خلاصه درس فصل ۳ ریاضی و آمار دهم؛ درسنامه و نکات مهم

از جامعه تا نمونه

آیا وزن چند ماهیِ قسمت کم‌عمق، تصویر درستی از وزن ماهی‌های کل حوضچه می‌دهد؟ شاید ماهی‌های این قسمت کوچک‌تر باشند؛ پس روش انتخاب مهم است، نه فقط تعداد ماهی‌ها.

برای روشن‌شدن موضوع، اجزای این بررسی را جدا کنیم:

• واحد آماری: هر ماهی که اطلاعاتش را گردآوری می‌کنیم.
• جامعهٔ آماری: همهٔ ماهی‌های همان حوضچه که می‌خواهیم درباره‌شان نتیجه بگیریم.
• داده‌ها: وزن‌های ثبت‌شدهٔ ماهی‌ها؛ یعنی اطلاعاتی که برای بررسی به کار می‌بریم.
• نمونه: بخشی از ماهی‌های جامعه که با روشی مشخص انتخاب می‌کنیم.

اگر فقط ماهی‌های نزدیک لبه را بگیریم، ماهی‌های دورتر فرصتی برای انتخاب‌شدن ندارند. در انتخاب تصادفی باید همهٔ ماهی‌ها شانس یکسانی برای انتخاب‌شدن داشته باشند. چنین انتخابی از جانبداری در انتخاب نمونه کم می‌کند؛ البته تضمین نمی‌کند که هر نمونه دقیقاً شبیه جامعه باشد.

مثلاً برای بررسی زمان رفت‌وآمد دانش‌آموزان مدرسه، قرعه‌کشی از فهرست کامل دانش‌آموزان مناسب‌تر از پرسیدن فقط از دوستان خودمان است.

راه مناسب گردآوری داده‌ها

فرض کن می‌خواهی دربارهٔ دانش‌آموزان مدرسه اطلاعات جمع کنی. آیا برای فهمیدن قد آن‌ها و علت نارضایتی‌شان از بوفه، باید یک راه را انتخاب کنی؟ راه گردآوری داده‌ها به هدف بررسی بستگی دارد.

چهار راه پرکاربرد داریم:

• مشاهده: خودت می‌شماری یا اندازه می‌گیری؛ مثلاً قد دانش‌آموزان را با قدسنج اندازه می‌گیری، بدون اینکه لازم باشد آن‌ها پاسخ بدهند.
• پرسش‌نامه: افراد به سؤال‌های از پیش آماده پاسخ می‌دهند؛ مثلاً دربارهٔ رضایت از بوفه گزینه‌ای را انتخاب می‌کنند.
• مصاحبه: با پاسخگو گفت‌وگو می‌کنی؛ وقتی پاسخ‌های احتمالی را کامل نمی‌شناسی و توضیح بیشتری لازم داری، این روش کمک می‌کند.
• دادگان‌ها: از اطلاعات ذخیره‌شده استفاده می‌کنی؛ مثلاً تاریخ تولد دانش‌آموزان را از پرونده‌های مدرسه به دست می‌آوری.

پیش از شروع، بپرس: چه اطلاعاتی می‌خواهم؟ چقدر باید دقیق باشند؟ چه زمان و ابزاری دارم؟ سپس راهی برای ثبت منظم داده‌ها آماده کن؛ مثلاً در فهرست دانش‌آموزان، کنار نام هر کسی که اطلاعاتش ثبت شد علامت بزن تا کسی جا نماند یا دوباره ثبت نشود.

چه ویژگی‌ای را بررسی می‌کنیم؟

فرض کن می‌خواهی دربارهٔ دانش‌آموزان مدرسه اطلاعات جمع کنی. هر دانش‌آموز یک واحد آماری است؛ اما «قد» یا «گروه خونی» او، متغیر است. پس متغیر یعنی ویژگی‌ای از افراد یا اشیا که قرار است بررسی کنیم.

متغیرها دو نوع‌اند:

• کمّی: مقدارشان بیانگر اندازه یا تعداد است و انجام محاسبه‌هایی مثل جمع و میانگین‌گیری برایشان معنا دارد؛ مانند قد، سن و تعداد کتاب‌های هر دانش‌آموز.
• کیفی: برای دسته‌بندی به کار می‌روند؛ مانند گروه خونی یا ملیت. میانگین گرفتن از گروه‌های خونی معنایی ندارد!

نکتهٔ مهم: دیدن عدد کافی نیست تا متغیری را کمّی بدانیم. شمارهٔ پیراهن بازیکنان با رقم نوشته می‌شود، اما فقط برچسب شناسایی بازیکن است؛ میانگین این شماره‌ها ویژگی معناداری از بازیکنان را نشان نمی‌دهد. بنابراین شمارهٔ پیراهن، متغیری کیفی است.

برای تشخیص، از خودت بپرس: «این مقدار، اندازه و تعداد را نشان می‌دهد یا فقط نام و دسته را؟»

پارامتر جامعه و آمارهٔ نمونه

فرض کن می‌خواهیم بدانیم چه نسبتی از هندوانه‌های یک مزرعه خوش‌مزه‌اند. نسبت هندوانه‌های خوش‌مزه در کل مزرعه، یک پارامتر جامعه است؛ یعنی مشخصه‌ای عددی که جامعه را توصیف می‌کند. اما برای فهمیدن آن باید همهٔ هندوانه‌ها را باز کنیم و بچشیم؛ در این صورت محصول سالمی برای فروش باقی نمی‌ماند!

