خلاصه درس فصل ۹ ریاضی هشتم؛ درسنامه و نکات مهم

نوک پرگار هنگام چرخیدن همیشه فاصلهٔ ثابتی از سوزن آن دارد. دایره هم مجموعهٔ نقطه‌های صفحه است که از یک نقطهٔ ثابت، یعنی مرکز، فاصلهٔ یکسان دارند؛ این فاصله را شعاع می‌نامیم. منظور از دایره در اینجا همان مرز گرد است، نه ناحیهٔ داخل آن.

حالا یک خط راست را کنار دایره تصور کن. خط می‌تواند هیچ نقطهٔ مشترکی با دایره نداشته باشد، فقط در یک نقطه به آن برسد، یا آن را در دو نقطه قطع کند. حالت تک‌نقطه‌ای را مماس می‌نامیم.

برای تشخیص این حالت‌ها، فاصلهٔ مرکز تا خط را با شعاع مقایسه کن. این فاصله، طول پاره‌خط عمود از مرکز به خط است: بیشتر از شعاع یعنی بدون برخورد؛ برابر شعاع یعنی مماس؛ کمتر از شعاع یعنی دو نقطهٔ مشترک.

یک چرخ گرد را روی زمین صاف تصور کن. خط زمین در محل تماس، مانند مماس دایره است. اگر مرکز چرخ را به نقطهٔ تماس وصل کنی، پاره‌خطی عمود بر زمین می‌بینی.

این ویژگی برای هر دایره درست است: شعاعی که به نقطهٔ تماس می‌رسد، بر مماس عمود است. اگر مرکز را $O$، نقطهٔ تماس را $T$ و خط مماس را $d$ بنامیم، داریم $OT\perp d$. پس زاویهٔ بین این شعاع و مماس، $90^\circ$ است.

در مسئله‌های زاویه یا طول، اول مرکز را به نقطهٔ تماس وصل کن و علامت قائمه بگذار. این کار اغلب یک مثلث قائم‌الزاویه می‌سازد که می‌توان در آن از مجموع زاویه‌های مثلث یا قضیهٔ فیثاغورس استفاده کرد. دقت کن: هر شعاعی بر مماس عمود نیست؛ شعاعِ رسیده به همان نقطهٔ تماس مهم است.

پاره‌خطی که دو نقطهٔ روی دایره را به هم وصل می‌کند، وتر است. روی یک دایرهٔ کاغذی، وتر $AB$ را رسم کن. اگر کاغذ را طوری تا کنی که $A$ و $B$ روی هم بیفتند، خط تا عمودمنصف وتر است: هم از وسط آن می‌گذرد و هم بر آن عمود است. این خط از مرکز دایره هم می‌گذرد. پس با رسم عمودمنصف دو وترِ غیرموازی، مرکز را پیدا می‌کنی؛ حتی اگر فقط بخشی از لبهٔ دایره باقی مانده باشد.

دو ویژگی مهم را جدا نگه دار:

• اگر خطی از مرکز بر وتر عمود شود، وتر را نصف می‌کند.
• برعکس، پاره‌خطی که مرکز را به وسط یک وترِ غیرقطری وصل کند، بر آن عمود است.

چرا؟ در حالت اول، دو مثلث قائم‌الزاویه شعاع‌های برابر و یک ضلع مشترک دارند؛ هم‌نهشتی آن‌ها برابری دو نیمهٔ وتر را نشان می‌دهد. در حالت دوم، دو مثلث با سه ضلع برابر هم‌نهشت‌اند؛ دو زاویهٔ مجاور روی وتر برابر می‌شوند و چون مجموعشان $180^\circ$ است، هرکدام قائمه‌اند. قید «غیرقطری» لازم است چون وسط قطر، خودِ مرکز است.

از یک نقطهٔ بیرون دایره می‌توان دو مماس به دایره رسم کرد. نقطهٔ بیرونی را $P$، مرکز را $O$ و نقطه‌های تماس را $A$ و $B$ بنام. دو پاره‌خط مماس از یک نقطهٔ بیرونی، طول برابر دارند؛ یعنی $PA=PB$.

برای فهمیدن دلیل، شعاع‌های $OA$ و $OB$ و سپس $OP$ را رسم کن. مثلث‌های $OAP$ و $OBP$ در نقطه‌های تماس قائم‌اند. وترِ هر دو مثلث، $OP$ است و شعاع‌های $OA$ و $OB$ هم برابرند. پس دو مثلث در حالت وتر و یک ضلع هم‌نهشت‌اند و ضلع‌های متناظر $PA$ و $PB$ برابر می‌شوند.

