خلاصه درس فصل ۳ هندسه دهم؛ درسنامه و نکات مهم

روی کاغذ، مسیری بسته از پاره‌خط‌ها بکش. برای چندضلعی‌بودن، هر پاره‌خط باید فقط در دو سرش به دو پاره‌خط دیگر برسد؛ دو ضلعِ متصل هم نباید روی یک خط باشند. پس مسیر باز یا شکلی با تقاطع ضلع‌ها در میانهٔ آنها، چندضلعیِ موردنظر این درس نیست. محل اتصال دو ضلع، رأس است و آن دو ضلع، مجاورند.

قطر، دو رأس غیرمجاور را وصل می‌کند. از هر رأسِ یک $n$ضلعی، نمی‌توان به خود آن رأس یا دو همسایه‌اش قطر کشید؛ پس از آن رأس $n-3$ قطر داریم. با شمردن همهٔ رأس‌ها، هر قطر دو بار شمرده می‌شود؛ بنابراین تعداد قطرها برابر است با:

$D=\frac{n(n-3)}{2}$

اگر همهٔ جفت‌رأس‌ها را به هم وصل کنیم، تعداد پاره‌خط‌ها $\frac{n(n-1)}{2}$ است؛ اینها همان ضلع‌ها و قطرها هستند.

برای تشخیص محدب‌بودن، خط هر ضلع را امتداد بده: بقیهٔ شکل باید یک‌طرف آن خط باشد. اگر این شرط حتی برای یک ضلع برقرار نباشد، شکل مقعر است؛ مثل چندضلعی‌ای با یک فرورفتگی.

در چهارضلعی، ضلع‌های غیرمجاور را مقابل می‌نامیم. اگر هر دو جفت ضلع مقابل موازی باشند، شکل متوازی‌الاضلاع است. مستطیل چهار زاویهٔ قائمه دارد؛ لوزی چهار ضلع برابر دارد؛ مربع چهار ضلع برابر و دست‌کم یک زاویهٔ قائمه دارد. هر سه، متوازی‌الاضلاع‌اند؛ پس ویژگی‌های آن را به ارث می‌برند.

در متوازی‌الاضلاع:

• ضلع‌های مقابل برابرند.
• زاویه‌های مجاور مکمل‌اند؛ یعنی مجموعشان $180^\circ$ است.
• زاویه‌های مقابل برابرند.
• قطرها منصف یکدیگرند؛ یعنی هر قطر، قطر دیگر را نصف می‌کند، نه اینکه حتماً خود دو قطر برابر باشند.

این ویژگی‌ها از موازی‌بودن ضلع‌ها و هم‌نهشتی مثلث‌های ساخته‌شده با قطرها به دست می‌آیند. مثلاً رسم یک قطر، دو مثلث هم‌نهشت می‌سازد و برابری ضلع‌های مقابل را نشان می‌دهد.

برای اثبات متوازی‌الاضلاع‌بودن هم چند راه داریم: برابر‌بودن هر دو جفت ضلع مقابل؛ مکمل‌بودن هر دو زاویهٔ مجاور؛ برابر‌بودن هر دو جفت زاویهٔ مقابل؛ یا منصف یکدیگر بودن قطرها. هرکدام به‌تنهایی کافی است. راه دیگر این است که یک جفت ضلع مقابل، هم موازی و هم برابر باشند. حواست باشد هر دو شرط باید مربوط به همان جفت ضلع باشند.

مستطیل همهٔ ویژگی‌های متوازی‌الاضلاع را دارد و یک ویژگی اضافه هم دارد: قطرهایش هم‌اندازه‌اند. برای دیدن دلیل، مستطیل $ABCD$ را در نظر بگیر. مثلث‌های $ABC$ و $BAD$ با دو ضلع برابر و زاویهٔ قائمهٔ بین آنها هم‌نهشت‌اند؛ پس $AC=BD$.

عکس این نتیجه شرط دارد: اگر شکل از قبل متوازی‌الاضلاع باشد و قطرهایش برابر باشند، مستطیل است. برابری قطرهای یک چهارضلعیِ دلخواه کافی نیست.

این ویژگی به مثلث قائم‌الزاویه هم کمک می‌کند. اگر $AM$ میانهٔ وارد بر وتر $BC$ باشد، داریم:

$AM=\frac{BC}{2}$

چرا؟ میانه را به‌اندازهٔ خودش از سمت $M$ ادامه بده. چهارضلعی حاصل، قطرهایی دارد که یکدیگر را نصف می‌کنند؛ پس متوازی‌الاضلاع است. چون زاویه‌ای قائمه دارد، مستطیل است و قطرهایش برابرند. بنابراین میانه، نصف وتر می‌شود.

