خلاصه درس فصل ۲ هندسه دهم؛ درسنامه و نکات مهم

تناسب یعنی برابر بودن دو نسبت. برای کار با آن، اول مطمئن شو مخرج‌ها صفر نیستند. اگر نسبت طول دو پاره‌خط را می‌نویسی، طول‌ها باید با یک واحد بیان شده باشند.

ویژگی پایه این است:
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Longleftrightarrow ad=bc$.
یعنی حاصل‌ضرب دو عددِ گوشه‌های روبه‌روی هم برابر است؛ این همان «طرفین وسطین کردن» است.

اگر همهٔ عددها ناصفر باشند، می‌توانی هر دو نسبت را معکوس کنی:
$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$.
همچنین می‌توان جای طرفین یا وسطین را عوض کرد و نوشت:
$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$ یا $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$.

لازم نیست این شکل‌ها را بی‌دلیل حفظ کنی؛ با طرفین وسطین کردن می‌بینی که همگی به همان برابری ضرب‌ها می‌رسند. مراقب باش جابه‌جایی دلخواهِ فقط یک عدد، یک ویژگی معتبر نیست.

گاهی در مسئله، به‌جای یک طول، مجموع یا تفاضل دو طول را می‌خواهیم. اینجا «ترکیب» و «تفضیل» نسبت به کمکمان می‌آیند.

از $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$، با اضافه کردن یک واحد به دو طرف داریم:
$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$.
با کم کردن یک واحد نیز داریم:
$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$.
پس تغییر باید در دو طرف به یک شکل انجام شود؛ نمی‌توان یک طرف را جمع و طرف دیگر را تفریق کرد.

شکل‌های دیگری که کتاب معرفی می‌کند عبارت‌اند از:
$\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$ و $\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}$.

در این شکل‌ها مخرج‌های تازه هم باید ناصفر باشند. مثلاً اگر $a=b$ باشد، کسر $\frac{a}{a-b}$ اصلاً تعریف نمی‌شود. در مسئله‌های پاره‌خط، این ویژگی‌ها کمک می‌کنند نسبت یک بخش به کل یا نسبت بخش‌های باقی‌مانده را پیدا کنی.

حالا به مخلوط رنگ‌های ابتدای درس برگردیم. اگر نسبت آبی به سفید در دو ظرف برابر باشد، با یکی کردن ظرف‌ها مقدارهای آبی با هم و مقدارهای سفید با هم جمع می‌شوند؛ نسبت نهایی تغییر نمی‌کند.

به زبان ریاضی، اگر $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ باشد، آنگاه:
$\frac{a+c}{b+d}=k$، به شرط آنکه $b+d\neq0$ باشد.
دلیلش روشن است: از نسبت‌های اولیه داریم $a=kb$ و $c=kd$؛ پس $a+c=k(b+d)$.

این ویژگی برای چند نسبت برابر هم برقرار است:
$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}=k$، البته اگر مخرج مجموع ناصفر باشد.

نسبتِ مجموع‌ها را با مجموعِ نسبت‌ها اشتباه نگیر. اینجا صورت‌ها را با هم و مخرج‌ها را با هم جمع می‌کنیم؛ خود کسرها را جمع نمی‌کنیم. برای طول‌های مثبت، مجموع مخرج‌ها خودبه‌خود مثبت است.

گاهی در یک تناسب، دو عدد میانی برابرند؛ مانند $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$. با طرفین وسطین کردن به $b^2=ac$ می‌رسیم. در این حالت، $b$ را واسطهٔ هندسیِ $a$ و $c$ می‌نامیم. شکل $\frac{c}{b}=\frac{b}{a}$ هم همین رابطه را می‌دهد.

برای طول‌های مثبت، واسطهٔ هندسی برابر است با $b=\sqrt{ac}$. یعنی ابتدا دو طول را در هم ضرب می‌کنیم و سپس ریشهٔ دوم مثبتِ حاصل را می‌گیریم. چون به دنبال طول هستیم، پاسخ منفی پذیرفته نیست.

این مفهوم را با میانگین حسابی اشتباه نگیر: در میانگین حسابی از جمع دو عدد استفاده می‌کنیم، اما اینجا مربعِ طول میانی با حاصل‌ضرب دو طول دیگر برابر است. برای تشخیص واسطهٔ هندسی، همین برابری معیار مطمئنی است؛ صرفاً بین دو عدد بودن کافی نیست.

