خلاصه درس فصل ۳ ریاضی دهم؛ درسنامه و نکات مهم

از توان به ریشه

فرض کن حجم یک جعبهٔ مکعبی را می‌دانی و می‌خواهی طول ضلعش را پیدا کنی. برای به‌دست‌آوردن حجم، طول ضلع را به توان سوم می‌رسانیم؛ برای برگشتن از حجم به طول ضلع، ریشهٔ سوم می‌گیریم. پس این دو کار به هم مربوط‌اند.

ریشهٔ سوم یعنی چه عددی که توان سومش برابر عدد زیر رادیکال باشد؟ بنابراین می‌توانیم بنویسیم:

$4^3=64 \Leftrightarrow \sqrt[3]{64}=4$

علامت $\Leftrightarrow$ یعنی هر کدام از این دو تساوی، دیگری را نتیجه می‌دهد. برای بررسی یک تساوی رادیکالی، کافی است جواب پیشنهادی را به توانِ درجهٔ ریشه برسانی؛ برای ریشهٔ سوم، توان سوم و برای ریشهٔ دوم، توان دوم.

برای عددهای منفی هم می‌توان ریشهٔ سوم را همین‌طور بررسی کرد: جواب پیشنهادی باید با سه بار ضرب‌شدن در خودش، عدد زیر رادیکال را بسازد. حواست باشد ریشهٔ سوم گرفتن، تقسیم‌کردن عدد بر $3$ نیست!

ریشه دقیق است، اعشار تقریبی

برای پیدا کردن جای یک ریشه روی محور، لازم نیست همهٔ رقم‌های اعشاری آن را بدانیم؛ کافی است آن را بین دو عدد صحیح متوالی پیدا کنیم.

برای مخزن مکعبی با حجم $25$ مترمکعب، طول ضلع برابر با $\sqrt[3]{25}$ متر است. چون $2^3=8$ و $3^3=27$، داریم:

$8<25<27\quad\Rightarrow\quad2<\sqrt[3]{25}<3$

پس جای این ریشه روی محور، بین $2$ و $3$ است. برای ریشهٔ دوم هم همین روش را با مربع‌ها به کار می‌بریم: عدد زیر رادیکال را بین مربعِ دو عدد صحیح متوالی قرار می‌دهیم.

دقیق بودن با اعشاری بودن فرق دارد. نماد $\sqrt[3]{25}$ مقدار دقیق طول ضلع را نشان می‌دهد؛ اما $2.92$ فقط تقریب آن است، پس می‌نویسیم $\sqrt[3]{25}\approx2.92$، نه تساوی. این عدد گنگ است و نمایش اعشاری‌اش پایان نمی‌یابد و دورهٔ تناوب هم ندارد. برای بریدن ورق‌های بدنهٔ مخزن، تقریب مناسب کاربرد دارد؛ ولی در محاسبهٔ دقیق، نماد رادیکالی را نگه می‌داریم.

دو ریشهٔ چهارم، یک نماد

فرض کن مساحتی مربعی داری: مثبت یا منفی بودنِ طول در محاسبهٔ توان زوج اثری بر علامت نتیجه نمی‌گذارد. برای توان چهارم هم همین اتفاق می‌افتد:

$2^4=16$ و $(-2)^4=16$

پس عددهای $2$ و $-2$ هر دو ریشهٔ چهارمِ $16$ هستند. هر عدد مثبت دو ریشهٔ چهارم دارد که قرینهٔ یکدیگرند.

اما نماد رادیکال فقط ریشهٔ نامنفی را نشان می‌دهد؛ بنابراین $\sqrt[4]{16}=2$، نه دو مقدارِ مثبت و منفی. اگر هر دو ریشه را بخواهیم، باید بنویسیم $2$ و $-2$.

آیا $-16$ هم ریشهٔ چهارم دارد؟ توان چهارمِ هر عدد مثبت یا منفی، مثبت است و توان چهارمِ صفر هم صفر می‌شود؛ پس هیچ عدد حقیقی‌ای با توان چهارم به $-16$ نمی‌رسد. به همین دلیل، عدد منفی در اعداد حقیقی ریشهٔ چهارم ندارد. خودِ صفر هم فقط یک ریشهٔ چهارم دارد: $0$.

