خلاصه درس فصل ۱ ریاضی و آمار دهم؛ درسنامه و نکات مهم

از جمله تا معادله

فرض کن کسی می‌گوید: «دو برابر یک عدد، به‌علاوهٔ یک، برابر با پنج برابر همان عدد، منهای چهار است.» چطور این جمله را به زبان ریاضی بنویسیم؟

اول، عددی را که نمی‌دانیم با $x$ نام‌گذاری می‌کنیم. حالا جمله را تکه‌تکه ترجمه می‌کنیم:

• «دو برابر آن عدد، به‌علاوهٔ یک» می‌شود $2x+1$.
• «پنج برابر همان عدد، منهای چهار» می‌شود $5x-4$.

چون این دو مقدار برابرند، بینشان علامت تساوی می‌گذاریم:

$2x+1=5x-4$

این یک معادله است. دقت کن که «همان عدد» یعنی در هر دو طرف، $x$ نمایندهٔ یک عدد یکسان است.

جواب یا ریشهٔ معادله عددی است که با گذاشتن آن به‌جای مجهول، دو طرف برابر شوند. مثلاً در $4x+2=10$، اگر $x=2$ بگذاریم، طرف چپ $4\times2+2=10$ می‌شود و با طرف راست برابر است؛ پس $2$ ریشهٔ این معادله است.

شناخت و حل معادلهٔ درجهٔ اول

معادله مثل یک ترازوی متعادل است؛ برای حفظ برابری، هر عملی روی یک طرف انجام می‌دهیم، باید روی طرف دیگر هم انجام دهیم.

معادلهٔ درجهٔ اول را می‌توان به شکل $ax+b=0$ نوشت؛ در این شکل، $a$ ضریب مجهول و $b$ عدد ثابت است و هر دو عدد حقیقی‌اند. شرط مهم این است که $a\neq 0$ باشد؛ وگرنه جملهٔ دارای مجهول حذف می‌شود!

برای تنها گذاشتن $x$، ابتدا از هر دو طرف $b$ کم می‌کنیم:

$ax=-b$

سپس هر دو طرف را بر $a$ تقسیم می‌کنیم:

$x=-\frac{b}{a}$

چون $a$ صفر نیست، این تقسیم مجاز است و معادله دقیقاً یک جواب دارد. لازم نیست فرمول را بی‌دلیل حفظ کنی؛ کافی است به یاد داشته باشی که هدف، تنها گذاشتن مجهول با حفظ برابری است.

مثلاً وقتی هزینهٔ خرید شامل مبلغی ثابت و قیمت چند کالای یکسان است، جدا کردن مبلغ ثابت از کل هزینه، شبیه همین کم کردن یک مقدار از دو طرف معادله است.

وقتی مربعِ مجهول وارد می‌شود

اگر پس از ساده‌کردن معادله، بزرگ‌ترین توان مجهول $2$ باشد، با یک معادلهٔ درجهٔ دوم روبه‌رو هستیم. شکل استاندارد آن چنین است:

$ax^2+bx+c=0\qquad a\neq 0$

در این شکل، $a$ ضریبِ $x^2$، $b$ ضریبِ $x$ و $c$ عدد ثابت است. شرطِ $a\neq 0$ مهم است؛ وگرنه جملهٔ درجهٔ دوم حذف می‌شود. البته $b$ یا $c$ می‌توانند صفر باشند.

برای پیدا کردن جوابِ بعضی معادله‌های ساده، ابتدا همهٔ جمله‌ها را به یک طرف می‌بریم تا طرف دیگر صفر شود؛ سپس عبارت را تجزیه می‌کنیم، یعنی به شکل حاصل‌ضرب می‌نویسیم. حالا از این ویژگی کمک می‌گیریم: اگر حاصل‌ضرب دو عامل صفر باشد، دست‌کم یکی از عامل‌ها صفر است.

مراقب باش: اگر یکی از عامل‌ها $x$ باشد، تقسیم دو طرف بر $x$ ممکن است جوابِ $x=0$ را از دست بدهد! به‌جای این کار، هر عامل را جداگانه برابر صفر قرار بده و جواب‌های به‌دست‌آمده را در معادلهٔ اولیه بررسی کن.