یک مثلث $ABC$ در ذهنت بکش: $A$ بالا باشد و $BC$ پایین. نقطهٔ $D$ را روی $AB$ و نقطهٔ $E$ را روی $AC$ بگذار، به‌طوری‌که $DE\parallel BC$ باشد. تالس می‌گوید این خط، دو ضلع را با نسبت یکسان تقسیم می‌کند:

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

یعنی در هر دو طرف، «بخش نزدیک رأس» را بر «بخش باقی‌مانده» تقسیم می‌کنیم. جابه‌جاکردن ترتیب فقط در یکی از دو نسبت، معمولاً تناسب را خراب می‌کند.

چرا این رابطه درست است؟ مثلث‌های $DAE$ و $DEC$ نسبت به قاعده‌های واقع بر $AC$ ارتفاع مشترک دارند؛ پس نسبت مساحتشان $\frac{AE}{EC}$ است. به همین ترتیب، نسبت مساحت‌های $ADE$ و $DBE$ برابر $\frac{AD}{DB}$ است. از طرفی، مثلث‌های $DBE$ و $DEC$ قاعدهٔ مشترک $DE$ دارند و رأس‌های دیگرشان روی خط موازی $BC$ است؛ بنابراین هم‌مساحت‌اند. پس دو نسبت بالا برابر می‌شوند.

در همان شکل، گاهی سؤال به‌جای بخش باقی‌مانده، طول کل ضلع را به ما می‌دهد. لازم نیست قضیهٔ تازه‌ای یاد بگیریم؛ کافی است شکل نسبت را عوض کنیم. چون $AB=AD+DB$ و $AC=AE+EC$، از تناسب تالس می‌توان نوشت:

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$

این بار در هر دو طرف، «بخش نزدیک رأس به کل ضلع» را مقایسه می‌کنیم. اگر سهم نزدیک رأس در دو ضلع برابر باشد، سهم باقی‌مانده هم برابر است؛ بنابراین:

$\frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC}$

برای جلوگیری از اشتباه، قبل از نوشتن تناسب زیر لب بگو: «بخش به بخش» یا «بخش به کل». هر دو درست‌اند، اما نباید آن‌ها را در دو طرف یک تساوی با هم قاطی کرد. انتخاب شکل مناسب تناسب، به طول‌هایی بستگی دارد که در مسئله معلوم یا خواسته شده‌اند.

حالا به مثلث کوچک $ADE$ و مثلث بزرگ $ABC$ نگاه کن. تالس فقط دربارهٔ تقسیم دو ضلع نیست؛ طول پاره‌خط موازی هم در تناسب شرکت می‌کند:

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$

در هر سه نسبت، یک ضلع از مثلث کوچک را بر ضلع متناظر آن از مثلث بزرگ تقسیم کرده‌ایم. پس برای پیدا کردن طول $DE$ می‌توانیم از طول ضلع‌های کناری هم کمک بگیریم.

برای فهمیدن دلیل رابطهٔ سوم، از $E$ خطی موازی $AB$ رسم کن تا $BC$ را در $F$ قطع کند. چهارضلعی $DEFB$ متوازی‌الاضلاع است؛ پس $DE=BF$. تالس در مثلث $CAB$ می‌دهد $\frac{BF}{BC}=\frac{AE}{AC}$. با جایگذاری $DE$ به‌جای $BF$، رابطهٔ موردنظر به دست می‌آید.

نکتهٔ مهم: نسبت $\frac{DE}{BC}$ از نوع «کوچک به بزرگ» است، نه «بخش نزدیک رأس به بخش باقی‌مانده».

تا اینجا از موازی‌بودن شروع کردیم و به تناسب رسیدیم. عکس تالس مسیر را برعکس می‌کند: اگر نقطه‌های $M$ و $N$ به‌ترتیب روی ضلع‌های $AB$ و $AC$ باشند و داشته باشیم

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$

آن‌گاه نتیجه می‌گیریم $MN\parallel BC$. پس تناسب می‌تواند ابزاری برای اثبات موازی‌بودن باشد.