ریشهٔ پنجم و علامت آن

ریشهٔ پنجمِ یک عدد یعنی عددی که اگر آن را به توان $5$ برسانیم، به عددِ زیر رادیکال برسیم. هر عدد حقیقی دقیقاً یک ریشهٔ پنجم دارد.

چرا اینجا برخلاف ریشهٔ چهارم، دو جوابِ قرینه نداریم؟ چون در ضرب پنج عامل منفی، حاصل منفی می‌شود؛ اما ضرب پنج عامل مثبت، مثبت است. پس ریشهٔ پنجمِ عدد مثبت، مثبت و ریشهٔ پنجمِ عدد منفی، منفی است. ریشهٔ پنجمِ صفر هم خودِ صفر است.

برای پیدا کردن ریشهٔ پنجم، از خودت بپرس: «کدام عدد را پنج بار در خودش ضرب کنم تا به عددِ زیر رادیکال برسم؟» سپس جوابت را با توان پنجم امتحان کن:

اگر عددِ زیر رادیکال منفی بود، لازم نیست مثل ریشهٔ چهارم بگویی «در اعداد حقیقی وجود ندارد»؛ فرد بودنِ توان باعث می‌شود جواب منفی امکان‌پذیر باشد.

آیا ریشه همیشه کوچک‌تر است؟

شاید فکر کنی ریشه‌گرفتن همیشه عدد را کوچک‌تر می‌کند؛ اما جای عدد روی محور تعیین‌کننده است!

برای عددهای بزرگ‌تر از $1$، ریشهٔ سوم از خود عدد کوچک‌تر است؛ مثلاً $\sqrt[3]{8}=2<8$. ولی بین $0$ و $1$، برعکس می‌شود: $\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}>\frac{1}{8}$. پس نمی‌توان گفت ریشه همیشه عدد را کوچک می‌کند.

برای عددهای منفی، یادت باشد عددی که به صفر نزدیک‌تر است، بزرگ‌تر است:

• اگر $a<-1$ باشد، ریشهٔ سوم از خود عدد بزرگ‌تر است؛ مثل $\sqrt[3]{-8}=-2>-8$.
• اگر $-1<a<0$ باشد، ریشهٔ سوم از خود عدد کوچک‌تر است؛ مثل $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{1}{2}<-\frac{1}{8}$.

در سه نقطهٔ مرزیِ $-1$، $0$ و $1$، ریشهٔ سوم با خود عدد برابر است. بنابراین پیش از مقایسه، اول ببین عدد در کدام بخش محور قرار دارد؛ صرفاً مثبت یا منفی بودن کافی نیست.

ریشه یعنی برگشت از توان

توان‌رسانی را مثل یک دستگاه در نظر بگیر: عددی وارد می‌کنی و توانِ مشخصی از آن بیرون می‌آید. ریشه‌گیری یعنی از خروجی برگردی و بپرسی: «چه عددی وارد دستگاه شده بود؟»

اگر $b^n=a$ باشد، می‌گوییم $b$ یک ریشهٔ $n$امِ $a$ است. عدد $n$ را فرجهٔ رادیکال می‌نامیم؛ اینجا فرجه عددی طبیعی و دست‌کم $2$ است.

برای عدد مثبت، زوج یا فرد بودن فرجه مهم است:

• فرجهٔ زوج: دو ریشه داریم؛ یکی مثبت و دیگری منفی. مثلاً چون $2^6=64$ و $(-2)^6=64$، ریشه‌های ششمِ $64$ برابر $2$ و $-2$ هستند.
• فرجهٔ فرد: فقط یک ریشه داریم که مثبت است. مثلاً ریشهٔ سومِ $64$ فقط $4$ است، چون $4^3=64$؛ عدد $-4$ به توان سوم، $64$ نمی‌شود.

نکتهٔ مهم: «ریشه‌های ششمِ $64$» با «مقدارِ $\sqrt[6]{64}$» فرق دارد. نماد رادیکال با فرجهٔ زوج فقط ریشهٔ نامنفی را نشان می‌دهد؛ پس $\sqrt[6]{64}=2$، نه $\pm2$.

