خلاصه درس فصل ۳ فیزیک دهم؛ درسنامه و نکات مهم

انرژیِ حرکت

یک توپ را در نظر بگیر که روی زمین بی‌حرکت است. وقتی به آن ضربه می‌زنی و راه می‌افتد، می‌تواند به توپ دیگری برخورد کند و آن را هم به حرکت درآورد. توپِ متحرک به دلیل حرکتش انرژی دارد؛ به این انرژی، انرژی جنبشی می‌گوییم.

انرژی جنبشی به حرکت جسم وابسته است. دوچرخه‌ای که حرکت می‌کند، توپِ در حال پرواز و حتی یک ماهوارهٔ در حال گردش، همگی انرژی جنبشی دارند. وقتی جسم ساکن باشد، انرژی جنبشی آن صفر است.

اما دقت کن: صفر بودن انرژی جنبشی به معنی نداشتن هیچ نوع انرژی نیست! مثلاً یک باتریِ ساکن انرژی شیمیایی دارد، ولی چون حرکت نمی‌کند، انرژی جنبشی ندارد. پس هر وقت دربارهٔ انرژی جنبشی سؤال می‌شود، اول به حرکت یا سکون جسم توجه کن.

رابطه و یکاهای انرژی جنبشی

برای اینکه انرژی جنبشی را حساب کنیم، باید جرم و تندی جسم را بدانیم:

$K = \frac{1}{2}mv^2$

در این رابطه، $m$ جرم، $v$ تندی و $K$ انرژی جنبشی است. یعنی ابتدا تندی را به توان دو می‌رسانیم، سپس آن را در جرم و در $\frac{1}{2}$ ضرب می‌کنیم. دقت کن که توان دو فقط برای تندی است، نه برای جرم یا کل عبارت.

پیش از جایگذاری، یکاها را بررسی کن: جرم باید برحسب کیلوگرم، $\mathrm{kg}$، و تندی برحسب متر بر ثانیه، $\mathrm{m/s}$، باشد. در این صورت پاسخ برحسب ژول، $\mathrm{J}$، به دست می‌آید:

$1\,\mathrm{J}=1\,\mathrm{kg\cdot m^2/s^2}$

مثلاً تندی روی سرعت‌سنج خودرو معمولاً برحسب $\mathrm{km/h}$ است؛ نمی‌توان همان عدد را مستقیم در رابطه گذاشت. برای تبدیل آن به $\mathrm{m/s}$، عدد تندی را بر $3.6$ تقسیم می‌کنیم. پس ترتیب کار این است: یکاها را هماهنگ کن، سپس جایگذاری کن.

جرم، تندی و جهت حرکت

در رابطهٔ $K = \frac{1}{2}mv^2$، جرم و تندی نقش یکسانی ندارند:

• اثر جرم: اگر تندی ثابت بماند، با دو برابر شدن جرم، انرژی جنبشی هم دو برابر می‌شود. پس در تندی یکسان، دوچرخه و دوچرخه‌سوارِ سنگین‌تر انرژی جنبشی بیشتری دارند.
• اثر تندی: اگر جرم ثابت بماند، با دو برابر شدن تندی، انرژی جنبشی چهار برابر می‌شود؛ چون تندی در رابطه به توان دو می‌رسد. بنابراین پاسخ پرسش آغاز درس «نه» است: دو برابر شدن تندی خودرو، انرژی جنبشی را فقط دو برابر نمی‌کند!
• اثر جهت: انرژی جنبشی کمیتی نرده‌ای است؛ یعنی جهت ندارد. دو توپ هم‌جرم که با تندی یکسان در جهت‌های مخالف حرکت می‌کنند، انرژی جنبشی برابر دارند.

پس برای مقایسهٔ انرژی جنبشی، به جرم و مربع تندی نگاه کن، نه جهت پیکان حرکت. همچنین انرژی جنبشی منفی نمی‌شود: برای جسم متحرک مثبت و برای جسم ساکن صفر است.

کارِ نیروی هم‌جهت

اگر وزنه‌ای را بالای سرت بی‌حرکت نگه داری، با اینکه خسته می‌شوی، نیروی دستت روی وزنه کار فیزیکی انجام نمی‌دهد؛ چون وزنه جابه‌جا نشده است. پس وارد کردن نیرو، به‌تنهایی برای انجام کار کافی نیست!

حالا فرض کن جعبه‌ای را با نیرویی ثابت روی زمین هُل می‌دهی و جعبه در همان جهت جابه‌جا می‌شود. اگر چرخش و تغییر شکل جعبه ناچیز باشد، کار نیروی تو از این رابطه به دست می‌آید:

$W = Fd$

در این رابطه، $F$ اندازهٔ نیرو برحسب نیوتون و $d$ اندازهٔ جابه‌جایی برحسب متر است. حاصل، کارِ همان نیرو برحسب ژول خواهد بود:

$1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$

کار کمیتی نرده‌ای است؛ یعنی برخلاف نیرو، جهت برداری ندارد. پیش از استفاده از این رابطه بررسی کن: آیا نیرو ثابت است؟ آیا نیرو و جابه‌جایی هم‌جهت‌اند؟ آیا می‌توان از چرخش و تغییر شکل جسم صرف‌نظر کرد؟

وقتی نیرو زاویه دارد

تصور کن دستهٔ چمدان چرخ‌دارت را مایل گرفته‌ای و آن را روی زمین افقی می‌کشی. نیروی دستت مایل است، اما چمدان افقی جابه‌جا می‌شود. آیا تمام نیروی دستت در محاسبهٔ کار نقش دارد؟

برای فهمیدن موضوع، نیرو را دارای دو بخش در نظر بگیر: بخشی در راستای جابه‌جایی و بخشی عمود بر آن. فقط بخشِ در راستای جابه‌جایی در کار نقش دارد؛ چون چمدان در جهت بخش عمودی جابه‌جا نمی‌شود.