عکس آن هم درست است: اگر میانهٔ وارد بر یک ضلع، نصف همان ضلع باشد، زاویهٔ روبه‌روی آن ضلع قائمه است. این راهی برای تشخیص مثلث قائم‌الزاویه، بدون محاسبهٔ زاویه‌هاست.

لوزی هم متوازی‌الاضلاع است؛ پس قطرهایش یکدیگر را نصف می‌کنند. دو ویژگی اضافه دارد: قطرها بر هم عمودند و هر قطر روی نیمساز زاویه‌های دو سر خودش قرار دارد.

برای فهمیدن دلیل، لوزی $ABCD$ را با محل برخورد قطرها، یعنی $H$، تصور کن. مثلث $ABD$ متساوی‌الساقین است، چون $AB=AD$. همچنین $H$ وسط $BD$ است. در مثلث متساوی‌الساقین، میانهٔ رأس، ارتفاع و نیمساز هم هست؛ بنابراین $AH$ هم بر $BD$ عمود است و هم زاویهٔ $A$ را نصف می‌کند. برای رأس‌های دیگر نیز همین استدلال برقرار است.

در یک متوازی‌الاضلاع، عمودبودن قطرها برای اثبات لوزی‌بودن کافی است؛ حتی قرارگرفتن یک قطر روی نیمساز یک زاویه هم کافی است. این شرطِ متوازی‌الاضلاع‌بودن را فراموش نکن.

مربع، ویژگی‌های مستطیل و لوزی را با هم دارد. پس مستطیلی با قطرهای عمود، یا لوزی‌ای با قطرهای برابر، مربع است. جک لوزی‌شکل خودرو را تصور کن: هنگام بازشدن، طول بازوها ثابت است، ولی زاویه‌ها تغییر می‌کنند؛ فقط در حالت قائمه، شکل مربع می‌شود.

در تعریف این کتاب، ذوزنقه دقیقاً یک جفت ضلع موازی دارد؛ پس متوازی‌الاضلاع، ذوزنقه نیست. دو ضلع موازی، قاعده‌ها و دو ضلع دیگر، ساق‌ها هستند. شکل یک گلدان با دهانهٔ پهن و کف باریک می‌تواند یادآور ذوزنقه باشد.

به‌علت موازی‌بودن قاعده‌ها، دو زاویهٔ کنار هر ساق مکمل‌اند. اگر یک ساق بر یک قاعده عمود باشد، بر قاعدهٔ دیگر هم عمود است؛ این شکل، ذوزنقهٔ قائم‌الزاویه است.

اگر دو ساق برابر باشند، ذوزنقه متساوی‌الساقین است. در این حالت، دو زاویهٔ کنار هر قاعده برابرند و دو قطر هم‌اندازه‌اند. برای اثبات برابری قطرها می‌توان دو مثلثی را مقایسه کرد که یک قاعدهٔ مشترک، ساق‌های برابر و زاویه‌های برابرِ کنار آن قاعده دارند؛ هم‌نهشتی آنها برابری قطرها را می‌دهد.

عکس هر دو ویژگی هم در ذوزنقه درست است: برابری دو زاویهٔ کنار یک قاعده، یا برابری دو قطر، متساوی‌الساقین‌بودن را تضمین می‌کند. پس هنگام استفاده از ویژگی قطرها، اول نام خانوادهٔ شکل را بررسی کن: قطرهای برابر در متوازی‌الاضلاع به مستطیل می‌رسند، اما در ذوزنقه به ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین.

مساحت را با $S$ نشان می‌دهیم. پیش از شروع، این جعبه‌ابزار را مرور کن:

• مربع با ضلع $a$: مساحت $S=a^2$.
• مثلث با قاعدهٔ $a$ و ارتفاع نظیر $h_a$: مساحت $S=\frac12 ah_a$.
• متوازی‌الاضلاع با قاعدهٔ $a$ و ارتفاع $h$: مساحت $S=ah$.
• لوزی با قطرهای $m$ و $n$: مساحت $S=\frac12 mn$.
• ذوزنقه با قاعده‌های $a$ و $b$ و ارتفاع $h$: مساحت $S=\frac{(a+b)h}{2}$.

ارتفاع باید عمود بر قاعدهٔ انتخاب‌شده باشد؛ ضلع مایل معمولاً ارتفاع نیست. در یک مثلث می‌توان هر ضلع را قاعده گرفت، پس $2S=ah_a=bh_b=ch_c$.

فرمول قطرهای لوزی، برای هر چهارضلعی با قطرهای عمود نیز برقرار است: یک قطر را قاعدهٔ دو مثلث بگیر؛ مجموع ارتفاع‌هایشان، قطر دیگر است. پس مساحت برابر نصف حاصل‌ضرب دو قطر می‌شود.