علامت عدد و زوج‌وفرد بودن فرجه

آیا یک عدد منفی می‌تواند ریشهٔ ششم داشته باشد؟ برای پاسخ، به توان‌رسانی برگرد: توان زوجِ هر عدد حقیقی، نامنفی است؛ مثلاً $2^6=64$ و $(-2)^6=64$. پس هیچ عدد حقیقی‌ای نیست که توان ششمش $-64$ شود. بنابراین عدد منفی، ریشهٔ حقیقی با فرجهٔ زوج ندارد.

اما توان فرد، علامت عدد را حفظ می‌کند. مثلاً چون $(-4)^3=-64$، داریم $\sqrt[3]{-64}=-4$. به همین شکل، هر عدد منفی برای فرجهٔ فرد، دقیقاً یک ریشهٔ حقیقی دارد که منفی است.

برای به‌خاطرسپردن علامت‌ها، بدهی را یک مقدار منفی تصور کن: در ضرب دو عامل منفی، حاصل مثبت می‌شود؛ با اضافه‌شدن عامل منفی سوم، حاصل دوباره منفی می‌شود. همین الگو در توان‌های زوج و فرد ادامه دارد.

صفر حالت ساده‌ای دارد: برای هر فرجهٔ طبیعی $n\geq2$، فقط صفر است که توانش صفر می‌شود؛ پس $\sqrt[n]{0}=0$.

ضرب رادیکال‌های هم‌فرجه

وقتی دو رادیکال فرجهٔ یکسان دارند، می‌توانیم عددهای زیر آن‌ها را ضرب کنیم و حاصل را زیر یک رادیکال با همان فرجه بنویسیم:

$\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

اما اول باید مطمئن شویم هر دو رادیکال در اعداد حقیقی تعریف شده‌اند. اگر فرجه زوج باشد، هر دو عدد زیر رادیکال باید نامنفی باشند؛ اگر فرجه فرد باشد، عددهای منفی هم مجازند. پس مثبت‌شدنِ حاصل‌ضربِ دو عدد منفی، به‌تنهایی اجازه نمی‌دهد دو رادیکال با فرجهٔ زوج را یکی کنیم!

این قاعده برای ضرب تکراری هم کاربرد دارد. مثلاً به‌جای نوشتن سه عامل یکسان، می‌توانیم از توان استفاده کنیم:

$(\sqrt[5]{2})^3=\sqrt[5]{2}\times\sqrt[5]{2}\times\sqrt[5]{2}=\sqrt[5]{2^3}$

دقت کن: در این تبدیل، فرجه ثابت می‌ماند و عدد زیر رادیکال به توان می‌رسد؛ توانِ بیرون رادیکال را در فرجه ضرب نمی‌کنیم.

ریشه‌ها و معنای رادیکال

چه عددهایی اگر به توان $4$ برسند، $81$ می‌شوند؟ هم $3$ و هم $-3$؛ پس معادلهٔ $x^4=81$ دو جواب دارد. اما نماد $\sqrt[4]{81}$ فقط ریشهٔ نامنفی، یعنی $3$ را نشان می‌دهد؛ ریشهٔ دیگر را با $-\sqrt[4]{81}$ می‌نویسیم.

ریشهٔ $n$امِ یک عدد، عددی است که توان $n$امِ آن برابر عدد داده‌شده باشد. عدد $n$ را «فرجه» می‌نامیم. برای پیدا کردن ریشه‌های حقیقی، به فرجه و علامت عدد نگاه کن:

• فرجهٔ زوج: عدد مثبت دو ریشهٔ قرینه دارد؛ عدد منفی ریشهٔ حقیقی ندارد، چون توان زوجِ هیچ عدد حقیقی منفی نمی‌شود.
• فرجهٔ فرد: هر عدد دقیقاً یک ریشهٔ حقیقی دارد که هم‌علامت خودِ آن است؛ مثلاً $\sqrt[3]{-8}=-2$.
• صفر: با هر فرجه فقط یک ریشه دارد: خودِ صفر.