اگر زاویهٔ بین نیرو و جابه‌جایی را با $\theta$ نشان دهیم، بخشِ در راستای جابه‌جایی برابر $F\cos\theta$ است. پس برای نیروی ثابت داریم:

$W = (F\cos\theta)d = Fd\cos\theta$

در این رابطه، $F$ اندازهٔ کل نیرو است؛ عامل $\cos\theta$ اثر زاویه را وارد محاسبه می‌کند. لازم نیست تجزیهٔ نیرو را جداگانه حساب کنی؛ کافی است زاویهٔ بین خودِ نیرو و جابه‌جایی را درست تشخیص بدهی. برای چمدانی که افقی حرکت می‌کند، این همان زاویهٔ دسته با جهت حرکت افقی است.

مثبت، منفی یا صفر؟

برای تشخیص علامت کار، فقط به جهت نیرو نگاه نکن؛ جهت نیرو را با جهت جابه‌جایی مقایسه کن. در رابطهٔ $W = Fd\cos\theta$، اندازهٔ نیرو و جابه‌جایی منفی نیستند؛ پس علامت کار را $\cos\theta$ تعیین می‌کند.

• هم‌جهت: زاویه $0^\circ$ است و چون $\cos 0^\circ = 1$، کار مثبت می‌شود.
• خلاف جهت: زاویه $180^\circ$ است و چون $\cos 180^\circ = -1$، کار منفی می‌شود.
• عمود بر هم: زاویه $90^\circ$ است و چون $\cos 90^\circ = 0$، کار صفر می‌شود.

مثلاً وقتی وزنه‌ای را آرام بالا می‌بری، نیروی دست و جابه‌جایی هر دو رو به بالا هستند؛ پس کار نیروی دست مثبت است. وقتی همان وزنه را آرام پایین می‌آوری، نیروی دست همچنان رو به بالاست، ولی جابه‌جایی رو به پایین است؛ پس کار نیروی دست منفی است.

اگر وزنه را بی‌حرکت نگه داری، جابه‌جایی صفر است و نیروی دست کاری روی وزنه انجام نمی‌دهد؛ حتی اگر خسته شوی! کار منفی هم به معنی «کار انجام نشدن» نیست.

کار کلِ چند نیرو

وقتی جعبه‌ای را روی زمین می‌کشی، فقط نیروی دست تو به آن وارد نمی‌شود؛ اصطکاک، وزن و نیروی عمودی سطح هم حضور دارند. پس کار نیروی دستت لزوماً همان کار کل نیست.

برای پیدا کردن کار کل، این مسیر را برو:

• کار هر نیرو را جداگانه با رابطهٔ $W = Fd\cos\theta$ حساب کن؛ زاویهٔ هر نیرو را با جابه‌جایی بسنج.
• علامت کارها را نگه دار: کار نیروی کمک‌کننده به حرکت مثبت و کار نیروی مخالف حرکت منفی است. وزن و نیروی عمودی سطح، هنگام جابه‌جایی افقی، کارشان صفر است.
• در پایان، کارها را جبری جمع کن؛ یعنی کارهای منفی را با همان علامت منفی وارد جمع کن:

$W_{\mathrm{t}} = W_1 + W_2 + \cdots$

پس جمع کردن اندازهٔ کارها بدون توجه به علامت، درست نیست. راه دیگر این است که ابتدا نیروی خالص را پیدا کنی و کار آن را حساب کنی؛ هر دو راه به یک کار کل می‌رسند.

کار مثبت و منفی چه می‌کنند؟

وقتی دوچرخه را رکاب می‌زنی و تندتر می‌روی، انرژی جنبشیِ تو و دوچرخه بیشتر می‌شود. هنگام ترمز گرفتن، تندی و انرژی جنبشی کاهش می‌یابند. کار نیروها راهی برای توضیح این تغییر است.

اگر کار کل مثبت باشد، نیروها در مجموع به جسم انرژی می‌دهند؛ بنابراین انرژی جنبشی جسم بیشتر می‌شود و جسم تندتر حرکت می‌کند. برای نمونه، هنگام افزایش تندی هواپیما، نیروی خالص هم‌جهت با جابه‌جایی است و کار مثبت انجام می‌دهد.

اگر کار کل منفی باشد، نیروها در مجموع از انرژی جنبشی جسم کم می‌کنند؛ پس جسم کندتر می‌شود. هنگام ترمز کردن خودرو، نیروی خالص برخلاف جهت جابه‌جایی است و کار منفی انجام می‌دهد.

حواست باشد: «منفی» بودن کار به معنای منفی شدن انرژی جنبشی نیست؛ یعنی انرژی جنبشی کاهش یافته است. همچنین مثبت و منفی اینجا به معنی خوب و بد نیستند؛ ترمز گرفتن می‌تواند بسیار هم مفید باشد!

پل میان کار و انرژی جنبشی

فرض کن توپ را روی مسیری دنبال می‌کنی و می‌خواهی بدانی کار کل انجام‌شده روی آن چه اثری داشته است. قضیهٔ کار ــ انرژی جنبشی یک پل ساده میان کار و تغییر انرژی جنبشی می‌سازد:

$W_\mathrm{t}=K_2-K_1$

در این رابطه، $W_\mathrm{t}$ کار کل، $K_1$ انرژی جنبشی آغازی و $K_2$ انرژی جنبشی پایانی است. پس ترتیب تفریق مهم است: پایانی منهای آغازی، نه برعکس!

نکتهٔ مهم این است که کار کل با *تغییر* انرژی جنبشی برابر است، نه لزوماً با خود انرژی جنبشی پایانی. فقط اگر جسم در آغاز ساکن باشد، انرژی جنبشی آغازی صفر است و کار کل با انرژی جنبشی پایانی برابر می‌شود.

