خلاصه درس فصل ۴ هندسه دهم؛ درسنامه و نکات مهم

برای تجسم فضایی، اول باید فرق مدل هندسی را با وسیله‌ای که آن را نشان می‌دهد بدانیم. نوک مداد می‌تواند نشانهٔ یک نقطه باشد، اما نقطهٔ هندسی اندازه ندارد. خطی که روی کاغذ می‌کشیم هم فقط بخشی از یک خط راست را نشان می‌دهد؛ خود خط از هر دو طرف ادامه دارد.

سطح میز را نیز می‌توان بخشی از یک صفحه تصور کرد. صفحهٔ هندسی لبه و ضخامت ندارد و در همهٔ جهت‌های خودش ادامه پیدا می‌کند. بنابراین وقتی می‌خواهیم ببینیم دو خط یا دو صفحه به هم می‌رسند، فقط قسمت دیده‌شده در شکل را بررسی نمی‌کنیم؛ امتداد آن‌ها هم مهم است. برای نام‌گذاری یک صفحه می‌توان از سه نقطهٔ غیرهم‌راستای آن، مانند $A$، $B$ و $C$، استفاده کرد.

دو خط متمایز در یک صفحه یا همدیگر را در یک نقطه قطع می‌کنند، یا موازی‌اند. اگر دو خط کاملاً روی هم بیفتند، آن‌ها را یک خط می‌شماریم.

در فضا یک حالت تازه هم داریم: متنافر. برای تشخیص، اول بپرس: «نقطهٔ مشترک دارند؟» اگر دارند، متقاطع‌اند. اگر ندارند، بپرس: «آیا صفحه‌ای شامل هر دو وجود دارد؟» اگر بله، موازی‌اند؛ اگر نه، متنافرند. پس نرسیدن دو خط به هم، به‌تنهایی نشانهٔ موازی بودن نیست.

دو خط متقاطع و همچنین دو خط موازی متمایز، هر کدام دقیقاً یک صفحه تعیین می‌کنند. اما از یک خط، بی‌شمار صفحه می‌گذرد؛ مثل صفحه‌هایی که با چرخاندن یک برگه دور لبه‌اش تصور می‌کنی. در صفحه و فضا، از یک نقطهٔ بیرون یک خط، فقط یک خط موازی آن می‌گذرد. همچنین دو خط متمایزِ موازی با یک خط، با هم موازی‌اند؛ این نتیجه در فضا هم برقرار است.

حالا یک مداد را مدل خط و سطح میز را مدل صفحه بگیر. البته در ذهنت هر دو را نامحدود ادامه بده! اگر خط هیچ نقطهٔ مشترکی با صفحه نداشته باشد، موازی صفحه است. اگر فقط یک نقطهٔ مشترک داشته باشند، خط و صفحه متقاطع هستند. اگر خط کاملاً در صفحه باشد، می‌گوییم خط بر صفحه واقع است؛ در این حالت بی‌شمار نقطهٔ مشترک دارند.

پس برای تشخیص وضعیت خط و صفحه، تعداد نقطه‌های مشترک راهنمای خوبی است: هیچ، یکی، یا بی‌شمار. «روی صفحه بودن» را با «موازی صفحه بودن» اشتباه نگیر؛ در تعریف این درس، خط موازی صفحه هیچ نقطه‌ای روی آن ندارد. از یک نقطهٔ بیرون صفحه نیز می‌توان بی‌شمار خط موازی آن صفحه رسم کرد؛ این با موازی رسم کردن با یک خط مشخص فرق دارد.

دو برگهٔ کاغذ را مدل دو صفحه تصور کن. اگر صفحه‌ها حتی با ادامه یافتن هم هیچ نقطهٔ مشترکی نداشته باشند، موازی هستند؛ مثل صفحهٔ کف و سقف یک اتاق معمولی. اگر یکدیگر را قطع کنند، اشتراکشان یک خط راست است، نه فقط یک نقطه. این خط را فصل مشترک می‌نامیم؛ محل رسیدن دو دیوار کنار هم نمونهٔ خوبی برای تصور آن است.