پس بین «همهٔ ریشه‌های یک عدد» و «مقدار نماد رادیکال» فرق بگذار. رادیکال با فرجهٔ زوج، هرگز مقدار منفی نشان نمی‌دهد.

ضرب و توان رادیکال‌ها

فرض کن طول دو ضلع یک مستطیل به‌صورت رادیکالی داده شده است. برای به‌دست‌آوردن مساحت، باید این دو طول را در هم ضرب کنی. اگر رادیکال‌ها هم‌فرجه باشند، می‌توانی عددهای زیر آن‌ها را در هم ضرب کنی و فرجه را همان نگه داری:

$\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

اما پیش از استفاده، شرط تعریف را بررسی کن: اگر $n$ زوج باشد، باید $a\geq0$ و $b\geq0$ باشند؛ اگر $n$ فرد باشد، عددهای منفی هم مجازند. فقط مثبت‌بودنِ حاصل‌ضرب کافی نیست؛ هر رادیکال باید خودش در عددهای حقیقی تعریف شده باشد.

توان طبیعی یعنی ضرب تکراری. پس همین قاعده اجازه می‌دهد توان را به زیر رادیکال ببریم:

$(\sqrt[5]{a})^3=\sqrt[5]{a}\times\sqrt[5]{a}\times\sqrt[5]{a}=\sqrt[5]{a^3}$

به‌طور کلی، برای توان طبیعی $m$ داریم:

$(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$

این تساوی را وقتی به کار می‌بریم که رادیکالِ اولیه تعریف شده باشد. یادت بماند: در ضرب رادیکال‌های هم‌فرجه، فرجه‌ها را ضرب نمی‌کنیم.

ترتیب ریشه و توان مهم است

پوشیدن جوراب و کفش را تصور کن؛ جابه‌جاکردن ترتیب کارها همیشه نتیجهٔ یکسانی ندارد! در ریشه و توان هم باید ببینی کدام کار اول انجام می‌شود.

اول ریشه، بعد توان: اگر رادیکال تعریف شده باشد، داریم:

$(\sqrt[n]{a})^n=a$

چرا؟ چون ریشهٔ $n$امِ یک عدد، همان عددی است که توان $n$امش عددِ زیر رادیکال می‌شود.

اول توان، بعد ریشه: اینجا زوج یا فرد بودن فرجه مهم است:

• اگر $n$ زوج باشد، $\sqrt[n]{a^n}=|a|$؛ چون رادیکالِ زوج فقط مقدار نامنفی را نشان می‌دهد.
• اگر $n$ فرد باشد، $\sqrt[n]{a^n}=a$؛ پس علامت عدد حفظ می‌شود.

مثلاً $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$، نه $-3$. اما عبارت $(\sqrt{-3})^2$ در عددهای حقیقی تعریف نشده است؛ توانِ بیرونی نمی‌تواند ریشهٔ تعریف‌نشده را معنادار کند.

پس پیش از حذف ظاهری ریشه و توان، ترتیب کارها و شرط تعریف را بررسی کن.

مقایسه با توجه به بازهٔ عدد

آیا توانِ بزرگ‌تر همیشه عدد بزرگ‌تری می‌سازد؟ نه؛ اول ببین پایه کجای محور اعداد است!

• بزرگ‌تر از یک: ضرب دوباره در همان عدد، مقدار را بیشتر می‌کند؛ پس اگر $a>1$ باشد، $a^3>a^2$.
• بین صفر و یک: ضرب در همان عدد، مقدار را کمتر می‌کند؛ پس اگر $0<a<1$ باشد، $a^3<a^2$. مثل وقتی که هر بار نصفِ مقدار باقی‌ماندهٔ یک کیک را نگه می‌داری: مقدار باقی‌مانده کوچک‌تر می‌شود.

برای ریشه‌های دوم و سوم نیز بازه مهم است: اگر $a>1$ باشد، $\sqrt[3]{a}<\sqrt{a}$؛ اما اگر $0<a<1$ باشد، $\sqrt[3]{a}>\sqrt{a}$. در این بازه، ریشهٔ سوم به یک نزدیک‌تر است.