این پل فقط برای مسیر مستقیم نیست؛ اگر توپ روی مسیری خمیده هم حرکت کند، باز می‌توان همین رابطه را برای وضعیت آغاز و پایان به کار برد.

سهم همهٔ نیروها را حساب کن

وقتی چند نیرو به جسم وارد می‌شوند، هرکدام می‌توانند سهمی در تغییر انرژی جنبشی داشته باشند. پس برای استفاده از قضیهٔ کار ــ انرژی جنبشی، باید کار همهٔ نیروها را با علامتشان جمع کنیم.

چتربازی را در حال پایین آمدن تصور کن. نیروی وزن رو به پایین و هم‌جهت با جابه‌جایی است؛ پس کارش مثبت است. مقاومت هوا رو به بالا و خلاف جابه‌جایی است؛ پس کارش منفی است. بنابراین:

$W_\mathrm{t}=W_{\text{وزن}}+W_{\text{مقاومت هوا}}=K_2-K_1$

اگر تندی چترباز افزایش یابد، فقط می‌فهمیم که مجموع کارها مثبت است؛ نه اینکه هر دو نیرو کار مثبت انجام داده‌اند. در این حالت، کار مثبت وزن از بزرگی کار منفی مقاومت هوا بیشتر است.

برای پیدا کردن کار یک نیروی ناشناخته هم همین جمع‌بندی به کمکمان می‌آید: تغییر انرژی جنبشی را برابر مجموع کارها می‌گذاریم و سهم نیروی موردنظر را جدا می‌کنیم. اشتباه رایج این است که کار وزن را به‌تنهایی برابر تغییر انرژی جنبشی بگذاریم و مقاومت هوا را فراموش کنیم.

از انرژی به تندی

اگر کار کل را بدانیم، چطور تندی نهایی را پیدا کنیم؟ ابتدا با قضیهٔ کار ــ انرژی جنبشی، انرژی جنبشی پایانی را می‌یابیم:

$K_2=K_1+W_\mathrm{t}$

سپس از رابطهٔ $K=\frac{1}{2}mv^2$ کمک می‌گیریم. با جدا کردن تندی داریم:

$v_2=\sqrt{\frac{2K_2}{m}}$

اگر جسم از سکون شروع کند، $K_1=0$ است؛ در غیر این صورت، نباید انرژی جنبشی آغازی را فراموش کنیم.

اما انرژی جنبشی برابر، همیشه به معنای تندی برابر نیست! دو چرخ‌دستی با بارهای متفاوت را تصور کن. اگر هر دو از سکون راه بیفتند و کار کل یکسانی روی آن‌ها انجام شود، انرژی جنبشی پایانی آن‌ها برابر می‌شود. بااین‌حال، چرخ‌دستی سبک‌تر تندتر حرکت می‌کند؛ چون در رابطهٔ $v=\sqrt{\frac{2K}{m}}$، برای انرژی جنبشی ثابت، جرم کمتر به تندی بیشتر می‌انجامد.

پس هنگام مقایسهٔ تندی‌ها، علاوه بر انرژی جنبشی، جرم جسم‌ها را هم بررسی کن.

انرژی ذخیره‌شدهٔ جسم و زمین

کتابی که روی قفسه بی‌حرکت مانده، انرژی جنبشی ندارد؛ اما اگر بیفتد، می‌تواند تندی بگیرد. پس انرژیِ مربوط به جایگاه آن را چطور توصیف کنیم؟

انرژی پتانسیل گرانشی به سامانهٔ کتاب و زمین مربوط است، نه به کتاب به‌تنهایی؛ چون جایگاه کتاب نسبت به زمین اهمیت دارد. نزدیک سطح زمین، این انرژی را از رابطهٔ زیر حساب می‌کنیم:

$U=mgh$

در این رابطه، $m$ جرم جسم برحسب $\mathrm{kg}$، $g$ شتاب گرانش برحسب $\mathrm{m/s^2}$ و $h$ ارتفاع نسبت به سطحی است که ارتفاعش را صفر گرفته‌ایم، برحسب $\mathrm{m}$. انرژیِ به‌دست‌آمده برحسب ژول، $\mathrm{J}$، است.

مثلاً اگر کف اتاق را سطحِ ارتفاع صفر بگیریم، برای دو کتاب هم‌جرم، کتابِ روی قفسهٔ بالاتر انرژی پتانسیل گرانشی بیشتری دارد. همچنین در یک ارتفاع مثبت و یکسان، کتاب سنگین‌تر انرژی پتانسیل گرانشی بیشتری دارد. ساکن‌بودن جسم به معنی نداشتن انرژی پتانسیل نیست.

کار وزن و علامت تغییر انرژی

وقتی کتابی از دستت پایین می‌افتد، نیروی وزن و جابه‌جایی آن هر دو رو به پایین‌اند؛ پس کار نیروی وزن مثبت است. در همین حال، ارتفاع کتاب کم می‌شود و انرژی پتانسیل گرانشی سامانهٔ کتاب و زمین کاهش می‌یابد.

این ارتباط را چنین می‌نویسیم:

$\Delta U=U_2-U_1$

$W_{\text{وزن}}=-\Delta U$

یعنی کار وزن و تغییر انرژی پتانسیل، اندازه‌های برابر و علامت‌های مخالف دارند. هنگام پایین‌آمدن، $\Delta U<0$ و $W_{\text{وزن}}>0$ است.

حالا کتاب را رو به بالا ببر. نیروی وزن همچنان رو به پایین است، اما جابه‌جایی رو به بالاست؛ بنابراین کار وزن منفی می‌شود. هم‌زمان، ارتفاع و انرژی پتانسیل افزایش می‌یابند؛ یعنی $\Delta U>0$ است.