دو صفحهٔ متمایز در فضا یا موازی‌اند یا متقاطع. اگر کاملاً بر هم منطبق باشند، آن‌ها را یک صفحه در نظر می‌گیریم. یادت باشد کوچک بودن برگه‌ها ممکن است گمراه‌کننده باشد: شاید دو تکه کاغذ به هم نرسند، ولی صفحه‌هایی که نمایش می‌دهند، با ادامه یافتن یکدیگر را قطع کنند.

خطی که صفحه را قطع می‌کند، لزوماً بر آن عمود نیست؛ ممکن است کج وارد صفحه شود. خطِ عمود بر صفحه باید بر تمام خط‌های آن صفحه که از نقطهٔ برخورد می‌گذرند، عمود باشد. مدادی که قائم روی میز نگه داشته‌ای، این حالت را نشان می‌دهد.

لازم نیست عمود بودن بر بی‌شمار خط را جداگانه بررسی کنیم: کافی است خط بر دو خط متقاطعِ صفحه، در محل تقاطعشان عمود باشد. عمود بودن بر فقط یک خط کافی نیست؛ مثلاً دو خط عمود بر هم می‌توانند هر دو روی میز باشند!

دو صفحه هم وقتی عمودند که هر کدام خطی داشته باشد که بر دیگری عمود است؛ مثل کف و دیوار اتاق. دو خط متمایز عمود بر یک صفحه با هم موازی‌اند، اما دو صفحهٔ عمود بر یک صفحه لزوماً موازی نیستند؛ دو دیوار کنار هم هر دو بر کف عمودند، ولی همدیگر را قطع می‌کنند.

یک کتاب را صاف روی میز بگذار و نوک مدادی را روی نقطه‌ای از آن نگه دار. اگر مداد واقعاً قائم باشد، هر خطی که روی صفحه از محل تماس بگذرد، با مداد زاویهٔ راست می‌سازد. این همان معنای عمودبودن خط بر صفحه است.

اگر خط $l$ صفحهٔ $P$ را در نقطهٔ $A$ قطع کند، برای عمودبودن باید بر همهٔ خط‌های صفحه که از $A$ می‌گذرند عمود باشد. این وضعیت را با $l\perp P$ می‌نویسیم.

به عبارت «از محل برخورد» دقت کن. منظور، بررسی خط‌های گذرنده از پای عمود است، نه هر خطی در هر جای صفحه. همچنین عمودبودن بر فقط یک خط کافی نیست؛ دو خط روی خود صفحه هم می‌توانند بر یکدیگر عمود باشند، بی‌آنکه هیچ‌کدام بر صفحه عمود باشد.

تعریف از «همهٔ خط‌ها» حرف می‌زند؛ ولی برای اثبات عمودبودن، لازم نیست بی‌نهایت زاویه را بررسی کنیم. یک معیار کوتاه‌تر داریم: اگر خطی در نقطهٔ تقاطعِ دو خطِ یک صفحه، بر هر دوی آن‌ها عمود باشد، بر خود صفحه هم عمود است.

فرض کن دو خط $a$ و $b$ روی صفحهٔ $P$ در $A$ یکدیگر را قطع می‌کنند. اگر $l$ از $A$ بگذرد و $l\perp a$ و $l\perp b$ باشد، نتیجه می‌گیریم $l\perp P$.

دو شرط را جا نینداز: دو خط باید متقاطع باشند و عمودبودن‌ها در همان محل تقاطع برقرار باشد. انتخاب دو خط موازی جای این شرط را نمی‌گیرد. مثلاً خطی روی کاغذ می‌تواند دو خط موازیِ همان کاغذ را عمود قطع کند، اما همچنان در صفحه بماند.

حالا به کف اتاق و یک دیوار فکر کن. یک خط قائم روی دیوار، بر کف عمود است؛ پس این دو صفحه بر هم عمودند. در تعریف تعامدِ دو صفحه، وجود خط عمود مهم است؛ قرار نیست همهٔ خط‌های یک صفحه بر صفحهٔ دیگر عمود باشند. لبهٔ مشترک دیوار و کف، خودش در هر دو صفحه قرار دارد!