ایدهٔ اثبات کتاب را دنبال کن: فرض کنیم $MN$ موازی $BC$ نباشد. از $M$ خطی موازی $BC$ رسم می‌کنیم که $AC$ را در $N'$ قطع کند. طبق تالس، $\frac{AN'}{AC}=\frac{AM}{AB}$. با مقایسهٔ این رابطه و فرض مسئله، به $AN'=AN$ می‌رسیم. چون هر دو نقطه روی همان ضلع‌اند، $N'$ همان $N$ است؛ پس خط رسم‌شده همان $MN$ بوده و موازی است! این با فرض مخالف ما ناسازگار است.

در حل مسئله، اول بپرس: «موازی‌بودن داده شده، یا باید آن را ثابت کنم؟»

وقتی عکس یک پرچم مثلثی را بدون کشیدگی بزرگ می‌کنی، اندازۀ آن عوض می‌شود، اما شکلش نه. در هندسه، دو مثلث با چنین رابطۀ دقیقی را متشابه می‌نامیم: زاویه‌های نظیرشان برابر است و طول ضلع‌های نظیرشان نسبت یکسانی دارد.

«نظیر» یعنی اجزایی که در دو شکل نقش یکسان دارند. اگر بنویسیم $\triangle A'B'C'\sim\triangle ABC$، ترتیب نام‌ها تناظر را مشخص می‌کند: $A'$ با $A$، $B'$ با $B$ و $C'$ با $C$ متناظر است. بنابراین:

$\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=k$

این مقدار مشترک، نسبت تشابه مثلث اول به دوم است. جهت مقایسه را فراموش نکن: اگر جای دو مثلث را عوض کنی، نسبت نیز معکوس می‌شود. پس پیش از نوشتن هر تناسب، مشخص کن ضلع‌های کدام مثلث را در صورت می‌گذاری.

در مثلث $ABC$، نقطۀ $M$ را روی $AB$ و نقطۀ $N$ را روی $AC$ در نظر بگیر. اگر $MN\parallel BC$ باشد، قضیۀ اساسی تشابه می‌گوید:

$\triangle AMN\sim\triangle ABC$

چرا؟ ابتدا زاویه‌ها را بررسی کن. زاویۀ رأس $A$ در هر دو مثلث مشترک است. موازی بودن دو خط هم باعث می‌شود $\angle AMN=\angle ABC$ و $\angle ANM=\angle ACB$ باشد. پس زاویه‌های نظیر برابرند.

حالا سراغ طول‌ها برو. از تعمیم قضیۀ تالس داریم:

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$

پس شرط تناسب ضلع‌ها هم برقرار است؛ یعنی هر دو بخش تعریف تشابه را داریم. مثل همان برش مقوایی، خط موازی نسخۀ هم‌شکل دیگری می‌سازد. قضیه فقط به نقطه‌های داخل ضلع‌ها محدود نیست و برای قطع امتداد آن‌ها نیز برقرار است. هنگام استفاده، ضلع‌های نظیر را با ترتیب رأس‌ها پیدا کن، نه با حدس از روی ظاهر شکل.

یک مثلث $ABC$ در نظر بگیر که زاویهٔ $A$ در آن قائم است؛ پس $BC$ وتر است. از $A$ بر وتر عمود کن و پای عمود را $H$ بنام. حالا در دو طرف $AH$، دو مثلث کوچک داریم.

مثلث $ABH$ و مثلث اصلی، زاویهٔ $B$ را مشترک دارند و هرکدام یک زاویهٔ قائم دارند؛ پس با حالت دو زاویه متشابه‌اند. همین استدلال با زاویهٔ مشترک $C$ برای مثلث $ACH$ هم برقرار است. بنابراین دو مثلث کوچک نیز با هم متشابه‌اند.

برای نوشتن نسبت‌ها، فقط به جای شکل یا جهت قرار گرفتن آن نگاه نکن؛ اول زاویه‌های برابر را پیدا کن. مثلاً در مقایسهٔ مثلث $ABH$ با مثلث اصلی، وتر کوچک $AB$ با وتر بزرگ $BC$ متناظر است، نه با ضلع هم‌نام یا نزدیک‌تر در شکل.

حالا از تشابه، رابطه‌های طولی بسازیم. مقایسهٔ هر مثلث کوچک با مثلث اصلی می‌دهد:

$\frac{BH}{AB}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow AB^2=BC\times BH$

$\frac{CH}{AC}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow AC^2=BC\times CH$

پس مربع هر ضلع قائم، برابر کل وتر ضرب‌در قسمتِ مجاور همان ضلع روی وتر است. این همان واسطهٔ هندسی بودن ضلع قائم بین آن دو طول است.

