سوال ۲ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

در الگوی خطی، اختلاف هر دو جملهٔ متوالی ثابت است و جملهٔ عمومی را می‌توان به‌صورت $t_n=dn+b$ نوشت؛ در اینجا $d$ همان اختلاف ثابت است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۶).

گام اول: یافتن پارامتر و اختلاف ثابت

داده‌های مسئله عبارت‌اند از:
$t_4=3a+2$، $t_7=11$ و $t_9=a-4$.

از جملهٔ چهارم تا هفتم، سه گام و از جملهٔ هفتم تا نهم، دو گام فاصله داریم؛ پس:
$\frac{t_7-t_4}{7-4}=\frac{t_9-t_7}{9-7}$

با جای‌گذاری داریم:
$\frac{11-(3a+2)}{3}=\frac{(a-4)-11}{2}$

$2(9-3a)=3(a-15)$

$18-6a=3a-45\Rightarrow 9a=63\Rightarrow a=7$

بنابراین اختلاف ثابت برابر است با:
$d=\frac{t_9-t_7}{2}=\frac{(7-4)-11}{2}=-4$

گام دوم: یافتن جملهٔ عمومی

با استفاده از جملهٔ هفتم و اختلاف ثابت می‌نویسیم:
$t_n=t_7+(n-7)d=11-4(n-7)=39-4n$

این روش همان استفاده از اختلاف ثابت برای نوشتن جملهٔ عمومی دنبالهٔ حسابی است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۲۳).

گام سوم: شمارش جمله‌های مثبت

برای مثبت‌بودن جمله باید داشته باشیم:
$t_n>0\Rightarrow 39-4n>0\Rightarrow n<\frac{39}{4}=9.75$

چون شمارهٔ جمله عددی طبیعی و از $1$ به بعد است، شماره‌های مجاز عبارت‌اند از:
$n\in\{1,2,\ldots,9\}$

پس دقیقاً $9$ جمله مثبت است. برای بررسی مرز نیز داریم $t_9=3>0$ و $t_{10}=-1<0$؛ چون الگو نزولی است، تمام جمله‌های پس از جملهٔ دهم نیز منفی‌اند.

پاسخ: گزینهٔ ۲