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳

پاسخ تشریحی

با استفاده از اتحاد اصلی مثلثاتی داریم (a−1)2+(2a−1)2=1(a-1)^2+(2a-1)^2=1 (صفحهٔ ۴۲). پس 5a2−6a+1=05a^2-6a+1=0 و با تجزیه، (5a−1)(a−1)=0(5a-1)(a-1)=0 به دست می‌آید. بنابراین a=1a=1 یا a=15a=\frac{1}{5} است. اگر a=1a=1 باشد، آنگاه sin⁡θ=0\sin\theta=0 و cos⁡θ=1\cos\theta=1؛ در نتیجه نقطهٔ انتهایی روی محور افقی است و زاویه در هیچ‌یک از چهار ناحیه قرار نمی‌گیرد (صفحهٔ ۳۷). برای a=15a=\frac{1}{5}، داریم sin⁡θ=−45\sin\theta=-\frac{4}{5} و cos⁡θ=−35\cos\theta=-\frac{3}{5} که با نقطه‌ای در ربع سوم سازگار است (صفحه‌های ۳۷–۳۹). پاسخ: گزینهٔ ۳

نمونه سوال ۱۱

تولید هوش مصنوعی

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

زاویهٔ θ\theta در ربع دوم قرار دارد و دو شرط tan⁡θ+cot⁡θ=−103\tan\theta+\cot\theta=-\frac{10}{3} و sin⁡θ+cos⁡θ<0\sin\theta+\cos\theta<0 برقرارند. مقدار عبارت 1+sin⁡θcos⁡θ−cos⁡θ1+sin⁡θ\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}-\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: −6-6
  2. گزینهٔ ۲: −23-\frac{2}{3}
  3. گزینهٔ ۳: −13-\frac{1}{3}
  4. گزینهٔ ۴: 23\frac{2}{3}
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۲

پاسخ تشریحی

در ربع دوم، sin⁡θ>0\sin\theta>0 و cos⁡θ<0\cos\theta<0 است (صفحهٔ ۳۷). شرط sin⁡θ+cos⁡θ<0\sin\theta+\cos\theta<0 نشان می‌دهد sin⁡θ<−cos⁡θ\sin\theta<-\cos\theta؛ بنابراین −1<tan⁡θ<0-1<\tan\theta<0. اکنون با قرار دادن t=tan⁡θt=\tan\theta و استفاده از cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta} داریم t+1t=−103t+\frac{1}{t}=-\frac{10}{3} (صفحه‌های ۳۱–۳۲). پس 3t2+10t+3=03t^2+10t+3=0، یعنی (3t+1)(t+3)=0(3t+1)(t+3)=0. از دو ریشهٔ −13-\frac{1}{3} و −3-3، فقط t=−13t=-\frac{1}{3} در بازهٔ لازم قرار دارد. برای ساده‌سازی عبارت، با استفاده از اتحاد اصلی می‌نویسیم: 1+sin⁡θcos⁡θ−cos⁡θ1+sin⁡θ=(1+sin⁡θ)2−cos⁡2θcos⁡θ(1+sin⁡θ)=2sin⁡θ(1+sin⁡θ)cos⁡θ(1+sin⁡θ)=2tan⁡θ\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}-\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}=\frac{(1+\sin\theta)^2-\cos^2\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)}=\frac{2\sin\theta(1+\sin\theta)}{\cos\theta(1+\sin\theta)}=2\tan\theta (صفحه‌های ۴۲–۴۴). مخرج‌ها در ربع دوم ناصفرند؛ در نتیجه مقدار عبارت برابر 2×(−13)=−232\times(-\frac{1}{3})=-\frac{2}{3} است. پاسخ: گزینهٔ ۲

سوالات کنکور تجربی از این فصل

۱۴ سوال · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی ۱۴۰۴ نوبت دوم · سوال ۸

کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت دوم · سوال ۸ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

این سوال در دفترچه شکل دارد؛ این‌جا شکل به‌صورت متنی توصیف شده است.

