خلاصه درس فصل ۱ هندسه دهم؛ درسنامه و نکات مهم

نیمساز، نیم‌خطی است که از رأس زاویه شروع می‌شود و آن را به دو زاویهٔ برابر تقسیم می‌کند. ویژگی مهم دیگری هم دارد: هر نقطهٔ آن از دو ضلع زاویه به یک فاصله است.

اما «فاصله از ضلع» یعنی چه؟ از نقطه به ضلع عمود رسم می‌کنیم؛ طول این پاره‌خط عمود، فاصله است، نه طول یک پاره‌خط کج.

برای فهم دلیل، نقطهٔ $P$ را روی نیمساز زاویهٔ $xOy$ بگیر و پای عمودهای آن بر دو ضلع را $H$ و $K$ بنام. مثلث‌های قائم‌الزاویهٔ $OHP$ و $OKP$ وتر مشترک $OP$ دارند. زاویه‌های آن‌ها در رأس $O$ نیز برابرند؛ پس به حالت وتر و زاویهٔ تند هم‌نهشت‌اند. در نتیجه $PH=PK$. یعنی نصف شدن زاویه، به برابری دو فاصلهٔ عمودی می‌انجامد.

حالا مسیر استدلال را برعکس کنیم: اگر نقطه‌ای داخل زاویه باشد و فاصله‌هایش از دو ضلع برابر باشند، آیا حتماً روی نیمساز است؟ بله؛ این ویژگی راهی برای تشخیص نیمساز به ما می‌دهد.

نقطهٔ داخلی $P$ را به رأس $O$ وصل کن و از آن دو عمود $PH$ و $PK$ بر ضلع‌ها رسم کن. فرض ما $PH=PK$ است. دو مثلث قائم‌الزاویهٔ $OHP$ و $OKP$، وتر مشترک $OP$ و یک ضلع برابر دارند؛ پس به حالت وتر و یک ضلع هم‌نهشت‌اند. بنابراین زاویه‌های دو طرف $OP$ برابر می‌شوند و نیم‌خط $OP$ نیمساز است.

دقت کن که دو کاربرد داریم: گاهی می‌دانیم نقطه روی نیمساز است و برابری فاصله‌ها را نتیجه می‌گیریم؛ گاهی برابری فاصله‌ها را می‌دانیم و جای نقطه را تشخیص می‌دهیم. در کاربرد دوم، نقطه را داخل زاویه در نظر می‌گیریم.

برای رسم دقیق نیمساز، لازم نیست اندازهٔ زاویه را بدانیم. خط‌کش برای وصل کردن نقطه‌هاست و پرگار به ما کمک می‌کند طول‌های برابر بسازیم.

ابتدا به مرکز رأس $O$ کمانی بزن تا ضلع‌ها را در $A$ و $B$ قطع کند؛ چون شعاع یکی است، $OA=OB$. سپس با شعاعی یکسان و بزرگ‌تر از نصف $AB$، یک کمان به مرکز $A$ و کمانی به مرکز $B$ بزن. محل برخورد مناسب آن‌ها را داخل زاویه، غیر از $O$، با $W$ مشخص کن. اکنون $AW=BW$ است. نیم‌خط $OW$ را رسم کن.

چرا رسم درست است؟ مثلث‌های $OAW$ و $OBW$ سه ضلع برابر دارند: دو برابری را پرگار ساخته و $OW$ نیز مشترک است. پس به حالت سه ضلع هم‌نهشت‌اند و زاویه‌های $AOW$ و $BOW$ برابر می‌شوند. بنابراین نیم‌خط $OW$ همان نیمساز است؛ ظاهر شکل به‌تنهایی دلیل ما نیست.

عمودمنصف یک پاره‌خط، خطی است که از وسط آن می‌گذرد و بر آن عمود است. پاره‌خط $AB$ را در نظر بگیر و وسطش را $M$ بنام. اگر $W$ روی عمودمنصف باشد، چرا فاصله‌اش از دو سر پاره‌خط برابر است؟

اگر $W$ با $M$ متفاوت باشد، دو مثلث $WMA$ و $WMB$ را مقایسه کن: ضلع $WM$ مشترک است، $MA=MB$ و زاویه‌های کنار $M$ هر دو قائمه‌اند. پس دو مثلث به حالت ضلع‌ـ‌زاویه‌ـ‌ضلع هم‌نهشت‌اند و در نتیجه $WA=WB$. اگر خودِ $M$ را انتخاب کنیم، برابری فاصله‌ها از وسط‌بودن آن روشن است.

