سوال ۴۸ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

۱. تعیین معادلهٔ مکان ذرهٔ $A$

سرعت این ذره، $v_A=2t-12$، با زمان رابطهٔ خطی دارد؛ بنابراین حرکت آن با شتاب ثابت است و داریم:
$a_A=2\,\mathrm{m/s^2},\qquad v_{0A}=-12\,\mathrm{m/s}$

با استفاده از رابطهٔ مکان در حرکت با شتاب ثابت، $x=x_0+v_0t+\frac12at^2$، معادلهٔ مکان ذرهٔ اول در SI چنین است:
$x_A=x_{0A}-12t+t^2$

این روش همان کاربرد معادلهٔ مکان ـ زمان در حرکت با شتاب ثابت است که در تمرین‌های کتاب نیز مطرح می‌شود (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۲۷–۲۸).

شرط داده‌شدهٔ مسئله، $x_A(1)=9\,\mathrm{m}$، را جای‌گذاری می‌کنیم:
$9=x_{0A}-12+1\quad\Rightarrow\quad x_{0A}=20\,\mathrm{m}$

پس، با بیان مکان بر حسب متر و زمان بر حسب ثانیه:
$x_A=t^2-12t+20$

۲. تعیین معادلهٔ مکان ذرهٔ $B$

در حرکت با سرعت ثابت، معادلهٔ مکان برابر $x=vt+x_0$ است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳). برای این ذره، سرعت منفی و مکان اولیه صفر است؛ بنابراین در SI:
$x_B=-3t$

۳. نوشتن شرط فاصله

در حرکت روی یک محور، اختلاف مختصات، جابه‌جایی جهت‌دار را مشخص می‌کند و فاصلهٔ دو نقطه برابر قدرمطلق اختلاف مختصات آن‌هاست (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۴–۵). پس:
$d=|x_A-x_B|$

در نتیجه، با بیان فاصله بر حسب متر:
$d=|t^2-9t+20|$

شرط مسئله به شکل زیر درمی‌آید:
$|t^2-9t+20|\leq2\quad\Longleftrightarrow\quad -2\leq t^2-9t+20\leq2$

۴. حل نامعادله و محاسبهٔ مدت‌زمان

ابتدا توجه می‌کنیم که:
$t^2-9t+20=\left(t-\frac92\right)^2-\frac14\geq-\frac14$

بنابراین کران پایین، یعنی $t^2-9t+20\geq-2$، همواره برقرار است. کافی است کران بالا را حل کنیم:
$t^2-9t+20\leq2$
$t^2-9t+18\leq0$
$(t-3)(t-6)\leq0$

پس فاصلهٔ دو ذره در تمام بازهٔ $3\,\mathrm{s}\leq t\leq6\,\mathrm{s}$ کمتر یا مساوی $2\,\mathrm{m}$ است. طول این بازه برابر است با:
$\Delta t=6-3=3\,\mathrm{s}$

پاسخ: گزینهٔ ۳