خلاصه درس فصل ۵ ریاضی دهم؛ درسنامه و نکات مهم

دیدن ارتباط‌ها در جدول

وقتی می‌خواهیم بدانیم در هر ساعت دما چقدر بوده، جدول کمک می‌کند اطلاعات را مرتب ببینیم. در جدول زیر، سطر بالا ساعت و سطر پایین دمای ثبت‌شده در همان ساعت را نشان می‌دهد:

برای پیدا کردن دمای یک ساعت، ستون همان ساعت را دنبال کن. مثلاً زیر ساعت $9$، دمای $16$ نوشته شده است؛ پس این دو مقدار به هم مربوط‌اند. عددهای دو ستون متفاوت را نباید به هم نسبت بدهیم.

در جدول قیمت‌های یک فروشگاه هم همین روش را به کار می‌بریم: نام کالا را پیدا می‌کنیم و قیمت را از همان ستون می‌خوانیم. پس جدول فقط فهرستی از داده‌ها نیست؛ جای هر داده نشان می‌دهد که به کدام مورد مربوط است.

هر ورودی، فقط یک خروجی

فرض کن نام یک کالا را می‌گویی و فروشنده قیمتش را اعلام می‌کند. نام کالا ورودی و قیمت آن خروجی این ارتباط است. اگر در یک زمان مشخص، هر کالا دقیقاً یک قیمت داشته باشد، این ارتباط از نوع تابع است.

نکتهٔ مهم این است: برای هر ورودی، فقط یک خروجی داریم؛ نه اینکه هر خروجی فقط برای یک ورودی باشد! مثلاً خط‌کش و خودکار می‌توانند هر دو به قیمت $1500$ تومان فروخته شوند. یکسان بودن قیمت این دو کالا مشکلی ایجاد نمی‌کند؛ چون هنوز قیمت هر کدام مشخص و یکتا است.

اما اگر برای همان خط‌کش، در همان شرایط، دو قیمت متفاوت ثبت شده باشد، ارتباطِ کالا به قیمت تابع نیست؛ چون یک ورودی، دو خروجی متفاوت دارد.

پس برای تشخیص تابع بودن، از سمت ورودی‌ها بررسی کن: «آیا به هر ورودی دقیقاً یک خروجی نسبت داده شده است؟»

از رابطه‌های روزمره شروع کنیم

فرض کن در یک مکان، دمای هوا را در چند ساعت ثبت می‌کنی. هر ساعت را ورودی و دمای ثبت‌شده برای آن ساعت را خروجی می‌نامیم. مثلاً ساعت $8$ دما $15$ درجه و ساعت $9$ دما $16$ درجه است.

نکتهٔ اصلی این است: برای هر ورودی مشخص، فقط یک خروجی داریم. در همان مکان و همان ساعت، دو دمای متفاوت ثبت نمی‌کنیم. این ویژگی، پایهٔ مفهوم «تابع» است.

اما آیا خروجیِ دو ورودی مختلف می‌تواند یکسان باشد؟ بله! ممکن است در ساعت‌های $10$ و $11$، دمای هوا در هر دو زمان $17$ درجه باشد. این تکرار اشکالی ندارد؛ چون هر ساعت همچنان فقط یک دما دارد.

در مثال نمره هم همین‌طور است: دو دانش‌آموز می‌توانند در یک آزمون نمرهٔ یکسان بگیرند، ولی برای هر دانش‌آموز در همان آزمون فقط یک نمرهٔ نهایی در نظر می‌گیریم.

قانون دقیق تابع

فرض کن هر دانش‌آموز باید فقط یک رشتهٔ ورزشی انتخاب کند. نام دانش‌آموزان را در مجموعهٔ $A$ و رشته‌ها را در مجموعهٔ $B$ می‌گذاریم. از نام هر دانش‌آموز به رشتهٔ انتخابی او پیکان می‌کشیم؛ این شکل، نمودار پیکانی رابطه است.

برای اینکه این رابطه از $A$ به $B$ تابع باشد، باید از هر عضو $A$ دقیقاً یک پیکان خارج شود. «دقیقاً یک» دو شرط دارد:

• هیچ دانش‌آموزی بدون انتخاب نماند؛ یعنی ورودیِ بدون پیکان نداشته باشیم.
• هیچ دانش‌آموزی دو رشته انتخاب نکند؛ یعنی از یک ورودی چند پیکان خارج نشود.