با جمع کردن این دو رابطه و استفاده از $BH+CH=BC$، داریم:

$AB^2+AC^2=BC(BH+CH)=BC^2$

این، اثبات قضیهٔ فیثاغورس با تشابه است! از مقایسهٔ دو مثلث کوچک نیز به $AH^2=BH\times CH$ می‌رسیم؛ یعنی ارتفاع، واسطهٔ هندسی دو قسمت وتر است.

یک رابطهٔ دیگر هم داریم: $AH\times BC=AB\times AC$. برای دیدن دلیلش، مساحت همان مثلث را یک بار با قاعدهٔ $BC$ و ارتفاع $AH$، و بار دیگر با دو ضلع عمود $AB$ و $AC$ بنویس. این رابطه وقتی ارتفاع وتر مجهول است، خیلی کمک می‌کند.

تا اینجا می‌دانستیم اگر مثلث قائم‌الزاویه باشد، مربع وتر برابر مجموع مربع‌های دو ضلع دیگر است. حالا جهت استدلال را عوض کن: اگر این برابری برای ضلع‌های یک مثلث برقرار باشد، آیا مثلث حتماً قائم است؟ بله؛ این «عکس قضیهٔ فیثاغورس» است.

برای دیدن دلیل، فرض کن $BC^2=AB^2+AC^2$. یک مثلث تازه بساز که دو ضلع قائمش به‌اندازهٔ $AB$ و $AC$ باشند. طبق فیثاغورس، مربع وتر مثلث تازه با $BC^2$ برابر می‌شود؛ پس چون طول‌ها مثبت‌اند، وترش برابر $BC$ است. حالا دو مثلث به حالت سه ضلع هم‌نهشت‌اند؛ بنابراین زاویهٔ $A$ هم قائم است.

می‌توان هر دو جهت را یک‌جا گفت: زاویهٔ $A$ قائمه است «اگر و تنها اگر» $BC^2=AB^2+AC^2$. در کاربرد، ضلع روبه‌روی زاویه‌ای را که بررسی می‌کنی درست انتخاب کن؛ برای تشخیص قائم بودن از روی طول‌ها، بزرگ‌ترین ضلع نامزد وتر است.

در ادامهٔ بحث تشابه، فقط خود ضلع‌ها مهم نیستند. اگر نسبت طول‌های مثلث اول به ضلع‌های متناظر مثلث دوم $k$ باشد، ارتفاع‌ها، میانه‌ها، نیمسازها و محیط‌ها هم با همان نسبت $k$ تغییر می‌کنند. شرط مهم، متناظر بودن است؛ مثلاً باید ارتفاع‌های وارد بر ضلع‌های متناظر را با هم مقایسه کنی.

اما مساحت یک اندازهٔ طولی نیست. در فرمول مساحت، قاعده و ارتفاع در هم ضرب می‌شوند. چون هرکدام با نسبت $k$ تغییر می‌کنند، نسبت مساحت‌ها $k^2$ می‌شود:

$\frac{S_1}{S_2}=k^2$

مثل بزرگ کردن یک طرح مثلثی روی کاغذ فکر کن: طول مرزها با نسبت بزرگ‌نمایی تغییر می‌کند، ولی مقدار کاغذ لازم با مربع آن نسبت. پس هنگام حل مسئله، پیش از نوشتن تناسب بپرس: «دارم طول و محیط را مقایسه می‌کنم یا مساحت را؟»

دو مثلث متشابه را مثل یک تصویر و نسخهٔ بزرگ‌شدهٔ آن تصور کن. اگر نسبت طول‌های مثلث دوم به اول را $k$ بگیریم، این نسبت فقط مخصوص ضلع‌ها نیست؛ ارتفاع، میانه و نیمسازِ متناظر هم با همین ضریب تغییر می‌کنند. حتماً ترتیب «دوم به اول» را در همهٔ کسرها ثابت نگه دار.

چرا این اجزا هم همین نسبت را دارند؟ برای ارتفاع‌ها، دو مثلث کوچکِ ساخته‌شده با ارتفاع، یک زاویهٔ قائمه و یک زاویهٔ متناظر برابر دارند؛ پس به حالت دو زاویه متشابه‌اند. بنابراین $\frac{A'H'}{AH}=k$.