در مثلث متساوی‌الاضلاع نیز ارتفاع، میانه است؛ چون دو مثلث قائم‌الزاویهٔ حاصل هم‌نهشت‌اند. از فیثاغورس به $h=\frac{a\sqrt3}{2}$ و سپس $S=\frac{a^2\sqrt3}{4}$ می‌رسیم.

برای مقایسهٔ مساحت دو مثلث، همیشه لازم نیست مساحت هرکدام را جداگانه حساب کنی. از فرمول مثلث، دو میان‌بُر داریم:

• اگر قاعده‌ها برابر باشند، $\frac{S_1}{S_2}=\frac{h_1}{h_2}$.
• اگر ارتفاع‌ها برابر باشند، $\frac{S_1}{S_2}=\frac{a_1}{a_2}$.

مثلاً مثلث‌هایی که قاعده‌هایشان روی یک خط و رأس‌های مقابلشان روی خطی موازی آن است، ارتفاع برابر دارند؛ چون فاصلهٔ دو خط موازی ثابت است.

حالا در مثلث $ABC$، میانهٔ $AM$ را رسم کن. چون $BM=MC$ و دو مثلث $ABM$ و $ACM$ از رأس $A$ ارتفاع مشترک دارند، مساحتشان برابر است. حتی اگر رأس را از $A$ به نقطه‌ای مانند $F$ روی میانه منتقل کنی، باز $S_{FBM}=S_{FMC}$ است.

اگر وسط‌های هر سه ضلع را به هم وصل کنی، چهار مثلث هم‌نهشت می‌سازی؛ بنابراین مساحت هرکدام یک‌چهارم مساحت مثلث اصلی است.

سه میانهٔ مثلث در یک نقطه به نام $G$ به هم می‌رسند. این نقطه روی هر میانه، به رأس دورتر و به وسط ضلع نزدیک‌تر است. اگر $M$ وسط $BC$ باشد، داریم $AG=\frac23 AM$ و $GM=\frac13 AM$؛ پس $AG=2GM$.

برای دیدن دلیل، دو میانهٔ $AM$ و $BN$ را رسم کن. پاره‌خطِ وصل‌کنندهٔ وسط‌ها، یعنی $MN$، با $AB$ موازی است و نصف آن طول دارد. از تشابه مثلث‌های $GMN$ و $GAB$ نتیجه می‌شود $AG=2GM$. همین استدلال برای هر جفت میانه برقرار است و نقطهٔ برخورد مشترک را مشخص می‌کند.

سه میانه، شش مثلث هم‌مساحت می‌سازند. هر جفت مثلث کنار یک وسط ضلع، قاعده‌های برابر و ارتفاع مشترک دارند. از طرفی، هر میانه مساحت کل را نصف می‌کند؛ با مقایسهٔ این نصف‌ها نتیجه می‌گیریم مساحت هر شش قسمت برابر است.

فرض کن $AB\parallel CD$ و خط‌های $AC$ و $BD$ در $O$ یکدیگر را قطع کنند. مثلث‌های $ADC$ و $BDC$ قاعدهٔ مشترک $DC$ و ارتفاع برابر دارند؛ پس هم‌مساحت‌اند. اگر مساحت مشترک $ODC$ را از هر دو کم کنیم، می‌ماند: $S_{OAD}=S_{OBC}$. این همان برابری دو مثلث کناری در ذوزنقه است.

حالا به مسئلهٔ دو مزرعه برگردیم. مرز مشترک، خط شکستهٔ $ABC$ است. ابتدا $A$ را به $C$ وصل کن و از $B$ خطی موازی $AC$ بکش. در آرایش مسئله، برخورد این خط با مرز بیرونیِ گذرنده از $C$ را $F$ می‌نامیم.

مثلث‌های $ABC$ و $AFC$ قاعدهٔ مشترک $AC$ و ارتفاع برابر دارند؛ بنابراین صاف‌کردن مرز به صورت $AF$، مساحت زمین‌ها را تغییر نمی‌دهد. نکتهٔ اصلی، برابر نگه‌داشتن مساحت بخش‌های جابه‌جاشده است، نه برابر نگه‌داشتن طول مرز.

مساحت می‌تواند رابطه‌ای پنهان میان فاصله‌ها را آشکار کند. یادت باشد فاصلهٔ نقطه از خط، طول پاره‌خط عمود بر آن است.

در مثلث متساوی‌الساقین $ABC$ با $AB=AC=a$، نقطهٔ $M$ را روی قاعده بگیر. فاصله‌هایش از دو ساق را $d_1$ و $d_2$ و ارتفاع وارد بر ساق را $h$ بنام. با وصل‌کردن $M$ به $A$، مساحت کل برابر مجموع دو مساحت است:

$\frac12 ad_1+\frac12 ad_2=\frac12 ah$.