برای تشخیص علامت‌ها، اول بپرس: «ارتفاع بیشتر شده یا کمتر؟» سپس علامت کار وزن را مخالف علامت تغییر انرژی پتانسیل بگذار. دقت کن که این رابطه دربارهٔ کار نیروی وزن است، نه لزوماً کار کل نیروها.

مسیر متفاوت، کار یکسان

به پرسش شروع درس برگردیم: کتابی را از روی میز به قفسه می‌بری؛ یک‌بار مستقیم رو به بالا و بار دیگر با کمی حرکت افقی و از راهی طولانی‌تر. آیا کار نیروی وزن فرق می‌کند؟ نه! چون جای شروع و پایان کتاب در هر دو حالت یکسان است.

نزدیک سطح زمین، با ثابت‌بودن جرم و وزن، داریم:

$W_{\text{وزن}}=-\Delta U=mg(h_1-h_2)$

در این رابطه فقط ارتفاع آغاز و پایان دیده می‌شود؛ خبری از طول یا شکل مسیر نیست. در بخش‌های افقی مسیر، نیروی وزن بر جابه‌جایی عمود است و کاری انجام نمی‌دهد. اگر مسیر بالا و پایین هم داشته باشد، کار وزن در این بخش‌ها طوری با هم جمع می‌شود که نتیجه فقط به اختلاف ارتفاع دو سر مسیر بستگی دارد.

پس برای محاسبهٔ کار نیروی وزن لازم نیست تمام پیچ‌وخم‌های مسیر را دنبال کنی. دقت کن: این نتیجه دربارهٔ نیروی وزن است، نه لزوماً هر نیروی دیگری مثل اصطکاک.

صفر انرژی را کجا بگذاریم؟

وقتی ارتفاع یک کتاب را می‌سنجی، اول باید مشخص کنی «نسبت به کجا؟» کف اتاق یا روی میز؟ در رابطهٔ $U=mgh$ هم باید یک تراز را به‌عنوان مبدأ ارتفاع انتخاب کنیم. در آن تراز، $h=0$ و در نتیجه $U=0$ است.

انتخاب مبدأ آزاد است، اما در طول حل مسئله باید همان مبدأ را نگه داریم. اگر مبدأ را روی میز بگذاریم، کتابی پایین‌تر از سطح میز، ارتفاع و انرژی پتانسیل منفی دارد. منفی‌بودن این انرژی اشکالی ندارد؛ فقط جای کتاب را نسبت به تراز انتخابی نشان می‌دهد.

حالا کتاب را از روی صندلی به روی میز ببر. چه مبدأ را کف اتاق بگیری و چه روی میز، اختلاف ارتفاع ابتدا و انتها یکسان است. بنابراین در رابطهٔ

$\Delta U=mg(h_2-h_1)$

تغییر انرژی پتانسیل عوض نمی‌شود. چون $W_{\text{وزن}}=-\Delta U$ است، کار وزن هم ثابت می‌ماند. پس برای این جابه‌جایی، تغییر انرژی مهم است، نه مقدار انرژی در یک نقطه.

کار دست هنگام جابه‌جایی

کتابی را از روی میز برمی‌داری، روی قفسه‌ای بالاتر می‌گذاری و دوباره ساکن می‌کنی. با چشم‌پوشی از مقاومت هوا، فقط دست و زمین به کتاب نیرو وارد می‌کنند. کار دست چه ارتباطی با انرژی پتانسیل دارد؟

چون کتاب در ابتدا و انتها ساکن است، انرژی جنبشی آن تغییر نمی‌کند؛ پس طبق قضیهٔ کارـانرژی جنبشی، مجموع کار نیروها صفر است:

$W_{\text{دست}}+W_{\text{وزن}}=\Delta K=0$

بنابراین کار دست، قرینهٔ کار وزن است. با جای‌گذاری رابطهٔ $W_{\text{وزن}}=-\Delta U$ می‌رسیم به:

$W_{\text{دست}}=\Delta U=mg(h_2-h_1)$

هنگام بالابردن کتاب، انرژی پتانسیل افزایش می‌یابد و کار دست مثبت است. هنگام پایین‌آوردن و ساکن‌کردن آن، انرژی پتانسیل کاهش می‌یابد و کار دست منفی است؛ حتی اگر دستت خسته شود!

شرط مهم: لازم نیست کتاب در تمام مسیر با تندی ثابت حرکت کند؛ ساکن‌بودن در ابتدا و انتها کافی است، به شرط آنکه جز دست و وزن، نیروی مؤثر دیگری کار انجام ندهد.

انرژی از شکلی به شکل دیگر

توپی را تصور کن که از دستت رها می‌شود. هرچه پایین‌تر می‌آید، ارتفاعش کمتر و تندی‌اش بیشتر می‌شود. اگر مقاومت هوا ناچیز باشد، این دو تغییر به هم مربوط‌اند: انرژی پتانسیل گرانشی توپ کاهش می‌یابد و انرژی جنبشی آن افزایش پیدا می‌کند.

چرا؟ در این سقوط فقط نیروی وزن روی توپ کار انجام می‌دهد. از قضیهٔ کار و انرژی جنبشی می‌دانیم کار وزن برابر تغییر انرژی جنبشی است:

$W_{\text{وزن}}=K_2-K_1$

از طرف دیگر، کار وزن برابر منفیِ تغییر انرژی پتانسیل گرانشی است:

$W_{\text{وزن}}=-(U_2-U_1)$

پس با برابر قرار دادن این دو عبارت داریم:

$K_2-K_1=-(U_2-U_1)$

علامت منفی می‌گوید تغییر این دو انرژی خلاف جهت یکدیگر است؛ در سقوط، هرقدر انرژی پتانسیل کم شود، دقیقاً همان‌قدر انرژی جنبشی زیاد می‌شود. پس انرژی جنبشیِ بیشترِ توپ، از تبدیل انرژی پتانسیل گرانشی به دست می‌آید، نه از تولید انرژی تازه.