هر ریشه‌ای پاسخ مسئله نیست

اگر با حل یک معادله به عددی منفی رسیدی، فوراً آن را خط نزن! اول باید ببینی مجهول چه چیزی را نشان می‌دهد. عدد منفی می‌تواند جواب درستِ معادله باشد، اما با شرایط مسئله سازگار نباشد.

برای بررسی هر جواب، دو پرسش داریم:

• آیا ریشهٔ معادله است؟ آن را در معادلهٔ اولیه جای‌گذاری می‌کنیم؛ باید دو طرف برابر شوند.
• آیا پاسخ مسئله هم هست؟ بررسی می‌کنیم که با معنی مجهول و شرایط گفته‌شده سازگار باشد.

مثلاً اگر مجهول طول ضلع یک میز باشد، مقدار منفی پذیرفتنی نیست؛ چون طول باید مثبت باشد. اما اگر مجهول دمای هوا باشد، منفی بودنش به‌تنهایی دلیل رد کردن آن نیست.

پس حل مسئله با پیدا کردن ریشه‌ها تمام نمی‌شود؛ باید ریشه‌های سازگار با موقعیت را انتخاب کنیم. البته هر مقدار مثبتی هم لزوماً پاسخ نیست؛ باید همهٔ شرایط مسئله را داشته باشد.

مدل‌سازی یک قالی

فرض کن می‌خواهی برای یک قالی مستطیلی جا پیدا کنی. می‌دانی طول آن $2\,\mathrm{m}$ بیشتر از عرضش است و محیطش $12\,\mathrm{m}$ است. چطور این اطلاعات را به زبان ریاضی بنویسی؟

اول مجهول را دقیق تعریف کن: عرض قالی را $x$ متر می‌گیریم. چون طول، دو متر بیشتر است، طول برحسب متر برابر $x+2$ می‌شود؛ پس لازم نیست برای طول مجهول جداگانه‌ای انتخاب کنیم.

حالا رابطهٔ مناسب را پیدا کن: محیط مستطیل، دو برابر مجموع طول و عرض است. بنابراین معادلهٔ مدل ما چنین است:

$2\bigl(x+(x+2)\bigr)=12$

این معادله، همان اطلاعات مسئله را کوتاه و دقیق بیان می‌کند. فعلاً هدف، ساختن مدل است، نه حل آن. هنگام مدل‌سازی، حواست باشد «بیشتر بودن طول» یک رابطه است و «محیط» رابطه‌ای دیگر؛ باید از هر دو استفاده کنی.

اتحادها؛ ابزار تجزیه

«تجزیه» یعنی یک عبارت را به شکل حاصل‌ضرب چند عامل بنویسیم؛ شبیه اینکه وسایل یک کیف را دسته‌بندی کنیم تا ساختارشان روشن‌تر شود. برای انتخاب ابزار مناسب، اول به شکل عبارت نگاه کن.

عامل مشترک: اگر همهٔ جمله‌ها عامل یکسانی دارند، آن را بیرون پرانتز می‌گذاریم:
$x^2+4x=x(x+4)$
با پخش کردن عامل بیرون پرانتز می‌توانی درستی این تجزیه را بررسی کنی.

مربع دوجمله‌ای: دو جمله باید مربع باشند و جملهٔ میانی هم با آن‌ها جور باشد:
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
یادت باشد مربع یک دوجمله‌ای، خودش حاصل‌ضرب دو عامل یکسان است.

اتحاد مزدوج: برای تفاضل دو مربع از این الگو کمک می‌گیریم:
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

اتحاد جملهٔ مشترک: در الگوی
$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
دنبال دو عدد می‌گردیم که جمعشان ضریب جملهٔ میانی و حاصل‌ضربشان جملهٔ ثابت باشد.

فعلاً هدف، شناختن شکل عبارت و تبدیل آن به ضرب است؛ در کارت بعد از این ضرب برای پیدا کردن جواب معادله استفاده می‌کنیم.