از همین هم‌نهشتی نتیجه می‌گیریم زاویه‌های $APO$ و $OPB$ برابرند؛ بنابراین $PO$ نیمساز زاویهٔ بین دو مماس است. یادت باشد برابری طول‌ها دربارهٔ پاره‌خط‌های بین نقطهٔ بیرونی و نقطه‌های تماس است، نه هر دو مماس دلخواه.

یک دایره با مرکز $O$ در ذهن بکش و دو نقطهٔ $A$ و $B$ روی آن بگذار. این دو نقطه، محیط دایره را به دو مسیر خمیده تقسیم می‌کنند؛ هر مسیر یک کمان است. معمولاً وقتی از کمان $AB$ حرف می‌زنیم، منظور کمان کوچک‌تر است، مگر اینکه خلافش گفته شود.

حالا $O$ را به $A$ و $B$ وصل کن. زاویه‌ای که رأسش مرکز دایره است، زاویهٔ مرکزی نام دارد. دو شعاع، ضلع‌های این زاویه‌اند و کمان میان آن‌ها روبه‌روی زاویه است.

اگر $AB$ قطر باشد، دو کمان برابر می‌شوند و هرکدام یک نیم‌دایره‌اند. در ساعت هم محل اتصال عقربه‌ها نقش مرکز را دارد؛ برای تشخیص زاویهٔ مرکزی، اول جای رأس را بررسی کن، نه بزرگی زاویه را.

اندازهٔ کمان با طول کمان فرق دارد. اندازهٔ کمان را با درجه بیان می‌کنیم و آن را برابر اندازهٔ زاویهٔ مرکزی روبه‌رو می‌گیریم. اما طول کمان، طول مسیر خمیده است و مثلاً با سانتی‌متر بیان می‌شود.

یک دور کامل $360^\circ$ است. پس نسبت اندازهٔ کمان به $360^\circ$ نشان می‌دهد چه کسری از محیط دایره را داریم:

$\frac{\text{اندازهٔ کمان}}{360^\circ}=\frac{\text{طول کمان}}{\text{محیط دایره}}$

اگر دو دایرهٔ هم‌مرکز را با دو نیم‌خط ببُریم، زاویهٔ مرکزی برای هر دو یکی است؛ بنابراین کمان‌ها اندازهٔ یکسانی دارند. بااین‌حال، کمان دایرهٔ بزرگ‌تر طولانی‌تر است؛ درست مثل مسیر نوک عقربهٔ بلندتر ساعت. همچنین اندازهٔ دو کمانی که یک دایره را کامل می‌کنند، روی هم $360^\circ$ است.

اگر محیط دایره را به کمان‌های مساوی تقسیم کنیم و نقطه‌های پیاپی را با پاره‌خط به هم وصل کنیم، یک چندضلعی منتظم به دست می‌آید. ولی برای اثبات منتظم بودن، باید هم برابری ضلع‌ها و هم برابری زاویه‌ها را نشان دهیم.

مرکز را به همهٔ رأس‌ها وصل کن. مثلث‌هایی ساخته می‌شوند که دو ضلع هرکدام شعاع دایره است. زاویه‌های مرکزی آن‌ها هم برابرند، چون روبه‌روی کمان‌های برابر قرار دارند. پس این مثلث‌ها به حالت ضلع، زاویه، ضلع هم‌نهشت‌اند و قاعده‌هایشان، یعنی ضلع‌های چندضلعی، برابر می‌شود.

زاویه‌های پایۀ این مثلث‌های متساوی‌الساقین نیز همگی برابرند. هر زاویهٔ داخلی چندضلعی از دو تا از همین زاویه‌ها ساخته می‌شود؛ پس زاویه‌های چندضلعی هم برابرند. برای رسم یک $n$ضلعی منتظم، زاویه‌های مرکزی را برابر $\frac{360^\circ}{n}$ می‌گیریم.

پاره‌خطی که دو نقطهٔ دایره را به هم وصل می‌کند، وتر است. کمان، مسیر خمیدهٔ بین آن دو نقطه است؛ پس وتر و کمان را یکی ندان.

