خلاصه درس فصل ۴ ریاضی دهم؛ درسنامه و نکات مهم

شناخت معادلهٔ درجهٔ دوم

از کجا بفهمیم یک معادله درجهٔ دوم است؟ اول آن را ساده می‌کنیم و همهٔ جمله‌ها را به یک طرف می‌بریم. اگر بزرگ‌ترین توان متغیر، $2$ باشد، معادله درجهٔ دوم است. شکل استاندارد آن چنین است:

$ax^2+bx+c=0\qquad a\ne0$

در این شکل، $a$ ضریب جملهٔ درجهٔ دوم، $b$ ضریب جملهٔ درجهٔ اول و $c$ عدد ثابت است. شرط $a\ne0$ مهم است؛ چون اگر این ضریب صفر باشد، جملهٔ درجهٔ دوم حذف می‌شود. البته $b$ یا $c$ می‌توانند صفر باشند.

مثلاً در $3x^2-12=0$ داریم: $a=3$، $b=0$ و $c=-12$.

ریشه یا جواب معادله مقداری است که با جای‌گذاری آن به‌جای متغیر، تساوی درست شود. در همین معادله، $x=2$ یک ریشه است، چون $3(2)^2-12=0$.

حواست باشد: وجود ظاهریِ $x^2$ کافی نیست؛ ممکن است هنگام ساده‌سازی، جمله‌های درجهٔ دوم یکدیگر را حذف کنند!

تجزیه و حاصل‌ضرب صفر

اگر حاصل‌ضرب دو عدد صفر باشد، دست‌کم یکی از آن‌ها صفر است. در حل معادله هم از همین ویژگی استفاده می‌کنیم:

$AB=0\Rightarrow A=0\quad\text{یا}\quad B=0$

پس در روش تجزیه، ابتدا همهٔ جمله‌ها را به یک طرف می‌بریم تا طرف دیگر صفر شود؛ سپس عبارت را به حاصل‌ضرب تبدیل می‌کنیم و هر عامل را جداگانه برابر صفر قرار می‌دهیم. جواب‌های این معادله‌های ساده، ریشه‌های معادلهٔ اصلی‌اند.

برای تجزیه، به شکل عبارت نگاه کن:

• اگر جمله‌ها عامل مشترک دارند، فاکتور بگیر: $ax^2+bx=x(ax+b)$.
• اگر تفاضل دو مربع داری، از اتحاد مزدوج کمک بگیر: $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$.
• برای $x^2+bx+c$، دنبال دو عدد باش که مجموعشان $b$ و حاصل‌ضربشان $c$ باشد.

حواست باشد: ویژگی حاصل‌ضرب صفر فقط وقتی کاربرد دارد که یک طرف معادله صفر باشد. همچنین در $x(ax+b)=0$ نباید دو طرف را بر $x$ تقسیم کنی؛ چون ممکن است جوابِ $x=0$ را از دست بدهی.

ریشه‌گیری با توجه به علامت

آیا ریشه‌گیری همیشه دو جواب می‌دهد؟ نه؛ اول باید به علامتِ عددی که مقابل مربع قرار دارد نگاه کنیم. مربع هر عدد حقیقی نامنفی است؛ پس برای معادلهٔ $u^2=a$ سه حالت داریم:

• اگر $a>0$ باشد، دو جواب داریم: $u=\sqrt{a}$ و $u=-\sqrt{a}$. چون دو عددِ قرینه، مربع یکسانی دارند.
• اگر $a=0$ باشد، تنها جواب $u=0$ است؛ مثبت و منفیِ صفر با هم فرقی ندارند.
• اگر $a<0$ باشد، هیچ جواب حقیقی نداریم؛ چون مربع یک عدد حقیقی نمی‌تواند منفی شود.

پیش از ریشه‌گیری، عبارتِ مربع‌شده را در یک طرف تنها کن. این عبارت ممکن است خودِ متغیر نباشد؛ مثلاً در $(r-2)^2=a$، ریشه‌گیری ابتدا مقدارهای $r-2$ را مشخص می‌کند، نه مقدارهای $r$ را.