چه چیزی پایسته می‌ماند؟

وقتی توپی پایین می‌افتد، انرژی جنبشی آن بیشتر و انرژی پتانسیل گرانشی‌اش کمتر می‌شود. پس هیچ‌کدام به‌تنهایی ثابت نیستند؛ اما مجموع آن‌ها می‌تواند ثابت بماند. این مجموع را انرژی مکانیکی می‌نامیم:

$E=K+U$

اگر هنگام حرکت فقط نیروی وزن کار انجام دهد، انرژی مکانیکی در هر دو نقطهٔ دلخواه مسیر برابر است:

$K_1+U_1=K_2+U_2$

به ثابت ماندن این مجموع، پایستگی انرژی مکانیکی می‌گوییم. دقت کن: شرط این نیست که فقط نیروی وزن *وارد شود*؛ ممکن است نیروی دیگری هم وارد شود، ولی کاری انجام ندهد. مثلاً روی سرسرهٔ بدون اصطکاک، نیروی سطح بر حرکت عمود است و کار نمی‌کند. اگر مقاومت هوا هم ناچیز باشد، انرژی مکانیکی پایسته می‌ماند.

بنابراین روی چنین سرسره‌ای، افزایش تندی هنگام پایین آمدن به معنای افزایش انرژی مکانیکی نیست؛ انرژی پتانسیل به جنبشی تبدیل می‌شود و مجموعشان ثابت می‌ماند.

از پایستگی تا پیدا کردن تندی

فرض کن می‌خواهی تندی یک سورتمه را در بخشی از سرازیری پیدا کنی. اگر اصطکاک و مقاومت هوا ناچیز باشند، لازم نیست حرکت را لحظه‌به‌لحظه بررسی کنی؛ دو وضعیت از مسیر کافی است، به شرط آنکه اطلاعات لازم را دربارهٔ آن‌ها داشته باشی.

ابتدا یک سطح، مثلاً زمین، را مبدأ ارتفاع بگیر و ارتفاع هر دو وضعیت را نسبت به همان سطح بنویس. سپس از پایستگی انرژی مکانیکی استفاده کن:

$\frac{1}{2}mv_1^2+mgh_1=\frac{1}{2}mv_2^2+mgh_2$

چون جرم در همهٔ جمله‌ها عامل مشترک است، حذف می‌شود. با مرتب‌کردن رابطه داریم:

$v_2^2=v_1^2+2g(h_1-h_2)$

اگر وضعیت دوم پایین‌تر باشد، اختلاف ارتفاع مثبت است و تندی بیشتر می‌شود؛ این یک راه خوب برای بررسی معقول‌بودن پاسخ است.

لازم نیست همیشه از نقطهٔ شروع حرکت استفاده کنی. هر دو وضعیت دلخواه که اطلاعاتشان کافی باشد مناسب‌اند. همچنین اگر مبدأ ارتفاع را عوض کنی، اختلاف ارتفاع ثابت می‌ماند؛ پس تندیِ به‌دست‌آمده تغییر نمی‌کند.

انرژی درون جسم

یک لیوان آب که روی میز بی‌حرکت است، آیا هیچ انرژی‌ای ندارد؟ بی‌حرکت بودن لیوان به این معنی نیست که ذره‌های سازندهٔ آب هم بی‌حرکت‌اند! برای شناخت انرژی درون جسم، باید به ذره‌های آن نگاه کنیم.

انرژی درونی، مجموع انرژی‌های همهٔ ذره‌های سازندهٔ جسم است. پس برای بررسی آن، هم تعداد ذره‌ها مهم است و هم انرژی هر ذره. اگر انرژی هر ذره یکسان باشد، جسمی که ذره‌های بیشتری دارد، انرژی درونی بیشتری دارد. همچنین اگر تعداد ذره‌ها ثابت بماند، افزایش انرژی ذره‌ها باعث افزایش انرژی درونی می‌شود.

مثلاً وقتی یک لیوان آب را گرم می‌کنی، معمولاً انرژی درونی آن بیشتر می‌شود. اما دما به‌تنهایی برای مقایسهٔ انرژی درونی دو جسم کافی نیست: یک پارچ پُر از آب و یک لیوان از همان آب در دمای یکسان، تعداد ذره‌های یکسانی ندارند. آبِ پارچ به دلیل داشتن ذره‌های بیشتر، انرژی درونی بیشتری دارد.

تلف شدن، نه نابود شدن

کف دست‌هایت را چند لحظه به هم بمال؛ گرم شدنشان را حس می‌کنی؟ هنگام ساییده شدن دو سطح به یکدیگر، اصطکاک می‌تواند انرژی حرکت را به انرژی درونی تبدیل کند.

در ترمز گرفتن خودرو هم همین اتفاق می‌افتد: نیروی اصطکاک برخلاف جابه‌جایی خودرو است و روی آن کار منفی انجام می‌دهد؛ در نتیجه انرژی جنبشی خودرو کم می‌شود. در همین فرایند، لاستیک‌ها و سطح جاده گرم‌تر می‌شوند و انرژی درونی آن‌ها افزایش می‌یابد. پس انرژی جنبشیِ ازدست‌رفته، نابود نشده؛ شکل آن تغییر کرده است.

اما چرا می‌گوییم انرژی «تلف شده»؟ چون این انرژیِ پخش‌شده در لاستیک‌ها و جاده را معمولاً نمی‌توان در عمل دوباره برای حرکت دادن خودرو به کار گرفت. بنابراین، تلف شدن یعنی کاهش انرژیِ قابل استفاده برای هدف ما، نه از بین رفتن انرژی.