اما چند دانش‌آموز می‌توانند یک رشتهٔ مشترک انتخاب کنند. همچنین لازم نیست همهٔ رشته‌های مجموعهٔ $B$ انتخاب شوند؛ رسیدن پیکان به تک‌تک اعضای مقصد شرط نیست.

پس هنگام بررسی نمودار، نگاهت را روی پیکان‌های خارج‌شده از هر ورودی بگذار، نه تعداد پیکان‌های رسیده به هر خروجی.

چند نمایش برای یک رابطه

فرض کن دمای هوا را در ساعت‌های مختلف ثبت کرده‌ای. می‌توانی همین اطلاعات را به چند شکل نشان بدهی؛ شکل نمایش عوض می‌شود، نه خود رابطه.

• جدول: ساعت‌ها را در یک سطر و دمای مربوط به هر ساعت را زیر آن می‌نویسی.
• نمودار پیکانی: از هر ساعت، پیکانی به دمای مربوط به آن می‌کشی.
• زوج‌های مرتب: ساعت را اول و دما را دوم می‌نویسی؛ یعنی $(\text{ساعت},\text{دما})$.
• نمودار مختصاتی: ساعت را روی محور افقی و دما را روی محور عمودی در نظر می‌گیری و نقطهٔ مربوط را مشخص می‌کنی.

مثلاً اگر در ساعت $4$ دما $5$ درجه باشد، زوج مرتب آن $(4,5)$ است؛ در نمودار پیکانی هم $4\rightarrow5$ را داریم و در نمودار مختصاتی، نقطهٔ $(4,5)$ را مشخص می‌کنیم.

جای دو مؤلفه مهم است: $(4,5)$ و $(5,4)$ دو معنی متفاوت دارند. اولی دمای $5$ درجه در ساعت $4$ را نشان می‌دهد، اما دومی دمای $4$ درجه در ساعت $5$ را. پس هنگام تغییر نمایش، همیشه ترتیب «ورودی، خروجی» را نگه دار.

تشخیص تابع از زوج‌ها

اگر رابطه‌ای با زوج‌های مرتب داده شود، برای تشخیص تابع بودنش، مؤلفه‌های اول را بررسی کن. هرجا یک ورودی تکرار شده، خروجی‌های مربوط به آن را مقایسه کن: یک ورودی نباید دو خروجی متفاوت داشته باشد.

مثلاً اگر ورودی نام دانش‌آموز و خروجی نمرهٔ نهایی یک آزمون باشد، دو دانش‌آموز می‌توانند نمرهٔ یکسان بگیرند؛ اما برای یک دانش‌آموز نمی‌توان دو نمرهٔ نهایی متفاوت ثبت کرد. در زوج‌ها هم همین قانون برقرار است: تکرار خروجی اشکالی ندارد؛ چند خروجی متفاوت برای یک ورودی اشکال دارد.

پس اگر همهٔ مؤلفه‌های اول متفاوت باشند، رابطه تابع است. اگر مؤلفهٔ اولی تکرار شود، باید دقیق‌تر نگاه کنیم. فقط دیدن دو زوج مرتب متمایز با ورودی یکسان و خروجی‌های متفاوت، برای رد کردن تابع بودن کافی است. تکرار عینِ یک زوج، خروجی تازه‌ای ایجاد نمی‌کند و در مجموعه نیز عضو جداگانه‌ای محسوب نمی‌شود.

دامنه و برد

فرض کن هر دانش‌آموز یک کلاس، یک رشتهٔ ورزشی انتخاب می‌کند. فهرست دانش‌آموزان، دامنه است؛ اما برد فقط شامل رشته‌هایی است که واقعاً انتخاب شده‌اند، نه همهٔ رشته‌های پیشنهادی مدرسه.

در نمایش زوج‌مرتب هم همین کار را می‌کنیم: برای یافتن دامنه، مؤلفه‌های اول را جمع می‌کنیم؛ برای یافتن برد، مؤلفه‌های دوم را. چون دامنه و برد «مجموعه» هستند، هر عضو تکراری را فقط یک بار می‌نویسیم.

مجموعهٔ مقصد با برد فرق دارد. مقصد، مجموعه‌ای است که خروجی‌ها اجازه دارند از آن انتخاب شوند؛ برد نشان می‌دهد کدام خروجی‌ها واقعاً به ورودی‌ها نسبت داده شده‌اند. پس ممکن است عضوی از مقصد هیچ پیکان ورودی نداشته باشد و در برد نباشد؛ این موضوع تابع بودن را به هم نمی‌زند.