نقطه S(a,3)S(a, 3) روی نیم‌دایره شکل زیر داده شده است. اگر طول وتر PSPS برابر شعاع نیم‌دایره باشد، مقدار aa کدام است؟

شکل: نیم‌دایره‌ای در بالای محور x با مرکز مبدأ مختصات O؛ انتهای راست قطر نیم‌دایره نقطهٔ P روی محور x است. نقطهٔ S روی کمان نیم‌دایره در ناحیهٔ اول (با عرض 3) قرار دارد و وتر PS رسم شده است. محورهای x و y رسم شده‌اند.

  1. گزینهٔ ۱: 11
  2. گزینهٔ ۲: 12\frac{1}{2}
  3. گزینهٔ ۳: 3\sqrt{3}
  4. گزینهٔ ۴: 32\frac{\sqrt{3}}{2}
نمایش پاسخ

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی این سوال

ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم · سوال ۱۰

کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم · سوال ۱۰ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

این سوال در دفترچه شکل دارد؛ این‌جا شکل به‌صورت متنی توصیف شده است.

در شکل زیر، مقدار cot⁡α\cot\alpha کدام است؟

شکل: یک مستطیل که ضلع عمودی سمت چپ آن برابر ۲ است و ضلع پایین آن به دو قسمت مساوی هر کدام به طول ۲ تقسیم شده است. در گوشهٔ پایین-چپ زاویهٔ قائمه (مربع کوچک) وجود دارد. از گوشهٔ بالا-چپ مستطیل دو پاره‌خط رسم شده است: یکی به وسط ضلع پایین (فاصلهٔ ۲ از گوشهٔ پایین-چپ) و دیگری به گوشهٔ پایین-راست (قطر مستطیل). زاویهٔ بین این دو پاره‌خط در رأس بالا-چپ با α\alpha مشخص شده است.

  1. گزینهٔ ۱: 11
  2. گزینهٔ ۲: 33
  3. گزینهٔ ۳: 12\frac{1}{2}
  4. گزینهٔ ۴: 13\frac{1}{3}
نمایش پاسخ

پاسخ درست: گزینهٔ ۲ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی این سوال

ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم · سوال ۱۱

کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم · سوال ۱۱ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

مثلث ABC، با اضلاع 3\sqrt{3} و ۶ و α\alpha (زاویه بین آنها) قابل رسم است. اگر مساحت این مثلث ۴/۵ باشد، بیشترین مقدار α\alpha چند برابر کمترین مقدار α\alpha است؟

  1. گزینهٔ ۱: ۲
  2. گزینهٔ ۲: ۳
  3. گزینهٔ ۳: ۴
  4. گزینهٔ ۴: ۵
نمایش پاسخ

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی این سوال

ریاضی ۱۴۰۳ نوبت اول · سوال ۱۱

کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت اول · سوال ۱۱ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

این سوال در دفترچه شکل دارد؛ این‌جا شکل به‌صورت متنی توصیف شده است.

در شکل زیر، مثلث ABCABC متساوی‌الساقین است. مقدار tan⁡α\tan\alpha کدام است؟

شکل: مثلث ABCABC با رأس AA در بالا، BB در پایین سمت چپ و CC در پایین سمت راست. نقطه‌ای روی ضلع BCBC نزدیک CC قرار دارد (نامگذاری نشده) و از AA به آن نقطه پاره‌خط رسم شده است. زاویه α\alpha در این نقطه بین پاره‌خط رسم‌شده و بخش سمت راست BCBC علامت‌گذاری شده است. طول ضلع ACAC برابر ۴ است. طول پاره‌خط از BB تا آن نقطه ۵ و از آن نقطه تا CC برابر ۱ است.

  1. گزینهٔ ۱: −25-\frac{2}{5}
  2. گزینهٔ ۲: 25\frac{2}{5}
  3. گزینهٔ ۳: −72-\frac{\sqrt{7}}{2}
  4. گزینهٔ ۴: 72\frac{\sqrt{7}}{2}
نمایش پاسخ

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی این سوال

ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم · سوال ۱۲

کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم · سوال ۱۲ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

اگر 3sin⁡2x+acos⁡2x=43\sin^2 x + a\cos^2 x = 4 باشد، cot⁡2x\cot^2 x با کدام مورد برابر است؟

  1. گزینهٔ ۱: 1a−4\frac{1}{a-4}
  2. گزینهٔ ۲: 14−a\frac{1}{4-a}
  3. گزینهٔ ۳: 1a−3\frac{1}{a-3}
  4. گزینهٔ ۴: 13−a\frac{1}{3-a}
نمایش پاسخ

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی این سوال

ریاضی ۱۴۰۴ نوبت اول · سوال ۲۸

کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت اول · سوال ۲۸ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

این سوال در دفترچه شکل دارد؛ این‌جا شکل به‌صورت متنی توصیف شده است.