برای میانه‌ها، چون $M$ و $M'$ وسط ضلع‌های متناظرند، داریم $\frac{B'M'}{BM}=\frac{B'C'}{BC}=k$. این نسبت و برابری زاویهٔ محصور، تشابه مثلث‌های $ABM$ و $A'B'M'$ را ثابت می‌کند؛ پس نسبت میانه‌ها هم $k$ است.

برای نیمسازها، نصفِ زاویه‌های برابر نیز برابر است. در نتیجه مثلث‌های $ABD$ و $A'B'D'$ با دو زاویه متشابه‌اند و $\frac{B'D'}{BD}=k$. نکتهٔ اصلی در هر سه اثبات، پیدا کردن دو مثلث کوچکِ متشابه است.

محیط، جمع طول ضلع‌هاست. وقتی هر ضلع در $k$ ضرب شود، مجموع ضلع‌ها هم در $k$ ضرب می‌شود؛ پس $\frac{P'}{P}=k$.

اما مساحت مثلث از حاصل‌ضرب قاعده و ارتفاع به دست می‌آید. هر دو طول با ضریب $k$ تغییر می‌کنند، بنابراین:

$\frac{S'}{S}=\frac{\frac{1}{2}b'h'}{\frac{1}{2}bh}=\frac{b'}{b}\times\frac{h'}{h}=k^2$.

برای چندضلعی‌های متشابه هم همین قانون برقرار است. با رسم قطرها، آن‌ها را به مثلث‌های متناظر تقسیم می‌کنیم؛ مساحت هر مثلث با ضریب $k^2$ تغییر می‌کند، پس مجموع مساحت‌ها نیز همین ضریب را دارد. هر دو چندضلعی منتظم با تعداد ضلع یکسان هم متشابه‌اند.

در عمل، مقدار نوار دور یک نقش به محیط وابسته است، اما مقدار کاغذ لازم برای پوشاندنش به مساحت. اگر نسبت مساحت‌ها را داشته باشی، برای یافتن نسبت طول‌ها یا محیط‌ها باید ریشهٔ دوم مثبت بگیری: $k=\sqrt{\frac{S'}{S}}$.

ویژگی‌های تناسب، قانون‌های جداگانه و حفظ‌کردنی نیستند؛ می‌توانیم آن‌ها را با کارهای مجاز روی تساوی ثابت کنیم. در همهٔ کسرها باید مخرج ناصفر باشد.

از $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ شروع کن. با ضرب دو طرف در $bd$ به $ad=bc$ می‌رسیم؛ این همان طرفین‌وسطین کردن است. اگر $a$ و $c$ هم ناصفر باشند، از همین تساوی می‌توان نتیجه گرفت: $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ و $\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$.

راه دیگر، افزودن یا کم‌کردن یک مقدار یکسان از دو طرف است. مثلاً با کم‌کردن $1$ داریم:

$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1\Rightarrow\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$.

با افزودن $1$ نیز $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$ به دست می‌آید. همچنین با معکوس‌کردن، افزودن $1$ و دوباره معکوس‌کردن، داریم $\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$؛ البته مخرج‌های تازه هم باید ناصفر باشند. پس به‌جای جابه‌جایی دلخواه عددها، برای هر تغییر یک دلیل داشته باش.

یک ویژگی مهم دیگر، ارتباط نسبت‌های برابر با جمع صورت‌ها و جمع مخرج‌هاست. فرض کن $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ و $b+d\ne0$. از تعریف نسبت می‌دانیم $a=bk$ و $c=dk$؛ بنابراین:

$\frac{a+c}{b+d}=\frac{bk+dk}{b+d}=\frac{k(b+d)}{b+d}=k$.

پس وقتی چند نسبت برابرند، می‌توانیم صورت‌ها را با هم و مخرج‌ها را با هم جمع کنیم و همان نسبت را به دست آوریم. این نتیجه برای تعداد بیشتری از نسبت‌های برابر هم برقرار است، به شرط آنکه مجموع مخرج‌ها ناصفر باشد.

حالا دلیل قانون محیط‌ها روشن‌تر می‌شود: نسبت ضلع‌های متناظر برابر است؛ پس نسبت مجموع ضلع‌ها هم همان نسبت است. مراقب باش این ویژگی را برای نسبت‌های نابرابر به کار نبری؛ برابری نسبت‌ها شرط اصلی است.