در مسئله‌های روزمره، مثل پیدا کردن ضلع یک باغچه از روی مساحتش، جواب‌های معادله را از شرایط مسئله جدا کن: ممکن است معادله جواب منفی هم داشته باشد، اما طول منفی پذیرفتنی نیست.

ساختن یک مربع کامل

اگر عبارتِ شامل مجهول، مربع یک دوجمله‌ای باشد، می‌توانیم با ریشه‌گیری جلو برویم. روش مربع کامل کمک می‌کند خودمان چنین شکلی بسازیم؛ مثل کامل‌کردن گوشهٔ خالی یک قاب مربعی.

نکتهٔ اصلی این اتحاد است:

$x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2$

یعنی ضریبِ $x$ را نصف می‌کنیم و حاصل را به توان $2$ می‌رسانیم؛ این همان عددی است که برای کامل‌شدن مربع لازم داریم. علامت را هم نگه می‌داریم: اگر ضریبِ $x$ منفی باشد، داخل پرانتز نیز علامت منفی خواهیم داشت.

برای حل معادله، ابتدا اگر ضریبِ $x^2$ برابر $1$ نیست، همهٔ جمله‌های دو طرف را بر آن تقسیم می‌کنیم. سپس جملهٔ ثابت را به طرف دیگر می‌بریم و عددِ لازم برای مربع کامل را به هر دو طرف اضافه می‌کنیم تا تساوی حفظ شود. حالا یک طرف را به شکل مربع دوجمله‌ای می‌نویسیم و ریشه‌گیری می‌کنیم؛ در حالت مثبت‌بودن طرف دیگر، علامت $\pm$ را فراموش نمی‌کنیم.

فرمول کلی و تعداد ریشه‌ها

اگر تجزیهٔ یک معادله آسان نباشد، فرمول کلی راه مطمئنی برای حل آن است؛ این فرمول از روش مربع کامل به دست می‌آید.

ابتدا معادله را به شکل $ax^2+bx+c=0$ با $a\ne0$ بنویس و ضرایب را همراه علامتشان مشخص کن. سپس حساب کن:

$\Delta=b^2-4ac$

دلتا پیش از حل معادله، تعداد ریشه‌های حقیقی را به تو می‌گوید:

• اگر $\Delta>0$ باشد، دو ریشهٔ حقیقیِ متفاوت داریم.
• اگر $\Delta=0$ باشد، یک ریشهٔ حقیقی داریم که «ریشهٔ مضاعف» نامیده می‌شود.
• اگر $\Delta<0$ باشد، ریشهٔ حقیقی نداریم؛ چون مربع هیچ عدد حقیقی منفی نمی‌شود.

برای دلتای نامنفی، ریشه‌ها از این فرمول به دست می‌آیند:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

علامت $\pm$ یعنی یک بار با جمع و یک بار با تفریق حساب می‌کنیم. وقتی دلتا صفر است، هر دو محاسبه به $x=-\frac{b}{2a}$ می‌رسند.

مثلاً در مسئلهٔ ساختن قاب عکس، این روش می‌تواند مقدارهای ممکنِ پهنای قاب را پیدا کند؛ البته در پایان باید بررسی کنی کدام ریشه با شرایط واقعی مسئله سازگار است.

سهمی و جهت دهانه

مسیر یک توپ پس از پرتاب، معمولاً خط راست نیست؛ بالا می‌رود و بعد پایین می‌آید. این مسیر را می‌توان با بخشی از یک سهمی مدل کرد.

نمودار معادلهٔ $y=ax^2+bx+c$، به شرط $a\neq0$، سهمی نام دارد. شرط ناصفر بودن $a$ مهم است: اگر $a=0$ باشد، جملهٔ درجهٔ دوم حذف می‌شود و نمودار دیگر سهمی نیست.

