خلاصه درس فصل ۲ ریاضی و آمار دهم؛ درسنامه و نکات مهم

چه چیزی به چه چیزی بستگی دارد؟

فرض کن دوچرخه‌سواری با سرعت ثابتِ $2$ متر بر ثانیه حرکت می‌کند. هرچه زمان بیشتری بگذرد، مسافت بیشتری طی می‌کند. پس برای تعیین مسافت، اول باید بدانیم چند ثانیه حرکت کرده است.

زمان را با $t$ و مسافت طی‌شده را با $d$ نشان می‌دهیم. رابطهٔ آن‌ها چنین است:

$d=2t$

یعنی مسافت برحسب متر، دو برابر زمان برحسب ثانیه است؛ البته فرض کرده‌ایم مسافت را از لحظهٔ شروع حرکت اندازه می‌گیریم.

در این رابطه، زمان متغیر مستقل است: مقدار آن را انتخاب می‌کنیم. مسافت متغیر وابسته است: مقدارش براساس زمانِ انتخاب‌شده به دست می‌آید. نمی‌توانیم پس از انتخاب زمان، مسافت را هم دلخواه تعیین کنیم؛ باید از رابطه پیروی کند.

برای تشخیص این دو، از خودت بپرس: «اول مقدار کدام را انتخاب می‌کنم و بعد مقدار کدام را با رابطه به دست می‌آورم؟»

وابستگی در زندگی روزمره

فرض کن می‌خواهیم مقدار رنگ لازم برای رنگ‌کردن یک دیوار را مشخص کنیم. فقط پهنای دیوار کافی نیست؛ ارتفاع آن هم مهم است. پس یک مقدار می‌تواند به بیش از یک عامل وابسته باشد.

در مدل وزن مطلوبِ کتاب هم دو عامل داریم: قد و نمایهٔ تودهٔ بدنی یا «نماتوب». رابطه این است:

$\text{وزن مطلوب}=\text{نماتوب}\times(\text{قد})^2$

در این فرمول، قد را برحسب $\mathrm{m}$ وارد می‌کنیم و وزن برحسب $\mathrm{kg}$ به دست می‌آید. کتاب برای گروه‌های سنی مختلف، نماتوب‌های مناسبی در نظر گرفته است؛ بنابراین برای استفاده از این مدل، دانستن قد به‌تنهایی کافی نیست.

حالا اگر نماتوب را ثابت بگیریم، تنها عامل تغییرکننده در سمت راست رابطه، قد است. در این حالت، با انتخاب هر قد، وزن مطلوبِ متناظر با آن تعیین می‌شود؛ یعنی قد متغیر مستقل و وزن مطلوب متغیر وابسته است.

اینجا هدفمان شناخت وابستگی متغیرهاست؛ این رابطه را نباید به‌تنهایی معیار ارزیابی سلامت افراد دانست.

ورودی و خروجی در یک زوج

فرض کن می‌خواهیم ورودی و خروجی یک رابطه را کنار هم یادداشت کنیم. برای اینکه معلوم باشد هر عدد چه نقشی دارد، آن‌ها را به شکل زوج مرتب $(x,y)$ می‌نویسیم: اول ورودی، بعد خروجی.

در این نمایش، $x$ مؤلفهٔ اول و $y$ مؤلفهٔ دوم نام دارد. مثلاً زوج $(2,7)$ می‌گوید ورودی $2$ است و خروجیِ مربوط به آن $7$. موقع خواندن، از عدد سمت چپ شروع کن.

چرا «مرتب»؟ چون جای دو مؤلفه مهم است! زوج $(7,2)$ می‌گوید ورودی $7$ و خروجی $2$ است؛ پس با $(2,7)$ فرق دارد. مثل نشانی «طبقه، واحد» که جابه‌جا نوشتن دو عددش می‌تواند تو را به جای دیگری ببرد.

دو زوج مرتب فقط وقتی برابرند که مؤلفه‌های هم‌جای آن‌ها برابر باشند؛ یعنی اولی با اولی و دومی با دومی. البته اگر دو مؤلفه یکسان باشند، مانند $(3,3)$، جابه‌جایی‌شان زوج را تغییر نمی‌دهد.

چند نمایش برای یک رابطه

فرض کن ورودی‌ها و خروجی‌های یک دستگاه را یادداشت کرده‌ای. برای نشان‌دادن ارتباط آن‌ها، چند راه داری؛ اطلاعات یکی است، فقط شکل نمایش فرق می‌کند.

• جدول: هر ستون، یک ورودی و خروجیِ مربوط به آن را کنار هم نگه می‌دارد.
• نمودار پیکانی: ورودی‌ها را در مجموعه‌ای و خروجی‌ها را در مجموعه‌ای دیگر می‌نویسیم؛ سپس از هر ورودی به خروجیِ مربوط به آن پیکان می‌کشیم. جهت پیکان از متغیر مستقل به متغیر وابسته است.
• نمودار مختصاتی: هر زوج مرتبِ جدول را به‌صورت یک نقطه نشان می‌دهیم؛ مؤلفهٔ اول روی محور افقی و مؤلفهٔ دوم روی محور عمودی مشخص می‌شود.

مثلاً اگر در جدول، زیر ورودیِ $1$ خروجیِ $-1$ آمده باشد، در نمودار پیکانی، پیکانی از $1$ به $-1$ داریم و در صفحهٔ مختصات، نقطهٔ $(1,-1)$ را مشخص می‌کنیم.

پس برای رفتن از یک نمایش به نمایش دیگر، همراهی هر ورودی با خروجی خودش را حفظ کن؛ قرار نیست رابطهٔ تازه‌ای بسازی.

شرط اصلی تابع بودن

فرض کن دستگاهی به هر ورودی، یک خروجی نسبت می‌دهد. برای اینکه رابطهٔ این دستگاه تابع باشد، باید هر عضو مجموعهٔ ورودی دقیقاً یک خروجی داشته باشد. پس دو حالت تابع بودن را به هم می‌زنند: ورودی‌ای بدون خروجی بماند، یا یک ورودی به چند خروجی متفاوت وصل شود.