حساب کردن کاهش انرژی مکانیکی

فرض کن توپی روی زمین حرکت می‌کند و بر اثر اصطکاک کند می‌شود. برای بررسی این تغییر، انرژی مکانیکی آن را در آغاز و پایان مقایسه می‌کنیم. انرژی مکانیکی مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل است:

$E = K + U$

اگر به‌جز گرانش، فقط نیروهای اتلافی مانند اصطکاک و مقاومت هوا روی جسم کار کنند، کار این نیروها از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:

$W_f = E_2 - E_1$

در این رابطه، $E_1$ انرژی مکانیکی آغاز و $E_2$ انرژی مکانیکی پایان حرکت است. ترتیب تفریق مهم است: انرژی پایان منهای انرژی آغاز، نه برعکس!

وقتی نیروهای اتلافی خلاف جهت جابه‌جایی کار می‌کنند، انرژی مکانیکی پایان کمتر از آغاز است؛ پس کار آن‌ها منفی می‌شود. این علامت منفی نشانهٔ کاهش انرژی مکانیکی است، نه نابودی انرژی؛ انرژی کاهش‌یافته به انرژی درونی جسم و محیط تبدیل می‌شود.

پایستگی انرژی کل

آیا کم شدن انرژی مکانیکی یعنی قانون پایستگی انرژی نقض شده است؟ نه؛ باید همهٔ شکل‌های انرژی را حساب کنیم، نه فقط انرژی جنبشی و پتانسیل را.

به مجموعه‌ای که برای بررسی انتخاب می‌کنیم «سامانه» می‌گوییم. اگر هیچ انرژی‌ای از محیط وارد این مجموعه نشود یا از آن به محیط نرود، سامانه منزوی است. در چنین سامانه‌ای، مجموع انرژی‌ها ثابت می‌ماند؛ هرچند سهم هر شکل انرژی می‌تواند تغییر کند.

مثلاً مالیدن دست‌ها به هم را در نظر بگیر: دست‌ها گرم می‌شوند. اگر دست‌ها، بدن و محیط درگیر را چنان در سامانه بگنجانیم که انرژی از مرز آن عبور نکند، افزایش انرژی درونی به معنی تولید انرژی از هیچ نیست؛ شکل دیگری از انرژی کاهش یافته است.

پس دو جمله می‌توانند هم‌زمان درست باشند: انرژی مکانیکی پایسته نیست، اما انرژی کل سامانهٔ منزوی پایسته است. نکته این است که چه شکل‌هایی از انرژی و چه اجسامی را در حساب خود آورده‌ایم.

کار یکسان، زمان متفاوت

دو بالابر را تصور کن که بارهای یکسانی را تا ارتفاع یکسان بالا می‌برند. اگر اتلاف را نادیده بگیریم و بارها در آغاز و پایان ساکن باشند، هر دو بالابر کار یکسانی انجام می‌دهند؛ اما بالابری که زودتر می‌رسد، توان متوسط بیشتری دارد، نه کار بیشتر.

توان می‌گوید کار با چه آهنگی انجام می‌شود؛ یعنی در واحد زمان چقدر کار انجام شده است:

$P_{\mathrm{av}}=\frac{W}{\Delta t}$

در این رابطه، $W$ کار انجام‌شده، $\Delta t$ مدت انجام کار و $P_{\mathrm{av}}$ توان متوسط است. واژهٔ «متوسط» یعنی کل کار را بر کل زمان آن بازه تقسیم می‌کنیم؛ لازم نیست سرعت انجام کار در تمام لحظه‌ها یکسان باشد.

حالا بدون محاسبه فکر کن: اگر همان کار در نصف زمان انجام شود، توان متوسط دو برابر می‌شود. پس هنگام مقایسهٔ توان، فقط نپرس «چقدر کار؟»؛ بپرس «در چه مدت؟»

وات و اسب بخار

روی برچسب یک وسیلهٔ برقی معمولاً توان را با وات می‌نویسند. توانِ $1\,\mathrm{W}$ یعنی در هر ثانیه، $1\,\mathrm{J}$ کار انجام می‌شود:

$1\,\mathrm{W}=1\,\mathrm{J/s}$

حواست باشد: نماد $W$ در فرمول توان نشان‌دهندهٔ کار است، اما $\mathrm{W}$ کنار مقدار یک کمیت، یکای وات است.

برای توان‌های بزرگ‌تر، کیلووات و مگاوات کاربرد دارند:

$1\,\mathrm{kW}=10^3\,\mathrm{W}$

$1\,\mathrm{MW}=10^6\,\mathrm{W}$

پس هنگام تبدیل کیلووات به وات، عدد را در هزار ضرب می‌کنیم؛ در مسیر برعکس، آن را بر هزار تقسیم می‌کنیم.

در معرفی موتور خودروها، یکای اسب بخار هم رایج است:

$1\,\mathrm{hp}=746\,\mathrm{W}$

اسب بخار هم یکای توان است، نه نیرو یا انرژی. اگر توان موتوری برحسب وات داده شده باشد، برای بیان همان توان برحسب اسب بخار، مقدار آن را بر $746$ تقسیم می‌کنیم. تغییر یکا، توان واقعی موتور را عوض نمی‌کند؛ فقط عدد و شیوهٔ بیان آن تغییر می‌کند.

از تغییر انرژی تا توان

اگر کار موتور را مستقیم ندانیم، چطور توانش را پیدا کنیم؟ اول تغییر انرژی را بررسی می‌کنیم، بعد کار موتور را بر زمان تقسیم می‌کنیم.

مثلاً هنگام سبقت‌گرفتن خودرو در مسیر افقی، تندی و انرژی جنبشی آن افزایش می‌یابد. اگر نیروهای اتلافی را نادیده بگیریم، کار موتور برابر است با:

$W_{\text{موتور}}=\Delta K=\frac{1}{2}m(v_2^2-v_1^2)$

اما برای بالابری که بار را از حالت سکون حرکت می‌دهد و در ارتفاع بالاتر دوباره متوقف می‌کند، انرژی جنبشی ابتدا و انتها یکسان است. بدون اتلاف، کار موتور صرف افزایش انرژی پتانسیل گرانشی می‌شود:

$W_{\text{موتور}}=mg(h_2-h_1)$

دقت کن: اینجا کار کل نیروها صفر است، نه کار موتور؛ کار منفی نیروی وزن، کار مثبت موتور را خنثی می‌کند.

