سوال ۵۶ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

گام اول ـ تعیین طول موج:
در تار دوسرثابت، هر شکم متناظر با نیم طول موج است؛ پس برای نقش دارای $n$ شکم داریم $L=n\lambda/2$ (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۱۰۶–۱۰۷). در این سؤال $n=2$ و $L=80\,\mathrm{cm}=0.80\,\mathrm{m}$ است؛ بنابراین:
$\lambda=\frac{2L}{n}=\frac{2\times0.80}{2}=0.80\,\mathrm{m}$

گام دوم ـ محاسبهٔ تندی موج:
از رابطهٔ تندی، بسامد و طول موج استفاده می‌کنیم:
$v=f\lambda=250\times0.80=200\,\mathrm{m/s}$

گام سوم ـ ارتباط سطح مقطع با کشش تار:
طبق رابطهٔ به‌کاررفته در مثال کتاب، تندی موج عرضی در تار برابر $v=\sqrt{F/\mu}$ است که در آن $\mu=m/L$ چگالی خطی جرمی تار است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۱۰۷، مثال ۴ـ۳).
چگالی داده‌شده در سؤال، چگالی حجمی است. برای تار یکنواخت با سطح مقطع $A$، حجم برابر $AL$ است؛ پس:
$\mu=\frac{m}{L}=\frac{\rho AL}{L}=\rho A$
بنابراین:
$v^2=\frac{F}{\rho A}\quad\Rightarrow\quad A=\frac{F}{\rho v^2}$

گام چهارم ـ جای‌گذاری و تبدیل واحد:
ابتدا چگالی را به دستگاه SI تبدیل می‌کنیم:
$\rho=5\,\mathrm{g/cm^3}=5\times10^3\,\mathrm{kg/m^3}$
اکنون:
$A=\frac{300}{(5\times10^3)(200)^2}=1.5\times10^{-6}\,\mathrm{m^2}$
با توجه به اینکه $1\,\mathrm{mm^2}=10^{-6}\,\mathrm{m^2}$، داریم:
$A=1.5\,\mathrm{mm^2}$

پاسخ: گزینهٔ ۲