اما آیا دو ورودی می‌توانند خروجی یکسان داشته باشند؟ بله! در دستگاه مربع‌کننده، ورودی‌های $2$ و $-2$ هر دو خروجی $4$ دارند. این موضوع اشکالی ندارد؛ چون هر ورودی به‌تنهایی فقط یک خروجی دارد. پس پاسخ پرسش آغاز درس مثبت است: خروجی مشترک، مانع تابع بودن نیست.

برای نمونه، رابطهٔ «هر دانش‌آموز و ماه تولد او» تابع است؛ هر دانش‌آموز فقط یک ماه تولد دارد، ولی چند دانش‌آموز می‌توانند در یک ماه به دنیا آمده باشند.

هنگام بررسی نمودار پیکانی، از سمت ورودی‌ها نگاه کن: از هر عضو مجموعهٔ ورودی باید دقیقاً یک پیکان بیرون آمده باشد.

هر ورودی، دقیقاً یک خروجی

فرض کن به هر دانش‌آموز، نمرهٔ یک آزمون فیزیک را نسبت می‌دهیم. دانش‌آموز «ورودی» و نمرهٔ او «خروجی» است. اگر هر دانش‌آموز دقیقاً یک نمره داشته باشد، این رابطه تابع است.

ممکن است مریم و سارا هر دو نمرهٔ $20$ گرفته باشند؛ این مشکلی ندارد! خروجیِ مشترک برای چند ورودی مجاز است. اما اگر برای مریم در همان آزمون دو نمرهٔ متفاوت ثبت شده باشد، رابطه دیگر تابع نیست. اگر هم دانش‌آموزی از مجموعهٔ آغاز هیچ نمره‌ای نداشته باشد، باز شرط تابع برقرار نیست.

در نمودار پیکانی، کافی است از تک‌تک اعضای مجموعهٔ آغاز شروع کنی و پیکان‌های خروجی را بشماری: از هر عضو باید دقیقاً یک پیکان خارج شود؛ نه هیچ پیکانی و نه چند پیکان. البته چند پیکان از ورودی‌های مختلف می‌توانند به یک خروجی برسند.

تشخیص تابع از زوج‌های مرتب

در زوج مرتبِ $(x,y)$، مؤلفهٔ اول ورودی و مؤلفهٔ دوم خروجی است. برای تشخیص تابع، ورودی‌های یکسان را پیدا کن و خروجی‌هایشان را مقایسه کن. اگر یک ورودی با دو خروجی متفاوت همراه شده باشد، رابطه تابع نیست.

مثلاً فرض کن در فهرست یک فروشگاه، هر کالا ورودی و قیمت ثبت‌شدهٔ آن خروجی باشد. اگر برای یک کالا در همان فهرست دو قیمت متفاوت نوشته باشند، رابطهٔ «کالا به قیمت» تابع نیست؛ اما هم‌قیمت بودن دو کالای متفاوت اشکالی ندارد.

در رابطهٔ $\{(1,4),(2,4),(3,5)\}$، هر ورودی فقط یک خروجی دارد؛ پس رابطه تابع است، هرچند خروجیِ $4$ تکرار شده است. در جدول هم همین بررسی را انجام می‌دهیم: اگر مقدار یکسانی در سطر $x$ تکرار شد، مقدارهای متناظر آن در سطر $y$ باید برابر باشند.

نکته: تکرارِ خودِ یک زوج مرتب، خروجی متفاوتی ایجاد نمی‌کند؛ مشکل، یک ورودی با دو خروجی متفاوت است.

آزمون خط عمودی

اگر فقط نمودار یک رابطه را داشته باشیم، چطور بفهمیم تابع است؟ کافی است بررسی کنیم آیا یک ورودی، دو خروجی متفاوت دارد یا نه.

روی صفحهٔ مختصات، جای افقی هر نقطه ورودیِ $x$ و جای عمودی آن خروجیِ $y$ را نشان می‌دهد. نقطه‌هایی که روی یک خط عمودی قرار دارند، ورودی یکسانی دارند. پس اگر یک خط عمودی نمودار را در دو یا چند نقطه قطع کند، یک ورودی چند خروجی دارد و رابطه تابع نیست.

آزمون خط عمودی: یک خط موازی محور $y$ها را در ذهن از چپ به راست حرکت بده. برای تابع بودن، این خط در هر جای صفحه باید حداکثر یک نقطهٔ مشترک با نمودار داشته باشد.

مثلاً در نمودار «زمان و دمای هوا»، برای هر زمان فقط یک دما ثبت می‌شود؛ بنابراین بالای یک زمان مشخص، دو نقطه با دماهای متفاوت نداریم. دقت کن: اگر خط عمودی در جایی هیچ برخوردی نداشته باشد، مشکلی نیست؛ «حداکثر یک» یعنی صفر یا یک برخورد.

قانون ماشین تابع

تابع را مثل یک ماشین در نظر بگیر: ورودی را می‌گیرد، قانون مشخصی را روی آن اجرا می‌کند و خروجی می‌دهد. وقتی این قانون را با یک عبارت جبری بنویسیم، آن را ضابطهٔ جبری تابع می‌نامیم.

مثلاً اگر قانون ماشین «به ورودی، سه واحد اضافه کن» باشد، ضابطه‌اش را به شکل $y=x+3$ می‌نویسیم. این قانون شبیه محاسبهٔ هزینهٔ خریدی است که مبلغ ثابتی برای ارسال به قیمت کالا اضافه می‌کند.

برای تابعی به نام $f$، خروجیِ مربوط به ورودی $x$ را با نماد $f(x)$ نشان می‌دهیم؛ بنابراین می‌توانیم بنویسیم $f(x)=x+3$. نماد $f(x)$ را «اِفِ ایکس» می‌خوانیم؛ این نماد به معنی ضربِ $f$ در $x$ نیست، بلکه نامِ خروجی تابع برای آن ورودی است.

