نمونه سوال فصل ۴ حسابان دوازدهم با جواب

خط $d$ موازی محور $x$ها، قرینهٔ سهمی $y=x^2+1$ نسبت به محور $x$ها را در دو نقطه قطع می‌کند و مماس‌های رسم‌شده در این نقاط بر هم عمودند. فاصلهٔ خط $d$ از مبدأ مختصات کدام است؟

اگر $f(x)=\sqrt{x+8}-\sqrt{x}$ و $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x+8}+\sqrt{x}}$ باشد، حاصل عبارت $f'(1)g(1)-g'(1)f(1)$ کدام است؟

اگر $f(x)=\frac{8+\cos^3 x}{4-\cos^2 x}$ و $g(x)=\frac{2}{2-\cos x}$ باشد، حاصل عبارت $f'(\frac{7\pi}{6})-2g'(\frac{7\pi}{6})$ کدام است؟

به ازای چند مقدار صحیح $m$، تابع $f(x)=\begin{cases}b & x<a\\ b+(x-a)^m & x\ge a\end{cases}$ دارای نقطه گوشه‌ای است؟

اگر $\alpha$ زاویهٔ خط مماس بر نمودار تابع $y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ در نقطهٔ $(-1,-1)$ با جهت مثبت محور $x$ها باشد، حاصل عبارت $A=3\sin\alpha+4\cos\alpha$ کدام است؟

بازای هر مقدار حقیقی و ناصفر $a$، تابع $f(x)=\begin{cases}bx+c & x<a\\ \frac{1}{x} & x\geq a\end{cases}$ روی $\mathbb{R}$ مشتق‌پذیر است. مقدار $ac$ کدام است؟

نمودار تابع $f$ و خط مماس بر آن در نقطهٔ $(3,5)$ در شکل زیر رسم شده است. مقدار $f'(3)$ کدام است؟

شکل: دستگاه مختصات با محور افقی و قائم. نمودار تابع $f$ منحنی صعودی و مقعر (رو به پایین) است و خط مماس بر آن در نقطهٔ $(3,5)$ رسم شده است. این خط مماس محور عمودی را در نقطهٔ با عرض 1 قطع می‌کند (عدد 1 روی محور عمودی نوشته شده است).

تابع $f$ با ضابطهٔ $f(x)=\begin{cases}2bx+c & x>a\\ 3x^2 & x\le a\end{cases}$ روی $\mathbb{R}$ مشتق‌پذیر است. مقدار $a^3+b-c$ کدام است؟

تابع $f$ با ضابطهٔ $f(x)=\begin{cases} a+\sqrt{x^2} & x<1 \\ b\sqrt[3]{x^2} & x\geq 1 \end{cases}$ در $\mathbb{R}$ پیوسته است. اگر $f$ فقط در یک نقطه مشتق‌پذیر نباشد، مقدار $a+b$ کدام است؟