راه عملی این است که نمونه‌ای مناسب انتخاب کنیم. نسبت هندوانه‌های خوش‌مزه در همان نمونه، یک آمارهٔ نمونه است. از این آماره برای تخمین پارامترِ ناشناختهٔ جامعه کمک می‌گیریم؛ تخمین، لزوماً برابر مقدار واقعی نیست.

برای یک جامعهٔ مشخص و ثابت، پارامتر مقدار ثابتی دارد، حتی اگر آن را ندانیم؛ ولی با عوض‌شدن نمونه، مقدار آماره ممکن است تغییر کند.

بررسی همهٔ واحدهای جامعه را سرشماری می‌نامیم. سرشماری ممکن است پرهزینه و زمان‌بر باشد یا، مثل چشیدن هندوانه‌ها، به واحدهای بررسی‌شده آسیب بزند. پس بررسی همه همیشه انتخاب عملی و مناسبی نیست.

با داده‌ها چه محاسبه‌ای مجاز است؟

آیا هر چیزی که با رقم نوشته می‌شود، برای حساب‌کردن مناسب است؟ مثلاً میانگین شماره‌های دانش‌آموزی معنایی ندارد! مقیاس اندازه‌گیری به ما می‌گوید کدام مقایسه و محاسبه معنادار است:

• اسمی: فقط نام یا برچسب است؛ مثل گروه خونی و شمارهٔ دانش‌آموزی. نه ترتیب عددی معنا دارد، نه جمع و تفریق.
• ترتیبی: ترتیب معنا دارد؛ مثل رتبهٔ مسابقه. اما فاصلهٔ رتبه‌ها نشان نمی‌دهد اختلاف عملکرد افراد چقدر بوده است.
• فاصله‌ای: ترتیب و اختلاف معنا دارند، ولی صفر قراردادی است؛ مثل دمای سلسیوس. دمای $20$ درجهٔ سلسیوس از $10$ درجه، به‌اندازهٔ $10$ درجه بیشتر است؛ اما نمی‌توان گفت دو برابر گرم‌تر است.
• نسبتی: علاوه بر ترتیب و اختلاف، نسبت هم معنا دارد؛ مثل وزن و تعداد. وزن $60$ کیلوگرم دو برابر $30$ کیلوگرم است. در این مقیاس، صفر یعنی نبودِ ویژگیِ اندازه‌گیری‌شده.

پس پیش از حساب‌کردن، بپرس: «این عدد فقط برچسب است، جایگاه را نشان می‌دهد یا واقعاً اندازه‌ای را بیان می‌کند؟»

اسمی؛ عددی برای نام‌گذاری

فرض کن روی کارت دو دانش‌آموز، شماره‌های $12$ و $24$ نوشته شده است. آیا دانش‌آموز دوم «دو برابر» دانش‌آموز اول است؟ نه! این عددها فقط کمک می‌کنند هر دانش‌آموز را شناسایی کنیم؛ اندازهٔ ویژگی‌ای مثل قد یا سن او نیستند.

در مقیاس اسمی، داده‌ها نقش نام، برچسب یا گروه را دارند؛ مثل نام افراد، گروه خونی و شمارهٔ دانش‌آموزی. نمی‌توان این داده‌ها را از نظر مقدار ویژگی از کوچک به بزرگ مرتب کرد. برای نمونه، هیچ گروه خونی‌ای از گروه خونی دیگر «بزرگ‌تر» نیست.

ظاهر عددی، همیشه به معنای مقدار عددی نیست. می‌توان شماره‌های دانش‌آموزی را برای پیدا کردن پرونده‌ها به ترتیب نوشت، اما این ترتیب نشان‌دهندهٔ بیشتر یا کمتر بودن ویژگی دانش‌آموزان نیست. همچنین کم‌کردن یا تقسیم‌کردن این شماره‌ها، اطلاعات معناداری دربارهٔ آن‌ها نمی‌دهد.

ترتیبی؛ جایگاه، نه فاصله

فرض کن نتیجهٔ یک مسابقه را می‌بینی: سارا اول شده، مریم دوم و نرگس سوم. از این رتبه‌ها می‌فهمی چه کسی جلوتر از دیگری است؛ اما آیا می‌دانی هر نفر چند ثانیه زودتر رسیده؟ نه! شاید فاصلهٔ نفر اول و دوم خیلی کم و فاصلهٔ نفر دوم و سوم خیلی زیاد باشد.

در مقیاس ترتیبی، داده‌ها را می‌توان مرتب کرد، ولی فاصلهٔ جایگاه‌ها، مقدار تفاوتِ ویژگی اندازه‌گیری‌شده را نشان نمی‌دهد. مثلاً اختلاف رتبه‌های $1$ و $2$ با اختلاف رتبه‌های $2$ و $3$ برابر است، اما این به معنی برابر بودن اختلاف زمان مسابقه یا نمرهٔ افراد نیست.

پاسخ‌های «ناراضی، بی‌نظر، راضی» در نظرسنجی هم ترتیب دارند؛ بااین‌حال نمی‌توان گفت فاصلهٔ رضایت بین هر دو گروهِ کنار هم برابر است.

پس نکته این است: ترتیب را می‌دانیم، نه مقدار فاصله را.