در هر دو موقعیت، گام آخر یکی است:

$P_{\mathrm{av}}=\frac{W_{\text{موتور}}}{\Delta t}$

اگر اصطکاک یا مقاومت هوا وجود داشته باشد، موتور برای همان تغییر انرژی در همان زمان، به توان بیشتری نیاز دارد؛ چون باید انرژی تلف‌شده را هم تأمین کند.

چه مقدار انرژی مفید می‌شود؟

وقتی موتور بالابر برق مصرف می‌کند، همهٔ انرژی دریافتی صرف بالا بردن بار نمی‌شود؛ بخشی هم موتور و کابل را گرم می‌کند. این انرژی ناپدید نشده است، اما برای هدف ما، یعنی بالا بردن بار، مفید نیست.

بازده نشان می‌دهد چه سهمی از انرژی ورودی به خروجیِ موردنظر تبدیل می‌شود. برای بیان آن به درصد می‌نویسیم:

$\eta=\frac{E_{\text{خروجی مفید}}}{E_{\text{ورودی}}}\times100$

در این رابطه، $\eta$ نماد بازده درصدی است. دقت کن که انرژی مفید در صورت و کل انرژی ورودی در مخرج قرار می‌گیرد؛ در سامانه‌های واقعی، بخشی از انرژی به شکل ناخواسته تبدیل می‌شود، پس بازده کمتر از $100\%$ است.

توان، آهنگ انتقال انرژی را هم توصیف می‌کند:

$P_{\mathrm{av}}=\frac{\Delta E}{\Delta t}$

بنابراین اگر توان‌های متوسط ورودی و خروجی را برای یک بازهٔ زمانی مشترک در نظر بگیریم، زمان در نسبت ساده می‌شود و داریم:

$\eta=\frac{P_{\text{خروجی مفید}}}{P_{\text{ورودی}}}\times100$

پس توان ورودی زیاد، به‌تنهایی نشانهٔ بازده زیاد نیست؛ باید ببینیم چه سهمی از آن مفید است.

مصرف کمتر، استفادهٔ بهتر

وقتی از اتاق بیرون می‌روی و چراغ اضافی را خاموش می‌کنی، فقط هزینهٔ برق را کم نمی‌کنی؛ نیاز به تولید انرژی و پیامدهای زیست‌محیطی آن را هم کاهش می‌دهی. بهینه‌سازی مصرف یعنی انرژی کمتری مصرف کنیم، بدون اینکه خدمت موردنیازمان را از دست بدهیم.

برای این کار دو راه ساده داریم: وسایل غیرضروری را کمتر روشن نگه داریم و برای خدمت یکسان، وسیلهٔ کم‌مصرف‌تر انتخاب کنیم. مثلاً هنگام مقایسهٔ دو لامپ، باید روشنایی آن‌ها را هم در نظر بگیریم؛ مصرف کمتر زمانی مزیت است که روشنایی موردنیازمان تأمین شود. برچسب انرژی وسایل نیز اطلاعاتی برای انتخاب آگاهانه‌تر در اختیارمان می‌گذارد.

یادت باشد پرتوان‌تر بودن لزوماً به معنی کم‌مصرف‌تر بودن نیست. توان نشان می‌دهد انرژی با چه آهنگی مصرف یا منتقل می‌شود؛ انرژی مصرفی به مدت استفاده هم بستگی دارد. پس هم انتخاب وسیله مهم است و هم شیوهٔ استفاده از آن.

تندی، عاملِ به‌توان‌دو

چطور ممکن است یک شهاب‌سنگ کوچک، انرژی جنبشی بیشتری از یک هواپیمای سنگین داشته باشد؟ کلید پاسخ، تندی به‌توان‌دو است. انرژی جنبشی، انرژی جسم به دلیل حرکت آن است و از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:

$K=\frac{1}{2}mv^2$

در این رابطه، جرم $m$ را برحسب $\mathrm{kg}$ و تندی $v$ را برحسب $\mathrm{m/s}$ می‌گذاریم تا انرژی $K$ برحسب ژول، $\mathrm{J}$، به دست آید. پس پیش از جای‌گذاری، یکاها را بررسی کن: برای تبدیل گرم به کیلوگرم بر $1000$ تقسیم می‌کنیم و برای تبدیل $\mathrm{km/s}$ به $\mathrm{m/s}$ در $1000$ ضرب می‌کنیم.

جرم و تندی اثر یکسانی ندارند: با ثابت ماندن تندی، دوبرابر شدن جرم، انرژی جنبشی را دوبرابر می‌کند؛ اما با ثابت ماندن جرم، دوبرابر شدن تندی، انرژی جنبشی را چهاربرابر می‌کند. برای همین، بالا رفتن تندی دوچرخه‌ات می‌تواند انرژی حرکتش را خیلی بیشتر از چیزی که ابتدا حدس می‌زنی افزایش دهد.

برای مقایسهٔ دو جسم، همیشه لازم نیست انرژی هرکدام را جداگانه حساب کنی؛ گاهی مقایسهٔ جرم‌ها و مربع تندی‌ها کافی است.

از کار نیروها تا تغییر تندی

وقتی نیرویی به جسم وارد می‌شود، صرفِ وجود نیرو به معنی انجام کار نیست؛ جهت نیرو نسبت به جابه‌جایی هم مهم است. کار یک نیروی ثابت از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:

$W=Fd\cos\theta$

در این رابطه، $\theta$ زاویهٔ بین نیرو و جابه‌جایی است. نیروی هم‌جهت با جابه‌جایی کار مثبت و نیروی خلاف جهت آن کار منفی انجام می‌دهد. اگر نیرو بر جابه‌جایی عمود باشد، کارش صفر است؛ مثل نیروی رو به بالای دست هنگام حمل سطل با تندی ثابت در مسیری افقی.