در نیم‌دایرهٔ زیر، اگر sin⁡α=0/8\sin\alpha=0/8 باشد، مقدار BEEF\frac{BE}{EF} کدام است؟

شکل: نیم‌دایره با قطر ACAC و مرکز OO. نقطهٔ BB روی کمان و FF روی کمان بالای OO به طوری که OFOF بر ACAC عمود است. پاره‌خط‌های ABAB و BCBC رسم شده‌اند. نقطهٔ EE محل برخورد BCBC و OFOF است. زاویهٔ α\alpha در رأس AA بین ACAC و ABAB مشخص شده است.

  1. گزینهٔ ۱: ۱/۲
  2. گزینهٔ ۲: ۱/۳
  3. گزینهٔ ۳: ۱/۴
  4. گزینهٔ ۴: ۱/۵
نمایش پاسخ

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی این سوال

تجربی ۱۴۰۱ · سوال ۱۱۳

کنکور تجربی ۱۴۰۱ · سوال ۱۱۳ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

اگر 2sin⁡2x+cos⁡2x=432\sin^2 x+\cos^2 x=\frac{4}{3} باشد، حاصل tan⁡2x\tan^2 x کدام است؟ (x≠0)(x\neq 0)

  1. گزینهٔ ۱: 32\frac{3}{2}
  2. گزینهٔ ۲: 23\frac{2}{3}
  3. گزینهٔ ۳: 12\frac{1}{2}
  4. گزینهٔ ۴: 14\frac{1}{4}
نمایش پاسخ

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی این سوال

تجربی ۱۴۰۵ · سوال ۱۱۵

کنکور تجربی ۱۴۰۵ · سوال ۱۱۵ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

اگر tan⁡x−cot⁡x=27\sqrt{\tan x}-\sqrt{\cot x}=\frac{2}{\sqrt{7}} و x در ربع سوم باشد، حاصل sin⁡x−cos⁡x\sin x-\cos x کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 132\frac{1}{3}\sqrt{2}
  2. گزینهٔ ۲: −123-\frac{1}{2}\sqrt{3}
  3. گزینهٔ ۳: 123\frac{1}{2}\sqrt{3}
  4. گزینهٔ ۴: −132-\frac{1}{3}\sqrt{2}
نمایش پاسخ

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی این سوال

تجربی ۱۴۰۵ · سوال ۱۱۶

کنکور تجربی ۱۴۰۵ · سوال ۱۱۶ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

در مثلث ABC اندازه زوایای ACB^\hat{ACB} و ABC^\hat{ABC} به‌ترتیب ۴۵ و ۳۰ درجه است. اگر AB=6AB=6 باشد، طول ضلع BC کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 3(1+2)3(1+\sqrt{2})
  2. گزینهٔ ۲: 3(1+3)3(1+\sqrt{3})
  3. گزینهٔ ۳: 4(1+2)4(1+\sqrt{2})
  4. گزینهٔ ۴: 4(1+3)4(1+\sqrt{3})
نمایش پاسخ

پاسخ درست: گزینهٔ ۲ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی این سوال

تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم · سوال ۱۱۹

کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم · سوال ۱۱۹ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

در یک لوزی، اندازهٔ هر ضلع برابر جذر حاصل‌ضرب طول قطرها است. اگر AA و BB دو زاویهٔ مجاور لوزی باشند، مقدار مثبت تانژانت (A−B2)(\frac{A-B}{2}) کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 3\sqrt{3}
  2. گزینهٔ ۲: 13\frac{1}{\sqrt{3}}
  3. گزینهٔ ۳: 13\frac{1}{3}
  4. گزینهٔ ۴: ۳
نمایش پاسخ

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی این سوال

تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول · سوال ۱۲۰

کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول · سوال ۱۲۰ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