پایهٔ منفی را جدا بررسی کن: توان زوج مثبت و توان فرد منفی می‌شود؛ بنابراین $(-2)^2>(-2)^3$. اگر هر دو حاصل منفی باشند، عددی بزرگ‌تر است که قدرمطلق کوچک‌تری دارد.

پس پیش از مقایسه، دو سؤال بپرس: «علامت حاصل چیست؟» و «پایه نسبت به صفر و یک کجاست؟»

جمع و تقسیم؛ مراقب شرط‌ها باش

آیا قاعدهٔ ضرب را می‌توان برای جمع هم به کار برد؟ نه، رادیکال در حالت کلی روی جمع پخش نمی‌شود. مثلاً اگر مساحت دو قطعهٔ مربعی را جمع کنی، ضلعِ مربعِ هم‌مساحت با مجموع آن‌ها لزوماً برابر مجموع ضلع‌هایشان نیست. در زبان ریاضی هم داریم:

$\sqrt{9+16}=5$، اما $\sqrt9+\sqrt{16}=7$.

برای تقسیم، قاعدهٔ زیر را داریم؛ البته فقط وقتی همهٔ رادیکال‌ها تعریف شده باشند و مخرج صفر نباشد:

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

اگر $n$ زوج باشد، باید $a\geq0$ و $b>0$ باشد. اگر $n$ فرد باشد، $a$ می‌تواند هر عدد حقیقی و $b$ هر عدد حقیقیِ ناصفر باشد.

حواست باشد: تعریف‌شدنِ سمت چپ به‌تنهایی کافی نیست! مثلاً $\sqrt{\frac{-9}{-1}}$ معنا دارد، اما نمی‌توان آن را به $\frac{\sqrt{-9}}{\sqrt{-1}}$ تبدیل کرد؛ چون رادیکال‌های سمت راست در عددهای حقیقی تعریف نشده‌اند.

نمای کسری، زبان ریشه‌ها

توان همیشه به معنی چند بار ضرب‌کردن نیست؛ مثلاً «نیم بار ضرب‌کردن» معنای روشنی ندارد! نمای کسری راهی برای نوشتن ریشه‌هاست. برای پایهٔ مثبت $a$ و عدد طبیعی $n\ge 2$ تعریف می‌کنیم:

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

یعنی مخرجِ نما، مرتبهٔ ریشه را نشان می‌دهد.

به داستان باکتری‌ها برگردیم. اگر ضریب رشد در هر نیم‌ساعت $b$ باشد، پس از دو نیم‌ساعت ضریب رشد $b\times b=b^2$ است. چون جرم در یک ساعت دو برابر می‌شود، باید $b^2=2$ باشد. ضریب رشد مثبت است؛ پس $b=\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$، نه نصفِ $2$!

یک مرز مهم: در قرارداد این فصل، پایهٔ توان کسری را مثبت می‌گیریم. بنابراین $(-8)^{\frac{1}{3}}$ را تعریف‌شده نمی‌دانیم؛ هرچند خودِ رادیکال $\sqrt[3]{-8}$ معنا دارد. پس این تعریف را بدون توجه به شرطِ مثبت‌بودن پایه به کار نبر.

نقش صورت و مخرج

در توان $a^{\frac{m}{n}}$ با پایهٔ مثبت، هر قسمتِ نما کاری دارد: مخرج، مرتبهٔ ریشه را مشخص می‌کند و صورت، توان را. پس داریم:

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m$

یعنی می‌توانی اول به توان برسانی و بعد ریشه بگیری، یا اول ریشه بگیری و بعد به توان برسانی؛ حاصل یکسان است. معمولاً راهی راحت‌تر است که عددهای کوچک‌تری بسازد.

مثلاً برای فهمیدن $8^{\frac{2}{3}}$، مخرج می‌گوید ریشهٔ سوم بگیر و صورت می‌گوید به توان دوم برسان. چون ریشهٔ سومِ $8$ ساده است، ریشه‌گیری را جلو می‌اندازیم:

$8^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4$

اگر اول $8$ را به توان دوم برسانیم و سپس ریشهٔ سوم بگیریم، باز همین حاصل را می‌گیریم. حواست باشد: نمای کسری به معنی تقسیم پایه بر مخرج نیست؛ صورت و مخرج، دستورِ توان‌رسانی و ریشه‌گیری‌اند.