برای خواندن یک نمودار پیکانی، به دو فهرست توجه کن: همهٔ اعضای مجموعهٔ ورودی برای دامنه، و فقط مقصدِ پیکان‌های رسم‌شده برای برد.

انتقال به بالا و پایین

فرض کن نمودار روی یک برگهٔ شفاف رسم شده است. اگر برگه را بدون چرخاندن، بالا یا پایین ببری، شکل نمودار عوض نمی‌شود؛ فقط جای آن تغییر می‌کند.

در تابع $y=f(x)+k$ هم همین اتفاق می‌افتد: عدد $k$ بیرون از ضابطهٔ تابع به خروجی اضافه می‌شود. پس مختصات افقی هر نقطه ثابت می‌ماند و مختصات عمودی آن به اندازهٔ $k$ تغییر می‌کند.

• اگر $k>0$ باشد، نمودار به اندازهٔ $k$ واحد بالا می‌رود.
• اگر $k<0$ باشد، نمودار به اندازهٔ $|k|$ واحد پایین می‌آید.

مثلاً نمودار $y=|x|+3$ همان نمودار $y=|x|$ است که سه واحد بالا رفته؛ نوک آن از $(0,0)$ به $(0,3)$ می‌رسد. این جابه‌جایی شبیه بالا رفتن آسانسور است: همهٔ نقاط به یک اندازه بالا می‌روند، نه اینکه شکل کشیده شود.

پس برای رسم، لازم نیست دوباره جدول بسازی؛ همهٔ نقاط نمودار را به یک اندازه و در یک جهت عمودی جابه‌جا کن.

انتقال به چپ و راست

این بار عددی داخل ورودی تابع قرار می‌گیرد: $y=f(x+k)$. نمودار باز هم شکلش را حفظ می‌کند، اما به چپ یا راست می‌رود؛ درست مثل اینکه شکلی را روی صفحهٔ گوشی، بدون چرخاندن یا تغییر اندازه، افقی جابه‌جا کنی.

جهت حرکت را با دقت به خاطر بسپار:

• اگر $k>0$ باشد، نمودار به اندازهٔ $k$ واحد به چپ می‌رود.
• اگر $k<0$ باشد، نمودار به اندازهٔ $|k|$ واحد به راست می‌رود.

چرا علامت مثبت باعث حرکت به چپ می‌شود؟ در نمودار $y=|x+4|$، برای اینکه عبارت داخل قدرمطلق صفر شود، باید $x=-4$ باشد. پس گوشهٔ نمودار که قبلاً در مبدأ بود، حالا در نقطهٔ $(-4,0)$ قرار می‌گیرد.

نکتهٔ مهم: در انتقال افقی، ارتفاع هر نقطه تغییر نمی‌کند؛ فقط جای افقی آن عوض می‌شود. پس عددِ داخل ورودی را با عددی که بیرون تابع اضافه می‌شود، اشتباه نگیر.

رأس تازه، دامنه و برد

حالا انتقال افقی و عمودی را با هم ترکیب کنیم. جابه‌جایی یک برچسب روی صفحه را تصور کن: می‌توانی آن را هم به راست ببری و هم بالا، بدون اینکه شکلش عوض شود. انتقال نمودار هم همین‌طور است.

سهمیِ $y=x^2$ رأسش در $(0,0)$ است و رو به بالا باز می‌شود. در تابع $y=(x-a)^2+b$، رأس به نقطهٔ $(a,b)$ می‌رود؛ شکل سهمی و جهت بازشدگی تغییر نمی‌کند.

دامنه همچنان $\mathbb{R}$ است؛ چون نمودار به چپ و راست بی‌نهایت ادامه دارد. برد برابر $[b,+\infty)$ است؛ چون ارتفاع رأس، کمترین خروجی است و خودِ رأس هم روی نمودار قرار دارد.

اگر تابع به شکل $y=-(x-a)^2+b$ باشد، سهمی رو به پایین باز می‌شود. رأس باز هم $(a,b)$ و دامنه $\mathbb{R}$ است، اما این بار ارتفاع رأس بیشترین خروجی است؛ پس برد $(-\infty,b]$ خواهد بود.

برای خواندن برد، از خودت بپرس: «نمودار از ارتفاع رأس به بالا ادامه دارد یا به پایین؟»