سوال ۸ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

سوال ۸ دفترچهٔ اختصاصی کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت دوم، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۸ · ریاضی

کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت دوم · سوال ۸ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

این سوال در دفترچه شکل دارد؛ این‌جا شکل به‌صورت متنی توصیف شده است.

نقطه $S(a, 3)$ روی نیم‌دایره شکل زیر داده شده است. اگر طول وتر $PS$ برابر شعاع نیم‌دایره باشد، مقدار $a$ کدام است؟

شکل: نیم‌دایره‌ای در بالای محور x با مرکز مبدأ مختصات O؛ انتهای راست قطر نیم‌دایره نقطهٔ P روی محور x است. نقطهٔ S روی کمان نیم‌دایره در ناحیهٔ اول (با عرض 3) قرار دارد و وتر PS رسم شده است. محورهای x و y رسم شده‌اند.

گزینهٔ ۱: $1$
گزینهٔ ۲: $\frac{1}{2}$
گزینهٔ ۳: $\sqrt{3}$
گزینهٔ ۴: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

شعاع نیم‌دایره را $r$ می‌نامیم. چون $O$ مرکز و $P$ و $S$ روی نیم‌دایره‌اند، داریم:
$OP=OS=r$ .
از طرف دیگر، طبق فرض سؤال $PS=r$ است؛ پس:
$OP=OS=PS$ .
بنابراین مثلث $OPS$ متساوی‌الاضلاع است.

از نقطهٔ $S$ بر محور افقی عمود رسم می‌کنیم و پای آن را $H$ می‌نامیم. چون $S(a,3)$ در ناحیهٔ اول قرار دارد، داریم:
$H=(a,0),\qquad OH=a,\qquad SH=3$ .
ارتباط مختصات نقطه با تصویر آن روی محورهای مختصات در فعالیت دایرهٔ مثلثاتی بررسی شده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۶).

در مثلث متساوی‌الاضلاع، ارتفاع همان میانه است؛ بنابراین $H$ وسط $OP$ است و:
$OH=\frac{OP}{2}\Rightarrow a=\frac{r}{2}\Rightarrow r=2a$ .

اکنون در مثلث قائم‌الزاویهٔ $OHS$ از قضیهٔ فیثاغورس استفاده می‌کنیم؛ کاربرد این قضیه برای یافتن مختصات نقطه روی دایره نیز در کتاب آمده است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۸–۳۹):
$OH^2+SH^2=OS^2$ .
پس:
$a^2+3^2=(2a)^2$
$\Rightarrow a^2+9=4a^2$
$\Rightarrow 3a^2=9$
$\Rightarrow a^2=3$ .

چون $S$ در ناحیهٔ اول است، طول افقی آن مثبت است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۷)؛ در نتیجه:
$a=\sqrt{3}$ .

پاسخ: گزینهٔ ۳

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: ممکن است با فرض بی‌دلیلِ $r=2$ و استفاده از $a=r/2$ به این مقدار برسید؛ اما شعاع داده نشده است و حتی نمی‌تواند از عرض نقطه، یعنی $3$ ، کمتر باشد.
گزینهٔ ۲: این مقدار از اشتباه گرفتن نسبت $\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$ با طول افقی نقطه به دست می‌آید. در دایره‌ای با شعاع $r$ ، طول افقی برابر $r\cos 60^\circ$ است، نه صرفاً کسینوس زاویه.
گزینهٔ ۴: ممکن است مقدار $\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$ را به‌جای مختصهٔ افقی بنویسید. این عدد یک نسبت مثلثاتی است؛ برای تعیین مختصات باید هم شعاع دایره و هم نسبت مناسب را در نظر گرفت.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

دو پاره‌خطی که مرکز را به نقاط روی کمان وصل می‌کنند، شعاع‌اند. با توجه به شرط طول وتر، مثلثی را که این دو شعاع و وتر می‌سازند بررسی کنید.
مثلث حاصل متساوی‌الاضلاع است. از رأس بالایی بر محور افقی عمود رسم کنید؛ این عمود، ضلع مقابل را نصف می‌کند.
اگر شعاع را $r$ بنامید، از نصف شدن ضلع افقی رابطهٔ $r=2a$ به دست می‌آید. اکنون در مثلث قائم‌الزاویه‌ای با ضلع‌های قائم $a$ و $3$ ، قضیهٔ فیثاغورس را به کار ببرید.

فصل «مثلثات» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.