نمای منفی یعنی معکوس

علامت منفی در نما، جواب را منفی نمی‌کند؛ به ما می‌گوید معکوسِ توان با نمای مثبت را پیدا کنیم. برای پایهٔ مثبت داریم:

$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$

پس ابتدا علامت منفیِ نما را کنار بگذار و توان کسریِ مثبت را حساب کن؛ سپس معکوسِ حاصل را بنویس. برای معکوس‌کردن یک کسر هم صورت و مخرج آن را جابه‌جا می‌کنیم.

مثلاً اگر در یک محاسبهٔ اندازه‌گیری به $9^{-\frac{1}{2}}$ برسی، ابتدا ریشهٔ دومِ $9$ را پیدا می‌کنی و سپس معکوس می‌گیری:

$9^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}$

دقت کن: حاصل $-3$ نیست! علامت منفی روی نما قرار دارد، نه جلوی عدد. همچنین چون پایه مثبت است، حاصل توان کسری با نمای منفی هم مثبت می‌ماند.

قانون‌های آشنا، نماهای تازه

خبر خوب این است که برای نماهای کسری، به قانون‌های کاملاً تازه نیاز نداریم! اگر پایه‌ها مثبت باشند، همان قانون‌های آشنای توان برای نماهای گویای $r$ و $s$ هم برقرارند.

ضرب توان‌های هم‌پایه: پایه را نگه می‌داریم و نماها را جمع می‌کنیم:

$a^r\times a^s=a^{r+s}$

دقت کن: این قانون مخصوص پایه‌های برابر است؛ در آن نماها را جمع می‌کنیم، نه ضرب.

توانِ توان: وقتی یک عبارت توان‌دار دوباره به توان می‌رسد، نماها در هم ضرب می‌شوند:

$(a^r)^s=a^{rs}$

پرانتز کمک می‌کند این حالت را با ضرب دو توان اشتباه نگیری.

توانِ حاصل‌ضرب: توانِ یک حاصل‌ضرب را می‌توان به هر دو عامل داد:

$(ab)^r=a^r\times b^r$

این قانون برای حاصل‌ضرب است؛ نباید آن را به جمع تعمیم بدهیم. هنگام ساده‌کردن، اول از خودت بپرس: «دو توان هم‌پایه ضرب شده‌اند، یک توان دوباره به توان رسیده، یا یک حاصل‌ضرب توان‌دار شده است؟» تشخیص شکل عبارت، راه انتخاب قانون درست است.

ساده‌سازی با نمای کسری

گاهی دو رادیکال ظاهر متفاوتی دارند، اما یک عدد را نشان می‌دهند. برای پیدا کردن این برابری، رادیکال را به توان کسری تبدیل کن و کسرِ نما را ساده کن. برای پایهٔ مثبت $a$ داریم:

$\sqrt[kn]{a^{km}}=a^{\frac{km}{kn}}=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

پس ضرب‌شدنِ هم‌زمانِ مرتبهٔ ریشه و توانِ زیر رادیکال در یک عدد طبیعی، مقدار را تغییر نمی‌دهد؛ درست مثل کسرهای هم‌ارز که ظاهرشان فرق دارد، ولی مقدارشان یکی است.

در ریشه‌های تودرتو هم همین زبان به کمکمان می‌آید. ریشه‌گرفتن از یک ریشه یعنی توان‌رسانیِ دوباره؛ بنابراین نماها در هم ضرب می‌شوند:

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=(a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{m}}=a^{\frac{1}{mn}}=\sqrt[mn]{a}$

یعنی مرتبه‌های ریشه‌ها را ضرب می‌کنیم، نه جمع. هر وقت شکل رادیکالی گیج‌کننده شد، تبدیل آن به توان کسری می‌تواند راه را روشن کند.