فاصله‌ای؛ اختلاف معنادار

فرض کن دمای هوای دو شهر را در گوشی‌ات می‌بینی. در مقیاس فاصله‌ای می‌توانی بگویی کدام شهر گرم‌تر است و اختلاف دمای آن‌ها چقدر است. پس برخلاف رتبه‌ها، اینجا فاصلهٔ بین مقدارها هم معنای مشخصی دارد.

نکتهٔ مهم، صفر قراردادی است: دمای $0$ درجهٔ سلسیوس به معنی «نبود گرما» نیست؛ فقط نقطه‌ای است که برای این مقیاس انتخاب شده است. به همین دلیل، اگر عدد دمای یک شهر دو برابر شهر دیگر باشد، نمی‌توان نتیجه گرفت که آن شهر «دو برابر گرم‌تر» است.

برای تشخیص این مقیاس، از خودت بپرس: آیا داده‌ها مرتب می‌شوند؟ آیا اختلافشان معنا دارد؟ آیا صفرشان قراردادی است؟ دمای هوا برحسب سلسیوس هر سه ویژگی را دارد؛ بنابراین مقیاس آن فاصله‌ای است.

نسبتی؛ صفر واقعی

فرض کن تعداد کتاب‌های دو قفسه را می‌شماری. اگر قفسه‌ای هیچ کتابی نداشته باشد، تعداد کتاب‌های آن $0$ است؛ این صفر واقعاً به معنی نبودن چیزی است که می‌شماریم، نه یک نقطهٔ قراردادی. تعداد کتاب‌ها در مقیاس نسبتی اندازه‌گیری می‌شود.

در این مقیاس، هم مرتب‌کردن مقدارها معنا دارد، هم محاسبهٔ اختلاف، و هم نسبت‌گرفتن. پس دربارهٔ دو قفسه می‌توانیم بپرسیم: کدام کتاب بیشتری دارد؟ چند کتاب بیشتر دارد؟ تعداد کتاب‌های یکی چند برابر دیگری است؟ برای نسبت‌گرفتن، مقدارِ مخرج نباید صفر باشد.

وزن، قد و تعداد دانش‌آموزان هم نمونه‌هایی از این مقیاس‌اند. نکتهٔ تشخیص، معنای صفر است: صفرِ تعداد یعنی هیچ موردی نداریم؛ اما صفرِ دمای سلسیوس به معنی نبودن گرما نیست. به همین دلیل، نسبت مقدارها در مقیاس نسبتی معنا دارد، ولی در مقیاس فاصله‌ای چنین نیست.

آمار برای تصمیم‌گیری

فرض کن می‌خواهی مسیر رفتن به مدرسه را انتخاب کنی. یک روز از مسیر اول زودتر رسیده‌ای؛ آیا همین یک تجربه کافی است تا بگویی این مسیر همیشه بهتر است؟ برای تصمیمی آگاهانه‌تر، می‌توانی زمان رفت‌وآمد از هر دو مسیر را در چند روز ثبت و مقایسه کنی. آمار کمک می‌کند به‌جای تکیه بر یک اتفاق، مجموعه‌ای از اطلاعات را بررسی کنیم.

در موضوع‌هایی مثل سلامت و حمل‌ونقل هم اطلاعات آماری به شناخت وضعیت کمک می‌کنند. مثلاً اگر بررسی‌ها نشان دهند زمین‌خوردن از آسیب‌های شایع در خانه است، می‌توانیم به ایمنی پله‌ها و لغزنده‌نبودن کف بیشتر توجه کنیم.

البته نتیجهٔ آماری، سرنوشت تک‌تک افراد را با قطعیت پیش‌بینی نمی‌کند. آمار اطلاعات تصمیم‌گیری را فراهم می‌کند؛ ما نیز با توجه به شرایط و ارزش‌هایمان تصمیم می‌گیریم.

آمار؛ کمک به تصمیم‌گیری

فردا برای رفتن به مدرسه چتر ببری یا نه؟ شاید آسمان الان صاف باشد، اما این به‌تنهایی وضعیت فردا را معلوم نمی‌کند. اگر اطلاعات پیش‌بینی هوا را هم بررسی کنی، می‌توانی آگاهانه‌تر تصمیم بگیری؛ بااین‌حال، هنوز باریدن یا نباریدن باران کاملاً قطعی نیست.

بسیاری از تصمیم‌های روزمره همین‌طورند: اطلاعات داریم، اما از نتیجه مطمئن نیستیم. به این وضعیت عدم قطعیت می‌گوییم. آمار به ما کمک می‌کند اطلاعات را بررسی کنیم و به‌جای تکیه بر حدس، برای تصمیم خود دلیل داشته باشیم.

مثلاً اگر گزارش آسیب‌های خانگی نشان دهد زمین‌خوردن زیاد رخ می‌دهد، خانواده می‌تواند به محکم‌کردن فرش‌های لغزنده بیشتر توجه کند. این تصمیم احتمال آسیب را کاهش می‌دهد، نه اینکه نبودِ هر حادثه‌ای را تضمین کند.

پس آمار ابزار تصمیم‌گیری آگاهانه‌تر است، نه تضمین قطعی نتیجه.

از نمونه تا جامعه

برای شناخت یک گروه بزرگ، همیشه لازم نیست از تک‌تک اعضای آن اطلاعات بگیریم. به کل گروهی که می‌خواهیم درباره‌اش بدانیم، جامعهٔ آماری و به بخشی از آن که بررسی می‌کنیم، نمونه می‌گوییم.