پس برای پیدا‌کردن جایی هم‌فاصله از دو دوست، لازم نیست فقط وسط آن‌ها بایستی؛ هر نقطهٔ عمودمنصف مناسب است.

حالا مسیر استدلال را برعکس کنیم: اگر بدانیم $WA=WB$، آیا می‌توانیم جای $W$ را مشخص کنیم؟ بله؛ این نقطه روی عمودمنصف $AB$ است.

برای دیدن دلیل، وسط $AB$ را $M$ بنام و فرض کن $W$ روی خط $AB$ نیست. در دو مثلث $WMA$ و $WMB$، داریم $WA=WB$، $MA=MB$ و ضلع $WM$ مشترک است. پس مثلث‌ها به حالت سه‌ضلع هم‌نهشت‌اند. بنابراین دو زاویهٔ کنار $M$ برابرند؛ چون کنار هم یک زاویهٔ نیم‌صفحه می‌سازند، هرکدام $90^\circ$ هستند. پس $WM$ عمودمنصف است. اگر $W$ روی خط $AB$ باشد، برابری فاصله‌ها یعنی خودِ وسط پاره‌خط است.

این دو ویژگی را با هم به خاطر بسپار: روی عمودمنصف بودن و هم‌فاصله بودن از دو سر، یکدیگر را نتیجه می‌دهند.

از یک نقطه می‌توان بی‌شمار خط گذراند، اما دو نقطهٔ متمایز فقط یک خط را مشخص می‌کنند. پس برای رسم عمودمنصف کافی است دو نقطهٔ متفاوت از آن را پیدا کنیم.

دهانهٔ پرگار را بیشتر از نصف طول $AB$ باز کن. به مرکز $A$ و سپس با همان دهانه به مرکز $B$ کمان بزن تا در دو نقطهٔ $U$ و $V$ همدیگر را قطع کنند. چون دهانه ثابت مانده است، $AU=BU$ و $AV=BV$. پس هر دو نقطه روی عمودمنصف‌اند؛ خط $UV$ همان عمودمنصف موردنظر است.

این روش مثل پیدا‌کردن دو نشانی برای یک مسیر مستقیم است. مراقب باش دهانهٔ پرگار بین دو مرکز تغییر نکند؛ بزرگ‌بودن دهانه به‌تنهایی کافی نیست، برابرماندن آن هم ضروری است.

فرض کن خط $d$ و نقطهٔ $M$ روی آن داده شده‌اند و می‌خواهیم از $M$ خطی عمود بر $d$ رسم کنیم. می‌توانیم این کار تازه را به همان رسم عمودمنصف تبدیل کنیم.

پرگار را روی $M$ بگذار و با یک دهانهٔ دلخواه، خط $d$ را در دو طرف $M$ قطع کن؛ این دو نقطه را $A$ و $B$ بنام. چون هر دو با یک دهانه ساخته شده‌اند، $MA=MB$ است و $M$ وسط $AB$ می‌شود. حالا عمودمنصف $AB$ را با روش کمان‌ها رسم کن.

این خط هم از $M$ می‌گذرد و هم بر $d$ عمود است؛ چون پاره‌خط $AB$ روی همان خط $d$ قرار دارد. نکتهٔ اصلی، ساختن دو نقطه در دو طرف $M$ با فاصله‌های برابر است، نه انتخاب دو نقطهٔ دلخواه.

پایهٔ ترسیم‌های این درس، عمودمنصف است: خطی که از وسط یک پاره‌خط می‌گذرد و بر آن عمود است. ویژگی مهمش این است که هر نقطهٔ آن از دو سر پاره‌خط فاصلهٔ برابر دارد؛ برعکس، هر نقطه با این ویژگی روی عمودمنصف است.

برای ساختن آن، دهانهٔ پرگار را بیشتر از نصف طول $AB$ باز کن. از $A$ و سپس از $B$، با همان دهانه، کمان بزن تا در دو نقطهٔ $U$ و $V$ یکدیگر را قطع کنند. خط $UV$ را بکش.

