خلاصه درس فصل ۸ ریاضی هشتم؛ درسنامه و نکات مهم

وقتی داده‌ها زیاد باشند، نگاه‌کردن به فهرست خام آن‌ها برای نتیجه‌گیری کافی نیست. آمار به ما کمک می‌کند اطلاعات را جمع کنیم، نظم بدهیم و از آن‌ها نتیجه بگیریم. مثلاً برای شناخت کتاب‌های یک کتابخانه، می‌توانیم آن‌ها را براساس موضوع مرتب کنیم.

نوع نمودار را هم باید با پرسش خود هماهنگ کنیم: خط شکسته برای دنبال‌کردن تغییرات در طول زمان مناسب است؛ میله‌ای مقایسهٔ گروه‌ها را آسان می‌کند؛ دایره‌ای سهم هر بخش از کل را نشان می‌دهد؛ و تصویری با نمادهای دارای ارزش مشخص، تعدادها را نمایش می‌دهد.

پس پیش از رسم نمودار از خودت بپرس: «می‌خواهم چه چیزی را بهتر ببینم؟» دسته‌بندی و نمودار، ابزار پاسخ‌دادن به همین پرسش‌اند.

برای دسته‌بندی داده‌های عددی، ابتدا کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین داده را پیدا کن. فاصلهٔ این دو، دامنهٔ تغییرات است:

$\text{دامنهٔ تغییرات}=\text{بیشترین داده}-\text{کمترین داده}$

دامنه می‌گوید داده‌ها در چه گستره‌ای پخش شده‌اند؛ نه اینکه چند داده داریم. حالا اگر بخواهیم دسته‌ها طول مساوی داشته باشند، از رابطهٔ زیر کمک می‌گیریم:

$\text{طول دسته}=\dfrac{\text{دامنهٔ تغییرات}}{\text{تعداد دسته‌ها}}$

این تقسیم، راهنمای تعیین طول دسته‌هاست؛ گاهی لازم است طولی مناسب و نزدیک به حاصل انتخاب کنیم و مطمئن شویم همهٔ داده‌ها پوشش داده می‌شوند. انتخاب تعداد دسته‌ها هم به هدف بستگی دارد. مثلاً تولیدکنندهٔ لباس به گروه‌هایی نیاز دارد که برای طراحی اندازه‌های لباس کاربرد داشته باشند، نه دسته‌هایی تصادفی و بی‌معنا.

پس از تعیین طول دسته‌ها، مرزهای آن‌ها را مشخص می‌کنیم. عبارت $130\le x<145$ یعنی داده از $130$ کوچک‌تر نیست، ولی باید از $145$ کوچک‌تر باشد. علامت $\le$ برابری را هم می‌پذیرد؛ علامت $<$ نمی‌پذیرد.

هر داده باید دقیقاً در یک دسته قرار بگیرد. پس مرز مشترک را طوری می‌نویسیم که دوبار شمرده نشود. در دستهٔ آخر می‌توانیم مرز بالا را هم بپذیریم تا بزرگ‌ترین داده بیرون نماند.

تعداد داده‌های هر دسته، فراوانی آن است. برای شمارش می‌توانی چوب‌خط بزنی. در پایان، مجموع فراوانی‌ها باید با تعداد کل داده‌ها برابر باشد. در نمودار میله‌ای، دسته‌ها روی محور افقی و فراوانی روی محور عمودی قرار می‌گیرند؛ بلندترین میله، پُرجمعیت‌ترین دسته را نشان می‌دهد، نه لزوماً بزرگ‌ترین مقدار داده را.

جدول و نمودار نشان می‌دهند داده‌ها چگونه پخش شده‌اند. برای کامل‌تر شدن شناخت خود، می‌توانیم میانگین را هم حساب کنیم:

$\bar{x}=\dfrac{S}{n}$

در این رابطه، $S$ مجموع همهٔ داده‌ها و $n$ تعداد آن‌هاست. میانگین مثل مقداری است که اگر مجموع را به‌طور مساوی بین داده‌ها تقسیم کنیم، به هر کدام می‌رسد. برای میانگین نمره‌ها، نمره‌های تکراری را هم هر بار در جمع و شمارش حساب می‌کنیم.

میانگین لازم نیست یکی از داده‌های فهرست باشد. همچنین تعداد داده‌های بالاتر و پایین‌تر از آن لزوماً برابر نیست. اگر داده‌های تازه‌ای اضافه شوند، باید مجموع و تعداد تازه را در نظر بگیریم؛ میانگین‌گرفتن ساده از میانگین دو گروه، وقتی تعداد اعضای گروه‌ها متفاوت است، روش درستی نیست.

میانگین را می‌توان مثل «سهم برابر» تصور کرد: اگر مجموع نمره‌ها را بدون تغییر، به‌طور مساوی میان همهٔ نمره‌ها پخش کنیم، سهم هر کدام همان میانگین است.

