سوال ۷۲ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۷۲ دفترچهٔ اختصاصی کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۷۲ · فیزیک

کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت اول · سوال ۷۲ · کلید رسمی سازمان سنجش

فیزیک · فیزیک ۱ (ریاضی) · فصل ۳: کار، انرژی و توان

پدری با پسرش می‌دود. جرم پدر دو برابر جرم پسر است ولی انرژی جنبشی او، نصف انرژی جنبشی پسرش است. اگر پدر $2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ بر تندی خود اضافه کند، انرژی جنبشی آنها برابر می‌شود. تندی اولیهٔ پدر چند متر بر ثانیه است؟

گزینهٔ ۱: $2\sqrt{2}$
گزینهٔ ۲: $4\sqrt{2}$
گزینهٔ ۳: $2\sqrt{2}+2$
گزینهٔ ۴: $\sqrt{2}+2$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

طبق رابطهٔ انرژی جنبشی، $K=\frac{1}{2}mv^2$ ؛ بنابراین برای یک جسم با جرم ثابت، انرژی جنبشی با مربع تندی متناسب است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۴).

گام اول: نسبت انرژی‌های پدر را در دو وضعیت مشخص می‌کنیم.
انرژی جنبشی اولیهٔ پدر نصف انرژی جنبشی پسر است. پس وقتی انرژی جنبشی پدر با انرژی جنبشی پسر برابر شود، انرژی جنبشی پدر نسبت به مقدار اولیه‌اش دو برابر شده است:
$\frac{K_{\text{پدر، نهایی}}}{K_{\text{پدر، اولیه}}}=2$ .
در این مقایسه، جرم پدر ثابت است؛ بنابراین نیازی به استفاده از نسبت جرم پدر و پسر نداریم.

گام دوم: نسبت انرژی‌ها را برحسب تندی می‌نویسیم.
اگر تندی اولیهٔ پدر $v$ باشد، تندی نهایی او $v+2\,\mathrm{m/s}$ خواهد بود. در نتیجه:
$\frac{\frac{1}{2}m_{\text{پدر}}(v+2\,\mathrm{m/s})^2}{\frac{1}{2}m_{\text{پدر}}v^2}=2$
و با حذف عوامل مشترک:
$\left(\frac{v+2\,\mathrm{m/s}}{v}\right)^2=2$ .

گام سوم: معادله را حل می‌کنیم.
چون تندی‌ها مثبت‌اند، ریشهٔ مثبت را می‌گیریم:
$v+2\,\mathrm{m/s}=\sqrt{2}v$ .
پس:
$(\sqrt{2}-1)v=2\,\mathrm{m/s}$
و با گویاکردن مخرج:
$v=\frac{2}{\sqrt{2}-1}\,\mathrm{m/s}=\frac{2(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}\,\mathrm{m/s}=(2\sqrt{2}+2)\,\mathrm{m/s}$ .

پاسخ: گزینهٔ ۳

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: ممکن است هنگام گویاکردن مخرج، جملهٔ ثابتِ حاصل حذف شود و مقدار $2\sqrt{2}$ به دست آید. اما با این تندی، نسبت انرژی جنبشی نهایی پدر به انرژی جنبشی اولیهٔ او برابر $\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$ است، نه $2$ .
گزینهٔ ۲: این مقدار ممکن است از اشتباه در ساده‌سازی عبارتِ تندی یا واردکردن دوبارهٔ نسبت جرم‌ها به دست آید. نسبت جرم‌ها هنگام مقایسهٔ انرژی‌های پدر در دو وضعیت حذف می‌شود؛ همچنین $v=4\sqrt{2}\,\mathrm{m/s}$ شرط $v+2\,\mathrm{m/s}=\sqrt{2}v$ را برقرار نمی‌کند.
گزینهٔ ۴: ممکن است در بسط $2(\sqrt{2}+1)$ ، ضریب $2$ فقط در جملهٔ ثابت ضرب شود و عبارت $\sqrt{2}+2$ به دست آید. ضریب بیرون پرانتز باید در هر دو جمله ضرب شود.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

رابطهٔ انرژی جنبشی را از بخش «انرژی جنبشی» به یاد آورید: برای یک جسم با جرم ثابت، انرژی جنبشی با مربع تندی متناسب است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۴).
چون انرژی جنبشی اولیهٔ پدر نصف انرژی جنبشی پسر است، برای برابرشدن انرژی‌ها، انرژی جنبشی پدر باید دو برابر شود؛ تندی پسر تغییری نمی‌کند.
اگر تندی اولیهٔ پدر را $v$ بنامید، نسبت انرژی جنبشی نهایی به اولیهٔ او را به صورت $\left(\frac{v+2\,\mathrm{m/s}}{v}\right)^2=2$ بنویسید. از دو طرف ریشهٔ مثبت بگیرید و معادله را برای $v$ حل کنید.

فصل «کار، انرژی و توان» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.