هرگاه ورودی مشخصی داشته باشیم، کافی است آن را به جای $x$ در ضابطه بگذاریم و قانون ماشین را اجرا کنیم.

دامنه و بُرد

در ماشین تابع، چه ورودی‌هایی داریم و چه خروجی‌هایی به دست می‌آوریم؟ دامنه مجموعهٔ همهٔ ورودی‌های تابع است و بُرد مجموعهٔ همهٔ خروجی‌های حاصل از آن.

در نمایش زوج مرتب، عضو اول هر زوج یک ورودی و عضو دوم آن خروجی است. پس برای پیدا کردن دامنه، مؤلفه‌های اول را جمع می‌کنیم؛ برای پیدا کردن بُرد، مؤلفه‌های دوم را. دامنهٔ تابع $f$ را با $D_f$ و بُرد آن را با $R_f$ نشان می‌دهیم.

مثلاً در رابطهٔ «هر دانش‌آموز به نمرهٔ او»، دامنه مجموعهٔ دانش‌آموزان و بُرد مجموعهٔ نمره‌هایی است که واقعاً گرفته‌اند؛ نه همهٔ نمره‌های ممکن.

نکتهٔ مهم: در یک مجموعه، مقدار تکراری را فقط یک بار می‌نویسیم. اگر چند دانش‌آموز نمرهٔ یکسانی داشته باشند، آن نمره فقط یک عضو بُرد است. بنابراین لازم نیست تعداد اعضای دامنه و بُرد برابر باشد.

قانون ماشین تابع

فرض کن دستگاهی داریم که هر عددی به آن بدهی، سه واحد به آن اضافه می‌کند. برای توضیح کار این دستگاه، لازم نیست ورودی‌ها و خروجی‌ها را یکی‌یکی فهرست کنیم؛ می‌توانیم قانونش را بنویسیم: $y=x+3$. به چنین قانونی ضابطهٔ جبری تابع می‌گوییم.

در این نوشته، $x$ ورودی و $y$ خروجی است. خروجی تابع $f$ را با $f(x)$ هم نشان می‌دهیم؛ پس $f(x)=x+3$ یعنی «تابع به ورودی، سه واحد اضافه می‌کند». حواست باشد: $f(x)$ نشانهٔ خروجی تابع است، نه ضربِ $f$ در $x$!

برای پیدا کردن خروجی، کافی است عدد ورودی را در تمام جاهایی که $x$ می‌بینی قرار بدهی و سپس محاسبه کنی. مثل دستگاهی که مبلغ خرید را می‌گیرد و هزینهٔ ثابت بسته‌بندی را به آن اضافه می‌کند؛ ضابطه توضیح می‌دهد دستگاه با ورودی چه می‌کند.

دامنه و بُرد؛ ورودی‌ها و خروجی‌ها

ماشین تابع را به یاد بیاور: دامنه مجموعهٔ همهٔ ورودی‌های تابع است و بُرد مجموعهٔ همهٔ خروجی‌هایی است که از آن می‌گیریم. دامنهٔ تابع را با $D_f$ و بُرد آن را با $R_f$ نشان می‌دهیم.

در نمایش با زوج‌های مرتب، مؤلفه‌های اول را برای دامنه و مؤلفه‌های دوم را برای بُرد جمع می‌کنیم. مثلاً در تابع

$f=\{(1,4),(2,4),(3,7)\}$

ورودی‌ها برابرند با:

$D_f=\{1,2,3\}$

و خروجی‌ها این مجموعه را می‌سازند:

$R_f=\{4,7\}$

چرا خروجیِ $4$ را دوبار ننوشتیم؟ چون در یک مجموعه، هر عضو را فقط یک‌بار می‌نویسیم؛ حتی اگر چند ورودی به آن رسیده باشند. مثل دستگاه فروشی که چند دکمهٔ متفاوت آن، یک نوع نوشیدنی می‌دهند.

در نمودار پیکانی هم ورودی‌ها در ابتدای پیکان‌ها هستند و برای یافتن بُرد، فقط عضوهایی را برمی‌داریم که پیکانی به آن‌ها رسیده است؛ نه لزوماً همهٔ عضوهای مجموعهٔ مقصد.

از دامنه و ضابطه به بُرد

فرض کن قانون یک دستگاه را می‌دانی و فهرست ورودی‌های مجازش هم کنارش نوشته شده است. برای پیدا کردن همهٔ خروجی‌های دستگاه، باید تک‌تک ورودی‌های فهرست را امتحان کنی؛ دانستن قانون به‌تنهایی کافی نیست.

در نمایش $f:A\rightarrow B$، مجموعهٔ $A$ دامنه است. برای به‌دست آوردن بُرد، هر عضو $A$ را به‌جای $x$ در ضابطه می‌گذاریم و مقدار $f(x)$ را حساب می‌کنیم. بهتر است یک جدول دو ستونی بسازیم: یک ستون برای ورودی‌ها و یک ستون برای خروجی‌هایشان.

سپس خروجی‌ها را در یک مجموعه می‌نویسیم و آن را $R_f$ می‌نامیم. خروجی‌های تکراری را فقط یک‌بار می‌آوریم. پس لازم نیست تعداد عضوهای بُرد با تعداد عضوهای دامنه برابر باشد.

حواست باشد: بُرد فقط شامل خروجی‌هایی است که واقعاً از ورودی‌های دامنه حاصل شده‌اند؛ نباید بدون بررسی، همهٔ عضوهای $B$ را در بُرد بنویسیم.

هر ورودی، فقط یک خروجی

فرض کن دستگاهی با دریافت کد هر کالا، قیمت آن را نشان می‌دهد. اگر یک کد مشخص، هم‌زمان دو قیمت متفاوت بدهد، خروجی معلوم نیست! اما دو کالای متفاوت می‌توانند قیمت یکسان داشته باشند.