فرض کن مسئولان شهر می‌خواهند دربارهٔ شیوهٔ رفت‌وآمد دانش‌آموزان به مدرسه تصمیم بگیرند. همهٔ دانش‌آموزان شهر، جامعهٔ آماری‌اند. می‌توان از گروهی از آن‌ها اطلاعات گرفت و با روش‌های آماری از این اطلاعات برای تصمیم‌گیری دربارهٔ کل شهر کمک گرفت.

اما انتخاب نمونه مهم است: اگر فقط دانش‌آموزان یک مدرسه در مرکز شهر را بررسی کنیم، ممکن است وضعیت دانش‌آموزان مناطق دیگر را نبینیم. نمونه باید تا حد امکان گوناگونی جامعه را بازتاب دهد؛ مثلاً دانش‌آموزانی از مدرسه‌ها و محله‌های مختلف در آن حضور داشته باشند.

پس نمونهٔ مناسب به شناخت جامعه کمک می‌کند، اما نتیجهٔ آن را نباید حقیقتی کاملاً قطعی دربارهٔ همهٔ اعضای جامعه بدانیم.

مسیر داده تا تصمیم

فرض کن مسئول کتابخانهٔ مدرسه می‌خواهد بداند چه کتاب‌هایی بخرد. چند پاسخ پراکنده به‌تنهایی کافی نیست؛ باید داده‌ها را طی چند مرحله به اطلاعات قابل‌استفاده تبدیل کند:

• گردآوری: از دانش‌آموزان می‌پرسد به چه نوع کتابی علاقه دارند و پاسخ‌ها را ثبت می‌کند.
• سازمان‌دهی: پاسخ‌های هم‌نوع را کنار هم می‌گذارد؛ مثلاً علاقه‌مندان به داستان، کتاب علمی و شعر را در یک جدول دسته‌بندی می‌کند.
• تحلیل: تعداد علاقه‌مندان هر دسته را بررسی و با دسته‌های دیگر مقایسه می‌کند.
• تفسیر: توضیح می‌دهد نتیجهٔ این مقایسه برای خرید کتاب چه معنایی دارد؛ مثلاً استقبال بیشتر از داستان می‌تواند دلیل توجه بیشتر به این دسته باشد.

پس آمار فقط جمع‌کردن پاسخ‌ها یا حساب‌کردن عددها نیست. کار آماری کمک می‌کند از داده‌های خام به برداشتی روشن برسیم و از آن برای تصمیم‌گیری استفاده کنیم. در این مثال، تصمیم نهایی این است که چه نوع کتاب‌هایی برای کتابخانه تهیه شود.

دادهٔ درست، نتیجهٔ قابل‌اعتماد

فرض کن ساعتت جلو باشد. حتی اگر زمان رفت‌وآمدت را با دقت حساب کنی، ساعت رسیدنت را درست پیش‌بینی نمی‌کنی! در آمار هم روش مناسب، دادهٔ نادرست را درست نمی‌کند؛ پس باید از درست‌بودن داده‌ها مطمئن شویم.

در داستان لقمان، او پیش از برآورد زمان رسیدن مرد به روستای بعدی، راه‌رفتنش را دید. اگر مرد می‌دانست سرعتش زیر نظر است، شاید تندتر از معمول راه می‌رفت. آن‌وقت دادهٔ مشاهده‌شده، راه‌رفتن طبیعی او را نشان نمی‌داد و برآورد زمان می‌توانست گمراه‌کننده باشد.

تفسیر آگاهانه هم مهم است. مثلاً کسی که با دیدن سرعت مرد زمان رسیدن را برآورد می‌کند، باید بداند سربالایی یا استراحت در مسیر می‌تواند این زمان را تغییر دهد. نتیجهٔ آماری را باید با شناخت موضوع و شرایط واقعی معنا کنیم، نه اینکه فقط به محاسبه اعتماد کنیم.

خلاصه‌کردن داده‌ها با میانگین

فرض کن می‌خواهی زمان مطالعهٔ روزانه‌ات را در طول یک هفته با یک عدد خلاصه کنی. میانگین به تو کمک می‌کند به‌جای فهرستی از چند عدد، تصویری کلی از آن‌ها داشته باشی. میانگین همان معدل است که در مدرسه با آن آشنا شده‌ای.

برای محاسبهٔ میانگین، دو کار انجام می‌دهیم: ابتدا همهٔ داده‌ها را جمع می‌کنیم؛ سپس مجموع را بر تعداد داده‌ها تقسیم می‌کنیم، نه بر بزرگ‌ترین داده یا تعداد مقدارهای متفاوت.

اگر داده‌ها را با $x_1,x_2,\ldots,x_n$ نشان دهیم، فرمول میانگین چنین است:

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$

در این فرمول، $n$ تعداد داده‌ها و $\bar{x}$ نماد میانگین است. اگر مقداری چند بار تکرار شده باشد، هر بارِ آن را هم در جمع و هم در شمارش داده‌ها حساب می‌کنیم. میانگین لازم نیست برابر یکی از داده‌های اولیه باشد؛ این عدد، خلاصه‌ای از کل داده‌هاست.

