خلاصه درس فصل ۶ ریاضی هشتم؛ درسنامه و نکات مهم

یک مثلث قائم‌الزاویه بکش و روبه‌روی زاویهٔ قائمه را پیدا کن. ضلع مقابل این زاویه وتر نام دارد و از هر دو ضلع دیگر بلندتر است.

حالا تصور کن روی هر ضلع، یک مربع ساخته‌ای. در نمونهٔ جدول کتاب، مساحت این مربع‌ها $25$، $9$ و $16$ است. نکتهٔ جالب این است که $25=9+16$؛ یعنی مساحت مربعِ روی وتر، برابر مجموع مساحت دو مربع دیگر است. می‌توان قطعه‌های دو مربع کوچک‌تر را طوری کنار هم چید که مربع روی وتر را بپوشانند.

اگر وتر را $a$ و دو ضلع دیگر را $b$ و $c$ بنامیم، این ارتباط چنین نوشته می‌شود:

$a^2=b^2+c^2$

این همان رابطهٔ فیثاغورس است. یادت باشد اینجا مربع طول‌ها جمع می‌شوند، نه خود طول‌ها.

تا اینجا می‌دانستیم مثلث قائم‌الزاویه است و از رابطه استفاده می‌کردیم. حالا سؤال را برعکس کن: اگر فقط طول سه ضلع را داشته باشیم، چطور بفهمیم یکی از زاویه‌ها قائمه است؟

ابتدا بزرگ‌ترین ضلع را پیدا می‌کنیم. سپس مربع آن را با مجموع مربع‌های دو ضلع دیگر مقایسه می‌کنیم. اگر این دو مقدار برابر باشند، مثلث قائم‌الزاویه است و زاویهٔ قائمه روبه‌روی بزرگ‌ترین ضلع قرار دارد. این نتیجه را «عکس رابطهٔ فیثاغورس» می‌نامیم.

اگر برابری برقرار نباشد، آن مثلث قائم‌الزاویه نیست. پس فقط بلندتر بودن یک ضلع کافی نیست؛ باید تساوی مربع‌ها را بررسی کنیم. این روش برای بررسی قائمه بودن گوشهٔ یک قاب مثلثی هم به کار می‌آید.

برای یافتن ضلع مجهول، پیش از هر محاسبه‌ای وتر را مشخص کن. اگر طول وتر مجهول باشد، مربع دو ضلع معلوم را جمع می‌کنی:

$a^2=b^2+c^2$

اما اگر وتر معلوم و یکی از دو ضلع دیگر مجهول باشد، باید از مربع وتر کم کنی:

$b^2=a^2-c^2$

یا

$c^2=a^2-b^2$

این‌ها سه قانون جدا نیستند؛ با جابه‌جا کردن جمله‌های همان رابطه به دست می‌آیند. در پایان، هنوز مربع طول را داری؛ برای رسیدن به خودِ طول باید ریشهٔ مثبت بگیری، چون طول منفی معنا ندارد.

در مسئله‌های روزمره، مثل نردبان و دیوار، اول یک طرح ساده بکش و جای زاویهٔ قائمه را مشخص کن. این کار جلوی اشتباه در جمع یا تفریق را می‌گیرد.

رابطهٔ فیثاغورس فقط برای حساب کردن طول‌های صحیح نیست؛ با آن می‌توان طول‌های رادیکالی را هم به‌صورت هندسی ساخت. مثلاً دو پاره‌خط عمود بر هم، به طول‌های $1$ و $3$ سانتی‌متر رسم کن و سرهای آزادشان را به هم وصل کن. در مثلث به‌دست‌آمده، مربع وتر $1^2+3^2=10$ است؛ پس طول وتر دقیقاً $\sqrt{10}$ سانتی‌متر می‌شود.

این روش با حساب کردن مقدار اعشاری و علامت زدن آن روی خط‌کش فرق دارد. نوشتن $\sqrt{10}\approx3.16$ یک تقریب عددی است؛ اما ساختِ هندسی، در حالت ایدئال، خودِ طول دقیق را نشان می‌دهد. البته رسم واقعی روی کاغذ هم ممکن است خطای ابزار داشته باشد.

همچنین می‌توان با ساختن مثلث‌های قائم‌الزاویهٔ پیاپی، طول‌های رادیکالی تازه‌ای به دست آورد.

یک مثلث کاغذی را تصور کن. اگر آن را روی میز سُر بدهی، انتقال داده‌ای؛ اگر دور نقطه‌ای بچرخانی، دوران داده‌ای؛ و اگر تصویر آینه‌ای آن را بسازی، تقارن انجام داده‌ای. این تبدیل‌ها طول ضلع‌ها و اندازهٔ زاویه‌ها را تغییر نمی‌دهند.