در تابع هم هر ورودیِ دامنه باید دقیقاً یک خروجی داشته باشد. پس برای تشخیص تابع بودن، ورودی‌ها را بررسی کن، نه متفاوت بودن خروجی‌ها را.

در نمایش زوج‌مرتبِ $(x,y)$، مؤلفهٔ اول ورودی و مؤلفهٔ دوم خروجی است. اگر یک ورودی با دو خروجی متفاوت دیده شود، رابطه تابع نیست. در نمایش پیکانی نیز باید از هر عضو دامنه دقیقاً یک پیکان خارج شود؛ رسیدن چند پیکان به یک خروجی اشکالی ندارد.

یک رابطه حتی با یک زوج‌مرتب، مانند $g=\{(1,1)\}$، می‌تواند تابع باشد. تعداد زوج‌ها تعیین‌کننده نیست؛ یکتا بودن خروجیِ هر ورودی مهم است.

از دامنه تا برد

یک دستگاه را تصور کن که فقط چند ورودی مشخص را می‌پذیرد. دامنه، مجموعهٔ همین ورودی‌های مجاز است؛ برد، مجموعهٔ خروجی‌هایی است که واقعاً از این ورودی‌ها به دست می‌آیند.

برای پیدا کردن برد از روی ضابطه و دامنهٔ داده‌شده، این مسیر را برو:

• هر عضو دامنه را به‌جای $x$ در ضابطه بگذار.
• خروجی هر ورودی را حساب کن؛ هیچ عضو دامنه را جا نینداز.
• خروجی‌ها را در یک مجموعه بنویس؛ اگر خروجی‌ای چند بار به دست آمد، آن را فقط یک بار بنویس.

مثلاً ممکن است دو ورودی متفاوت، خروجی یکسانی بسازند. پس تعداد اعضای برد لزوماً با تعداد اعضای دامنه برابر نیست.

حواست باشد مجموعهٔ مقصد، یعنی $B$ در نماد $f:A\rightarrow B$، الزاماً همان برد نیست؛ فقط اعضایی از آن در برد قرار می‌گیرند که واقعاً خروجیِ یکی از ورودی‌های دامنه باشند.

از جمله تا ضابطه

توصیف کلامی تابع، مثل دستور کار یک دستگاه است: باید بفهمیم چه کارهایی، با چه ترتیبی روی ورودی انجام می‌شوند. مثلاً در محاسبهٔ هزینهٔ خرید، «دو برابر کردن مبلغ، سپس کم کردن تخفیف» با «کم کردن تخفیف، سپس دو برابر کردن» یکسان نیست.

برای عبارت «دو برابر مکعب همان عدد، منهای چهار»، ورودی را $x$ می‌نامیم و دستورها را به‌ترتیب می‌نویسیم:

• مکعب عدد: $x^3$
• دو برابر مکعب: $2x^3$
• کم کردن چهار از نتیجه: $2x^3-4$

پس ضابطهٔ تابع می‌شود: $f(x)=2x^3-4$.

جای پرانتز مهم است! عبارت $2(x-4)^3$ دستور دیگری دارد: اول از ورودی چهار کم می‌کنیم، بعد مکعب می‌گیریم و در پایان دو برابر می‌کنیم.

برای محاسبهٔ $f(3)$، کافی است در ضابطه، به‌جای هر $x$ عدد $3$ بگذاریم؛ سپس به‌ترتیب توان، ضرب و تفریق را انجام دهیم. یادت باشد $f(3)$ یعنی «خروجی تابع برای ورودی $3$»، نه ضرب کردن $f$ در $3$.

تشخیص تابع از نمودار

فرض کن نمودار، مسیر حرکت یک آسانسور را نشان می‌دهد: محور افقی زمان و محور عمودی ارتفاع است. آسانسور در یک لحظه نمی‌تواند در دو ارتفاع متفاوت باشد. در نمودار تابع هم هر ورودی باید فقط یک خروجی داشته باشد.

برای بررسی این شرط، آزمون خط عمودی را انجام می‌دهیم: یک خط عمودی فرضی را از چپ به راست روی نمودار حرکت بده. همهٔ نقاط روی این خط، مقدار $x$ یکسانی دارند. اگر خط در جایی نمودار را در دو یا چند نقطه قطع کند، یعنی یک ورودی چند خروجی دارد؛ پس نمودار تابع نیست.

اگر هر خط عمودی، نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند، نمودار نمایش یک تابع است. دقت کن که ممکن است بعضی خط‌های عمودی اصلاً به نمودار نرسند؛ این یعنی آن مقدار $x$ در دامنه نیست و اشکالی ایجاد نمی‌کند.

پس عمودی بودن خط مهم است: ما خروجی‌های مربوط به یک ورودی ثابت را بررسی می‌کنیم، نه ورودی‌های دارای خروجی یکسان را.

از موقعیت واقعی تا رابطه

فنر را بدون وزنه تصور کن؛ همین حالا هم طول دارد! طول اولیهٔ آن $5$ سانتی‌متر است. با آویختن وزنه، فنر کشیده می‌شود و به‌ازای هر $1$ کیلوگرم، $0.5$ سانتی‌متر به طولش اضافه می‌شود.

اگر جرم وزنه را بر حسب کیلوگرم با $x$ نشان بدهیم، افزایش طول بر حسب سانتی‌متر برابر با $0.5x$ است. اما این فقط بخش اضافه‌شده است، نه تمام طول فنر. برای پیدا کردن طول کل باید طول اولیه را هم حساب کنیم:

اینجا $f(x)$ طول فنر بر حسب سانتی‌متر است. این رابطه مثل حساب کردن مبلغ خرید همراه با هزینهٔ ثابت ارسال است: یک بخش ثابت داریم و یک بخش که با مقدار خرید تغییر می‌کند.

برای اطمینان، وزنه را بردار: با قرار دادن $x=0$، رابطه طول اولیهٔ $5$ سانتی‌متر را می‌دهد؛ همان چیزی که انتظار داشتیم.