میانگین؛ سهم برابر

فرض کن چند نفر پول‌هایشان را روی هم بگذارند و بعد همان مجموع را به‌طور برابر بین خودشان تقسیم کنند. سهم هر نفر، میانگین پول‌های اولیه است؛ حتی اگر در ابتدا پول‌های متفاوتی داشته باشند. معدل نمره‌های بدون ضریب هم با همین روش به دست می‌آید.

برای محاسبهٔ میانگین، دو کار انجام می‌دهیم: همهٔ داده‌ها را جمع می‌کنیم و سپس مجموع را بر تعداد داده‌ها تقسیم می‌کنیم:

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$

در این رابطه، $n$ تعداد داده‌هاست و $\bar{x}$ را «میانگین» می‌خوانیم. پس فقط جمع‌کردن کافی نیست؛ مجموع به ما می‌گوید روی‌هم چقدر داریم، اما میانگین سهم برابر هر نفر را نشان می‌دهد. برای تقسیم هم باید تعداد همهٔ داده‌ها را بشماریم، حتی داده‌هایی که مقدارشان تکراری است.

اثر دادهٔ دورافتاده

فرض کن درآمد افراد یک جمع تقریباً به هم نزدیک است. حالا فردی با درآمد بسیار بیشتر وارد جمع می‌شود. درآمد بقیه تغییری نکرده، اما میانگین درآمد جمع بالا می‌رود!

به مقداری که فاصلهٔ زیادی با بقیهٔ داده‌ها دارد، دادهٔ دورافتاده می‌گوییم. این داده ممکن است بسیار بزرگ‌تر یا بسیار کوچک‌تر از بقیه باشد؛ پس دورافتاده همیشه به معنی «بزرگ‌ترین داده» نیست.

در مثال خیریهٔ کتاب، با ورود فرد بسیار ثروتمند، میانگین درآمد ماهانه از حدود $27$ به حدود $149$ میلیون ریال می‌رسد؛ درحالی‌که درآمد هیچ‌یک از افراد قبلی بیشتر نشده است. دلیلش این است که همهٔ داده‌ها در مجموعِ مورد استفاده برای محاسبهٔ میانگین سهم دارند؛ بنابراین یک مقدار خیلی بزرگ می‌تواند میانگین را به سمت خود بکشد.

پس اگر دادهٔ دورافتاده‌ای دیدی، میانگین لزوماً اشتباه محاسبه نشده است؛ ولی باید بررسی کنی که آیا هنوز تصویر مناسبی از وضعیت بیشتر افراد می‌دهد یا نه.

میانه؛ وسط داده‌های مرتب

گاهی می‌خواهیم بدانیم وسط یک مجموعهٔ داده کجاست؛ مثلاً وسط زمان‌هایی که هم‌کلاسی‌ها برای رسیدن به مدرسه صرف می‌کنند. برای پیدا کردن میانه، اولین قدم این است که داده‌ها را از کوچک به بزرگ مرتب کنیم؛ وسط فهرستِ نامرتب لزوماً میانه نیست!

بعد از مرتب‌کردن، از دو سر فهرست، هر بار یک داده کنار می‌گذاریم تا به وسط برسیم:

• اگر تعداد داده‌ها فرد باشد، یک داده در وسط می‌ماند؛ همان میانه است. مثلاً در یک فهرست با $7$ داده، دادهٔ چهارم میانه است؛ چون سه داده قبل و سه داده بعد از آن قرار دارد.
• اگر تعداد داده‌ها زوج باشد، دو داده در وسط می‌ماند. آن‌ها را جمع می‌کنیم و بر $2$ تقسیم می‌کنیم؛ یعنی میانگینِ فقط همان دو داده را می‌گیریم، نه همهٔ داده‌ها.

پس میانه ممکن است خودش در فهرست داده‌ها وجود نداشته باشد. حالا تو امتحان کن!

مد؛ پرتکرارترین مقدار

فرض کن فروشندهٔ پوشاک می‌خواهد بداند کدام اندازهٔ لباس را بیشتر سفارش بدهد. برای او مهم است که کدام اندازه بیشتر درخواست شده است، نه اینکه میانگین اندازه‌ها چقدر است.

مد مقداری از داده‌هاست که بیشترین فراوانی را دارد؛ یعنی بیشتر از هر مقدار دیگر تکرار شده است. برای پیدا کردن آن، تعداد تکرار هر مقدار را می‌شماریم و فراوانی‌ها را مقایسه می‌کنیم. پس مد، بزرگ‌ترین مقدار داده‌ها نیست؛ پرتکرارترین مقدار است.

مد همیشه فقط یک مقدار نیست. اگر چند مقدار، فراوانی برابر داشته باشند و فراوانی آن‌ها از بقیه بیشتر باشد، همگی مد هستند. مثلاً اگر دو رنگ لباس به یک اندازه درخواست شده باشند و درخواست هرکدام از رنگ‌های دیگر کمتر باشد، هر دو رنگ مدِ سفارش‌ها هستند. بنابراین مد برای شناخت سلیقهٔ رایج یا انتخاب پرطرفدار کاربرد دارد.

یک داده با اثری بزرگ

فرض کن یک میلیاردر وارد جمع مهمان‌های خیریه شود. درآمد بقیه تغییری نمی‌کند، اما میانگین درآمد جمع بالا می‌رود! چرا؟ چون برای محاسبهٔ میانگین، درآمد همه را جمع می‌کنیم و بر تعداد افراد تقسیم می‌کنیم؛ پس درآمد بسیار بزرگِ یک نفر هم در نتیجه اثر می‌گذارد.