عامل مناسب برای مخرج تک‌جمله‌ای

رادیکال در مخرج، گاهی محاسبه و مقایسهٔ کسرها را سخت‌تر می‌کند. گویا کردن مخرج یعنی کسر را طوری بازنویسی کنیم که مخرجش رادیکال نداشته باشد؛ نه اینکه مقدار کسر را عوض کنیم!

برای این کار، صورت و مخرج را در یک عامل یکسان و ناصفر ضرب می‌کنیم. این کار مثل ضرب کردن کسر در $1$ است؛ درست مانند وقتی که برای تقسیم یک خوراکی، تعداد قسمت‌ها و سهم‌ها را با هم چند برابر می‌کنی و نسبت سهمت تغییر نمی‌کند.

اما چه عاملی انتخاب کنیم؟ به ریشه نگاه کن:

• برای $\sqrt{a}$، با فرض $a>0$، عامل $\sqrt{a}$ مناسب است؛ چون $\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a$.
• برای $\sqrt[3]{a}$، با فرض $a\ne0$، عامل $\sqrt[3]{a^2}$ مناسب است؛ چون $\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{a^2}=\sqrt[3]{a^3}=a$.

پس هدف، کامل کردن توان زیر رادیکال است: برای ریشهٔ دوم، مربع کامل و برای ریشهٔ سوم، مکعب کامل می‌سازیم. یادت باشد عامل انتخابی را هم در صورت و هم در مخرج ضرب کنی.

مزدوج؛ تغییر علامت بین دو قسمت

اگر مخرج دو قسمت داشته باشد، ضرب در یک ریشه لزوماً رادیکال‌ها را حذف نمی‌کند. اینجا مزدوج به کمکمان می‌آید: دو قسمت را نگه می‌داریم و فقط علامت بینشان را عوض می‌کنیم؛ مثلاً مزدوجِ $\sqrt{a}+\sqrt{b}$، عبارتِ $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ است.

چرا این انتخاب مؤثر است؟ اتحاد تفاضل دو مربع می‌گوید:

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=a-b$

پس برای گویا کردن مخرج، هم صورت و هم مخرج را در مزدوج مخرج ضرب می‌کنیم. مثل ساده‌کردن یک نسبت در زندگی روزمره، قرار است شکل نوشتن عوض شود، نه مقدار آن؛ به همین دلیل عاملِ ضرب‌شده باید کسری برابر با $1$ باشد.

پیش از ضرب، ناصفر بودن مزدوج را هم بررسی کن. برای ریشه‌های دوم، عبارت‌های زیر رادیکال باید نامنفی باشند و مخرج اولیه نیز نباید صفر شود. اگر پس از ساده‌سازی عاملی حذف شد، شرط‌های تعریفِ کسر اولیه همچنان پابرجاست.

ریشهٔ سوم و اتحاد مکعب‌ها

برای مخرجی مثل $\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$، تغییر علامتِ بین دو قسمت کافی نیست؛ چون اتحاد مزدوج، مربع می‌سازد و ریشهٔ سوم را حذف نمی‌کند. این بار باید مکعب بسازیم.

دو قسمت مخرج را موقتاً $u$ و $v$ بنام. اتحادهای مناسب این‌ها هستند:

$(u-v)(u^2+uv+v^2)=u^3-v^3$

$(u+v)(u^2-uv+v^2)=u^3+v^3$

پس اگر $u=\sqrt[3]{a}$ و $v=\sqrt[3]{b}$ باشد، مخرجِ جدید به‌ترتیب $a-b$ یا $a+b$ می‌شود و دیگر رادیکال ندارد.

چطور عامل را به خاطر بسپاریم؟ مربعِ قسمت اول، سپس حاصل‌ضرب دو قسمت با علامت مخالفِ علامت مخرج، و در پایان مربعِ قسمت دوم با علامت مثبت.

صورت و مخرج را در همین عامل ضرب می‌کنیم؛ درست مثل عوض کردن شکل نوشتن یک مبلغ، مقدار کسر عوض نمی‌شود. البته مخرج اولیه و عاملِ انتخابی باید ناصفر باشند؛ اگر عامل برای مقداری صفر شد، آن مقدار را جداگانه در کسر اولیه بررسی می‌کنیم.