شناخت تابع خطی

در مثال فنر دیدیم که طول اولیه ثابت است و با اضافه‌کردن هر واحد وزنه، طول فنر به اندازه‌ای ثابت بیشتر می‌شود. چنین رابطه‌ای را می‌توان به شکل $y=mx+h$ نوشت؛ این شکلِ کلی تابع خطی است.

در این رابطه، دو عدد نقش مهمی دارند:

• $m$ مقدار تغییر خروجی به‌ازای یک واحد افزایش ورودی است. در رابطهٔ فنر، یعنی $f(x)=5+0.5x$، با افزایش وزنه به اندازهٔ $1$ کیلوگرم، طول فنر $0.5$ سانتی‌متر بیشتر می‌شود؛ پس $m=0.5$ است.
• $h$ خروجی در ورودی صفر است. وقتی وزنه‌ای نداریم، طول فنر $5$ سانتی‌متر است؛ پس $h=5$ است.

حالا کارخانهٔ لوله‌سازی را در نظر بگیر: در هر ساعت $300$ متر لوله تولید می‌کند. اگر مقدار تولید را از شروع کار بشماریم، رابطهٔ آن $f(x)=300x$ است؛ یعنی $m=300$ و $h=0$. پس نداشتن جملهٔ ثابت، مانع خطی‌بودن تابع نیست؛ فقط مقدار اولیه صفر است.

رسم خط با دو نقطه

برای رسم نمودار تابع خطی لازم نیست جای تعداد زیادی نقطه را پیدا کنی؛ دو نقطه با ورودی‌های متفاوت کافی است، چون از دو نقطهٔ متمایز فقط یک خط راست می‌گذرد.

ابتدا دو مقدار متفاوت برای $x$ انتخاب کن؛ مقدارهایی که حساب کردن با آن‌ها راحت باشد. سپس هرکدام را در ضابطهٔ تابع بگذار و خروجی را حساب کن. حالا دو زوج مرتب به شکل $(x,f(x))$ داری.

هنگام مشخص کردن هر نقطه، ورودی را روی محور افقی و خروجی را روی محور عمودی بخوان. در پایان، با خط‌کش خطی از هر دو نقطه بگذران. اگر دامنهٔ تابع همهٔ اعداد حقیقی باشد، خط را در هر دو جهت ادامه بده؛ نمودار فقط پاره‌خط بین دو نقطه نیست.

در موقعیت‌های واقعی، مثل رابطهٔ وزن و طول فنر، به محدودیت ورودی هم توجه کن: بخش مربوط به وزن منفی، معنایی در آن موقعیت ندارد.

از دو نقطه تا ضابطه

دو نقطه از یک خط را داری؛ چطور رابطهٔ آن را پیدا کنی؟ کافی است در $y=mx+h$، مقدارهای $m$ و $h$ را پیدا کنی.

اگر نقطه‌ها $(x_1,y_1)$ و $(x_2,y_2)$ باشند و $x_1\ne x_2$، ابتدا شیب را حساب کن:

یعنی تغییر خروجی را بر تغییر ورودی تقسیم کن. ترتیب تفریق در صورت و مخرج باید یکسان باشد؛ اگر از خروجی نقطهٔ دوم شروع کردی، در مخرج هم از ورودی همان نقطه شروع کن.

حالا مختصات یکی از نقطه‌ها و شیب را در $y=mx+h$ بگذار. تنها مجهول، $h$ است؛ پس آن را به دست بیاور و ضابطه را بنویس. اگر یکی از نقطه‌ها ورودی صفر داشته باشد، خروجی همان نقطه مستقیماً مقدار $h$ را نشان می‌دهد.

مثلاً در رابطهٔ خطیِ هزینهٔ ارسال و مسافت، شیب نشان‌دهندهٔ افزایش هزینه به‌ازای هر واحد مسافت است و $h$ هزینهٔ اولیه است. در پایان، هر دو نقطه را در ضابطه امتحان کن تا از درستی آن مطمئن شوی.

دو نقطه برای رسم خط

اگر جای دو نقطه از نمودار یک تابع درجهٔ یک را بدانی، می‌توانی تمام خط را رسم کنی! چون از دو نقطهٔ متفاوت، فقط یک خط راست می‌گذرد.

برای رسم نمودار $y=mx+h$، این مسیر را دنبال کن:

• دو مقدار متفاوت و دلخواه برای $x$ انتخاب کن؛ مقدارهایی که جای‌گذاری آن‌ها آسان باشد.
• هر مقدار را در ضابطه بگذار تا $y$ متناظر آن به دست بیاید.
• هر زوج مرتب $(x,y)$ را در دستگاه مختصات مشخص کن؛ اول مؤلفهٔ افقی و بعد مؤلفهٔ عمودی.
• با خط‌کش، خط گذرنده از دو نقطه را بکش و در هر دو جهت ادامه بده.

حواست باشد: اگر دامنه محدود نشده باشد، نمودار فقط پاره‌خط بین دو نقطه نیست؛ آن دو نقطه راهنمای رسم کل خط‌اند. مثل دو نشانه روی مسیر یک جادهٔ کاملاً مستقیم که جهت ادامهٔ مسیر را نشان می‌دهند.

از دو نقطه تا ضابطه

دو نقطهٔ یک خط را داری؛ چطور می‌توانی قانون آن را پیدا کنی؟ کافی است دو عددِ ثابتِ $m$ و $h$ را در $y=mx+h$ مشخص کنی.

اول، شیب را پیدا کن. اگر نقطه‌ها $(x_1,y_1)$ و $(x_2,y_2)$ باشند و $x_1\ne x_2$، داریم:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

حواست باشد ترتیب تفریق در صورت و مخرج یکسان باشد؛ یعنی هر دو را «مختصات نقطهٔ دوم منهای مختصات نقطهٔ اول» بنویسی.