در فضای سه‌بعدی باید میان «خط» و «صفحه» فرق بگذاریم. دو خط متمایزِ عمود بر یک صفحه، موازی‌اند؛ مثل دو میلهٔ قائم روی کف. همچنین دو صفحهٔ متمایزِ عمود بر یک خط، با هم موازی‌اند؛ مثل دو طبقهٔ افقی که یک ستون قائم بر هر دو عمود است.

اما دو صفحهٔ عمود بر یک صفحه، لزوماً موازی نیستند. دو دیوارِ مجاور، هر دو بر کف عمودند، ولی همدیگر را قطع می‌کنند.

از یک نقطهٔ بیرون صفحه، فقط یک خط می‌توان بر صفحه عمود کرد. اگر دو خط متفاوت از آن نقطه بر صفحه عمود بودند، باید با هم موازی می‌شدند؛ اما دو خط متمایزِ موازی از یک نقطه نمی‌گذرند.

در تمرین‌های فضایی، موازی‌بودن کمک می‌کند تعامد را به شکل‌های تازه منتقل کنیم: اگر خطی بر یکی از دو صفحهٔ موازی عمود باشد، بر دیگری هم عمود است. همچنین اگر یکی از دو خط موازی بر صفحه‌ای عمود باشد، خط دیگر هم بر همان صفحه عمود است.

برای تصور این دو نتیجه، طبقه‌های موازی یک قفسه و دو ستون قائم آن را در ذهن بساز. ستون قائم فقط بر یک طبقه عمود نیست؛ بر طبقه‌های موازی دیگر هم عمود است. ستون موازیِ آن نیز همین وضعیت را دارد.

فکر کردن با تصویر

چشم‌هایت را لحظه‌ای ببند و اتاقت را تصور کن. تخت یا میزت کجاست؟ حالا در ذهنت میز را به گوشهٔ دیگری ببر. آیا هنوز می‌توانی درِ اتاق را باز کنی؟ برای بررسی این موضوع، لازم نیست واقعاً میز را جابه‌جا کنی؛ می‌توانی تصویر اتاق را در ذهنت تغییر بدهی.

این کار نمونه‌ای از تفکر تجسمی است: به‌جای اینکه فقط با جمله‌ها دربارهٔ چیزی فکر کنیم، تصویر آن را در ذهن می‌سازیم و بررسی می‌کنیم. حتی می‌توانیم چیزی را تصور کنیم که اکنون جلوی چشممان نیست؛ مثلاً چهرهٔ یکی از اعضای خانواده یا مسیر خانه تا مدرسه.

نکته این است که تصویر ذهنی همیشه ثابت نمی‌ماند. می‌توانیم در خیال، جای اشیا را عوض کنیم، شکلی را بچرخانیم یا بخشی از آن را حذف کنیم و نتیجه را پیش‌بینی کنیم. پس تفکر تجسمی فقط «دیدن» نیست؛ فکر کردن با تصویرهاست.

یک جسم، چند نما

یک جعبهٔ کفش را تصور کن. وقتی از بالا به آن نگاه می‌کنی، طول و عرض آن را می‌بینی؛ اما وقتی از روبه‌رو نگاه می‌کنی، ارتفاعش هم دیده می‌شود. پس یک جسم می‌تواند از جهت‌های مختلف، تصویرهای متفاوتی داشته باشد. به هرکدام از این تصویرها، نما می‌گوییم.

برای تشخیص نماها، ابتدا جهت روبه‌رو را مشخص کن؛ مثلاً سمتی از جعبه که برچسب دارد. حالا نمای بالا، تصویر جسم از بالای آن است و نمای چپ، تصویر جسم از سمت چپِ همان جهت روبه‌رو. در هر نما، مستقیم از همان جهت نگاه می‌کنیم، نه به‌صورت مایل.

هیچ نمایی همیشه از بقیه کامل‌تر نیست. هر نما اطلاعاتی را نشان می‌دهد و ممکن است اطلاعات دیگری را پنهان کند. مثلاً یک جعبهٔ کوتاه و یک جعبهٔ بلند با طول و عرض یکسان، از بالا یکسان دیده می‌شوند؛ برای تشخیص تفاوت ارتفاعشان باید نمای دیگری را هم ببینی.