برای فهمیدن تغییر تندی، کار همهٔ نیروها را با علامتشان جمع کن:

$W_{\text{کل}}=\Delta K=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2$

برای جسمی با جرم ثابت، کار کل مثبت یعنی افزایش تندی و کار کل منفی یعنی کاهش تندی. مثلاً هنگام ترمزگرفتن دوچرخه در مسیر افقی، کار کل منفی است؛ انرژی جنبشی کم می‌شود، نه اینکه منفی شود! همچنین کار کل صفر، به معنی نبودن نیرو نیست؛ ممکن است نیرو فقط جهت حرکت را تغییر دهد.

ارتفاع مهم است، نه مسیر

برای رسیدن به یک طبقه، می‌توانی از پله‌ها بروی یا سوار آسانسور شوی. اگر جرم و ارتفاع آغاز و پایان یکسان باشد، آیا طولانی‌تر بودن مسیر پله‌ها کار نیروی وزن را بیشتر می‌کند؟ نه؛ برای کار وزن، اختلاف ارتفاع مهم است، نه طول مسیر.

نزدیک سطح زمین، انرژی پتانسیل گرانشی سامانهٔ جسم و زمین از رابطهٔ $U=mgh$ به دست می‌آید. در این رابطه، $h$ ارتفاع نسبت به تراز مرجع انتخابی است. اگر کف حیاط را مرجع بگیری، انرژی پتانسیل در طبقات بالاتر مثبت و در زیرزمین منفی می‌شود؛ منفی بودن آن فقط به انتخاب مرجع مربوط است.

کار نیروی وزن برابر است با:

$W_g=-\Delta U=mg(h_1-h_2)$

هنگام بالا رفتن، انرژی پتانسیل افزایش می‌یابد و کار وزن منفی است؛ هنگام پایین آمدن، برعکس می‌شود. پس برای دو شخص هم‌جرم که از یک طبقه به طبقهٔ بالاتر می‌روند، کار وزن یکسان است؛ حتی اگر مسیر و زمان حرکتشان متفاوت باشد. دقت کن که این نتیجه دربارهٔ کار وزن است، نه انرژی مصرف‌شدهٔ بدن آن‌ها.

ردگیری انرژی در طول حرکت

توپی را رو به بالا پرتاب می‌کنی؛ هنگام بالا رفتن، تندی‌اش کم می‌شود. آیا انرژی ناپدید شده است؟ نه؛ اگر مقاومت هوا ناچیز باشد، انرژی جنبشی به انرژی پتانسیل گرانشی تبدیل می‌شود. در برگشت، این تبدیل برعکس است.

وقتی فقط نیروی وزن کار انجام می‌دهد، مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل گرانشی ثابت می‌ماند:

$E=K+U$

پس برای دو نقطه از حرکت می‌نویسیم:

$K_1+U_1=K_2+U_2$

این رابطه یک میان‌بُر مهم دارد: برای توپ‌های هم‌جرمی که از ارتفاع یکسان با تندی اولیهٔ یکسان پرتاب می‌شوند، انرژی مکانیکی اولیه یکسان است؛ حتی اگر جهت پرتابشان متفاوت باشد. بدون مقاومت هوا، انرژی جنبشی آن‌ها هنگام رسیدن به زمین نیز یکسان خواهد بود.

اما با وجود اصطکاک یا مقاومت هوا، انرژی مکانیکی می‌تواند کاهش یابد و بخشی از آن به انرژی درونی جسم و محیط تبدیل شود. این کاهش به معنی نابودی انرژی نیست؛ انرژی کل همچنان پایسته است. بنابراین پیش از استفاده از پایستگی انرژی مکانیکی، بررسی کن چه نیروهایی کار انجام می‌دهند.

انرژی با چه آهنگی منتقل می‌شود؟

دو بالابر ممکن است بار یکسانی را تا ارتفاع یکسان بالا ببرند، اما یکی زودتر کار را تمام کند. انرژی مفید منتقل‌شده یکسان است؛ بالابر سریع‌تر توان متوسط مفید بیشتری دارد:

$P_{\text{مفید}}=\frac{E_{\text{مفید}}}{\Delta t}$

برای انتخاب انرژی مفید، به هدف دستگاه نگاه کن: در بالابردن بار با تندی ثابت، افزایش انرژی پتانسیل گرانشی و در تندترکردن خودرو روی مسیر افقی، افزایش انرژی جنبشی مورد نظر است. انرژی را برحسب $\mathrm{J}$ و زمان را برحسب $\mathrm{s}$ بگذار تا توان برحسب $\mathrm{W}$ به دست آید.

اما همهٔ انرژی ورودی به نتیجهٔ دلخواه تبدیل نمی‌شود؛ بخشی مثلاً به انرژی درونی موتور و محیط تبدیل می‌شود. بازده سهم مفید از ورودی را نشان می‌دهد:

$\eta=\frac{P_{\text{مفید}}}{P_{\text{ورودی}}}$

پس برای یافتن توان ورودی و توان تلف‌شده می‌نویسیم:

$P_{\text{ورودی}}=\frac{P_{\text{مفید}}}{\eta}$

$P_{\text{تلف‌شده}}=P_{\text{ورودی}}-P_{\text{مفید}}$

اگر بازده درصدی داده شده، پیش از جای‌گذاری آن را بر $100$ تقسیم کن. یادت باشد توان تلف‌شده به معنای نابودشدن انرژی نیست؛ این انرژی فقط صرف هدف مفید دستگاه نشده است.