دو شکل هم‌نهشت هستند اگر بتوانی با یکی یا چندتا از این تبدیل‌ها، آن‌ها را کاملاً روی هم بیندازی. پس متفاوت‌بودن جای شکل یا جهت آن، مانع هم‌نهشتی نیست. مثل دو قطعهٔ یکسان پازل که یکی برعکس روی میز افتاده است.

برای منطبق‌کردن دو شکل، همیشه فقط یک راه وجود ندارد؛ ممکن است یک بار با دوران به نتیجه برسی و بار دیگر با ترکیبی از دوران و انتقال. اما بزرگ یا کوچک‌کردن، از این تبدیل‌ها نیست.

وقتی دو شکل هم‌نهشت را بر هم منطبق می‌کنیم، هر رأس روی یک رأس و هر ضلع روی یک ضلع قرار می‌گیرد. به این جفت‌ها، اجزای متناظر می‌گوییم. ضلع‌های متناظر طول برابر دارند و زاویه‌های متناظر هم‌اندازه‌اند.

ترتیب نام‌ها در عبارت هم‌نهشتی، راهنمای توست. مثلاً در $\triangle ABC\cong\triangle GHF$، رأس‌های $A$ و $G$، رأس‌های $B$ و $H$، و رأس‌های $C$ و $F$ متناظرند. بنابراین ضلع $AB$ با $GH$ و زاویهٔ $C$ با زاویهٔ $F$ متناظر است.

اول رأس‌ها را جفت کن، بعد سراغ ضلع‌ها و زاویه‌ها برو. به بالا یا پایین بودن ضلع در تصویر اعتماد نکن؛ ممکن است شکل چرخیده یا قرینه شده باشد. علامت‌های مساوی روی شکل نیز برای پیدا کردن جفت‌ها به تو کمک می‌کنند.

گاهی اندازهٔ یک ضلع یا زاویه به‌جای یک عدد، با عبارتی دارای مجهول نوشته می‌شود. هم‌نهشتی در اینجا به ما یک ابزار می‌دهد: عبارت‌های مربوط به اجزای متناظر را برابر قرار می‌دهیم و معادله می‌سازیم.

برای شروع، از ترتیب نام رأس‌ها یا علامت‌های شکل کمک بگیر و جفت درست را پیدا کن. سپس معادله را حل کن. بعد از پیدا کردن مجهول، کار هنوز تمام نشده است؛ مقدار آن را در عبارت ضلع یا زاویه بگذار تا اندازهٔ خواسته‌شده به دست بیاید.

حواست باشد مقدار مجهول لزوماً همان طول ضلع نیست. همچنین فقط اجزای متناظر را برابر می‌گذاریم، نه هر دو ضلعی را که در شکل می‌بینیم. در مثال حل‌شده، همین مسیر را قدم‌به‌قدم می‌رویم.

حالا به پرسش آغاز درس برگردیم. اگر فقط سه زاویهٔ یک مثلث را روی کاغذ داشته باشیم، آیا اندازهٔ مثلث هم مشخص می‌شود؟ نه؛ می‌توان مثلثی بزرگ‌تر یا کوچک‌تر ساخت که همان زاویه‌ها را داشته باشد. مثلاً دو مثلث متساوی‌الاضلاع با ضلع‌های متفاوت، زاویه‌های یکسان دارند، ولی هم‌نهشت نیستند.

در مقابل، وقتی طول هر سه ضلع مشخص باشد، آزادیِ بزرگ و کوچک‌کردن را نداریم. اگر سه ضلع یک مثلث با سه ضلع مثلث دیگر، جفت‌به‌جفت برابر باشند، دو مثلث هم‌نهشت‌اند؛ حتی اگر جهت قرارگرفتنشان فرق کند.

پس برابر بودن زاویه‌ها به‌تنهایی کافی نیست. برای تشخیص هم‌نهشتی باید مطمئن شوی شکل‌ها از نظر اندازه هم یکسان‌اند و می‌توانند کاملاً روی هم قرار بگیرند.

دو مثلث هم‌نهشت مثل دو برش کاملاً یکسان از کاغذند: می‌توانی یکی را جابه‌جا کنی، بچرخانی یا برگردانی تا دقیقاً روی دیگری بیفتد. در این حالت، ضلع‌ها و زاویه‌های متناظر، یعنی اجزایی که روی هم می‌افتند، برابرند.

اما برابر بودن سه زاویه کافی نیست. مثلاً همۀ مثلث‌های متساوی‌الاضلاع زاویه‌های برابر دارند، ولی می‌توان یکی را کوچک و دیگری را بزرگ کشید. پس از روی زاویه‌ها به‌تنهایی نباید هم‌نهشتی را نتیجه بگیری.