چرا درست است؟ چون $AU=BU$ و $AV=BV$؛ پس هر دو نقطه روی عمودمنصف‌اند. لازم نیست وسط پاره‌خط را با خط‌کش اندازه بگیری. مثلاً برای مشخص‌کردن وسط یک نوار کاغذی هم می‌توانی از همین روش استفاده کنی.

فرض کن نقطهٔ $M$ روی خط $d$ است و می‌خواهی درست از همان نقطه، خطی عمود بر $d$ بکشی؛ مثل رسم یک مسیر عمود بر لبهٔ صاف کاغذ از نقطه‌ای مشخص روی آن.

پرگار را روی $M$ بگذار و با یک دهانهٔ دلخواه، خط را در دو سوی $M$ قطع کن. نام این دو نقطه را $A$ و $B$ بگذار. چون $MA=MB$ و دو نقطه در دو سوی $M$ هستند، $M$ وسط $AB$ است.

حالا عمودمنصف $AB$ را با روش کارت قبل رسم کن. این خط هم بر $d$ عمود است و هم از $M$ می‌گذرد. نکتهٔ اصلی این است: اول پاره‌خطی می‌سازیم که نقطهٔ داده‌شده وسط آن باشد؛ بعد عمودمنصفش را رسم می‌کنیم.

این بار نقطهٔ $T$ بیرون خط $d$ است. پرگار را روی $T$ بگذار و دهانه‌اش را آن‌قدر باز کن که کمان، خط را در دو نقطهٔ متمایز به نام‌های $A$ و $B$ قطع کند. اگر کمان به خط نرسید یا فقط آن را لمس کرد، دهانه را بیشتر باز کن.

اکنون $TA=TB$ است؛ زیرا هر دو فاصله، شعاع همان کمان‌اند. پس $T$ روی عمودمنصف $AB$ قرار دارد. با رسم عمودمنصف این پاره‌خط، خطی به دست می‌آوری که از $T$ می‌گذرد و بر $d$ عمود است.

دقت کن: اینجا $T$ وسط $AB$ نیست؛ اصلاً روی خط داده‌شده قرار ندارد! فقط از دو سر پاره‌خط فاصلهٔ برابر دارد. این روش برای پیدا کردن مسیر عمود از یک نقطه تا لبهٔ مستقیم کاغذ هم کاربرد دارد.

حالا می‌توانی مسئلهٔ اول درس را حل کنی: رسم موازی با خط $d$ از نقطهٔ $T$ بیرون آن. کار تازه‌ای لازم نیست؛ دو روشی را که یاد گرفتی پشت سر هم انجام بده.

ابتدا از $T$، خط $d_1$ را عمود بر $d$ رسم کن. در این مرحله، $T$ بیرون خط اولیه است. سپس از همان $T$، خط $d_2$ را عمود بر $d_1$ بکش. این بار $T$ روی خطی است که باید بر آن عمود رسم کنی.

چرا $d_2$ با $d$ موازی است؟ اگر $d_1$ را مورّب در نظر بگیری، زاویه‌های متناظرِ حاصل از برخوردش با این دو خط، هر دو راست و برابرند؛ پس دو خط موازی‌اند. مثل رسم لبهٔ دوم یک نوار: هر دو لبه بر یک خط مشترک عمودند.

وقتی چند مورد را بررسی می‌کنی و از آن‌ها به یک نتیجهٔ کلی می‌رسی، از استدلال استقرایی استفاده کرده‌ای. مثلاً چند نفر از هم‌کلاسی‌هایت رنگ سبز را دوست دارند و تو حدس می‌زنی همهٔ کلاس همین سلیقه را دارند. این حرکت، از چند مورد جزئی به یک ادعای کلی است.

استقرا برای پیدا کردن الگو و ساختن حدس بسیار مفید است؛ اما ممکن است مورد بعدی با حدس ما سازگار نباشد. پس نه باید هر حدس استقرایی را غلط بدانیم، نه باید آن را اثبات‌شده حساب کنیم. در مثال کلاس، کافی است یک نفر رنگ دیگری را ترجیح دهد تا ادعای «همه» نادرست شود.