پس $d_1+d_2=h$. اگر نقطه روی امتداد قاعده و بیرون مثلث باشد، به‌جای جمع مساحت‌ها از تفاضل استفاده می‌کنیم و نتیجه $|d_1-d_2|=h$ است.

در مثلث متساوی‌الاضلاع، نقطه‌ای درون مثلث را به سه رأس وصل کن. سه مثلث ساخته می‌شود که قاعده‌هایشان همگی $a$ است. اگر فاصله‌های نقطه از ضلع‌ها $d_1,d_2,d_3$ باشد، جمع مساحت‌ها می‌دهد:

$\frac12 a(d_1+d_2+d_3)=\frac12 ah$.

بنابراین $d_1+d_2+d_3=h$؛ با جابه‌جایی نقطه درون مثلث، این مجموع ثابت می‌ماند.

یادت باشد نقطهٔ شبکه‌ای در دستگاه مختصات، نقطه‌ای است که هر دو مختصه‌اش صحیح باشند. برای یک چندضلعی شبکه‌ای، تعداد همهٔ نقاط روی مرز را با $b$ و تعداد نقاط کاملاً درون آن را با $i$ نشان می‌دهیم؛ نقاط مرزی فقط رأس‌ها نیستند.

فرمول پیک می‌گوید: $S=\frac{b}{2}+i-1$. چون $b$ و $i$ عددهای صحیح‌اند، مساحت همیشه گویا است؛ یعنی می‌توان آن را به صورت نسبت دو عدد صحیح نوشت. اگر $b$ زوج باشد، مساحت صحیح است. اگر $b$ فرد باشد، مساحت بین دو عدد صحیح پیاپی و دقیقاً در نیمهٔ آن‌هاست. پس مساحت چندضلعی شبکه‌ای هر عدد دلخواهی نیست!

مربع شبکه‌ای لازم نیست ضلع‌های افقی و عمودی داشته باشد؛ می‌تواند روی شبکه کج باشد. دو رأس مجاور آن را $(a,b)$ و $(c,d)$ بگیر. اختلاف افقی آن‌ها $a-c$ و اختلاف عمودی آن‌ها $b-d$ است. با قضیهٔ فیثاغورس، مربع طول ضلع برابر است با $(a-c)^2+(b-d)^2$.

از طرفی، مساحت مربع همان مربع طول ضلع است؛ پس $S=(a-c)^2+(b-d)^2$. مختصات صحیح‌اند، بنابراین این جمع هم صحیح است. چون دو رأس مجاور متفاوت‌اند، نتیجه مثبت است. نکتهٔ مهم این است: مساحت حتماً صحیح است، اما خود طول ضلع لزوماً صحیح نیست. کج بودن مربع این نتیجه را تغییر نمی‌دهد.

حالا فرض کن مثلث متساوی‌الاضلاعی داریم که هر سه رأسش شبکه‌ای‌اند. می‌خواهیم ببینیم این فرض به کجا می‌رسد. از فرمول پیک می‌دانیم مساحت چنین مثلثی باید گویا باشد.

طول ضلع را $m$ بنام. چون دو سر هر ضلع مختصات صحیح دارند، درست مانند محاسبهٔ قبل، $m^2$ عددی صحیح و مثبت است. اما فرمول مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع می‌گوید: $S=\frac{m^2\sqrt{3}}{4}$. عدد $\sqrt{3}$ گنگ است و ضرب آن در عدد گویای ناصفرِ $\frac{m^2}{4}$ نیز گنگ می‌ماند.

یک مساحت نمی‌تواند هم گویا و هم گنگ باشد! پس فرض آغازین ناممکن است. این شیوهٔ استدلال را برهان خلف می‌نامیم: فرض می‌کنیم شکل وجود دارد و از آن به تناقض می‌رسیم.

مرز نقشهٔ ایران یا یک برگ درخت معمولاً از پاره‌خط‌هایی با رأس‌های شبکه‌ای ساخته نشده است؛ پس نمی‌توان فرمول پیک را مستقیماً برای مرز واقعی آن به کار برد. راه عملی این است که روی شبکه، چندضلعی‌ای رسم کنیم که مرزش تا حد امکان به مرز شکل نزدیک باشد. سپس نقاط مرزی و درونی همان چندضلعی را بشماریم.

مساحت به‌دست‌آمده برای چندضلعی دقیق است، اما برای نقشه یا برگ تقریبی است. شبکهٔ ریزتر امکان دنبال کردن دقیق‌تر مرز را فراهم می‌کند. همچنین باید مقیاس را در نظر بگیریم: اگر فاصلهٔ واقعی متناظر با دو نقطهٔ متوالی $u$ باشد، هر واحد سطح شبکه معادل $u^2$ از واحد سطح واقعی است.