بعد، مقدار ثابت را پیدا کن. شیب و مختصات یکی از نقطه‌ها را در معادله بگذار:

$y_1=mx_1+h$

پس $h=y_1-mx_1$. حالا با گذاشتن $m$ و $h$ در ضابطه، قانون تابع آماده است. برای اطمینان، بررسی کن نقطهٔ دیگر هم در این ضابطه صدق کند.

اگر یکی از نقطه‌ها روی محور عمودی باشد، کار کوتاه‌تر می‌شود: چون آنجا $x=0$ است، مقدار $y$ همان $h$ خواهد بود.

شیب یعنی نرخ تغییر

فرض کن جمعیت شهری را هر سال ثبت می‌کنی. اگر جمعیت در هر سال به اندازهٔ ثابتی بیشتر شود، می‌توان تغییر جمعیت را با مدل رشد خطی توصیف کرد. در این مدل، افزایش جمعیت در بازه‌های زمانی برابر، یکسان است؛ پس نمودار جمعیت نسبت به زمان، خط راست خواهد بود.

اگر زمان روی محور افقی و جمعیت روی محور عمودی باشد، شیب نمودار از این رابطه به دست می‌آید:

$m=\frac{\text{تغییر جمعیت}}{\text{مدت زمان}}$

وقتی زمان برحسب سال باشد، شیب می‌گوید در هر سال چند نفر به جمعیت اضافه می‌شود؛ یعنی واحد آن «نفر در سال» است. هرچه شیب مثبت بزرگ‌تر باشد، جمعیت با سرعت بیشتری افزایش می‌یابد.

یک تفاوت مهم: ثابت‌بودن نرخ افزایش یعنی هر سال تعداد ثابتی به جمعیت اضافه شود، نه اینکه هر سال درصد ثابتی به آن افزوده شود. همچنین این یک مدل برای پیش‌بینی است؛ جمعیت واقعی ممکن است دقیقاً مطابق آن تغییر نکند.

آیا این رابطه خطی است؟

هر رابطه‌ای که دو کمیت را به هم وصل کند، لزوماً خطی نیست. برای تشخیص، اول ضابطهٔ رابطه را می‌نویسیم و ساده می‌کنیم؛ سپس می‌پرسیم: آیا به شکل $y=mx+h$ درمی‌آید، به‌طوری‌که $m$ و $h$ عددهای ثابت باشند؟

مثلاً برای مستطیل‌هایی که طولشان $4$ واحد بیشتر از عرضشان است، اگر عرض را $x$ بگیریم، طول برابر $x+4$ است. برای نوشتن ضابطهٔ محیط، مجموع طول و عرض را دو برابر می‌کنیم؛ برای مساحت، طول و عرض را در هم ضرب می‌کنیم.

تفاوت مهم همین‌جاست: در ضابطهٔ ساده‌شدهٔ محیط، فقط جملهٔ دارای $x$ و یک عدد ثابت داریم؛ اما در ضابطهٔ مساحت، جملهٔ $x^2$ هم ظاهر می‌شود. چنین جمله‌ای را نمی‌توان در قالب $mx+h$ جا داد. پس ظاهر مسئله کافی نیست؛ شکل نهایی ضابطه تعیین‌کننده است.

کاربرد خط در سوددهی

فرض کن فروشنده‌ای هستی که برای آماده‌کردن غرفه هزینه می‌کنی و برای تهیهٔ هر کالا هم مبلغی می‌پردازی. آیا همین که فروش داشته باشی، سود کرده‌ای؟ نه؛ درآمد باید از کل هزینه بیشتر شود.

اگر تعداد کالاهای تولیدشده و فروخته‌شده را با $x$ نشان دهیم، سود برابر درآمد منهای هزینه است:

$P(x)=R(x)-C(x)$

در مسئلهٔ شرکتِ کتاب، هزینه برحسب تومان برابر $C(x)=30000+50x$ است. چون قیمت فروش هر کالا $70$ تومان است، درآمد برابر $R(x)=70x$ می‌شود. پس ضابطهٔ سود چنین است:

$P(x)=70x-(30000+50x)$

با ساده‌کردن این عبارت، تابعی خطی به دست می‌آید. دقت کن که علامت منفی باید بر هر دو جملهٔ هزینه اثر بگذارد.

روی نمودار سود، نقطه‌ای که روی محور افقی قرار دارد، نقطهٔ سربه‌سر است: درآمد و هزینه برابرند. برای آغاز سوددهی باید $P(x)>0$ باشد؛ یعنی نمودار بالاتر از محور افقی قرار بگیرد. چون تعداد کالا عدد صحیح است، پاسخ نهایی باید کوچک‌ترین تعداد صحیحی باشد که سود را مثبت می‌کند.

از میز تا تابع مساحت

فرض کن برای جلسه، میزهای کوچک را کنار هم می‌چینی. محیط میز مستطیلی باید $20$ بماند؛ پس اگر یک ضلع را بلندتر کنی، ضلع دیگر باید کوتاه‌تر شود.

دو ضلع مستطیل را $x$ و $y$ می‌نامیم. از فرمول محیط داریم:

$2x+2y=20$

با تقسیم دو طرف بر $2$، به $x+y=10$ می‌رسیم؛ بنابراین:

$y=10-x$

حالا مساحت، یعنی $s$، از ضرب طول در عرض به دست می‌آید:

$s=xy=x(10-x)=10x-x^2$

پس کافی است اندازهٔ $x$ را بدانیم تا ضلع دیگر و مساحت مشخص شوند. چون بالاترین توانِ $x$ در این رابطه $2$ است، با یک تابع درجهٔ دوم روبه‌رو هستیم.

دقت کن: محیط ثابت به معنی مساحت ثابت نیست! با تغییر شکل میز، مساحت هم تغییر می‌کند. همچنین در این موقعیت هر دو ضلع باید مثبت باشند؛ پس $0<x<10$ است.