نما را چگونه رسم کنیم؟

فرض کن از بالا به چند جعبهٔ کنار هم نگاه می‌کنی و می‌خواهی جای اشغال‌شدهٔ آن‌ها را روی میز نشان بدهی. لازم نیست همهٔ جزئیات جعبه‌ها را نقاشی کنی؛ باید شکل نما را از همان جهت مشخص کنی.

برای رسم نما، اول جهت نگاهت را ثابت کن؛ مثلاً درست از بالا نگاه کن، نه مایل. بعد مرز بیرونی شکلی را که از آن جهت دیده می‌شود رسم کن. بخش‌هایی که پشت بخش‌های دیگر پنهان شده‌اند، جداگانه به نما اضافه نمی‌شوند.

قرارداد این درس: در شکل‌های معمولی، نمایش اختلاف ارتفاع قسمت‌ها و کشیدن خطوط داخلی نما لازم نیست. اما اگر شکل شطرنجی باشد و اندازه‌های دقیق آن داده شده باشد، خطوط شطرنجی را هم رسم می‌کنیم تا تعداد خانه‌ها و اندازهٔ قسمت‌ها مشخص بماند. پس پیش از رسم، بررسی کن: شکل معمولی است یا شطرنجیِ دارای اندازه‌های دقیق؟

مکعب‌های پیدا و پنهان

فرض کن یک مکعب بزرگ را از مکعب‌های کوچک و هم‌اندازه ساخته‌ایم؛ مثل چیدن حبه‌های قند. برای شمردن آن‌ها، فقط مکعب‌های دیده‌شده در تصویر را نشمار! لایه‌لایه فکر کن: مکعب‌های هر لایه را بشمار و تعداد لایه‌ها را در نظر بگیر؛ مکعب‌های پشت و داخل جسم هم حساب می‌شوند.

حالا تمام سطح بیرونی مکعب بزرگ را رنگ می‌کنیم و سپس مکعب‌های کوچک را از هم جدا می‌کنیم. چند وجه هر مکعب کوچک رنگ گرفته است؟ جای آن راهنمای ماست:

• گوشه: سه وجه رنگی دارد.
• روی لبه، به‌جز گوشه‌ها: دو وجه رنگی دارد.
• روی سطح، دور از لبه‌ها: یک وجه رنگی دارد.
• درون مکعب بزرگ: هیچ وجه رنگی ندارد.

این دسته‌بندی برای مکعب بزرگی است که در امتداد هر یال، دست‌کم سه مکعب کوچک دارد. نکتهٔ مهم این است که پنهان بودن در تصویر، با رنگ‌نشدن فرق دارد؛ مکعبِ پشت جسم هم ممکن است روی سطح بیرونی باشد و رنگ بگیرد.

درون جسم با یک برش

وقتی خیار را برش می‌زنی، شکلِ جای برش را دیده‌ای؟ برشِ راست و برشِ مایل معمولاً شکل یکسانی ندارند. در هندسه هم می‌توانیم به‌جای چاقو، یک صفحهٔ صاف و بسیار نازک را تصور کنیم که از جسم می‌گذرد. شکل مشترکِ صفحه و جسم، سطح مقطع نام دارد؛ یعنی همان شکلی که در محل برش به دست می‌آید.

یک استوانهٔ توپر و قائم، مثل یک قالب استوانه‌ای پنیر، را در ذهن نگه دار:

• اگر صفحه موازی قاعده‌ها از داخل آن بگذرد، سطح مقطع دایره است.
• اگر صفحه از محور استوانه بگذرد، سطح مقطع مستطیل است.
• اگر صفحه مایل باشد و هیچ‌کدام از قاعده‌ها را قطع نکند، سطح مقطع بیضی است.

پس برای پیش‌بینی سطح مقطع، فقط نام جسم کافی نیست؛ باید جای صفحه و جهت آن را هم بدانیم. حواست باشد سطح مقطع با نمای جسم فرق دارد: در نما از بیرون نگاه می‌کنیم، اما در برش، شکلِ محل برخورد صفحه با جسم را بررسی می‌کنیم.