دادهٔ دورافتاده مقداری است که با بقیهٔ داده‌ها فاصلهٔ زیادی دارد؛ ممکن است بسیار بزرگ‌تر یا بسیار کوچک‌تر از آن‌ها باشد. چنین داده‌ای می‌تواند میانگین را به سمت خود بکشد. بنابراین، بالا رفتن میانگین لزوماً به این معنی نیست که وضعیت بیشتر افراد بهتر شده است.

مثلاً اگر زمان رسیدن بیشتر دانش‌آموزان به مدرسه نزدیک به هم باشد، اما یک نفر از مسیری بسیار دور بیاید، زمان او می‌تواند میانگین زمان رفت‌وآمد کلاس را بالا ببرد. برای شناخت دادهٔ دورافتاده، فاصلهٔ آن از بقیه مهم است، نه صرفاً اینکه بزرگ‌ترین یا کوچک‌ترین داده باشد.

میانه در فهرست فرد

فرض کن می‌خواهی درآمد وسطِ مهمان‌های خیریه را پیدا کنی؛ نه مجموع درآمدها را، بلکه عددی که در وسط فهرست قرار می‌گیرد. این عدد میانه نام دارد.

اولین قدم این است که داده‌ها را از کوچک به بزرگ مرتب کنی. وسطِ یک فهرست نامرتب لزوماً میانه نیست! درآمدهای مرتب‌شدهٔ مهمان‌های کتاب، برحسب میلیون ریال، چنین‌اند:

$12,\ 22,\ 25,\ 28,\ 30,\ 32,\ 40$

تعداد داده‌ها $7$ است؛ پس یک داده دقیقاً وسط قرار می‌گیرد. از هر طرف فهرست، سه داده را کنار بگذار؛ عدد $28$ باقی می‌ماند. بنابراین میانه $28$ میلیون ریال است: سه داده پیش از آن و سه داده پس از آن قرار دارند.

یادت بماند: برابر بودن تعداد داده‌های دو طرف مهم است، نه برابر بودن فاصلهٔ عددی آن‌ها از میانه. برای پیدا کردن میانه هم لازم نیست همهٔ داده‌ها را جمع کنی.

وقتی دو داده وسط‌اند

اگر تعداد داده‌ها زوج باشد، بعد از مرتب‌کردنشان یک دادهٔ تنها در وسط نداریم؛ دو داده در وسط قرار می‌گیرند. برای پیدا کردن میانه، این دو مقدار را با هم جمع می‌کنیم و حاصل را بر $2$ تقسیم می‌کنیم؛ یعنی میانگینِ همان دو دادهٔ وسط را می‌گیریم، نه میانگین همهٔ داده‌ها را.

مثلاً اگر زمان رفت‌وآمد چند دانش‌آموز را ثبت کرده باشیم و تعدادشان زوج باشد، ابتدا زمان‌ها را از کم به زیاد می‌چینیم. سپس از دو سر فهرست، به تعداد برابر کنار می‌گذاریم تا فقط دو دادهٔ وسط باقی بمانند.

دقت کن: میانه لازم نیست یکی از داده‌های فهرست باشد. اگر دو مقدار وسط متفاوت باشند، میانه بین آن‌ها قرار می‌گیرد؛ اگر برابر باشند، میانه همان مقدار مشترک است.

کدام عدد به کارمان می‌آید؟

میانه و میانگین رقیب هم نیستند؛ هرکدام به پرسشی پاسخ می‌دهند. اول بپرس: این عدد را برای چه کاری می‌خواهم؟

در مثال بیمارستان، هزینهٔ جراحی بیشتر بیماران از هزینهٔ بیمارِ دارای مشکل پس از عمل کمتر است. میانهٔ هزینه‌ها، یعنی $32.5$ میلیون ریال، برای توصیف هزینهٔ یک بیمار معمولی مناسب‌تر است؛ چون آن هزینهٔ بسیار بزرگ، میانه را چندان جابه‌جا نمی‌کند.

اما مدیر بیمارستان باید هزینهٔ همهٔ بیماران را بپردازد؛ حتی بیمارانی که درمانشان بسیار گران تمام می‌شود. اگر برای بودجه فقط به میانه تکیه کند، ممکن است پول کم بیاورد. میانگینِ حدود $53$ میلیون ریال، اثر آن هزینهٔ بزرگ را هم در خود دارد و برای برآورد هزینهٔ کل بیماران مشابه، مناسب‌تر است.

در زندگی روزمره هم همین تفاوت مهم است: برای شناخت خرج معمول خریدها، میانه می‌تواند مفید باشد؛ اما برای کنار گذاشتن پول کافی، نباید خریدهای گران و کم‌تکرار را نادیده بگیریم.

میانگین، میانه و دادهٔ دورافتاده

فرض کن زمان رسیدن هم‌کلاسی‌هایت به مدرسه را ثبت کرده‌ای. بیشترشان زمان‌های نزدیک به هم دارند، اما یک نفر به‌دلیل خراب‌شدن اتوبوس خیلی دیرتر رسیده است. این زمانِ بسیار متفاوت، می‌تواند یک دادهٔ دورافتاده باشد؛ یعنی مشاهده‌ای که از الگوی بقیهٔ داده‌ها پیروی نمی‌کند.