خط 2mx+(m2−1)y=32mx+(m^2-1)y=3، به ازای دو مقدار mm با جهت مثبت محور xها زاویه 6060 درجه می‌سازد. اختلاف مقادیر mm کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 232\sqrt{3}
  2. گزینهٔ ۲: 434\sqrt{3}
  3. گزینهٔ ۳: 23\frac{2}{\sqrt{3}}
  4. گزینهٔ ۴: 43\frac{4}{\sqrt{3}}
نمایش پاسخ

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی این سوال

تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول · سوال ۱۲۲

کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول · سوال ۱۲۲ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

این سوال در دفترچه شکل دارد؛ این‌جا شکل به‌صورت متنی توصیف شده است.

در شکل زیر، اختلاف مساحت‌های ABCABC و ADEADE برابر ۱/۷۵ است. tan⁡A^\tan\hat{A} کدام مقدار زیر است؟

شکل: مثلثی با رأس A در بالا. از A دو ضلع به پایین می‌رود: ضلع سمت چپ شامل نقاط B و D (به ترتیب A، B، D) و ضلع سمت راست شامل نقاط E و C (به ترتیب A، E، C). طول AB برابر ۵، طول BD برابر ۲، طول AE برابر ۴ و طول EC برابر ۳ است. پاره‌خط‌های BC و DE رسم شده‌اند و یکدیگر را قطع می‌کنند. مثلث‌های ABC و ADE مورد نظرند.

  1. گزینهٔ ۱: 12\frac{1}{\sqrt{2}}
  2. گزینهٔ ۲: 13\frac{1}{\sqrt{3}}
  3. گزینهٔ ۳: 3\sqrt{3}
  4. گزینهٔ ۴: 2\sqrt{2}
نمایش پاسخ

پاسخ درست: گزینهٔ ۲ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی این سوال

تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم · سوال ۱۲۲

کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم · سوال ۱۲۲ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

در یک متوازی‌الاضلاع به مساحت ۵۴، نسبت دو ضلع مجاور ۲ به ۳ است. اگر زاویه بزرگ‌تر بین دو ضلع مجاور ۱۵۰ درجه باشد، محیط متوازی‌الاضلاع کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 3030
  2. گزینهٔ ۲: 1515
  3. گزینهٔ ۳: 15215\sqrt{2}
  4. گزینهٔ ۴: 30230\sqrt{2}
نمایش پاسخ

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی این سوال

تجربی ۱۴۰۰ · سوال ۱۵۵

کنکور تجربی ۱۴۰۰ · سوال ۱۵۵ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

این سوال در دفترچه شکل دارد؛ این‌جا شکل به‌صورت متنی توصیف شده است.

در شکل زیر مثلث ABCABC متساوی‌الساقین و طول ساق ACAC برابر 66 است. مساحت مثلث OHCOHC، کدام است؟

شکل: مثلث متساوی‌الساقین ABC با رأس A در بالا، B پایین چپ و C پایین راست. زاویهٔ B برابر 75° است. ارتفاع AH بر BC عمود است (H روی BC، با علامت زاویهٔ قائمه). از C عمودی بر ضلع AB رسم شده که پای آن H' روی AB است (با علامت زاویهٔ قائمه). این دو ارتفاع در نقطهٔ O یکدیگر را قطع می‌کنند. مثلث OHC هاشور خورده است.

  1. گزینهٔ ۱: 23\frac{2}{3}
  2. گزینهٔ ۲: 43\frac{4}{3}
  3. گزینهٔ ۳: 187+43\frac{18}{7+4\sqrt{3}}
  4. گزینهٔ ۴: 97+43\frac{9}{7+4\sqrt{3}}
نمایش پاسخ

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی این سوال

فصل ۲ را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi همین فصل صفحهٔ خودش را دارد: تمرین و آزمون زمان‌دار از سوال‌های همین فصل، و «از کتاب بپرس» که جوابش را از متن کتاب با شمارهٔ صفحه می‌آورد. جوابت ثبت می‌شود و سوالی که غلط زدی برای مرور برمی‌گردد. تمرین و آزمون رایگان است؛ «از کتاب بپرس» سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

شروع رایگانتمرین فصل ۲

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

فصل ۲ ریاضی دهم · رایگان

شروع رایگان
تمرین فصل ۲