ردّ صفحه در جسم

تصور کن یک تکه پنیر مکعبی را با چاقو می‌بُری. اگر چاقو را مانند بخشی از یک صفحهٔ هندسی در نظر بگیری، شکلِ جای برش روی پنیر، سطح مقطع است؛ یعنی شکلی که هم در صفحهٔ برش قرار دارد و هم در جسم.

برای پیدا کردن سطح مقطع یک چندوجهی، مثل مکعب، ردّ صفحه را روی وجه‌های جسم دنبال کن:

• ببین صفحه کدام وجه‌ها را قطع می‌کند.
• روی هر وجهِ قطع‌شده، محل برخورد معمولاً یک پاره‌خط است.
• این پاره‌خط‌ها را به ترتیب به هم وصل کن تا مرز مقطع بسته شود.

مثلاً اگر یک مکعب توپر را با صفحه‌ای موازی قاعده و از داخل آن ببُریم، روی چهار وجه جانبی چهار پاره‌خط پیدا می‌شود. این پاره‌خط‌ها مرز یک مربع را می‌سازند؛ سطح مقطع، تمام ناحیهٔ مربعی داخل این مرز است، نه فقط چهار ضلع آن. پس شکل مقطع را از ردّ صفحه روی جسم پیدا می‌کنیم، نه از ظاهر کج‌ومعوج شکل در نقاشی.

یک استوانه، چند جور برش

یک خیار تقریباً استوانه‌ای را تصور کن: با تغییر جهت چاقو، شکل برش هم عوض می‌شود. برای یک استوانهٔ قائم هم جهت صفحهٔ برش مهم است:

• صفحهٔ موازی قاعده: مقطع، دایره است؛ مثل برش‌های حلقه‌ای خیار. این دایره هم‌اندازهٔ قاعدهٔ استوانه است.
• صفحهٔ موازی محور: اگر صفحه از درون استوانه بگذرد، مقطع مستطیل است. دو ضلع آن روی قاعده‌ها قرار می‌گیرند و دو ضلع دیگر در امتداد ارتفاع استوانه‌اند. لازم نیست صفحه حتماً از خود محور بگذرد.
• صفحهٔ مایل که به هیچ‌یک از قاعده‌ها نرسد: مقطع بیضی است؛ شبیه برش کج خیار که از برش دایره‌ای کشیده‌تر دیده می‌شود.

پس فقط «مایل بودن» کافی نیست؛ باید ببینی صفحه به قاعده‌ها هم می‌رسد یا نه. شرط نرسیدن به قاعده‌ها کمک می‌کند مقطع، یک بیضی کامل باشد.

برش مخروط و مخروط ناقص

یک قیف مخروطی را تصور کن که نوکش رو به بالاست و قاعده‌اش افقی است. اگر صفحه‌ای موازی قاعده از درون آن بگذرد، مقطع دایره است. با نزدیک‌تر شدن صفحه به رأس، دایره کوچک‌تر می‌شود.

اما برش مایل همیشه یک شکل نمی‌سازد! اگر صفحهٔ مایل به قاعده نرسد و موازی هیچ‌یک از خط‌های راستِ روی بدنهٔ مخروط نباشد، مقطع بیضی است. اگر صفحه موازی یکی از همین خط‌ها باشد، مقطع سهمی می‌شود؛ فعلاً شناختن نام و شکل کلی آن کافی است.

حالا مخروطی توپر را موازی قاعده ببُر. بخش بالایی، یک مخروط کوچک‌تر است و بخش پایینی، مخروط ناقص؛ مثل شکل بعضی لیوان‌های کاغذی که دو دهانهٔ دایره‌ای با اندازه‌های متفاوت دارند.

اگر مخروط ناقص را با صفحه‌ای که از محور آن می‌گذرد به دو نیمهٔ مساوی تقسیم کنیم، مقطع ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین است: دو قاعدهٔ موازی آن از دو دایرهٔ بالا و پایین به دست می‌آیند.

بزرگ‌ترین برش کره

یک پرتقال تقریباً کروی را تصور کن. اگر آن را نزدیک پوستش ببری، برش کوچکی می‌بینی؛ اما با نزدیک شدن برش به وسط پرتقال، سطح برش بزرگ‌تر می‌شود. هر صفحه‌ای که از درون کره بگذرد، مقطعی دایره‌ای می‌سازد.

