سوال ۶۱ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

سوال ۶۱ دفترچهٔ اختصاصی کنکور ریاضی ۱۴۰۵، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۶۱ · فیزیک

کنکور ریاضی ۱۴۰۵ · سوال ۶۱ · کلید رسمی سازمان سنجش

فیزیک · فیزیک ۲ (ریاضی) · فصل ۲: جریان الکتریکی و مدارهای جریان مستقیم

۸ سیم مسی هر یک به طول $\ell$ و قطر مقطع $d$ به صورت موازی به هم وصل شده و یک رسانا به مقاومت $R$ تشکیل داده‌اند. قطر مقطع یک سیم مسی به طول $\ell$ چند $d$ باشد تا مقاومت الکتریکی آن $2R$ شود؟

گزینهٔ ۱: $4$
گزینهٔ ۲: $2$
گزینهٔ ۳: $2\sqrt{2}$
گزینهٔ ۴: $4\sqrt{2}$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۲ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: مقاومت هر سیم اولیه را پیدا می‌کنیم.
مقاومت هر یک از هشت سیم یکسان را $r$ می‌نامیم. در اتصال موازی، اختلاف پتانسیل دو سر همهٔ سیم‌ها یکسان است و جریان کل برابر مجموع جریان شاخه‌هاست؛ بنابراین با استفاده از قانون اهم، $R=V/I$ ، داریم (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۴۹):
$\dfrac{1}{R}=8\times\dfrac{1}{r}\quad\Rightarrow\quad r=8R$ .
پس مقاومت موردنظر برای سیم جدید، نسبت به مقاومت هر سیم اولیه، برابر است با:
$R_{\text{جدید}}=2R=\dfrac{r}{4}$ .

گام دوم: نسبت مساحت مقطع‌ها را به دست می‌آوریم.
طبق رابطهٔ $R=\rho\ell/A$ ، در دمای یکسان، مقاومت سیم‌های هم‌جنس و هم‌طول با مساحت مقطع نسبت وارون دارد (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۲). اگر مساحت مقطع هر سیم اولیه $A$ و مساحت مقطع سیم جدید $A'$ باشد:
$\dfrac{R_{\text{جدید}}}{r}=\dfrac{A}{A'}=\dfrac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad A'=4A$ .

گام سوم: نسبت مساحت را به نسبت قطر تبدیل می‌کنیم.
مساحت مقطع دایره‌ای از رابطهٔ $A=\pi d^2/4$ به دست می‌آید (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحه‌های ۵۵–۵۶، مثال ۲ـ۵). بنابراین اگر قطر سیم جدید $D$ باشد:
$\dfrac{A'}{A}=\dfrac{D^2}{d^2}=4\quad\Rightarrow\quad\dfrac{D}{d}=2$ .
پس قطر سیم جدید باید $2d$ باشد.

پاسخ: گزینهٔ ۲

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: این گزینه ممکن است از اشتباه گرفتن نسبت مساحت مقطع با نسبت قطر به دست آید: مساحت مقطع سیم جدید باید $4$ برابر مساحت مقطع هر سیم اولیه باشد، نه قطر آن. قطر $4d$ مقاومت را به $R/2$ می‌رساند، نه $2R$ .
گزینهٔ ۳: اگر به‌جای مقاومت خواسته‌شده، سیمی هم‌مقاومت با کل مجموعه بسازید، به قطر $2\sqrt{2}d$ می‌رسید. این قطر مساحت مقطع را $8$ برابر می‌کند و مقاومت سیم برابر $R$ می‌شود، نه $2R$ .
گزینهٔ ۴: این گزینه ممکن است از وارونه‌کردن اثر افزایش مقاومت به دست آید؛ برای دوبرابرشدن مقاومت نسبت به مجموعه، باید مساحت مقطع معادل نصف شود، نه دوبرابر. قطر $4\sqrt{2}d$ مساحت مقطع را $32$ برابر مساحت هر سیم اولیه می‌کند و مقاومت آن $R/4$ خواهد بود.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

رابطهٔ مقاومت سیم با طول و مساحت مقطع را از فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۲، به یاد آورید. همچنین توجه کنید که سیم‌های یکسان در اتصال موازی، مقاومت معادل کمتری از یک سیم دارند.
اگر مقاومت هر سیم اولیه را $r$ بنامید، مقاومت معادل هشت سیم موازی برابر $R=r/8$ است. ابتدا مقاومت خواسته‌شدهٔ سیم جدید را برحسب $r$ بنویسید.
برای سیم‌های هم‌جنس و هم‌طول در دمای یکسان، $R\propto 1/A$ و برای مقطع دایره‌ای، $A\propto d^2$ است؛ بنابراین از نسبت مقاومت‌ها، ابتدا نسبت مساحت‌ها و سپس با جذرگرفتن نسبت قطرها را پیدا کنید.

فصل «جریان الکتریکی و مدارهای جریان مستقیم» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.