سوال ۴۶ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

جهت حرکت را جهت مثبت محور $x$ و لحظهٔ شروع حرکت متحرک اول را مبدأ زمان می‌گیریم. نکتهٔ اصلی این است که «مدت کاهش فاصله» با «زمان رسیدن دو متحرک» یکسان نیست.

گام اول: نوشتن معادله‌های حرکت
طبق رابطهٔ سرعت در حرکت با شتاب ثابت، $v=v_0+at$ (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۱۵). همچنین از رابطهٔ مکان $x=x_0+v_0t+\tfrac12at^2$ استفاده می‌کنیم؛ کاربرد معادلهٔ مکان برای بررسی رسیدن دو متحرک، در تمرین ۲۱ کتاب نیز مطرح شده است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحات ۲۷–۲۸).

هر دو متحرک از مبدأ مکان و از حال سکون راه می‌افتند. اگر زمان برحسب ثانیه و مکان برحسب متر باشد، برای متحرک اول داریم:
$x_1=\frac12(0.5)t^2=\frac14t^2,\qquad v_1=0.5t$.

متحرک دوم با تأخیر $3\,\mathrm{s}$ شروع می‌کند؛ بنابراین برای $t\geq3\,\mathrm{s}$:
$x_2=\frac12(2)(t-3)^2=(t-3)^2,\qquad v_2=2(t-3)$.

گام دوم: تعیین آغاز کاهش فاصله
هنگام شروع حرکت متحرک دوم، متحرک اول جلوتر است و سرعت بیشتری دارد؛ پس ابتدا فاصله افزایش می‌یابد. کاهش فاصله از زمانی آغاز می‌شود که سرعت متحرک دوم از سرعت متحرک اول بیشتر شود. مرز این دو حالت، لحظهٔ برابری سرعت‌هاست:
$0.5t=2(t-3)\Rightarrow1.5t=6\Rightarrow t=4\,\mathrm{s}$.

پس تا این لحظه فاصله افزایش می‌یابد و پس از آن، تا زمان رسیدن، فاصله کاهش می‌یابد.

گام سوم: تعیین زمان رسیدن
در لحظهٔ رسیدن، مکان دو متحرک برابر است:
$\frac14t^2=(t-3)^2$.

چون در بازهٔ مورد بررسی $t\geq3\,\mathrm{s}$ است، با گرفتن ریشهٔ مثبت دو طرف داریم:
$\frac12t=t-3\Rightarrow t=6\,\mathrm{s}$.

پس از رسیدن، متحرک دوم جلو می‌افتد و چون سرعت و شتاب بیشتری دارد، فاصله دوباره افزایش می‌یابد. بنابراین فاصله فقط در بازهٔ $4<t<6\,\mathrm{s}$ در حال کاهش است و مدت آن برابر است با:
$\Delta t=6-4=2\,\mathrm{s}$.

پاسخ: گزینهٔ ۱