سوال ۱ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

برای تشخیص دنبالهٔ هندسی، نسبت جمله‌های متوالی را بررسی می‌کنیم؛ این نسبت باید تعریف‌شده و ثابت باشد. روش تعیین قدر نسبت در فعالیت‌های کتاب نیز بر همین اساس است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۲۶–۲۷). در قرارداد موردنظر این سؤال، دنباله‌های دارای جملهٔ صفر، که نسبت‌های متوالی در آنها تعریف نمی‌شود، هندسی محسوب نمی‌شوند.

نکتهٔ اصلی سؤال، توجه به واژهٔ «همواره» و دامنهٔ مجاز $a$ در هر گزینه است.

بررسی گزینهٔ ۲:
وجود جملهٔ $\frac{1}{a}$ نشان می‌دهد که از ابتدا باید $a\ne0$ باشد تا جمله‌های دنباله حقیقی و تعریف‌شده باشند. بنابراین می‌توان نوشت:
$\frac{t_2}{t_1}=\frac{1}{a}$
و
$\frac{t_3}{t_2}=\frac{\frac{1}{a}}{1}=\frac{1}{a}$.
پس برای هر مقدار مجاز پارامتر، نسبت‌های متوالی برابر و ناصفرند و دنباله با قدر نسبت $r=\frac{1}{a}$ هندسی است.

چرا گزینه‌های دیگر «همواره» هندسی نیستند؟

• گزینهٔ ۱: برای $a\ne0$، نسبت‌های متوالی برابر $a$ هستند؛ اما $a=0$ نیز در عبارت‌های این گزینه مجاز است. در این حالت دنبالهٔ $0,0,0,\dots$ به‌دست می‌آید و نسبت $\frac{0}{0}$ تعریف نشده است.
• گزینهٔ ۳: با قرار دادن $a=0$، سه جملهٔ نخست $0,0,1$ می‌شوند. هیچ ضریب ثابتی نمی‌تواند جملهٔ دوم، یعنی صفر، را به جملهٔ سوم، یعنی یک، تبدیل کند.
• گزینهٔ ۴: با قرار دادن $a=0$، دنبالهٔ $1,0,0,\dots$ حاصل می‌شود. نسبت جملهٔ سوم به دوم، یعنی $\frac{0}{0}$، تعریف نشده است؛ بنابراین طبق قرارداد موردنظر، این گزینه نیز همواره هندسی نیست.

در نتیجه، فقط در گزینهٔ ۲ شرط تعریف‌شدن خود عبارت‌ها، حالت مسئله‌ساز $a=0$ را کنار می‌گذارد و برای همهٔ مقادیر مجاز، دنباله هندسی است.

پاسخ: گزینهٔ ۲