خلاصه درس فصل ۵ ریاضی هشتم؛ درسنامه و نکات مهم

فرض کن از خانه به نانوایی و بعد از نانوایی به پارک می‌روی. دو پیکان می‌توانند این دو جابه‌جایی را نشان دهند. حالا اگر فقط نقطهٔ شروع و پایان مهم باشد، یک پیکان مستقیم از خانه به پارک کافی است؛ این پیکان برآیند دو بردار است.

برای رسم جمع به روش سر به ته، ابتدای بردار دوم باید در انتهای بردار اول قرار بگیرد. سپس از ابتدای اولی به انتهای دومی پیکان می‌کشیم. اگر بردارها $\vec{a}$ و $\vec{b}$ و برآیند $\vec{c}$ باشد، می‌نویسیم $\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$. برآیند، جابه‌جایی نهایی را نشان می‌دهد، نه طول کل مسیر طی‌شده را.

مختصات بردار، حرکت را به دو بخش افقی و عمودی تقسیم می‌کند. در نمایش ستونی، عدد بالا مؤلفهٔ افقی و عدد پایین مؤلفهٔ عمودی است. علامت مثبت برای راست و بالا، و علامت منفی برای چپ و پایین به کار می‌رود.

برای جمع دو بردار، حرکت‌های افقی را با هم و حرکت‌های عمودی را با هم حساب می‌کنیم؛ درست مثل اینکه قدم‌های راست و چپ را جدا از قدم‌های بالا و پایین بشماریم. پس قاعده این است: $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}z\\t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+z\\y+t\end{bmatrix}$. عدد بالای یک بردار را با عدد پایین بردار دیگر جمع نکن؛ این دو، حرکت در دو راستای متفاوت را نشان می‌دهند.

برای وصل‌کردن دو بردار، گاهی لازم است یکی را روی کاغذ جابه‌جا کنیم. این کار مجاز است، به شرط آنکه اندازه، راستا و جهت پیکان تغییر نکند. پس محل شروع متفاوت، به‌تنهایی باعث متفاوت‌شدن دو بردار نمی‌شود.

حالا می‌توانی یک بار اول $\vec{a}$ و سپس $\vec{b}$ را قرار دهی و بار دیگر ترتیب را عوض کنی. مسیر میانی ممکن است تغییر کند، اما جابه‌جایی نهایی یکی است؛ یعنی $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$. در جمع سه بردار هم می‌توان اول هر دو بردار دلخواه را جمع کرد و سپس سومی را افزود. بنابراین جابه‌جایی ترتیب و تغییر گروه‌بندی، حاصل جمع را تغییر نمی‌دهد.

اگر از نقطه‌ای حرکت کنی و بعد دقیقاً همان جابه‌جایی را در جهت مخالف انجام دهی، به نقطهٔ شروع برمی‌گردی. دو بردار این حرکت‌ها قرینهٔ یکدیگر هستند: اندازهٔ برابر و جهت مخالف دارند. در مختصات هم، علامت هر مؤلفه در بردار قرینه عوض می‌شود.

برآیند چنین رفت‌وبرگشتی، بردار صفر است: $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{o}$. مختصات آن $\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ است؛ یعنی نه جابه‌جایی افقی باقی مانده و نه جابه‌جایی عمودی. دقت کن که صفرشدن برآیند به معنی طی‌نکردن مسیر نیست؛ ممکن است راه زیادی رفته باشی، اما در پایان به همان جای اول رسیده باشی.

تا اینجا چند بردار را به یک برآیند تبدیل کردیم. حالا برعکس فکر کن: آیا می‌توان یک بردار را به صورت جمع دو بردار نوشت؟ بله؛ به این کار تجزیهٔ بردار می‌گوییم. مثلاً می‌توان یک جابه‌جایی را به یک حرکت افقی و یک حرکت عمودی تقسیم کرد.