برای پیدا کردن آن، اول همهٔ داده‌ها را جمع کن و بعد حاصل را بر تعداد داده‌ها تقسیم کن:

$\bar{x}=\frac{S}{n}$

در این رابطه، $S$ مجموع داده‌ها و $n$ تعداد آن‌هاست. علامت $\bar{x}$ هم میانگین را نشان می‌دهد. حواست باشد داده‌های تکراری هم هر کدام یک داده‌اند؛ اگر یک نمره چند بار آمده، باید همهٔ تکرارهایش را در مجموع و تعداد حساب کنی. میانگین لازم نیست یکی از عددهای موجود در فهرست باشد.

میانگین مثل نقطهٔ تعادل داده‌هاست. فاصلهٔ هر دادهٔ بالاتر از میانگین را تا میانگین در نظر بگیر؛ این فاصله‌ها در مجموع با فاصله‌های داده‌های پایین‌تر برابر می‌شوند.

اما برابر بودن مجموع فاصله‌ها، به معنی برابر بودن تعداد داده‌ها نیست. ممکن است چند داده کمی پایین‌تر از میانگین باشند و فقط یک داده، خیلی بالاتر از آن باشد. آن یک فاصلهٔ بزرگ می‌تواند چند فاصلهٔ کوچک را جبران کند.

اگر داده‌ها جفت‌جفت در دو سوی یک عدد، فاصله‌های برابر داشته باشند، همان عدد نقطهٔ تعادل و میانگین است. این نگاه گاهی کمک می‌کند بدون جمع‌کردن طولانی، میانگین را تشخیص بدهی.

گاهی خود داده‌ها را نداریم، اما میانگین و تعدادشان را می‌دانیم. در این حالت می‌توانیم مجموع را دوباره بسازیم:

$S=n\times\bar{x}$

اگر داده‌های تازه اضافه شوند، مجموع آن‌ها را به مجموع قبلی و تعدادشان را به تعداد قبلی اضافه می‌کنیم. سپس مجموع تازه را بر تعداد تازه تقسیم می‌کنیم.

همین روش برای ترکیب دو گروه هم کاربرد دارد. میانگین دو گروه را نباید همیشه با هم جمع و بر دو تقسیم کرد؛ چون ممکن است تعداد اعضای گروه‌ها برابر نباشد. در ترکیب دو گروه، گروه پرجمعیت‌تر سهم بیشتری در میانگین نهایی دارد. میانگین سادهٔ دو میانگین، وقتی تعداد اعضای دو گروه برابر باشد، درست است.

وقتی فقط جدول دسته‌بندی داده‌ها را داریم، مقدار دقیق تک‌تک داده‌ها مشخص نیست. برای برآورد میانگین، فرض می‌کنیم هر داده در مرکز دستهٔ خودش قرار گرفته است. مرکز دسته از این رابطه به دست می‌آید:

$\text{مرکز دسته}=\frac{\text{حد پایین}+\text{حد بالا}}{2}$

اگر فراوانی یک دسته زیاد باشد، مرکز آن هم باید به همان تعداد در مجموع حساب شود؛ پس مرکز دسته را در فراوانی آن ضرب می‌کنیم. در پایان:

$\text{میانگین تقریبی}=\frac{\text{مجموع حاصل‌ضرب‌های مرکز دسته در فراوانی}}{\text{مجموع فراوانی‌ها}}$

این روش معمولاً جواب تقریبی می‌دهد، چون داده‌های واقعی الزاماً در مرکز دسته نیستند. مخرج کسر، تعداد کل داده‌هاست، نه تعداد دسته‌ها.

میانگین به داده‌های خیلی بزرگ یا خیلی کوچک حساس است. مثلاً یک نمرهٔ بسیار پایین می‌تواند میانگین کلاس را پایین بیاورد، حتی اگر بیشتر نمره‌ها خوب باشند. پس میانگین به‌تنهایی همهٔ ویژگی‌های یک گروه را نشان نمی‌دهد.

اگر داده‌ای پایین‌تر از میانگین را حذف کنیم، میانگین باقی‌مانده بالا می‌رود. اگر داده‌ای بالاتر از میانگین را حذف کنیم، میانگین پایین می‌آید. برای بررسی عددی، اول مجموع قبلی را از میانگین و تعداد پیدا می‌کنیم؛ سپس دادهٔ حذف‌شده را از مجموع کم می‌کنیم و تعداد را هم یکی کاهش می‌دهیم. فقط تغییر دادن مجموع کافی نیست؛ تعداد داده‌ها نیز عوض شده است.