برای فهمیدن دلیل، مرکز کره را $O$ و مرکز دایرهٔ مقطع را $H$ بنام. پاره‌خط $OH$ بر صفحهٔ برش عمود است. اگر نقطهٔ $A$ را روی محیط مقطع انتخاب کنی، مثلث $OHA$ در $H$ قائم‌الزاویه است. پس با نامیدن شعاع کره به $R$، شعاع مقطع به $r$ و فاصلهٔ مرکز کره از صفحه به $d$، داریم:

$r^2+d^2=R^2$

شعاع کره ثابت است؛ بنابراین هرچه $d$ کمتر شود، $r$ بیشتر می‌شود. بزرگ‌ترین مقطع وقتی به دست می‌آید که صفحه از مرکز کره بگذرد؛ در این حالت $d=0$ است و شعاع مقطع با شعاع کره برابر می‌شود. مساحت هر مقطع نیز از رابطهٔ $S=\pi r^2$ به دست می‌آید.

از چرخاندن شکل تا ساختن جسم

یک تکه مقوا را تصور کن که دور یک میله می‌چرخد. برای تشخیص شکل حاصل، فقط به جای نهایی مقوا نگاه نکن؛ باید همهٔ جاهایی را که هنگام چرخش از آن‌ها می‌گذرد در نظر بگیری.

در یک دور کامل، هر نقطهٔ بیرون از محور، دایره‌ای به دور محور می‌پیماید؛ اما نقطه‌های روی محور ثابت می‌مانند. فاصلهٔ هر نقطه از محور، شعاع دایرهٔ مسیر آن است.

مثلاً اگر پاره‌خطی را حول پاره‌خطی عمود بر آن، از محل اتصالشان، بچرخانی، یک ناحیهٔ دایره‌ای ساخته می‌شود؛ درست شبیه حرکت عقربه‌ای که همهٔ سطح صفحهٔ ساعت را جاروب کند.

حالا ناحیهٔ نیم‌دایره را حول قطرش بچرخان. این ناحیه هنگام دوران، فضای یک کره را پُر می‌کند. برای شکل‌های دیگر هم همین روش را به کار ببر: محور را پیدا کن و مسیر نقطه‌ها را در ذهن دنبال کن.

ردّ حرکت نقطه‌ها

یک درِ لولایی را تصور کن. هنگام باز شدن در، لولاها سر جای خود می‌مانند، اما دستگیره روی مسیری خمیده حرکت می‌کند. در دوران شکل‌های هندسی هم محور ثابت است و نقطه‌های شکل دور آن می‌چرخند.

برای کشف شکل حاصل، اول حرکت یک نقطه را دنبال کن: اگر نقطه روی محور باشد، جابه‌جا نمی‌شود. اگر بیرون محور باشد، با یک دور کامل، دایره‌ای می‌سازد که شعاعش برابر فاصلهٔ عمودی نقطه تا محور است. پس نقطهٔ دورتر از محور، دایرهٔ بزرگ‌تری می‌سازد.

حالا یک پاره‌خط را در نظر بگیر که یک سرش روی محور است و بر محور عمود است. هنگام دوران، سرِ روی محور ثابت می‌ماند و سرِ دیگر، مرز یک دایره را طی می‌کند. نقطه‌های بین این دو سر هم دایره‌های کوچک‌تری می‌سازند؛ بنابراین ردّ حرکت کل پاره‌خط، ناحیهٔ دایره‌ای، یعنی داخل دایره همراه مرز آن است، نه فقط محیط دایره.

روش ما همین است: چند نقطهٔ مهم را انتخاب کن، فاصله‌شان تا محور را ببین و مسیرهایشان را کنار هم بگذار.

از دایره تا کره

یک حلقهٔ نازک را تصور کن که حول یکی از قطرهایش یک دور کامل می‌چرخد. نقطه‌های حلقه روی سطح یک کره حرکت می‌کنند؛ اما خود حلقه، فضای داخل کره را پر نمی‌کند.