از حاصل‌ضرب صفر تا جواب

اگر حاصل‌ضرب دو عدد صفر باشد، دست‌کم یکی از آن‌ها صفر است؛ لازم نیست هر دو صفر باشند. مثلاً اگر هزینهٔ کل خرید برابر «تعداد کالا × قیمت هر کالا» باشد و هزینه صفر شود، تعداد کالا یا قیمت آن باید صفر باشد.

برای حل معادله با تجزیه، این مسیر را دنبال کن:

• ابتدا یک طرف معادله را صفر کن. اگر دو طرف عبارت دارند، همهٔ جمله‌ها را به یک طرف ببر.
• عبارت آن طرف را به حاصل‌ضرب عامل‌ها تبدیل کن.
• هر عامل را جداگانه برابر صفر قرار بده و جواب‌های به‌دست‌آمده را بنویس.

قاعدهٔ اصلی این است:

$A(x)B(x)=0 \Rightarrow A(x)=0 \;\text{یا}\; B(x)=0$

مراقب تقسیم باش! اگر عامل مشترک دارای مجهول است، ممکن است خودش صفر شود؛ پس نباید بی‌بررسی دو طرف را بر آن تقسیم کنی. برای نمونه، در $x(x+6)=0$، تقسیم بر $x$ باعث می‌شود جواب $x=0$ را از دست بدهی. به‌جای حذف عامل، صفر شدن هر عامل را جدا بررسی کن.

دو ریشه، ریشهٔ مضاعف یا بی‌جواب

آیا هر معادلهٔ درجهٔ دوم حتماً دو جواب متفاوت دارد؟ برای پاسخ، به معادلهٔ $(x-1)^2=k$ نگاه کن. مربع هر عدد حقیقی نامنفی است؛ پس علامت $k$ تعیین‌کننده است:

• اگر $k>0$ باشد، عبارت $x-1$ می‌تواند دو مقدارِ قرینه داشته باشد؛ بنابراین معادله دو ریشهٔ حقیقی متمایز دارد.
• اگر $k=0$ باشد، فقط وقتی مربع صفر می‌شود که خودِ $x-1$ صفر باشد. در تجزیهٔ $(x-1)(x-1)=0$، هر دو عامل یک جواب می‌دهند؛ به این حالت ریشهٔ مضاعف می‌گوییم، نه دو جواب متفاوت.
• اگر $k<0$ باشد، هیچ عدد حقیقی نمی‌تواند چنین مربعی داشته باشد؛ پس معادله ریشهٔ حقیقی ندارد.

برای یادآوری، مساحت مربعی با ضلع واقعی را در نظر بگیر: مساحت نمی‌تواند منفی باشد. البته در معادله، خودِ عبارتِ داخل مربع می‌تواند مثبت یا منفی باشد؛ این مربع آن است که هرگز منفی نمی‌شود.

از جواب‌ها به معادله

تا اینجا از معادله به جواب‌ها می‌رسیدیم؛ حالا مسیر را برعکس می‌رویم! هر ریشه، یک عامل به ما می‌دهد. اگر قرار است $r$ ریشهٔ معادله باشد، عامل $x-r$ را می‌نویسیم؛ چون با جای‌گذاری $x=r$، این عامل صفر می‌شود.

برای ساختن معادلهٔ درجهٔ دوم با دو ریشهٔ $r$ و $s$، می‌نویسیم:

$(x-r)(x-s)=0$

لازم نیست حتماً پرانتزها را باز کنیم؛ همین شکل هم یک معادلهٔ درجهٔ دوم است. مثل طراحی یک بازیِ رمزدار است: این بار جواب‌های دلخواه را می‌دانی و باید معادله‌ای بسازی که با آن جواب‌ها درست شود.

مراقب علامت‌ها باش: برای ریشهٔ منفی هم باید خودِ ریشه را از $x$ کم کنی؛ کم‌کردن عدد منفی به جمع تبدیل می‌شود. اگر هم ریشهٔ مضاعف بخواهیم، عامل مربوط به آن را دو بار می‌نویسیم؛ یعنی $(x-r)^2=0$.

آماده‌سازی معادله

معادله را مثل یک ترازوی متعادل تصور کن: برای حفظ برابری، هر کاری با یک طرف انجام می‌دهی، باید با طرف دیگر هم انجام بدهی.