در استدلال استنتاجی، از واقعیت‌ها و ویژگی‌های پذیرفته‌شده شروع می‌کنیم و با گام‌های منطقی به نتیجه می‌رسیم. لازم نیست حتماً نماد بنویسیم؛ توضیح روشن و منطقی با کلمات هم می‌تواند استنتاج باشد.

تفاوت دو روش را در چهارضلعی‌ها ببین: بررسی مربع، مستطیل، لوزی و متوازی‌الاضلاع، همهٔ چهارضلعی‌های محدب را پوشش نمی‌دهد. اما اگر یک چهارضلعی محدب دلخواه را با یک قطر به دو مثلث تقسیم کنیم، مجموع زاویه‌های آن از مجموع زاویه‌های دو مثلث به دست می‌آید؛ یعنی $360^\circ$.

نکتهٔ اصلی، شکل خاص روی کاغذ نیست: دلیل ما فقط به محدب بودن چهارضلعی تکیه دارد، نه به برابر بودن ضلع‌ها یا قائمه بودن زاویه‌ها. پس برای هر چهارضلعی محدب قابل استفاده است.

وقتی چند خط از یک نقطه بگذرند، می‌گوییم همرس‌اند. برای اثبات همرسی، معمولاً تقاطع دو خط را می‌گیریم و نشان می‌دهیم خط سوم هم از همان نقطه می‌گذرد.

در عمودمنصف‌های مثلث، ابزار ما برابری فاصله از رأس‌هاست: تقاطع دو عمودمنصف از هر سه رأس فاصلهٔ برابر دارد؛ پس روی عمودمنصف سوم هم هست. در نیمسازهای داخلی نیز همین فکر را با فاصله از ضلع‌ها اجرا می‌کنیم. یادت باشد فاصلهٔ نقطه از خط، طول پاره‌خط عمود بر آن است.

برای ارتفاع‌ها، یک ساخت کمکی به کار می‌آید: از هر رأس، خطی موازی ضلع مقابل می‌کشیم تا مثلث بزرگ‌تری ساخته شود. هم‌نهشتی مثلث‌های حاصل نشان می‌دهد رأس‌های مثلث اولیه، وسط ضلع‌های مثلث بزرگ‌ترند. بنابراین خط‌های حامل ارتفاع‌های مثلث اولیه، عمودمنصف‌های مثلث بزرگ‌ترند و همرسی آن‌ها از نتیجهٔ قبلی به دست می‌آید.

حالا چند مثلث با شکل‌های متفاوت را در ذهن بیاور. اگر ضلع‌ها و زاویه‌های هرکدام را از بزرگ به کوچک مرتب کنی، به این حدس می‌رسی: ضلع بزرگ‌تر روبه‌روی زاویهٔ بزرگ‌تر است. این مرحله، کشف الگو با استقراست؛ هنوز باید دلیل بیاوریم.

برای اثبات، ابتدا معلوم می‌کنیم چه چیزی داده شده و چه چیزی باید ثابت شود. دادهٔ مسئله را فرض و نتیجهٔ مورد انتظار را حکم می‌نامیم. مثلاً اگر در مثلث $ABC$ فرض $AB>AC$ باشد، حکم $\hat{C}>\hat{B}$ است؛ چون رأس $C$ روبه‌روی ضلع $AB$ قرار دارد.

شکلی که می‌کشیم نباید ویژگی اضافی داشته باشد. مثلاً وقتی فقط نابرابری دو ضلع داده شده، نباید بی‌دلیل مثلث را قائم‌الزاویه فرض کنیم.

برای تبدیل حدس به نتیجه‌ای قابل اعتماد، باید پلی منطقی از فرض به حکم بسازیم. در مسئلهٔ مقایسهٔ ضلع و زاویه، دو دانسته کمک می‌کنند: زاویه‌های روبه‌روی ساق‌های مثلث متساوی‌الساقین برابرند و زاویهٔ خارجی مثلث از هر زاویهٔ داخلی غیرمجاورش بزرگ‌تر است.