برای تشخیص جهت دهانه، فقط علامت ضریب $x^2$، یعنی $a$، را نگاه کن:

• اگر $a>0$ باشد، دهانه رو به بالاست؛ شبیه یک کاسه. در این حالت، سهمی یک پایین‌ترین نقطه دارد.
• اگر $a<0$ باشد، دهانه رو به پایین است؛ شبیه یک کاسهٔ وارونه. در این حالت، سهمی یک بالاترین نقطه دارد.

این نقطهٔ پایین‌ترین یا بالاترین را رأس سهمی می‌نامیم. پس برای تشخیص جهت دهانه، لازم نیست اول نمودار را رسم کنی یا به علامت $b$ و $c$ توجه کنی.

رأس را از روی معادله بخوان!

گاهی معادلهٔ سهمی به شکل مربع کامل نوشته می‌شود:

$y=a(x-h)^2+k$

در این شکل، با شرط $a\neq0$، رأس سهمی نقطهٔ $(h,k)$ و محور تقارن آن خط $x=h$ است. چرا؟ وقتی $x=h$ باشد، عبارت داخل پرانتز صفر می‌شود و مقدار $y$ برابر $k$ خواهد بود. مربعِ پرانتز هیچ‌وقت منفی نیست؛ پس این نقطه، بسته به علامت $a$، پایین‌ترین یا بالاترین نقطهٔ سهمی است.

حواست به علامت داخل پرانتز باشد! برای پیدا کردن $h$، ببین چه مقداری از $x$ پرانتز را صفر می‌کند؛ فقط علامتِ نوشته‌شده را برندار.

مثلاً در $y=(x+3)^2-2$، پرانتز با $x=-3$ صفر می‌شود؛ بنابراین رأس $(-3,-2)$ و محور تقارن $x=-3$ است.

محور تقارن مثل خطِ تای یک نقش متقارن است: اگر نمودار را روی آن تا کنی، دو طرف روی هم می‌افتند. پس دانستن رأس و این خط، به شناخت شکل سهمی کمک می‌کند.

از معادله تا رسم سهمی

اگر معادله به شکل $y=ax^2+bx+c$ باشد، لازم نیست برای رسم آن جدول بزرگی بسازی؛ از رأس شروع کن و از تقارن کمک بگیر.

ابتدا ضریب‌های $a$ و $b$ را همراه با علامتشان مشخص کن. طول رأس از رابطهٔ $x_v=-\frac{b}{2a}$ به دست می‌آید. سپس همین مقدار را به‌جای $x$ در معادله بگذار تا عرض رأس، یعنی $y_v$، پیدا شود. حالا رأس $(x_v,y_v)$ و محور تقارن $x=x_v$ را داری.

برای پیدا کردن نقاط بیشتر، یک مقدار دلخواه برای $x$ انتخاب کن و مقدار $y$ را حساب کن. نقطهٔ قرینهٔ آن در طرف دیگر محور تقارن، همان عرض را دارد؛ درست مثل دو نقطهٔ روبه‌روی هم روی لبه‌های یک کاسهٔ متقارن. پس اگر طول نقطه‌ای $x_v-d$ باشد، طول قرینه‌اش $x_v+d$ است.

در پایان، جهت دهانه را از علامت $a$ مشخص کن و منحنی نرمی از رأس و نقاط به‌دست‌آمده بگذران؛ نقاط را با پاره‌خط به هم وصل نکن.

خواندن مسیر یک پرتاب

فرض کن مسیر وزنه‌ای را از لحظهٔ رهاشدن تا رسیدن به زمین دنبال می‌کنی. در مدل این حرکت، $x$ مسافت افقی و $y$ ارتفاع از زمین است؛ هر دو بر حسب متر. پس هر نقطهٔ نمودار هم جای افقی وزنه را نشان می‌دهد، هم ارتفاعش را.