پیش از ساختن مربع کامل، جملهٔ ثابت را به یک طرف می‌بریم و ضریب $x^2$ را به $1$ می‌رسانیم. مثلاً در معادلهٔ زیر:

$2x^2+3x-5=0$

برای حذف $-5$ از سمت چپ، به هر دو طرف عدد $5$ اضافه می‌کنیم:

$2x^2+3x=5$

حالا ضریب $x^2$ برابر $2$ است؛ پس همهٔ جمله‌های دو طرف را بر $2$ تقسیم می‌کنیم:

$x^2+\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$

اکنون معادله برای مرحلهٔ بعد آماده است. دقت کن که فقط تقسیم‌کردن جملهٔ $2x^2$ کافی نیست؛ مثل وقتی که مقدار یک دستور آشپزی را نصف می‌کنی، باید سهم همهٔ مواد را نصف کنی!

پیداکردن تکهٔ گمشده

حالا که ضریب $x^2$ برابر $1$ شده، باید ببینیم چه جمله‌ای کم است تا عبارت سمت چپ، مربع یک دوجمله‌ای شود. راهنما، اتحاد آشنای ماست:

$x^2+2bx+b^2=(x+b)^2$

در این اتحاد، ضریب $x$ برابر $2b$ است؛ پس برای پیداکردن $b$، ضریب $x$ را نصف می‌کنیم. جملهٔ گمشده خودِ این نصف نیست، بلکه مربع آن است.

مثلاً در عبارت $x^2+\frac{3}{2}x$، نصف ضریب $x$ برابر $\frac{3}{4}$ است؛ بنابراین جملهٔ لازم $\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}$ است.

اگر معادله‌مان $x^2+\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$ باشد، می‌نویسیم:

$x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$

مثل ترازویی که با افزودن وزنه به یک کفه، باید همان وزنه را به کفهٔ دیگر هم اضافه کنی، اینجا هم باید مقدار یکسانی به دو طرف بیفزاییم. پس دستور کلی این است: برای $x^2+px$، مقدار $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ را به هر دو طرف اضافه کن.

از مربع تا جواب

حالا تکهٔ گمشده را اضافه کرده‌ایم و سمت چپ معادله، مربع یک دوجمله‌ای شده است. قدم بعدی ریشه‌گیری است؛ اما باید حواسمان به هر دو علامت باشد!

مثلاً اگر مربع یک عدد برابر $9$ باشد، خود آن عدد می‌تواند $3$ یا $-3$ باشد؛ چون مربع هر دو برابر است. پس از $A^2=9$ نتیجه می‌گیریم $A=\pm3$، نه فقط $A=3$.

در معادلهٔ کتاب هم به این مرحله رسیده‌ایم:

$\left(x+\frac{3}{4}\right)^2=\frac{49}{16}$

پس کل عبارت داخل پرانتز می‌تواند یکی از دو مقدار زیر باشد:

$x+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$ یا $x+\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$

حالا در هر حالت، $\frac{3}{4}$ را از دو طرف کم می‌کنیم و به $x=1$ یا $x=-\frac{5}{2}$ می‌رسیم.

مثل وقتی که در یک بازی، امتیاز نهایی از جمع امتیاز اولیه و جایزه ساخته می‌شود: برای پیداکردن امتیاز اولیه باید جایزه را کم کنی. اینجا هم بعد از ریشه‌گیری، هنوز باید $x$ را تنها کنی.

معنی هندسی مربع کامل

تصور کن می‌خواهی با چند تکه کاشی، یک مربع بزرگ بسازی. یک مربع با ضلع $x$ داری و مستطیلی با طول $\frac{3}{2}$ و عرض $x$. مستطیل را نصف کن؛ حالا دو مستطیل با طول $\frac{3}{4}$ و عرض $x$ داری.

این دو تکه را کنار دو ضلع مجاور مربع بگذار. شکل تقریباً مربع شده، اما گوشه‌اش خالی است! تکهٔ گمشده مربعی با ضلع $\frac{3}{4}$ و مساحت $\left(\frac{3}{4}\right)^2$ است. پس مربعِ نصف ضریب $x$ همان تکه‌ای است که شکل را کامل می‌کند. برای حفظ تساوی، همین مساحت را به طرف دیگر هم اضافه می‌کنیم.