از درآمد و هزینه تا سود

پولی که گروه نقاشی دریافت می‌کند، همه‌اش سود نیست؛ بخشی از آن صرف انجام کار می‌شود. مثل فروش یک کاردستی که باید هزینهٔ وسایلش را از پول فروش کم کنی.

اگر گروه در یک روز $x$ مترمربع را رنگ کند، برای هر مترمربع $(1200-x)$ تومان دریافت می‌کند. پس درآمد روزانه برابر است با:

$\text{درآمد}=x(1200-x)$

هزینهٔ روزانه دو بخش دارد: هزینهٔ ثابت رفت‌وآمد و غذا، برابر با $30000$ تومان، و هزینهٔ وسایل، برابر با $200x$ تومان. بنابراین:

$\text{هزینه}=30000+200x$

حالا سود یعنی درآمد منهای هزینه:

$P(x)=x(1200-x)-(30000+200x)$

با باز کردن پرانتزها و جمع کردن جمله‌های هم‌نوع داریم:

$P(x)=-x^2+1000x-30000$

دقت کن که علامت منفیِ پیش از پرانتز، هر دو جملهٔ هزینه را منفی می‌کند. اگر مقدار $P(x)$ منفی شود، یعنی درآمد حتی هزینه‌ها را هم پوشش نداده و گروه زیان کرده است؛ نه اینکه درآمدش منفی باشد.

شناخت و رسم سهمی

تابع مساحت میز و تابع سود نقاشی یک ویژگی مشترک دارند: بزرگ‌ترین توان متغیر در آن‌ها $2$ است. شکل کلی چنین تابع‌هایی $y=ax^2+bx+c$ است؛ به شرط اینکه $a\neq0$ باشد. اگر $a=0$ شود، جملهٔ درجهٔ دوم حذف می‌شود و دیگر تابع درجهٔ دوم نداریم. البته $b$ یا $c$ می‌توانند صفر باشند.

نمودار تابع درجهٔ دوم سهمی نام دارد؛ منحنی‌ای به شکل $\cup$ یا $\cap$، نه یک خط راست.

برای رسم سهمی با جدول مقدارها، چند مقدار برای $x$ انتخاب می‌کنیم، مقدار متناظر $y$ را به دست می‌آوریم و نقطه‌های $(x,y)$ را روی دستگاه مختصات می‌گذاریم. مثلاً برای تابع $y=x^2$، جدول راهنمای ما چنین است:

این نقطه‌ها مثل نشانه‌های مسیرند؛ از میان آن‌ها یک منحنی نرم و پیوسته می‌گذرانیم، نه یک خط شکسته. همین روش برای دیدن شکل نمودار مساحت میز هم به کار می‌آید.

رأس و محور تقارن

اگر سهمی را از خط عمودیِ درست تا کنیم، دو نیمهٔ آن روی هم می‌افتند؛ درست مثل دو بال یک پروانه. این خط، محور تقارن سهمی است و از نقطه‌ای به نام رأس می‌گذرد.

برای پیدا کردن رأس تابع $y=ax^2+bx+c$، دو کار انجام می‌دهیم:

• ابتدا طول رأس، یعنی مختصهٔ افقی آن، را از رابطهٔ $x=-\frac{b}{2a}$ پیدا می‌کنیم. ضریب‌های $a$ و $b$ را با علامتشان در فرمول می‌گذاریم.
• سپس همین مقدار $x$ را در ضابطهٔ تابع جای‌گذاری می‌کنیم تا عرض رأس، یعنی مختصهٔ عمودی آن، به دست آید.

پس فقط با محاسبهٔ طول رأس، هنوز مختصات کامل رأس را نداریم!

محور تقارن خطی عمودی و موازی محور عرض‌هاست؛ بنابراین معادله‌اش $x=-\frac{b}{2a}$ است. نقطه‌های سهمی که در دو طرف این خط فاصلهٔ افقی یکسانی دارند، هم‌ارتفاع‌اند. این ویژگی کمک می‌کند هنگام رسم نمودار، جای نقطه‌ها را بررسی کنی.

کمترین یا بیشترین مقدار؟

رأس سهمی نقطهٔ برگشت نمودار است؛ اما پایین‌ترین نقطه است یا بالاترین؟ برای تشخیص، فقط به علامت ضریب $x^2$، یعنی $a$، نگاه کن.

• اگر $a>0$ باشد، سهمی رو به بالا و به شکل $\cup$ است؛ پس رأس پایین‌ترین نقطهٔ نمودار است و مقدار تابع در رأس، کمترین مقدار آن است.
• اگر $a<0$ باشد، سهمی رو به پایین و به شکل $\cap$ است؛ پس رأس بالاترین نقطهٔ نمودار است و مقدار تابع در رأس، بیشترین مقدار آن است.

مثلاً در تابع مساحت میز، $s=-x^2+10x$، ضریب $x^2$ منفی است؛ بنابراین رأس نشان می‌دهد مساحت میز چه زمانی بیشترین می‌شود. پس بلندتر کردن یک ضلع، همیشه مساحت را بیشتر نمی‌کند!

یادت باشد: مختصهٔ افقی رأس می‌گوید این مقدار کجا رخ می‌دهد؛ مختصهٔ عمودی رأس خودِ کمترین یا بیشترین مقدار تابع است.

جهت بازشدن سهمی

نمودار تابع درجهٔ دوم $y=ax^2+bx+c$ با شرط $a\ne0$، سهمی نام دارد. شکل آن شبیه یک کاسه است؛ کاسه‌ای که ممکن است دهانه‌اش رو به بالا یا رو به پایین باشد!

برای تشخیص جهت، فقط به علامت ضریب $x^2$، یعنی $a$، نگاه کن:

• اگر $a>0$ باشد، سهمی رو به بالا، به شکل $\cup$، باز می‌شود. پایین‌ترین نقطهٔ آن «رأس» است؛ پس تابع در رأس کمترین مقدار را دارد.
• اگر $a<0$ باشد، سهمی رو به پایین، به شکل $\cap$، باز می‌شود. رأس بالاترین نقطه است؛ پس تابع در آن بیشترین مقدار را دارد.

