سوال ۱ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

سوال ۱ دفترچهٔ اختصاصی کنکور ریاضی ۱۴۰۵، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱ · ریاضی

کنکور ریاضی ۱۴۰۵ · سوال ۱ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری

مقدار عبارت گویای $A=\frac{x^3-3\sqrt[3]{2}x^2+3\sqrt[3]{4}x-1}{x^3-3\sqrt[3]{3}x^2+3\sqrt[3]{9}x}$ به‌ازای $x=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}$ کدام است؟

گزینهٔ ۱: 0/2
گزینهٔ ۲: 0/4
گزینهٔ ۳: 0/6
گزینهٔ ۴: 0/8

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

به‌جای محاسبهٔ مستقیم توان‌های $x$ ، صورت و مخرج را با اتحاد مکعب تفاضل بازنویسی می‌کنیم. این روش در راستای ساده‌سازی عبارت‌های گویا با استفاده از اتحادهاست (ریاضی ۱، صفحهٔ ۶۵).

اتحاد موردنیاز عبارت است از:
$(x-a)^3=x^3-3ax^2+3a^2x-a^3$ .

گام اول: بازنویسی صورت
با قرار دادن $a=\sqrt[3]{2}$ داریم:
$(x-\sqrt[3]{2})^3=x^3-3\sqrt[3]{2}x^2+3\sqrt[3]{4}x-2$ .
پس صورت کسر برابر است با:
$x^3-3\sqrt[3]{2}x^2+3\sqrt[3]{4}x-1=(x-\sqrt[3]{2})^3+1$ .

گام دوم: بازنویسی مخرج
به همین ترتیب:
$(x-\sqrt[3]{3})^3=x^3-3\sqrt[3]{3}x^2+3\sqrt[3]{9}x-3$ .
بنابراین مخرج کسر برابر است با:
$x^3-3\sqrt[3]{3}x^2+3\sqrt[3]{9}x=(x-\sqrt[3]{3})^3+3$ .

گام سوم: جای‌گذاری مقدار داده‌شده
از $x=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}$ نتیجه می‌شود:
$x-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{3}$ و $x-\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{2}$ .
در نتیجه:
$A=\frac{(\sqrt[3]{3})^3+1}{(\sqrt[3]{2})^3+3}=\frac{3+1}{2+3}=\frac{4}{5}=0.8$ .

مخرج در این مقدار برابر $5$ و ناصفر است؛ پس عبارت تعریف می‌شود. شرط ناصفر بودن مخرج برای تعریف عبارت گویا نیز در کتاب بیان شده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۶۵).

پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: این مقدار ممکن است از محاسبهٔ نسبتِ اختلاف مخرج و صورت به مخرج، یعنی $\frac{5-4}{5}=0.2$ ، به‌دست آید؛ اما سؤال خودِ نسبت صورت به مخرج را می‌خواهد، نه مکمل آن را.
گزینهٔ ۲: اگر صورت را به‌اشتباه $(x-\sqrt[3]{2})^3-1$ بنویسید، به $\frac{2}{5}=0.4$ می‌رسید. در واقع برای تطبیق جملهٔ ثابت، باید به مکعب تفاضل $1$ اضافه کنید، نه اینکه از آن کم کنید.
گزینهٔ ۳: اگر صورت را فقط $(x-\sqrt[3]{2})^3$ در نظر بگیرید، حاصل $\frac{3}{5}=0.6$ می‌شود. این بازنویسی نادرست است، زیرا جملهٔ ثابتِ این مکعب $-2$ است، درحالی‌که جملهٔ ثابت صورت $-1$ است.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

روش بازنویسی عبارت‌های جبری با استفاده از اتحادها را مرور کنید؛ هدف این است که پیش از جای‌گذاری، صورت و مخرج ساختار ساده‌تری پیدا کنند (ریاضی ۱، صفحهٔ ۶۵). به اتحاد مکعب تفاضل توجه کنید.
در اتحاد $(x-a)^3=x^3-3ax^2+3a^2x-a^3$ ، برای صورت $a=\sqrt[3]{2}$ و برای مخرج $a=\sqrt[3]{3}$ بگذارید. سپس جمله‌های ثابت را با عبارت اصلی تطبیق دهید.
صورت را به شکل $(x-\sqrt[3]{2})^3+1$ و مخرج را به شکل $(x-\sqrt[3]{3})^3+3$ بنویسید. اکنون با مقدار داده‌شدهٔ $x$ ، تفاضل داخل هر پرانتز را پیدا کنید و سپس به توان سوم برسانید.

فصل «توان‌های گویا و عبارت‌های جبری» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.