اما یک تفاوت مهم داریم: معادلهٔ کتاب دو جواب $x=1$ و $x=-\frac{5}{2}$ دارد؛ درحالی‌که در این شکل، $x$ طول ضلع است و نمی‌تواند منفی باشد. بنابراین جواب منفی برای معادله درست است، ولی برای طول ضلع این شکل پذیرفتنی نیست. تعبیر هندسی کمک می‌کند روش را بفهمیم؛ قرار نیست همهٔ جواب‌های جبری را نمایش دهد.

از مربع کامل تا فرمول کلی

اگر تجزیهٔ یک معادله آسان نباشد، آیا راه دیگری داریم؟ بله؛ فرمول کلی از همان روش مربع کامل ساخته می‌شود و برای هر معادلهٔ درجهٔ دوم کاربرد دارد.

از $ax^2+bx+c=0$ با شرط $a\ne0$ شروع می‌کنیم. ابتدا جملهٔ ثابت را به سمت راست می‌بریم و دو طرف را بر $a$ تقسیم می‌کنیم:

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

برای ساختن مربع کامل، نصف ضریب $x$ را به توان دو می‌رسانیم و به هر دو طرف اضافه می‌کنیم؛ یعنی $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$. پس:

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

اگر سمت راست نامنفی باشد، با ریشه‌گیری و جابه‌جایی عبارت‌ها به فرمول کلی می‌رسیم:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

علامت $\pm$ یعنی حالت جمع و حالت تفریق را جداگانه بررسی می‌کنیم. این فرمول مثل یک دستور ثابت است؛ مثلاً وقتی در مسئله‌ای دربارهٔ اندازه‌های یک باغچه به معادلهٔ درجهٔ دوم می‌رسی، لازم نیست هر بار مراحل مربع کامل را از نو بسازی.

دلتا و تعداد جواب‌ها

قبل از محاسبهٔ ریشه‌ها، می‌توانی بفهمی چند جواب حقیقی در انتظار توست! کافی است مبین معادله یا همان دلتا را حساب کنی:

$\Delta=b^2-4ac$

چرا دلتا مهم است؟ در فرمول کلی، عبارت $\sqrt{\Delta}$ وجود دارد؛ پس علامت دلتا تعیین‌کننده است:

• اگر $\Delta>0$ باشد: ریشهٔ دوم دلتا مثبت است. یک بار جمع کردن و یک بار کم کردن آن در فرمول، دو ریشهٔ حقیقی متفاوت می‌دهد.
• اگر $\Delta=0$ باشد: جمع یا کم کردن صفر تفاوتی ندارد؛ پس دو حالت فرمول به یک جواب می‌رسند که آن را «ریشهٔ مضاعف» می‌نامیم.
• اگر $\Delta<0$ باشد: هیچ عدد حقیقی‌ای نیست که مربعش منفی شود؛ بنابراین معادله ریشهٔ حقیقی ندارد.

دلتا مثل چراغ راهنماست: پیش از ادامهٔ محاسبه، وضعیت جواب‌ها را نشان می‌دهد. دقت کن «ریشهٔ مضاعف» یعنی یک مقدار برای جواب، نه دو مقدار متفاوت.

استفادهٔ دقیق از فرمول

فرمول کلی مثل یک دستورِ مرحله‌به‌مرحله است؛ اگر علامت یکی از ورودی‌ها اشتباه باشد، جواب هم عوض می‌شود. برای استفاده از آن، این مسیر را برو:

• مرتب کن: همهٔ جمله‌ها را به یک طرف ببر تا معادله به شکل $ax^2+bx+c=0$ باشد.
• ضرایب را با علامتشان بردار: عددِ همراه $x^2$ برابر $a$، عددِ همراه $x$ برابر $b$ و جملهٔ ثابت برابر $c$ است. اگر جلوی $x$ عددی نوشته نشده، ضریب آن $1$ است؛ ضریب $-x$ هم $-1$ است.
• اول دلتا را حساب کن: در $\Delta=b^2-4ac$، ضرایب منفی را داخل پرانتز بگذار. یادت باشد مربعِ یک عدد منفی، مثبت است.
• بعد سراغ جواب‌ها برو: اگر دلتا منفی نبود، از $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ استفاده کن. علامت $\pm$ یعنی یک‌بار جمع و یک‌بار تفریق؛ مخرجِ هر دو کسر، تمامِ عبارت $2a$ است.