اینجا تفاوت مهمی داریم: خطِ مرزی را می‌چرخانیم یا ناحیهٔ داخل آن را هم همراهش دوران می‌دهیم؟

• اگر فقط کمان نیم‌دایره را حول قطرش بچرخانی، سطح کامل کره ساخته می‌شود؛ همان کمان برای پیمودن همهٔ سطح کافی است.
• اگر ناحیهٔ نیم‌دایره را حول قطرش بچرخانی، داخل کره هم پوشانده می‌شود و یک کرهٔ توپر به دست می‌آید. دوران ناحیهٔ کامل دایره حول قطر نیز همین نتیجه را دارد.
• اگر ناحیهٔ نیم‌دایره را حول شعاعِ عمود بر قطرش بچرخانی، نیم‌کرهٔ توپر ساخته می‌شود؛ چون همهٔ نقطه‌ها در یک سوی صفحهٔ گذرنده از قطر باقی می‌مانند.
• دوران ناحیهٔ ربع دایره حول یکی از دو شعاع مرزی‌اش نیز نیم‌کرهٔ توپر می‌سازد؛ دوران فقط کمان آن، سطح خمیدهٔ نیم‌کره را می‌سازد.

پس همیشه بپرس: «چه چیزی می‌چرخد و محور کجاست؟»

ساختن استوانه

یک پاره‌خط را موازی محور دوران در نظر بگیر. هنگام یک دور چرخش کامل، هر نقطهٔ آن دایره‌ای می‌سازد. چون فاصلهٔ همهٔ نقطه‌های پاره‌خط از محور یکسان است، این دایره‌ها شعاع برابر دارند و کنار هم سطح جانبی استوانه را می‌سازند؛ مثل دیوارهٔ یک قوطی، بدون کف و درپوش.

حالا ناحیهٔ مستطیل، یعنی داخل آن همراه با مرزش، را حول یکی از ضلع‌هایش بچرخان. این بار نقطه‌های داخل مستطیل هم می‌چرخند و فضای درون استوانه را پُر می‌کنند؛ پس حاصل، یک استوانهٔ توپر است.

برای شناخت اندازه‌ها، انگشتت را روی ضلعِ محور بگذار: طول همین ضلع، ارتفاع استوانه است. فاصلهٔ ضلع مقابل تا محور هم شعاع استوانه می‌شود؛ یعنی طول ضلع دیگر مستطیل.

مثلاً اگر مستطیلی با ضلع‌های $a$ و $b$ را حول ضلع $a$ بچرخانیم، ارتفاع استوانه $a$ و شعاع آن $b$ است. با عوض کردن ضلعِ محور، نقش شعاع و ارتفاع جابه‌جا می‌شود.

از ضلع مایل تا مخروط

یک مثلث قائم‌الزاویهٔ مقوایی را تصور کن که یکی از ضلع‌های زاویهٔ قائمهٔ آن، محور دوران است. نقطه‌های وتر هرچه به رأسِ روی محور نزدیک‌تر باشند، فاصلهٔ کمتری از محور دارند؛ پس هنگام دوران، دایره‌های کوچک‌تری می‌سازند. در رأس، این فاصله صفر می‌شود. بنابراین دوران وتر، سطح جانبی مخروط و دوران ناحیهٔ مثلث، مخروط توپر می‌سازد.

حالا شکل‌های دیگر را با همین روش بشناس:

• مثلث متساوی‌الساقین حول ارتفاعش: مخروطی می‌سازد که شعاع قاعده‌اش نصف قاعدهٔ مثلث است.
• ذوزنقهٔ قائم‌الزاویه حول ضلع عمود بر قاعده‌ها: مخروط ناقص می‌سازد؛ چون فاصلهٔ ضلع مایل از محور تغییر می‌کند، اما به صفر نمی‌رسد. دو قاعدهٔ ذوزنقه، شعاع‌های دو قاعدهٔ دایره‌ای جسم می‌شوند.
• مثلث متساوی‌الساقین حول قاعده‌اش: دو مخروط با قاعدهٔ مشترک می‌سازد؛ رأس‌های آن‌ها دو سرِ قاعدهٔ مثلث‌اند.

پس فقط به نام شکل نگاه نکن؛ بپرس: «فاصله از محور کجا صفر و کجا بیشترین است؟»