بالاترین جای وزنه کجاست؟ چون دهانهٔ سهمیِ مسیر رو به پایین است، رأس بالاترین نقطهٔ آن است. اگر رأس $(h,k)$ باشد، بیشترین ارتفاع $k$ است؛ $h$ مسافت افقی تا رسیدن به این ارتفاع را نشان می‌دهد، نه بیشترین ارتفاع را!

وزنه کجا به زمین می‌رسد؟ روی زمین، ارتفاع صفر است؛ بنابراین باید معادلهٔ $y=0$ را حل کنیم. در مدل‌های این درس، ریشهٔ مثبت، مسافت افقی تا محل فرود را مشخص می‌کند؛ ریشهٔ منفی به بخش پیش از شروع حرکت مربوط است.

برای مقایسهٔ دو پرتاب، ارتفاع رأس‌ها و مسافت فرودها را جداگانه مقایسه کن. بالاتر رفتن لزوماً به معنی دورتر افتادن نیست.

علامت در دو سوی ریشه

برای فهمیدن اینکه یک عبارت درجهٔ اول کجا مثبت یا منفی است، لازم نیست تک‌تک عددها را امتحان کنیم. کافی است ریشه را پیدا کنیم؛ یعنی مقداری از $x$ که عبارت را صفر می‌کند.

در عبارت $y=ax+b$ با شرط $a\ne0$، ریشه برابر $x=-\frac{b}{a}$ است. این نقطه محور اعداد را به دو بخش تقسیم می‌کند:

• سمت راست ریشه: علامت عبارت، موافق علامت $a$ است.
• سمت چپ ریشه: علامت عبارت، مخالف علامت $a$ است.
• روی ریشه: مقدار عبارت صفر است؛ نه مثبت و نه منفی.

چرا؟ اگر ریشه را $r$ بنامیم، عبارت به شکل $a(x-r)$ نوشته می‌شود. سمت راست ریشه، $x-r$ مثبت است؛ سمت چپ آن، منفی.

در مسئلهٔ سود شرکت هم ریشه همان مرز سود و زیان است. اگر ضریب تعداد کالا مثبت باشد، بعد از این مرز سود داریم و قبل از آن زیان. پس اول ریشه، بعد علامت ضریب را بررسی کن.

از عامل‌ها تا حاصل‌ضرب و کسر

وقتی یک عبارت از ضرب یا تقسیم چند عامل ساخته شده، لازم نیست مقدار دقیق آن را حساب کنیم؛ دانستن علامت عامل‌ها کافی است. مثل حساب سود و زیان، اول می‌پرسیم هر بخش مثبت است یا منفی.

دو علامت یکسان، نتیجهٔ مثبت و دو علامت متفاوت، نتیجهٔ منفی می‌دهند. این قاعده هم برای ضرب است و هم برای تقسیم؛ البته تقسیم بر صفر مجاز نیست!

برای ساختن جدول مشترک، ریشه‌های همهٔ عامل‌ها را از کوچک به بزرگ روی یک ردیف می‌نویسیم. سپس علامت هر عامل را در فاصله‌های بین ریشه‌ها مشخص می‌کنیم و در هر ستون، علامت‌ها را ترکیب می‌کنیم.

در حاصل‌ضرب، صفرشدن حتی یک عامل، کل حاصل‌ضرب را صفر می‌کند. اما در کسر باید دقیق‌تر باشیم:

• اگر صورت صفر و مخرج ناصفر باشد، کسر صفر است.
• اگر مخرج صفر باشد، کسر تعریف نشده است؛ حتی اگر صورت هم صفر شود.

پس ریشهٔ مخرج را هیچ‌وقت با نقطهٔ صفرِ کسر اشتباه نگیر!

سه حالت برای درجهٔ دوم

برای تعیین علامت $P(x)=ax^2+bx+c$ با $a\ne0$، دو چیز راهنمای ماست: علامت $a$ و تعداد ریشه‌های حقیقی. تعداد ریشه‌ها را با $\Delta=b^2-4ac$ می‌فهمیم.