میانگین را با جمع‌کردن همهٔ مقدارها و تقسیم حاصل بر تعدادشان به دست می‌آوریم. پس زمانِ آن دانش‌آموز هم در جمع وارد می‌شود و میانگین را بالا می‌برد.

برای یافتن میانه، اول داده‌ها را از کوچک به بزرگ مرتب می‌کنیم. اگر تعدادشان فرد باشد، مقدارِ وسط میانه است؛ اگر زوج باشد، میانگینِ دو مقدارِ وسط را می‌گیریم.

تفاوت مهم اینجاست: میانگین به مقدارِ تک‌تک داده‌ها وابسته است، اما میانه به جایگاه وسطِ فهرست مرتب‌شده مربوط می‌شود. بنابراین، یک مقدار بسیار بزرگ یا بسیار کوچک معمولاً میانگین را بیشتر از میانه تغییر می‌دهد. البته میانه همیشه ثابت نمی‌ماند؛ فقط معمولاً در برابر دادهٔ دورافتاده کمتر تغییر می‌کند.

کدام عدد به کارمان می‌آید؟

فرض کن مدیر یک بیمارستان هستی. میانهٔ هزینه‌های درمان $32.5$ میلیون ریال و میانگین آن‌ها $53$ میلیون ریال است. برای شناخت هزینهٔ بیماری در وسط فهرست، میانه به کارت می‌آید؛ اما آیا می‌توانی بودجهٔ همهٔ بیماران را با همین عدد تنظیم کنی؟

چند بیمار ممکن است درمان‌های بسیار پرهزینه‌ای داشته باشند. این هزینه‌ها در میانه چندان دیده نمی‌شوند، ولی بیمارستان باید آن‌ها را هم بپردازد. میانگین همهٔ هزینه‌ها را در نظر می‌گیرد؛ پس برای برآورد مجموع هزینه‌ها، با فرض مشابه‌بودن شرایط سال آینده، معمولاً مناسب‌تر است.

در زندگی روزمره هم همین تفاوت مهم است: برای شناخت خرج معمول یک خرید، میانه می‌تواند راهنما باشد؛ اما برای برنامه‌ریزیِ کل پولی که برای خریدها نیاز داری، میانگین معمولاً کاربرد بیشتری دارد. پس پیش از انتخاب عدد، بپرس: «می‌خواهم وضعیت معمول را بشناسم یا مجموع هزینه‌ها را برآورد کنم؟»

وقتی نمره‌ها ضریب دارند

فرض کن معلم می‌گوید آزمون پایانی ضریب $3$ دارد. یعنی نمرهٔ آن آزمون به‌اندازهٔ سه نمرهٔ معمولی در نتیجه سهم دارد؛ نه اینکه فقط نمره را سه برابر کنیم و بعد مثل قبل میانگین بگیریم!

وقتی سهم نمره‌ها یکسان نیست، از میانگین موزون استفاده می‌کنیم. «وزن» هر نمره همان ضریب آن است. روش محاسبه این است:

$\text{میانگین موزون}=\frac{\text{مجموع حاصل‌ضرب هر نمره در ضریب آن}}{\text{مجموع ضریب‌ها}}$

برای نمره‌ای که ضریب جداگانه‌ای ندارد، ضریب $1$ در نظر می‌گیریم. پس در مثال چهار آزمون کتاب، با ضریب $3$ برای آزمون آخر، مجموع ضریب‌ها $1+1+1+3=6$ است، نه تعداد آزمون‌ها که $4$ است.

این روش برای معدل درس‌هایی با تعداد واحد متفاوت هم کاربرد دارد: درسِ دارای واحد بیشتر، سهم بیشتری در معدل دارد. نکتهٔ اصلی را به خاطر بسپار: مخرج کسر، مجموع ضریب‌هاست، نه لزوماً تعداد نمره‌ها.

چیزی که میانگین نمی‌گوید

فرض کن کسی یک دستش را در جای خیلی سرد و دست دیگرش را در جای خیلی گرم گذاشته و می‌گوید: «به‌طور متوسط خوبم!» آیا این جمله وضعیت هر دو دستش را به‌خوبی توصیف می‌کند؟ نه؛ این حرف تفاوت شدید میان دو وضعیت را پنهان می‌کند.

دربارهٔ داده‌ها هم همین اتفاق می‌افتد. میانگین و میانه مرکز داده‌ها را توصیف می‌کنند، نه میزان پخش‌شدن آن‌ها را. ممکن است دو مجموعه میانگین یکسانی داشته باشند، اما در یکی مقدارها نزدیک به هم و در دیگری بسیار دور از هم باشند.

مثلاً برای انتخاب یک سرویس رفت‌وآمد، فقط متوسط زمان رسیدن کافی نیست. مهم است بدانیم زمان رسیدن معمولاً نزدیک همان متوسط است یا از روزی به روز دیگر خیلی تغییر می‌کند.

به این نزدیکی یا پخش‌شدن داده‌ها، پراکندگی می‌گوییم. پس برای شناخت بهتر یک مجموعه، در کنار معیار مرکزی باید پراکندگی آن را هم بررسی کنیم.

مقایسهٔ سه مدرسه

فرض کن برای انتخاب مدرسه، فقط میانگین نمره‌ها را به تو بگویند. میانگین هر سه کلاسِ صفحهٔ ۸۹ برابر با $67$ است؛ آیا می‌توان نتیجه گرفت وضعیت آن‌ها یکسان است؟ نه! این عدد نشان نمی‌دهد نمره‌های هر کلاس چقدر از هم فاصله دارند.