در یک دایره، کمان‌های برابر، وترهای برابر دارند. برای دیدن دلیل، مرکز را به دو سر هر کمان وصل کن. دو مثلث داریم که شعاع‌هایشان برابر و زاویه‌های مرکزی‌شان هم برابرند؛ پس به حالت ضلع، زاویه، ضلع هم‌نهشت‌اند و وترهایشان برابر می‌شوند.

برعکس، اگر دو وتر برابر باشند، مثلث‌های ساخته‌شده با شعاع‌ها به حالت ضلع، ضلع، ضلع هم‌نهشت‌اند. بنابراین زاویه‌های مرکزی و کمان‌های کوچک روبه‌روی آن‌ها برابرند.

به شرط «در یک دایره» دقت کن. همچنین دو قطر عمود، چهار زاویهٔ مرکزی برابر می‌سازند؛ اما از عمود بودن دو وتر معمولی نمی‌توان نتیجه گرفت که چهار کمان حاصل برابرند، چون محل برخوردشان لزوماً مرکز نیست.

یک دایره در دفترت بکش و سه نقطهٔ $A$، $B$ و $C$ روی آن بگذار. حالا $A$ را به دو نقطهٔ دیگر وصل کن. زاویهٔ $\angle BAC$ یک زاویهٔ محاطی است: رأسش روی محیط دایره قرار دارد و هر ضلعش دوباره دایره را قطع می‌کند.

این زاویه را با زاویهٔ مرکزی اشتباه نگیر؛ رأس زاویهٔ مرکزی در مرکز دایره است. برای پیدا کردن کمان روبه‌رو، از $B$ تا $C$ روی مسیری از محیط برو که از رأس، یعنی $A$، نمی‌گذرد. این همان کمانی است که برای محاسبهٔ زاویه لازم داریم.

قانون اصلی این درس کوتاه است: اندازهٔ زاویهٔ محاطی، نصف اندازهٔ کمان روبه‌روی آن است. یعنی اگر اندازهٔ آن کمان $k$ باشد، اندازهٔ زاویه $\frac{k}{2}$ است. برعکس، برای پیدا کردن کمان از روی زاویه، اندازهٔ زاویه را دو برابر می‌کنیم.

چرا چنین رابطه‌ای داریم؟ با وصل کردن مرکز به رأس و سرهای کمان، مثلث‌های متساوی‌الساقین ساخته می‌شوند؛ چون شعاع‌ها برابرند. برابری زاویه‌های قاعده و رابطهٔ زاویهٔ خارجی مثلث، این نصف‌شدن را نشان می‌دهد. در حالت‌های دیگر نیز با جمع یا تفریق زاویه‌ها همین نتیجه به دست می‌آید. زاویهٔ مرکزیِ روبه‌روی همان کمان، دو برابر زاویهٔ محاطی است.

حالا دو نقطهٔ $A$ و $B$ را روی دایره ثابت نگه دار. روی یکی از دو کمان بین آن‌ها چند نقطه بگذار و هر نقطه را به $A$ و $B$ وصل کن. زاویه‌هایی که ساخته‌ای، همگی روبه‌روی کمان ثابتِ سمت دیگرند؛ بنابراین همه با هم برابرند، چون هر کدام نصف همان کمان‌اند.

پس برای مقایسهٔ این زاویه‌ها لازم نیست ظاهر شکل را اندازه بگیری. فقط بررسی کن کمان روبه‌رویشان یکی است یا نه. دقت کن که اگر رأس را به طرف دیگر وتر ببری، کمان روبه‌رو عوض می‌شود؛ صرفِ مشترک بودن دو سر وتر برای نتیجه‌گیری کافی نیست.

قطر، دایره را به دو نیم‌دایره تقسیم می‌کند. اندازهٔ هر نیم‌دایره $180^\circ$ است. اگر دو سر قطر را به یک نقطهٔ دیگر روی دایره وصل کنیم، کمان روبه‌روی زاویه یکی از همین نیم‌دایره‌ها خواهد بود. پس اندازهٔ زاویه برابر است با $\frac{180^\circ}{2}=90^\circ$.

این نتیجه یک راه سریع برای تشخیص مثلث قائم‌الزاویه است: مثلثی که رأس‌هایش روی دایره باشند و یک ضلعش قطر باشد، روبه‌روی قطر زاویهٔ قائمه دارد. فقط ظاهر افقی یا عمودی ضلع‌ها مهم نیست؛ حتی با چرخاندن شکل هم این ویژگی باقی می‌ماند.

