سوالات ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

برای تشخیص دنبالهٔ هندسی، نسبت جمله‌های متوالی را بررسی می‌کنیم؛ این نسبت باید تعریف‌شده و ثابت باشد. روش تعیین قدر نسبت در فعالیت‌های کتاب نیز بر همین اساس است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۲۶–۲۷). در قرارداد موردنظر این سؤال، دنباله‌های دارای جملهٔ صفر، که نسبت‌های متوالی در آنها تعریف نمی‌شود، هندسی محسوب نمی‌شوند.

نکتهٔ اصلی سؤال، توجه به واژهٔ «همواره» و دامنهٔ مجاز $a$ در هر گزینه است.

بررسی گزینهٔ ۲:
وجود جملهٔ $\frac{1}{a}$ نشان می‌دهد که از ابتدا باید $a\ne0$ باشد تا جمله‌های دنباله حقیقی و تعریف‌شده باشند. بنابراین می‌توان نوشت:
$\frac{t_2}{t_1}=\frac{1}{a}$
و
$\frac{t_3}{t_2}=\frac{\frac{1}{a}}{1}=\frac{1}{a}$.
پس برای هر مقدار مجاز پارامتر، نسبت‌های متوالی برابر و ناصفرند و دنباله با قدر نسبت $r=\frac{1}{a}$ هندسی است.

چرا گزینه‌های دیگر «همواره» هندسی نیستند؟

• گزینهٔ ۱: برای $a\ne0$، نسبت‌های متوالی برابر $a$ هستند؛ اما $a=0$ نیز در عبارت‌های این گزینه مجاز است. در این حالت دنبالهٔ $0,0,0,\dots$ به‌دست می‌آید و نسبت $\frac{0}{0}$ تعریف نشده است.
• گزینهٔ ۳: با قرار دادن $a=0$، سه جملهٔ نخست $0,0,1$ می‌شوند. هیچ ضریب ثابتی نمی‌تواند جملهٔ دوم، یعنی صفر، را به جملهٔ سوم، یعنی یک، تبدیل کند.
• گزینهٔ ۴: با قرار دادن $a=0$، دنبالهٔ $1,0,0,\dots$ حاصل می‌شود. نسبت جملهٔ سوم به دوم، یعنی $\frac{0}{0}$، تعریف نشده است؛ بنابراین طبق قرارداد موردنظر، این گزینه نیز همواره هندسی نیست.

در نتیجه، فقط در گزینهٔ ۲ شرط تعریف‌شدن خود عبارت‌ها، حالت مسئله‌ساز $a=0$ را کنار می‌گذارد و برای همهٔ مقادیر مجاز، دنباله هندسی است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

برای پرهیز از محاسبهٔ مستقیم توان‌های ریشه، ابتدا عبارت جبری را با اتحادها ساده می‌کنیم؛ استفاده از اتحادها برای تجزیه و محاسبهٔ عبارت‌ها در تمرین‌های کتاب نیز مطرح شده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۶۶–۶۸).

گام اول: تجزیهٔ صورت و مخرج

با اتحاد مکعب دوجمله‌ای داریم:
$3(2x+1)^3=3(8x^3+12x^2+6x+1)=24x^3+36x^2+18x+3$.

همچنین از اتحاد مربع دوجمله‌ای:
$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$.

بنابراین، چون $x$ مثبت است و $2x+1\ne0$، عبارت داده‌شده برابر است با:
$\frac{3(2x+1)^3}{\big((2x+1)^2\big)^2}=\frac{3(2x+1)^3}{(2x+1)^4}=\frac{3}{2x+1}$.

گام دوم: استفاده از معادلهٔ داده‌شده

از $x^2+x=1$ نتیجه می‌گیریم:
$(2x+1)^2=4(x^2+x)+1=4\times1+1=5$.

چون $x>0$، عبارت $2x+1$ مثبت است؛ پس ریشهٔ مثبت را انتخاب می‌کنیم:
$2x+1=\sqrt{5}$.

این انتخاب علامت، مطابق مفهوم ریشه‌های دومِ عدد مثبت است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۵۵–۵۶).

گام سوم: گویا کردن مخرج

طبق روش گویا کردن مخرج، صورت و مخرج را در رادیکال مناسب ضرب می‌کنیم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۶۵–۶۶):
$\frac{3}{2x+1}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}=0.6\sqrt{5}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

شعاع نیم‌دایره را $r$ می‌نامیم. چون $O$ مرکز و $P$ و $S$ روی نیم‌دایره‌اند، داریم:
$OP=OS=r$.
از طرف دیگر، طبق فرض سؤال $PS=r$ است؛ پس:
$OP=OS=PS$.
بنابراین مثلث $OPS$ متساوی‌الاضلاع است.

از نقطهٔ $S$ بر محور افقی عمود رسم می‌کنیم و پای آن را $H$ می‌نامیم. چون $S(a,3)$ در ناحیهٔ اول قرار دارد، داریم:
$H=(a,0),\qquad OH=a,\qquad SH=3$.
ارتباط مختصات نقطه با تصویر آن روی محورهای مختصات در فعالیت دایرهٔ مثلثاتی بررسی شده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۶).

در مثلث متساوی‌الاضلاع، ارتفاع همان میانه است؛ بنابراین $H$ وسط $OP$ است و:
$OH=\frac{OP}{2}\Rightarrow a=\frac{r}{2}\Rightarrow r=2a$.

اکنون در مثلث قائم‌الزاویهٔ $OHS$ از قضیهٔ فیثاغورس استفاده می‌کنیم؛ کاربرد این قضیه برای یافتن مختصات نقطه روی دایره نیز در کتاب آمده است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۸–۳۹):
$OH^2+SH^2=OS^2$.
پس:
$a^2+3^2=(2a)^2$
$\Rightarrow a^2+9=4a^2$
$\Rightarrow 3a^2=9$
$\Rightarrow a^2=3$.

چون $S$ در ناحیهٔ اول است، طول افقی آن مثبت است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۷)؛ در نتیجه:
$a=\sqrt{3}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