برای دیدن تفاوت‌ها، سه محور موازی با مقیاس یکسان رسم کن و نمره‌های هر کلاس را روی یکی از آن‌ها علامت بزن. نمره‌های کلاس «الف» جمع‌وجورترند و از $50$ تا $85$ قرار دارند؛ نمره‌های کلاس «پ» گسترده‌ترند و از $43$ تا $110$ می‌رسند.

حالا هدف انتخاب مهم می‌شود. در چارچوب این فعالیت، برای دانش‌آموزی که به عملکرد یکنواخت‌ترِ هم‌کلاسی‌ها نیاز دارد، کلاس «الف» می‌تواند مناسب‌تر باشد. برای دانش‌آموز علاقه‌مند به المپیاد، وجود نمره‌های بسیار بالا در کلاس «پ» ارزش بررسی دارد؛ البته پراکندگی بیشتر، به‌تنهایی نشانهٔ بهتر بودن مدرسه نیست.

پس برای مقایسه، هم به میانگین نگاه کن، هم به پراکندگی و هم به نیاز دانش‌آموز.

داده‌ها زیر یک زنگ

قد دانش‌آموزان زیادی را تصور کن: معمولاً تعداد زیادی قدِ نزدیک به میانگین دارند، اما افراد بسیار کوتاه‌قد یا بسیار بلندقد کمترند. اگر قدها را در دسته‌های مناسب قرار دهیم و بافت‌نگاشت بکشیم، ممکن است شکل کلی ستون‌ها شبیه یک زنگ شود. خمِ نرمِ زنگ‌مانندی که این شکل را نشان می‌دهد، خم بهنجار یا منحنی نرمال نام دارد.

این خم حول میانگین متقارن است؛ یعنی دو سوی آن مانند تصویر یکدیگر در آینه‌اند. قسمت میانیِ خم بلندتر است، چون داده‌های بیشتری نزدیک میانگین جمع شده‌اند. هرچه از میانگین دورتر شویم، خم پایین‌تر می‌آید و داده‌های کمتری می‌بینیم.

پس در یک توزیع بهنجار، میانگین در مرکز زنگ قرار دارد؛ نه در یکی از دو انتهای آن. البته زیاد بودن تعداد داده‌ها به‌تنهایی کافی نیست که شکل توزیع بهنجار باشد؛ شکل آن هم باید زنگ‌مانند باشد.

فاصله از میانگین چه می‌گوید؟

در داده‌های بهنجار، انحراف معیار مثل یک خط‌کش برای سنجیدن فاصله از میانگین است. وقتی می‌گوییم «در فاصلهٔ یک انحراف معیار»، منظور فقط یک طرف میانگین نیست؛ از $\bar{x}-\sigma$ تا $\bar{x}+\sigma$ را در نظر می‌گیریم. تقریباً $68\%$ داده‌ها در این بازه‌اند.

اگر از میانگین، دو انحراف معیار به هر طرف برویم، بازهٔ $\bar{x}-2\sigma$ تا $\bar{x}+2\sigma$ به دست می‌آید. طبق تقریب کتاب، این بازه حدود $96\%$ داده‌ها را در بر می‌گیرد؛ پس سهم بیشتری از داده‌ها را پوشش می‌دهد.

حالا به بستهٔ خوراکی با برچسب $250\pm10\ \text{گرم}$ برگردیم. در مثال کتاب، مقدار مرکزی $250\ \text{گرم}$ است و $10\ \text{گرم}$ دو برابر انحراف معیار است. اگر وزن‌ها بهنجار باشند، انتظار داریم تقریباً $96\%$ بسته‌ها بین $240$ و $260\ \text{گرم}$ وزن داشته باشند؛ نه اینکه همهٔ بسته‌ها حتماً در این محدوده باشند. این درصد، توصیفی تقریبی از تعداد زیادی بسته است، نه تضمینی برای تک‌تک بسته‌ها.

سه انحراف معیار؛ تقریباً همهٔ داده‌ها

اگر از میانگین به هر دو طرف، به‌اندازهٔ سه انحراف معیار حرکت کنیم، تقریباً همهٔ داده‌های بهنجار را در بر می‌گیریم. این بازه از $\bar{x}-3\sigma$ شروع می‌شود و به $\bar{x}+3\sigma$ می‌رسد. طبق تقریب کتاب، حدود $99.9\%$ داده‌ها در این بازه قرار دارند.

مثلاً در بررسی وزن بسته‌های خوراکی، بازهٔ سه‌انحراف‌معیاری نسبت به بازهٔ دو‌انحراف‌معیاری، وزن‌های بیشتری را پوشش می‌دهد؛ چون از هر دو طرف گسترده‌تر شده است. داده‌های بازهٔ قبلی همچنان داخل آن هستند و تعدادی از داده‌های دورتر هم به آنها اضافه می‌شوند.

پس با افزایش پهنای بازه، سهم داده‌های داخل آن کمتر نمی‌شود. بااین‌حال، «تقریباً همه» با «همه» فرق دارد؛ هنوز ممکن است تعداد بسیار کمی از بسته‌ها وزنی بیرون این بازه داشته باشند. یادت باشد این درصدها تقریبی‌اند و برای داده‌های دارای توزیع بهنجار به کار می‌روند.