در پایان می‌توانی جواب‌ها را در معادلهٔ اولیه بگذاری؛ باید دو طرف برابر شوند.

مجموع ریشه‌ها از روی ضرایب

اگر فقط مجموع دو ریشه را بخواهیم، لازم نیست هر ریشه را جداگانه حساب کنیم! فرض کن معادلهٔ $ax^2+bx+c=0$ ریشه‌های حقیقی دارد. دو ریشه در فرمول کلی، فقط در علامتِ جلوی رادیکال تفاوت دارند:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

وقتی آن‌ها را جمع کنیم، مخرج‌ها یکسان‌اند و عبارت‌های رادیکالیِ قرینه حذف می‌شوند:

$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$

پس مجموع ریشه‌ها برابر است با قرینهٔ ضریبِ $x$، تقسیم بر ضریبِ $x^2$؛ نه صرفاً قرینهٔ ضریبِ $x$!

این میان‌بُر برای بررسی جواب‌هایت هم مفید است: اگر دو ریشه پیدا کرده‌ای، مجموعشان باید با $-\frac{b}{a}$ برابر باشد. البته این برابری به‌تنهایی درست بودن هر دو جواب را تضمین نمی‌کند. در حالت ریشهٔ مضاعف هم رابطه برقرار است؛ کافی است همان ریشه را دو بار در جمع حساب کنی.

از معادله به هزینه و سود

فرض کن می‌خواهی کارگاه تولید دوچرخه راه بیندازی. حتی پیش از ساخت اولین دوچرخه، برای تجهیزات و راه‌اندازی کارگاه هزینه می‌کنی؛ این هزینهٔ اولیه است. با ساخت هر دوچرخه هم هزینه‌ای تازه اضافه می‌شود.

اگر تعداد دوچرخه‌ها را با $x$ نشان دهیم، هزینهٔ کل، یعنی $C(x)$، این‌طور ساخته می‌شود:

در مسئلهٔ کتاب، هزینهٔ اولیه $700{,}000$ واحد و هزینهٔ ساخت هر دوچرخه $110$ واحد است؛ پس مدل هزینه چنین است:

اما درآمد با سود فرق دارد. درآمد، یعنی $R(x)$، پول حاصل از فروش است؛ برای پیدا کردن سود، یعنی $P(x)$، باید هزینهٔ کل را از درآمد کم کنیم:

پس فروش زیاد به‌تنهایی نشانهٔ سودآوری نیست؛ باید ببینیم پس از پرداخت هزینه‌ها چقدر باقی می‌ماند. اگر درآمد از هزینه کمتر باشد، سود منفی است؛ یعنی زیان کرده‌ایم.

درآمد با سود فرق دارد

فرض کن چند کالای دست‌ساز فروخته‌ای و پول فروش را گرفته‌ای. آیا همهٔ این پول، سود توست؟ نه؛ برای ساخت کالاها هزینه کرده‌ای و باید آن را از پول فروش کم کنی.

درآمد کل پولی است که از فروش کالاها به دست می‌آید. هزینه پولی است که برای راه‌اندازی و تولید خرج می‌شود. آنچه پس از کم‌کردن هزینه از درآمد می‌ماند، سود است:

$P(x)=R(x)-C(x)$

در این رابطه، $x$ تعداد کالا، $R(x)$ درآمد، $C(x)$ هزینه و $P(x)$ سود است.

در کارخانهٔ دوچرخه، هزینه دو بخش دارد:

• هزینهٔ ثابت: مبلغ $700{,}000$ واحد برای راه‌اندازی؛ حتی اگر دوچرخه‌ای تولید نشود.
• هزینهٔ تولید: برای هر دوچرخه $110$ واحد؛ پس برای $x$ دوچرخه، $110x$ واحد.