در مثال حل‌شده، با انتخاب یک نقطه روی ضلع بزرگ‌تر، مثلثی متساوی‌الساقین می‌سازیم و این دو دانسته را به هم وصل می‌کنیم. چون این ساخت برای هر مثلث دارای دو ضلع نابرابر قابل انجام است، نتیجه محدود به شکل ما نمی‌ماند.

به بعضی نتیجه‌های مهم و پرکاربرد که با استنتاج ثابت می‌شوند، قضیه می‌گوییم. مسیر کار را به خاطر بسپار: مشاهده، حدس، مشخص‌کردن فرض و حکم، و سپس اثبات؛ حدس نقطهٔ شروع است، نه پایان کار.

اول یک رابطهٔ آشنا را به یاد بیاور: در هر مثلث، روبه‌روی ضلع بزرگ‌تر، زاویهٔ بزرگ‌تری قرار دارد. مثلاً در مثلث $ABC$، از $AB>AC$ نتیجه می‌گیریم $\hat C>\hat B$؛ چون زاویهٔ مقابل $AB$، زاویهٔ $C$ است، نه زاویهٔ $A$.

حالا جای شرط و نتیجه را عوض کن: اگر $\hat C>\hat B$ باشد، آیا $AB>AC$ است؟ این پرسش دربارهٔ عکس قضیه است. در این نمونه پاسخ مثبت است، ولی برای هر قضیه‌ای نمی‌توان چنین نتیجه‌ای گرفت.

هنگام نوشتن عکس، زمینهٔ مسئله را نگه می‌داریم؛ اینجا شکل همچنان مثلث است. فقط شرط اصلی و نتیجه جابه‌جا می‌شوند، نه اینکه همهٔ اطلاعات مسئله کنار گذاشته شوند.

برای استدلال دقیق، باید بدانیم دربارهٔ چه نوع جمله‌ای صحبت می‌کنیم. گزاره خبری است که ارزش درست یا نادرست دارد؛ حتی اگر هنوز ارزشش را ندانیم. پرسش، دستور و جملهٔ سلیقه‌ای چنین ویژگی‌ای ندارند. چند خبر را هم می‌توان ترکیب کرد و گزاره‌ای مرکب ساخت.

نقیض باید دقیقاً ارزش مخالف گزاره را داشته باشد. برای ساختنش از خودت بپرس: «این ادعا در چه حالت‌هایی برقرار نیست؟» مثلاً نقیض $AB>AC$، رابطهٔ $AB\le AC$ است؛ برابری را نباید جا انداخت.

به واژه‌های «همه» و «وجود دارد» هم دقت کن. نقیضِ «همهٔ اعضا این ویژگی را دارند» می‌گوید دست‌کم یک عضو آن ویژگی را ندارد؛ لازم نیست همهٔ اعضا فاقد آن باشند.

گاهی رسیدن مستقیم از فرض به حکم آسان نیست. در برهان خلف، فرض‌های مسئله را نگه می‌داریم، اما موقتاً نقیض حکم را هم می‌پذیریم. سپس پیامدهای این وضعیت را دنبال می‌کنیم.

اگر به نتیجه‌ای برسیم که با فرض مسئله یا یک حقیقت اثبات‌شده ناسازگار باشد، به تناقض رسیده‌ایم. آن‌وقت می‌فهمیم پذیرفتن نقیض حکم اشتباه بوده و خود حکم درست است.

نکتهٔ مهم این است که نقیض را کامل بنویسیم. اگر حکم یک نابرابریِ اکید باشد، نقیضش معمولاً دو حالت دارد: نابرابری در جهت دیگر و برابری. برای کامل شدن برهان باید هر دو حالت را بررسی کنیم؛ رد کردن فقط یکی کافی نیست.

وقتی هم یک قضیه و هم عکس آن درست باشند، می‌توانیم آن‌ها را در یک جملهٔ دوشرطی جمع کنیم. عبارت «اگر و تنها اگر» و نماد $\Leftrightarrow$ همین رفت‌وبرگشت را نشان می‌دهند.

برای نمونه، در مثلث $ABC$ داریم:

$BC>AB\Leftrightarrow\hat A>\hat C$

خواندن از چپ به راست می‌گوید از مقایسهٔ ضلع‌ها به مقایسهٔ زاویه‌های مقابل می‌رسیم. خواندن از راست به چپ، مقایسهٔ ضلع‌ها را از روی زاویه‌ها به ما می‌دهد.