در نوشتن $\triangle ABC\cong\triangle DEF$، ترتیب حروف مهم است: رأس $A$ با $D$، رأس $B$ با $E$ و رأس $C$ با $F$ متناظر است؛ بنابراین ضلع $AB$ با $DE$ برابر است.

حالا به‌جای زاویه‌ها، سه ضلع را مشخص کن. اگر سه ضلع یک مثلث با سه ضلع مثلث دیگر، به‌ترتیب، برابر باشند، دو مثلث حتماً هم‌نهشت‌اند. این حالت را ضلع، ضلع، ضلع یا «ض ض ض» می‌نامیم. سه میله با طول‌های مشخص، اگر مثلث بسازند، دیگر اجازۀ تغییر شکل به آن نمی‌دهند.

این ویژگی را به همۀ شکل‌ها تعمیم نده: چهار میله می‌توانند چهارضلعی‌هایی با زاویه‌های متفاوت بسازند.

برای پیدا کردن ضلع‌های برابر، فقط دنبال علامت‌های شکل نباش. از تعریف‌ها هم کمک بگیر: در مثلث متساوی‌الساقین دو ساق برابرند؛ وسط بودن یک نقطه، دو پاره‌خط برابر می‌دهد؛ و ضلعی که در هر دو مثلث حضور دارد، ضلع مشترک است.

برای هم‌نهشتی همیشه لازم نیست هر سه ضلع را بدانیم. اگر دو ضلع و زاویۀ بین همان دو ضلع در دو مثلث برابر باشند، دو مثلث هم‌نهشت‌اند. نام این حالت «ض ز ض» است. تصور کن دو میله را به هم لولا کرده‌ای؛ طول میله‌ها و میزان بازشدن لولا، جای دو سر آزاد را مشخص می‌کند.

واژۀ «بین» خیلی مهم است. بین ضلع‌های $AB$ و $AC$، زاویۀ $BAC$ قرار دارد، نه زاویۀ رأس $B$.

در مثلث متساوی‌الساقین $ABC$، اگر $AD$ نیمساز زاویۀ رأس باشد، داریم $AB=AC$، زاویه‌های $BAD$ و $CAD$ برابرند و $AD$ مشترک است. پس دو مثلث کوچک به حالت «ض ز ض» هم‌نهشت‌اند و از برابری زاویه‌های متناظر، برابری زاویه‌های مجاور قاعده به دست می‌آید.

حالت سوم، برابری دو زاویه و ضلع بین آن‌ها است؛ به اختصار «ز ض ز». مثلاً ضلع بین زاویه‌های رأس‌های $B$ و $C$، ضلع $BC$ است. این ضلع اندازۀ مثلث را مشخص می‌کند و دو زاویه، جهت دو ضلع دیگر را تعیین می‌کنند.

اگر ضلع برابر، بین دو زاویۀ داده‌شده نباشد، باز هم راه بسته نیست! مجموع زاویه‌های هر مثلث $180^\circ$ است؛ پس از برابری دو جفت زاویه، برابری زاویه‌های سوم را هم نتیجه می‌گیریم. حالا می‌توانیم دو زاویۀ دو سرِ ضلع برابر را انتخاب کنیم و از «ز ض ز» کمک بگیریم.

یک نتیجۀ مهم این بخش هم این است: اگر دو زاویۀ یک مثلث برابر باشند، ضلع‌های روبه‌روی آن‌ها برابرند؛ یعنی مثلث متساوی‌الساقین است.

مثلث‌های قائم‌الزاویه یک راه ویژۀ دیگر هم دارند: اگر وتر و یک ضلعِ غیرِوتر در دو مثلث قائم‌الزاویه برابر باشند، دو مثلث هم‌نهشت‌اند. وتر همان ضلع روبه‌روی زاویۀ قائمه است و از دو ضلع دیگر بلندتر است.

چرا این اطلاعات کافی است؟ طبق رابطۀ فیثاغورس، مربع ضلع سوم برابر است با مربع وتر منهای مربع ضلع معلوم. وقتی وترها و ضلع‌های معلوم برابر باشند، ضلع‌های سوم هم برابر می‌شوند؛ بنابراین می‌توان هم‌نهشتی را به حالت «ض ض ض» نتیجه گرفت.

این راه میان‌بُر را فقط وقتی به کار ببر که هر دو مثلث قائم‌الزاویه باشند. در مثلث‌های معمولی، برابری دو ضلع به‌تنهایی هم‌نهشتی را تضمین نمی‌کند.