بنابراین کل هزینه برابر است با:

$C(x)=700{,}000+110x$

برای پیدا کردن سود باید هر دو بخش هزینه را از درآمد کم کنیم، نه فقط هزینهٔ ساخت دوچرخه‌ها.

از قیمت تا درآمد

فرض کن مسئول قیمت‌گذاری دوچرخه‌ها هستی. قیمت بالاتر، درآمدِ هر فروش را بیشتر می‌کند؛ اما ممکن است تعداد خریداران را کم کند. پس برای محاسبهٔ درآمد، باید هم قیمت و هم تعداد فروش را بدانیم.

در مدل این کارخانه، اگر $P$ قیمت هر دوچرخه و $N$ تعداد فروش باشد، داریم:

$N=70{,}000-200P$

برای پیدا کردن تعداد فروش، کافی است قیمت را به‌جای $P$ بگذاریم. علامت منفی نشان می‌دهد که در این مدل با افزایش قیمت، تعداد فروش کم می‌شود. مثلاً با قیمت $350$ واحد، تعداد فروش صفر است؛ پس با وجود قیمت بالا، درآمدی هم نداریم!

درآمد فروش از ضرب قیمت هر دوچرخه در تعداد دوچرخه‌های فروخته‌شده به دست می‌آید:

$R=P\times N=P(70{,}000-200P)$

دقت کن که این رابطه درآمد را نشان می‌دهد، نه سود؛ هنوز هیچ هزینه‌ای از آن کم نکرده‌ایم.

ساختن رابطهٔ سود

حالا می‌خواهیم سود کارخانه را فقط با دانستن قیمت هر دوچرخه حساب کنیم. در این مسئله، $P$ قیمت هر دوچرخه است، نه سود؛ پس سود را با واژهٔ «سود» می‌نویسیم.

از کارت قبل، درآمد برابر است با:

$R=P(70{,}000-200P)=70{,}000P-200P^2$

برای هزینه، مثل راه‌اندازی یک غرفهٔ فروش، هم هزینهٔ ثابت داریم و هم هزینه‌ای که به تعداد کالاها بستگی دارد. هزینهٔ ثابت کارخانه $700{,}000$ و هزینهٔ ساخت هر دوچرخه $110$ واحد است؛ بنابراین:

$C=700{,}000+110(70{,}000-200P)$

$C=8{,}400{,}000-22{,}000P$

اکنون هزینه را از درآمد کم می‌کنیم:

$\text{سود}=70{,}000P-200P^2-(8{,}400{,}000-22{,}000P)$

منفیِ جلوی پرانتز، علامت هر دو جملهٔ داخل آن را عوض می‌کند. پس:

$\text{سود}=-200P^2+92{,}000P-8{,}400{,}000$

یا با بیرون کشیدن عامل مشترک:

$\text{سود}=-200(P^2-460P+42{,}000)$

چون بالاترین توان قیمت در این رابطه $2$ است، رابطهٔ سود نسبت به قیمت، درجهٔ دوم است.

وقتی سود صفر می‌شود

فرض کن کارگاه چترسازی هنوز هیچ چتری نفروخته است. آیا یعنی هیچ پولی هم از دست نداده؟ نه لزوماً؛ هزینه‌هایی مثل اجارهٔ کارگاه ممکن است از قبل پرداخت شده باشند.

در مدل کتاب، سود فروش $x$ چتر به‌طور تقریبی چنین است:

$p(x)=-x^2+2000x-24000$

برای بررسی وضعیتِ بدون فروش، به‌جای $x$ صفر می‌گذاریم:

$p(0)=-24000$

این مقدار منفی یعنی کارگاه بدون فروش، به‌اندازهٔ $24000$ واحد پول زیان دارد؛ نه اینکه درآمدش منفی باشد.

حالا سربه‌سر شدن یعنی درآمد دقیقاً هزینه‌ها را جبران کند. چون سود برابر درآمد منهای هزینه است، در این وضعیت سود صفر می‌شود. پس برای پیدا کردن تعداد فروش متناظر با سربه‌سر شدن، باید معادلهٔ زیر را حل کنیم:

$-x^2+2000x-24000=0$

بعد از حل هم باید جواب‌ها را در موقعیت مسئله تفسیر کنیم: $x$ تعداد چتر است و رابطهٔ داده‌شده، مدلی تقریبی است. یادت باشد سودِ صفر با درآمدِ صفر فرق دارد؛ ممکن است فروش داشته باشیم، اما تمام درآمد صرف هزینه‌ها شود.