پس این نماد فقط شکل کوتاه‌ترِ «اگر» نیست؛ دو ادعا را هم‌زمان بیان می‌کند. در حل مسئله، اول ببین چه اطلاعاتی داری، سپس جهت مناسب را انتخاب کن. پیش از مقایسه هم ضلع و زاویهٔ روبه‌روی هم را درست پیدا کن.

درستی عکس قضیه را نباید از روی ظاهر جمله حدس بزنیم؛ ممکن است عکس، ادعایی دربارهٔ «همهٔ» شکل‌ها باشد و درست نباشد. برای رد چنین ادعای کلی، کافی است یک مثال نقض پیدا کنیم.

مثال نقض باید شرط ادعا را داشته باشد، اما نتیجهٔ آن را نداشته باشد. اگر نمونه‌ای شرط اولیه را نداشته باشد، چیزی را رد نمی‌کند.

این روش فقط برای هندسه نیست. اگر کسی دربارهٔ همهٔ اعضای یک گروه ادعایی کند، یک عضو ناسازگار برای رد آن کافی است. در مقابل، دیدن چند نمونهٔ موافق، درستی حکم را برای همه تضمین نمی‌کند؛ برای اثبات کلی به استدلال نیاز داریم.

پیش از رسیدن به مثال نقض، یک نکته از بحث قبلی را روشن کنیم. گاهی یک رابطه را در هر دو جهت می‌توان به کار برد: هم از شرط به نتیجه می‌رسیم و هم از نتیجه به شرط. اگر هر دو جهت درست باشند، آن را با «اگر و تنها اگر» و نماد $\Leftrightarrow$ بیان می‌کنیم.

مثلاً در مثلث $ABC$، رابطهٔ $BC>AB\Leftrightarrow\hat A>\hat C$ دو پیام دارد: از بزرگ‌تر بودن ضلع، بزرگ‌تر بودن زاویهٔ روبه‌رو را می‌فهمیم و برعکس. پس هنگام خواندن یک قضیهٔ دوشرطی، آن را به دو حکم جدا تبدیل کن. درست بودن یک جهت، به‌تنهایی مجوزِ پذیرفتن جهت دیگر نیست.

حکم کلی دربارهٔ همهٔ اعضای یک مجموعه حرف می‌زند؛ واژه‌هایی مثل «هر» و «همه» نشانه‌های مهم آن‌اند. برای رد چنین حکمی لازم نیست همهٔ اعضا را بررسی کنیم؛ کافی است یک عضو پیدا کنیم که با ادعا سازگار نباشد. به آن عضو، مثال نقض می‌گوییم.

مثلاً عدد $-2$ حکم «همهٔ اعداد صحیح مثبت‌اند» را رد می‌کند: این عدد صحیح است، ولی مثبت نیست. مثال نقض باید دو شرط داشته باشد: اول، واقعاً در محدودهٔ حکم باشد؛ دوم، نتیجهٔ حکم درباره‌اش برقرار نباشد. برای همین، یک عددِ غیرصحیح، هرچند مثبت نباشد، نمی‌تواند این ادعا دربارهٔ اعداد صحیح را رد کند.

برای رد کردن یک حکم کلی، یک مثال نقض کافی است؛ اما برای درست دانستن آن، پیدا نکردن مثال نقض کافی نیست. ممکن است جست‌وجوی ما محدود بوده باشد و مورد ناسازگار هنوز پیدا نشده باشد. مثال‌های تأییدکننده فقط نشان می‌دهند حکم در همان موارد درست است.

در هندسه، حکم مجموع زاویه‌های داخلی چهارضلعی محدب را با اثبات می‌پذیریم، نه با اندازه‌گیری چند شکل. با رسم یک قطر، چهارضلعی به دو مثلث تقسیم می‌شود و مجموع زاویه‌ها برابر $2\times180^\circ=360^\circ$ خواهد بود. این استدلال به یک شکل خاص وابسته نیست. پس اگر نه اثباتی داریم و نه مثال نقضی، باید صادقانه بگوییم: «هنوز نمی‌توانیم دربارهٔ درستی حکم نتیجه بگیریم.»