چهار نقطهٔ $A$، $B$، $C$ و $D$ را به همین ترتیب روی دایره بگذار و به هم وصل کن. به زاویه‌های روبه‌روی هم، مثلاً زاویه‌های $A$ و $C$، نگاه کن. کمان‌های روبه‌روی این دو زاویه با هم تمام دایره را می‌سازند؛ پس مجموع اندازهٔ آن دو کمان $360^\circ$ است.

هر زاویه نصف کمان خودش است، بنابراین مجموع دو زاویهٔ روبه‌رو برابر $\frac{360^\circ}{2}=180^\circ$ می‌شود. این ویژگی برای هر چهارضلعی درست نیست؛ شرط مهم آن است که هر چهار رأس روی یک دایره باشند. با دانستن یکی از زاویه‌ها، می‌توانی زاویهٔ روبه‌رو را از تفریق از $180^\circ$ پیدا کنی.

فرض کن یک دایره روی کاغذ داری، اما مرکز آن مشخص نیست. وتر پاره‌خطی است که دو سرش روی دایره قرار دارد. دو وترِ غیرموازی بکش و عمودمنصف هر کدام را رسم کن؛ محل برخورد این دو خط، مرکز دایره است. دلیلش این است که مرکز از دو سر هر وتر فاصلهٔ برابر دارد، پس روی عمودمنصف آن قرار می‌گیرد.

در یک دایره، وترهای برابر، کمان‌های کوچکِ برابر دارند و برعکس. پس برای مقایسهٔ دو کمان، گاهی کافی است وترهای متناظرشان را مقایسه کنی؛ لازم نیست طول مسیر خمیده را اندازه بگیری.

خط مماس با دایره فقط یک نقطهٔ مشترک دارد؛ این نقطه را نقطهٔ تماس می‌نامیم. خط‌کشی را تصور کن که کنار لبهٔ یک سکه قرار گرفته و فقط آن را لمس می‌کند، نه اینکه از داخل سکه بگذرد.

ویژگی مهم این است: شعاعِ رسیده به نقطهٔ تماس بر مماس عمود است. بنابراین برای رسم مماس در نقطهٔ مشخصی از دایره، ابتدا آن نقطه را به مرکز وصل کن؛ سپس از همان نقطه، خطی عمود بر شعاع بکش. حواست باشد عمود بودن باید در نقطهٔ تماس باشد، نه در نقطه‌ای دلخواه از شعاع.

زاویهٔ مرکزی زاویه‌ای است که رأسش مرکز دایره و ضلع‌هایش دو شعاع‌اند. اندازهٔ این زاویه با اندازهٔ کمان روبه‌رویش برابر است؛ منظور اندازهٔ کمان برحسب درجه است، نه طول آن.

برای رسم یک چندضلعی منتظم، باید محیط دایره را به کمان‌های برابر تقسیم کنیم. اگر تعداد ضلع‌ها را $n$ بنامیم، زاویهٔ مرکزی هر بخش برابر $\frac{360^\circ}{n}$ است. این زاویه را پیاپی در مرکز بساز و نقطه‌های به‌دست‌آمده روی محیط را به ترتیب وصل کن. کمان‌های برابر، وترهای برابر می‌سازند؛ این وترها ضلع‌های شکل می‌شوند و نقش منظمی برای تزیین یا معماری به دست می‌آید.

زاویهٔ محاطی رأسی روی محیط دایره دارد و ضلع‌هایش از دو نقطهٔ دیگر دایره می‌گذرند. اندازهٔ آن نصف اندازهٔ کمان روبه‌رویش است: $\text{زاویهٔ محاطی}=\frac{\text{کمان روبه‌رو}}{2}$. کمان روبه‌رو همان کمانی است که رأس زاویه روی آن نیست.

اگر این کمان یک نیم‌دایره باشد، زاویه قائمه می‌شود. این نکته در شکل‌های ترکیبی بسیار کمک می‌کند. مثلاً برای مستطیلی که رأس‌هایش روی دایره‌اند، قطر مستطیل همان قطر دایره است. در چنین مسئله‌ای ابتدا رابطهٔ شکل‌ها را پیدا کن؛ سپس اگر طولی خواسته شده، از قضیهٔ فیثاغورس در مثلث قائم‌الزاویه استفاده کن.