اول زاویهٔ قائمه را پیدا کن؛ ضلع روبه‌روی آن وتر است و از دو ضلع دیگر بلندتر است. حالا دو مثلث قائم‌الزاویه را در نظر بگیر که وترهایشان برابر و یکی از ضلع‌های غیرِوترشان هم برابر است. آیا ضلع سوم می‌تواند متفاوت باشد؟

رابطهٔ فیثاغورس می‌گوید مربع ضلع سوم از کم‌کردن مربع ضلع معلوم از مربع وتر به دست می‌آید. چون این دو مقدار در هر دو مثلث یکسان‌اند، ضلع سوم هم برابر می‌شود. پس هر سه ضلع متناظر برابرند و مثلث‌ها هم‌نهشت‌اند.

این راه میان‌بُر را حالت وتر و یک ضلع یا «و ض» می‌نامیم. پیش از استفاده از آن، حتماً قائم‌الزاویه بودن هر دو مثلث را بررسی کن. در ساخت دو پایهٔ یکسان برای قفسه هم چنین اطمینانی به کار می‌آید.

راه دوم به جای یک ضلع دیگر، از یک زاویهٔ تند کمک می‌گیرد. در مثلث قائم‌الزاویه، مجموع دو زاویهٔ تند برابر $90^\circ$ است؛ بنابراین با دانستن یکی، دیگری هم مشخص می‌شود.

اگر دو مثلث قائم‌الزاویه، وتر برابر و یک زاویهٔ تند متناظر برابر داشته باشند، زاویه‌های تند دیگرشان هم برابر می‌شوند. وتر میان همین دو زاویهٔ تند قرار دارد؛ پس می‌توان از حالت «دو زاویه و ضلع بین» استفاده کرد و هم‌نهشتی را نتیجه گرفت. نام کوتاه این حالت ویژه وتر و یک زاویهٔ تند یا «و ز» است.

دقت کن که برابر بودن زاویهٔ قائمه به‌تنهایی اطلاعات تازه‌ای نمی‌دهد؛ هر دو مثلث از ابتدا آن را دارند! همچنین بدون برابری وتر، ممکن است یکی از مثلث‌ها نسخهٔ بزرگ‌تر دیگری باشد، نه شکلی هم‌نهشت با آن.

هم‌نهشتی فقط برای پیدا کردن عدد نیست؛ با آن می‌توانیم یک ویژگی را برای همهٔ حالت‌ها ثابت کنیم. اندازه‌گیری یک شکل، هرچقدر دقیق باشد، جای چنین دلیلی را نمی‌گیرد.

فرض کن $K$ وسط پاره‌خط $AB$ و $O$ نقطه‌ای دلخواه روی عمودمنصف آن، به‌جز $K$، باشد. دو مثلث $AKO$ و $BKO$ در $K$ قائم‌اند، $AK=BK$ و ضلع $OK$ مشترک است. پس با «دو ضلع و زاویهٔ بین» هم‌نهشت‌اند و نتیجه می‌شود $OA=OB$. برای خودِ نقطهٔ $K$ هم برابری فاصله‌ها از تعریف وسط روشن است.

برای نقطه‌ای روی نیمساز نیز از آن نقطه بر دو ضلع زاویه عمود رسم می‌کنیم. دو مثلث قائم‌الزاویه، وتر مشترک و زاویه‌های تند برابر دارند؛ پس با «و ز» هم‌نهشت‌اند. در نتیجه دو پاره‌خط عمود برابرند. یادت باشد فاصلهٔ نقطه از خط، طول پاره‌خط عمود است، نه یک پاره‌خط مایل.

در تمرین‌های ترکیبی، همهٔ برابری‌ها آماده و علامت‌خورده نیستند؛ باید بعضی را از اطلاعات شکل پیدا کنی. شعاع‌های یک دایره برابرند، وسط بودن دو پاره‌خط برابر می‌سازد و ضلع مشترک با خودش برابر است. خط‌های موازی هم می‌توانند زاویه‌های برابر در اختیارمان بگذارند.

یک ترتیب مفید این است: اول دو مثلث و اجزای متناظرشان را مشخص کن؛ بعد برابری‌ها را بنویس؛ سپس حالت مناسب را انتخاب کن. حالت‌های عمومی، «سه ضلع»، «دو ضلع و زاویهٔ بین» و «دو زاویه و ضلع بین» هستند. برای مثلث‌های قائم‌الزاویه، «و ض» و «و ز» هم در دسترس‌اند. فیثاغورس نیز برای یافتن ضلع مجهول یا بررسی قائم بودن کمک می‌کند.

پس از اثبات هم‌نهشتی، فقط اجزای متناظر را برابر قرار بده. این کار در نقشه‌های مهندسی کاربرد دارد. همچنین می‌توان بررسی کرد با چه تبدیلی، مانند تقارن، دوران یا انتقال، یک مثلث بر دیگری منطبق می‌شود.