از مخلوط به معادله

فرض کن به یک شربت، فقط آب اضافه می‌کنی؛ مقدار شکر عوض نمی‌شود، اما مقدار کل شربت بیشتر می‌شود. در مسئلهٔ گلدان هم همین نکته به ساختن معادله کمک می‌کند.

نسبت وزن نقره به مس برابر با $8$ است. اگر وزن مس را $x$ گرم بگیریم، وزن نقره $8x$ گرم و وزن کل گلدان $9x$ گرم خواهد بود. دقت کن: این نسبت نمی‌گوید نقره، هشت برابرِ کل گلدان است؛ نقره هشت برابرِ مس است.

حالا $100$ گرم مس اضافه می‌کنیم. وزن نقره همچنان $8x$ گرم می‌ماند، ولی وزن کل به $9x+100$ گرم می‌رسد. چون نقره، $\frac{4}{5}$ وزن گلدان جدید است، می‌نویسیم:

$\frac{8x}{9x+100}=\frac{4}{5}$

راه ساختن مدل: مقدار هر جزء را مشخص کن، ببین چه چیزی تغییر کرده و سپس نسبت خواسته‌شده را بنویس. اینجا صورت، وزن نقره و مخرج، وزن کلِ گلدان جدید است.

جمع سهم کار، نه زمان‌ها

وقتی دو شیر با هم بازند، هرکدام بخشی از استخر را پر می‌کند. پس باید سهم کارشان در یک ساعت را جمع کنیم، نه زمان کارِ تنهایی‌شان را. برای دو چاپگر که هم‌زمان یک مجموعه برگه را چاپ می‌کنند هم همین فکر به کار می‌آید.

در مسئلهٔ کتاب، فرض کن شیر $B$ به‌تنهایی استخر را در $x$ ساعت پر کند. سهم این شیر در یک ساعت، $\frac{1}{x}$ از کل استخر است. شیر $A$ به $10$ ساعت زمان کمتر نیاز دارد؛ پس زمانش $x-10$ ساعت و سهم یک‌ساعته‌اش $\frac{1}{x-10}$ است.

دو شیر با هم استخر را در $12$ ساعت پر می‌کنند؛ یعنی در یک ساعت، $\frac{1}{12}$ استخر پر می‌شود. بنابراین مدل مسئله این است:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-10}=\frac{1}{12}$

دقت کن که برای نوشتن این معادله، لازم نبود حجم استخر را بدانیم؛ همهٔ کسرها سهمی از همان استخر هستند. همچنین باید $x>10$ باشد تا زمان کار هر دو شیر مثبت بماند.

سهم کمتر، تعداد بیشتر

تصور کن یک کیک را به سهم‌های مساوی تقسیم کرده‌ای و درست پیش از خوردن، یک دوست دیگر می‌رسد! مقدار کیک ثابت است؛ پس با بیشترشدن تعداد افراد، سهم هر نفر کمتر می‌شود.

اگر ابتدا $n$ نفر باشند، سهم هر نفر $\frac{1}{n}$ کیک است. با اضافه‌شدن یک نفر، سهم تازه $\frac{1}{n+1}$ می‌شود. برای نوشتن مقدار کاهش سهم، سهم تازه را از سهم قبلی کم می‌کنیم. بنابراین اگر سهم هر نفر $\frac{1}{6}$ کیک کمتر شود، مدل مسئله چنین است:

$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{6}$

دقت کن که $\frac{1}{6}$ مقدار کاهش است، نه سهم تازهٔ هر نفر.

بعد از حل معادله هم کار تمام نیست: پاسخ نباید هیچ مخرجی را صفر کند و باید با معنای مجهول سازگار باشد. اینجا $n$ تعداد افراد است؛ پس باید عدد صحیح مثبت باشد. عددی منفی یا کسری، حتی اگر مخرج‌ها را صفر نکند، پاسخ این مسئله نیست.