• دو ریشهٔ متمایز، یعنی $\Delta>0$: ریشه‌ها را از کوچک به بزرگ روی محور بگذار. بیرونِ فاصلهٔ دو ریشه، عبارت هم‌علامت $a$ و بین آن‌ها مخالف علامت $a$ است. خودِ ریشه‌ها مقدار عبارت را صفر می‌کنند.
• یک ریشهٔ مضاعف، یعنی $\Delta=0$: عبارت به شکل $a(x-r)^2$ است. مربع برای $x\ne r$ مثبت است؛ پس عبارت در دو طرف ریشه هم‌علامت $a$ است و فقط در $x=r$ صفر می‌شود. در عبور از ریشهٔ مضاعف، علامت عوض نمی‌شود.
• بدون ریشهٔ حقیقی، یعنی $\Delta<0$: عبارت هیچ‌جا صفر نمی‌شود و برای همهٔ عددهای حقیقی هم‌علامت $a$ است.

برای به‌خاطرسپردن، نمودار سهمی را تصور کن: بالای محور افقی یعنی مقدار مثبت و پایین آن یعنی مقدار منفی. ریشه‌ها همان جاهایی هستند که نمودار به محور می‌رسد.

از علامت تا مجموعهٔ جواب

تعیین علامت به ما می‌گوید عبارت کجا مثبت، منفی یا صفر است؛ حل نامعادله یعنی انتخاب بخش‌هایی که شرط سؤال را دارند. ابتدا همهٔ جمله‌ها را به یک طرف ببَر تا طرف دیگر صفر شود؛ سپس از جدول تعیین علامت، ناحیه‌های مناسب را بردار. برای نامساویِ دارای تساوی، صفرهای عبارت هم پذیرفته‌اند؛ اما صفرهای مخرج هرگز جواب نیستند.

در روش جبری، افزودن یک مقدار به دو طرف، جهت نامساوی را تغییر نمی‌دهد. ضرب یا تقسیم در عدد مثبت هم جهت را حفظ می‌کند؛ ولی با ضرب یا تقسیم در عدد منفی، جهت نامساوی برعکس می‌شود. روی محور هم می‌توانی دلیلش را ببینی: $2<5$، اما $-2>-5$.

حالا اگر چند شرط باید همزمان برقرار باشند چه؟ مثل خریدی که هم باید در حد بودجه‌ات باشد و هم حداقل مبلغ سفارش را داشته باشد: فقط مقدارهایی پذیرفته‌اند که هر دو شرط را دارند. پس برای «و»، اشتراک مجموعه‌جواب‌ها را می‌گیریم، نه اجتماع آن‌ها. در نامعادلهٔ دوگانه نیز باید هر دو شرط برقرار باشند.

قدر مطلق یعنی فاصله

وقتی می‌گوییم فاصلهٔ تو از مدرسه حداکثر دو کیلومتر است، ممکن است در هر طرف مدرسه باشی؛ مهم نزدیک‌بودن است، نه جهت!

روی محور هم $|x|$ فاصلهٔ عدد $x$ از مبدأ است و $|x-c|$ فاصلهٔ آن از نقطهٔ $c$ را نشان می‌دهد.

برای عدد مثبت $a$، دو حالت را از هم جدا کن:

• فاصله حداکثر $a$ است: باید داخل محدوده باشیم. پس $|u|\le a$ یعنی $-a\le u\le a$؛ هر دو شرط باید همزمان برقرار باشند.
• فاصله حداقل $a$ است: باید در یکی از دو سوی بیرونی باشیم. پس $|u|\ge a$ یعنی $u\le-a$ یا $u\ge a$؛ برقرار بودن یکی از این دو شرط کافی است.

اگر علامت نامساوی $<$ یا $>$ باشد، نقاط مرزی جزو جواب نیستند؛ چون فاصلهٔ آن‌ها دقیقاً برابر حد تعیین‌شده است.

یادآوری تصویری: فاصلهٔ کم، داخل محدوده؛ فاصلهٔ زیاد، دو سوی بیرون!