مثلاً اگر نمودار سود یک کارگاه سهمیِ رو به پایین باشد، بالاترین نقطهٔ آن بیشترین سود را نشان می‌دهد؛ بنابراین تولید بیشتر، همیشه به معنای سود بیشتر نیست.

حواست باشد: برای تشخیص جهت، علامت کل عبارت یا عدد ثابت مهم نیست؛ ضریب $x^2$ را پیدا کن.

رأس و محور تقارن

سهمی نقطه‌ای دارد که مسیر نمودار در آن از پایین‌رفتن به بالارفتن، یا برعکس، تغییر می‌کند؛ این نقطه رأس سهمی است. اگر سهمی را مانند تصویر در آینه تصور کنی، دو طرف آن نسبت به خطی عمودی که از رأس می‌گذرد، قرینه‌اند. این خط محور تقارن نام دارد.

برای پیدا کردن رأس تابع $y=ax^2+bx+c$، دو مرحله داریم:

• ابتدا طول رأس، یعنی مختصهٔ افقی آن، را از رابطهٔ $x_{\text{رأس}}=-\frac{b}{2a}$ به دست می‌آوریم. هنگام تشخیص $b$، علامتش را هم همراه آن بردار!
• سپس این مقدار را به جای $x$ در تابع قرار می‌دهیم تا عرض رأس، یعنی $y_{\text{رأس}}$، پیدا شود.

پس رأس یک نقطه با دو مختصه است، اما محور تقارن یک خط با معادلهٔ $x=x_{\text{رأس}}$ است. مثلاً اگر طول رأس را بدانیم، هنوز جای دقیق رأس را نمی‌دانیم؛ باید ارتفاع آن، یعنی عرض رأس، را هم پیدا کنیم.

از رأس تا رسم نمودار

رأس مثل نقطهٔ شروع نقشهٔ سهمی است؛ با پیدا کردن آن و چند نقطه در دو طرفش، می‌توانی نمودار را رسم کنی.

اگر تابع به شکل $y=a(x-h)^2+k$ باشد، رأس آن $(h,k)$ و محور تقارن آن خط $x=h$ است. چرا؟ چون در $x=h$، عبارت داخل پرانتز صفر می‌شود و مقدار تابع برابر $k$ است. علامت داخل پرانتز را با دقت بخوان: در عبارت $(x+2)^2$، مقدار $h$ برابر $-2$ است، نه $2$.

برای رسم، دو مقدار برای $x$ انتخاب کن که از محور تقارن فاصلهٔ برابر داشته باشند. مثلاً اگر محور $x=1$ باشد، مقدارهای $x=0$ و $x=2$ یک جفت مناسب‌اند. با جای‌گذاری در تابع، عرض‌های برابر به دست می‌آوری؛ درست مثل دو نقطهٔ قرینه در آینه.

رأس و نقطه‌ها را روی دستگاه مختصات علامت بزن و با یک منحنی نرم به هم وصل کن، نه با پاره‌خط. جهت بازشدن منحنی هم باید با علامت $a$ سازگار باشد.

برخورد دو سهمی

فرض کن دو نمودار، سود دو کارگاه را بر حسب تعداد تولید نشان می‌دهند. جایی که نمودارها به هم می‌رسند، یعنی در تعداد تولید یکسان، سود یکسانی دارند.

برای دو سهمی هم همین است: نقطهٔ برخورد، یک نقطهٔ مشترک با مختصات $(x,y)$ است؛ پس با قرار دادن طول آن در هر دو تابع، باید همان عرض به دست بیاید. یکسان بودن فقط طول یا فقط عرض کافی نیست.

برای پیدا کردن محل برخورد روی نمودار، ابتدا هر سهمی را با کمک رأس و نقاط متقارن رسم کن. سپس مختصات نقطه‌های مشترک را از روی شکل بخوان. برای بررسی پاسخ، مختصات هر نقطه را در هر دو معادله بگذار؛ اگر هر دو تساوی برقرار باشند، آن نقطه واقعاً مشترک است.

اگر مختصات از روی شکل دقیق خوانده نشود، می‌توان عبارت‌های دو تابع را برابر قرار داد؛ چون در محل برخورد، مقدارهای $y$ برابرند. پس از یافتن هر $x$ مشترک، با جای‌گذاری در یکی از تابع‌ها، $y$ را هم پیدا می‌کنیم.

بهترین مقدار در مسئله‌های واقعی

آیا تولید بیشتر همیشه سود بیشتری دارد؟ نه لزوماً! برای پیدا کردن بهترین مقدار تولید، باید اول تابع سود را بسازیم:

$\text{سود}=\text{درآمد}-\text{هزینه}$

اگر تابع سود درجهٔ دوم باشد و ضریب $x^2$ منفی باشد، سهمی رو به پایین باز می‌شود؛ پس رأس آن بیشترین سود را نشان می‌دهد. طول رأس می‌گوید چه تعداد تولید کنیم و عرض رأس می‌گوید بیشترین سود چقدر است. این دو را با هم اشتباه نگیر!

در مسئلهٔ مساحت هم ابتدا با استفاده از اطلاعات شکل، مساحت را برحسب یک متغیر می‌نویسیم؛ سپس بررسی می‌کنیم آیا رأس، بیشترین مقدار را نشان می‌دهد یا کمترین مقدار را.

اما جواب ریاضی باید با دنیای واقعی هم سازگار باشد: طول ضلع باید مثبت باشد و تعداد کالا باید عددی صحیح و نامنفی باشد. اگر طول رأس برای تعداد تولید صحیح نباشد، مقدارهای صحیح مجازِ دو طرف آن را در تابع بررسی می‌کنیم. همچنین اگر رأس خارج از محدودهٔ مجاز مسئله باشد، نمی‌توانیم آن را پاسخ نهایی بدانیم.