برای اندازه‌گیری شانس، اول باید بفهمیم چه نتیجه‌هایی ممکن‌اند و کدام‌ها هم‌شانس هستند؛ یعنی امکان رخ دادنشان برابر است. در پرتاب یک سکهٔ سالم، رو و پشت هم‌شانس‌اند. در انتخاب تصادفی از میان مهره‌های یکسان هم هر مهره به‌اندازهٔ بقیه شانس دارد.

اما اسم‌گذاری نتیجه‌ها نباید ما را گول بزند! در کیسهٔ سه مهرهٔ سبز و یک سفید، دو رنگ داریم، ولی دو حالت هم‌شانس نداریم. اگر روی سبزها برچسب «الف»، «ب» و «پ» بزنیم، چهار نتیجهٔ هم‌شانس دیده می‌شود. برچسب‌ها شانس را عوض نمی‌کنند؛ فقط کمک می‌کنند فرصت‌های جداگانه را درست بشماریم.

حالا که حالت‌های هم‌شانس را شناختیم، می‌توانیم شانس را با یک عدد بیان کنیم. به اتفاقی که درباره‌اش سؤال داریم، پیشامد می‌گوییم. حالت‌های مطلوب، نتیجه‌هایی هستند که شرط آن پیشامد را دارند؛ «مطلوب» اینجا لزوماً به معنی خوشایند نیست.

وقتی همهٔ حالت‌های ممکن هم‌شانس باشند، داریم:

$\text{احتمال پیشامد}=\frac{\text{تعداد حالت‌های مطلوب}}{\text{تعداد همهٔ حالت‌های ممکن}}$

مثلاً برای کارت‌های شماره‌دار، اول همهٔ کارت‌ها را می‌شماریم و بعد کارت‌هایی را که شرط سؤال را دارند. تعداد مطلوب هیچ‌وقت از تعداد کل بیشتر نیست؛ پس احتمال بین $0$ و $1$ است. احتمال $0$ یعنی ناممکن و احتمال $1$ یعنی قطعی.

وقتی عقربهٔ چرخنده می‌ایستد، یا روی رنگ موردنظر است یا روی آن رنگ نیست. این دو پیشامد همهٔ نتیجه‌ها را پوشش می‌دهند و هیچ نتیجه‌ای هم‌زمان در هر دو قرار نمی‌گیرد. به همین دلیل، مجموع احتمال رخ دادن و رخ ندادن یک پیشامد برابر $1$ است:

$\text{احتمال رخ ندادن}=1-\text{احتمال رخ دادن}$

در چرخنده، برای شمردن حالت‌های هم‌شانس باید بخش‌های مساوی را در نظر بگیریم، نه فقط تعداد رنگ‌ها را. اگر بخش‌های مساوی را ریزتر کنیم، بدون اینکه سهم هر رنگ تغییر کند، احتمال‌ها هم تغییر نمی‌کنند. درست مثل کسرهای مساوی که ظاهر متفاوت، اما مقدار یکسان دارند.

احتمال، نتیجهٔ یک بار آزمایش را پیشگویی نمی‌کند. اگر شانس رو آمدن یک سکهٔ سالم $\frac{1}{2}$ باشد، معنی‌اش این نیست که در هر دو پرتاب حتماً یک رو داریم. در تکرارهای زیاد، انتظار داریم سهم روها تقریباً به نصف نزدیک باشد، نه اینکه تعداد رو و پشت الزاماً برابر شود.

همچنین سکه حافظه ندارد! اگر چهار بار پیاپی رو آمده باشد، در پرتاب بعدی باز هم شانس رو و پشت برابر است؛ پرتاب‌های قبلی سکه را مجبور به جبران نمی‌کنند. پس هنگام حرف زدن دربارهٔ تعداد نتیجه‌ها، «انتظار داریم تقریباً» با «حتماً رخ می‌دهد» تفاوت مهمی دارد.

در آزمایش‌هایی مثل پرتاب دو سکه، نوشتن منظم حالت‌ها کمک می‌کند چیزی جا نماند. دو سکهٔ سالم را با نام‌های «اول» و «دوم» مشخص کن. نتیجه‌ها این‌اند: روـرو، روـپشت، پشتـرو و پشتـپشت. این چهار حالت هم‌شانس‌اند.

«یکی رو و یکی پشت» یک اسم دارد، اما دو حالت را شامل می‌شود: روـپشت و پشتـرو. بنابراین شانس آن از هر دو رو یا هر دو پشت بیشتر است. پس بازی‌ای که این سه پیشامد را به سه بازیکن می‌دهد، عادلانه نیست. جدول هم برای همین مفید است: نتیجه‌های انتخاب اول را کنار نتیجه‌های انتخاب دوم می‌گذارد تا همهٔ ترکیب‌ها دیده شوند.

برای اینکه حالتی جا نیفتد، دو سکه را «اول» و «دوم» نام‌گذاری کن؛ حتی اگر هم‌زمان پرتاب شوند. نتیجه را همیشه به ترتیبِ سکهٔ اول و سکهٔ دوم بنویس: «رو، رو»، «رو، پشت»، «پشت، رو» و «پشت، پشت». جدول، این نظم را به ما می‌دهد: سطرها نتیجهٔ یک سکه و ستون‌ها نتیجهٔ سکهٔ دیگرند.

اگر سکه‌ها سالم باشند و روی هم اثر نگذارند، این چهار حالت هم‌شانس‌اند. محدثه با دو حالت امتیاز می‌گیرد، ولی سارا و ستاره هرکدام با یک حالت؛ پس بازی عادلانه نیست. آزمایش می‌تواند این تفاوت را نشان دهد، اما لازم نیست در هر چند بار پرتاب، تعداد امتیازها دقیقاً مطابق انتظار باشد.

وقتی یک آزمایش چند مرحله دارد، نمودار درختی کمک می‌کند مسیرها را دنبال کنیم. از یک نقطه شروع کن و برای هر نتیجهٔ مرحلهٔ اول یک شاخه بکش. سپس از انتهای هر شاخه، همهٔ نتیجه‌های مرحلهٔ دوم را رسم کن. هر مسیر کامل از آغاز تا انتها، یک حالت ممکن است.

در چرخندهٔ کتاب، «قرمز اول»، «قرمز دوم» و «زرد» را جدا نگه می‌داریم؛ چون دو ناحیهٔ قرمز، دو جای متفاوت‌اند. برای سه سکه نیز در هر مرحله شاخه‌های «رو» و «پشت» را می‌کشیم. نکتهٔ مهم این است که پس از هر نتیجه، ادامهٔ شاخه‌ها را کامل کنیم، نه فقط پس از یکی از آنها.

گاهی فقط تعداد حالت‌ها را می‌خواهیم و لازم نیست همه را بنویسیم. اگر پس از هر انتخابِ مرحلهٔ اول، تعداد یکسانی انتخاب برای مرحلهٔ دوم داشته باشیم، تعداد انتخاب‌های مرحله‌ها را در هم ضرب می‌کنیم. مثلاً برای سه سکه، هر مرحله دو نتیجه دارد؛ پس تعداد مسیرهای کامل $2\times2\times2=8$ است.

اگر در هر مرحله تعداد انتخاب‌ها یکسان باشد، می‌توانیم حاصل را با توان هم بنویسیم. در مسئلهٔ لوله‌های دوشاخه، هر خروجی دوباره به دو خروجی تبدیل می‌شود؛ پس پس از پنج مرحله، تعداد خروجی‌ها $2^5$ است. مراقب باش: ضرب زمانی درست است که همهٔ ترکیب‌های موردنظر امکان‌پذیر باشند؛ محدودیت‌ها را نباید نادیده گرفت.

بعد از یافتن همهٔ حالت‌ها، حالت‌های مطلوب را مشخص کن؛ یعنی حالت‌هایی که خواستهٔ سؤال را برآورده می‌کنند. اگر حالت‌ها هم‌شانس باشند، داریم:

$P=\frac{\text{تعداد حالت‌های مطلوب}}{\text{تعداد همهٔ حالت‌های ممکن}}$

واژه‌های سؤال خیلی مهم‌اند. «دقیقاً یک رو» یعنی فقط یکی از سکه‌ها رو باشد؛ ولی «دست‌کم یک رو» یعنی یک رو یا بیشتر. همچنین برای دو تاس، «اولی سه و دومی پنج» با «اولی پنج و دومی سه» فرق دارد. برای پیدا کردن مخرج کسر، همهٔ حالت‌ها را بشمار، نه فقط جمع‌های متفاوت تاس‌ها را؛ چون جمع‌ها لزوماً هم‌شانس نیستند.

در مرور فصل، آمار و احتمال را کنار هم می‌بینیم، اما کارشان یکسان نیست. آمار به ما کمک می‌کند داده‌های جمع‌آوری‌شده را مرتب و خلاصه کنیم؛ احتمال دربارهٔ شانس رخدادهاست. مثلاً داده‌های بارندگیِ گذشته به بررسی وضعیت هوا کمک می‌کنند، اما پیش‌بینی به معنی اطمینان کامل نیست.

برای مرور آمار، یادت باشد «فراوانی» تعداد داده‌های هر دسته و «مرکز دسته» میانگین دو سر آن است. میانگین داده‌های دسته‌بندی‌شده را به‌طور تقریبی با تقسیم مجموعِ حاصل‌ضرب مرکز هر دسته در فراوانی آن، بر مجموع فراوانی‌ها پیدا می‌کنیم. در احتمال نیز جدول و درخت ابزار مرتب‌کردن حالت‌ها هستند، نه راهی برای قطعی‌کردن نتیجهٔ یک آزمایش.