اگر برای دو بردار هیچ راستایی تعیین نشده باشد، انتخاب‌های بی‌شماری داریم. بردار اول را انتخاب می‌کنیم و بردار دوم باید از پایان آن به پایان بردار اصلی برسد. در مختصات نیز باید جمع مؤلفه‌های افقی و جمع مؤلفه‌های عمودی، با مؤلفه‌های بردار اصلی برابر شود. اما اگر راستاهای مشخصی داده شده باشد، هر دو بردار انتخابی باید در همان راستاها باشند.

بردار را مثل پیکانی برای نشان دادن حرکت در نظر بگیر. هنگام ضرب آن در یک عدد، دو پرسش جدا داریم: اندازه چقدر تغییر می‌کند؟ جهت چه می‌شود؟

برای یک بردار ناصفر، اگر ضریب مثبت باشد، جهت حفظ می‌شود؛ اگر منفی باشد، جهت برعکس می‌شود. اندازهٔ بردار در قدر مطلق ضریب ضرب می‌شود. پس ضریبی با قدر مطلق بزرگ‌تر از یک، بردار را بلندتر و ضریبی با قدر مطلق بین صفر و یک، آن را کوتاه‌تر می‌کند.

در همهٔ این حالت‌های ناصفر، راستا همان راستای قبلی است؛ مثل رفت‌وبرگشت روی یک جادهٔ مستقیم. ضرب در صفر هم بردار صفر می‌دهد که اندازه‌اش صفر است و جهت مشخصی ندارد.

حالا همین تغییر را با مختصات بیان کنیم. در مختصات ستونی، عدد بالا مؤلفهٔ افقی یا «طول» و عدد پایین مؤلفهٔ عمودی یا «عرض» بردار است. اینجا طول را با اندازهٔ کل پیکان اشتباه نگیر.

برای ضرب یک عدد در بردار، آن عدد را در هر دو مؤلفه ضرب می‌کنیم:

$k\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}kx\\ky\end{bmatrix}$

این کار مثل چند برابر کردن هم‌زمان جابه‌جایی افقی و عمودی روی نقشه است. اگر فقط یکی را تغییر بدهیم، معمولاً راستای حرکت هم تغییر می‌کند و دیگر ضرب عدد در بردار اولیه نیست.

ضرب در $-1$ قرینهٔ بردار را می‌سازد: هر دو مؤلفه علامت عوض می‌کنند، اندازه ثابت می‌ماند و جهت برعکس می‌شود.

در عبارتی مثل $\vec{c}=2\vec{a}-3\vec{b}$، اول بردارهای ضریب‌دار را بساز و بعد آن‌ها را جمع کن. تفریق را هم می‌توان جمع با قرینه دید:

$\vec{c}=2\vec{a}+(-3\vec{b})$

برای رسم، بردار اول را بکش؛ سپس ابتدای بردار دوم را به انتهای آن منتقل کن، بدون اینکه اندازه یا جهتش عوض شود. بردار حاصل از ابتدای مسیر تا انتهای مسیر است. اگر دو بردار از یک نقطه شروع شوند، روش متوازی‌الاضلاع هم همین حاصل را می‌دهد.

در روش مختصاتی، پس از ضرب ضرایب، مؤلفه‌های افقی را با هم و مؤلفه‌های عمودی را با هم جمع کن. تجزیهٔ بردار راهِ برعکس است: دو بردار روی امتدادهای خواسته‌شده پیدا می‌کنی که جمعشان بردار اصلی باشد.

گاهی خودِ بردار مجهول است. در این حالت هم می‌توانیم مثل معادله‌های عددی فکر کنیم، با این تفاوت که باید هر دو مؤلفه را در نظر بگیریم.

اگر $k\vec{x}=\vec{v}$ و $k\ne0$ باشد، برای پیدا کردن $\vec{x}$ هر دو مؤلفهٔ $\vec{v}$ را بر $k$ تقسیم می‌کنیم. تقسیم تنها یکی از مؤلفه‌ها کافی نیست.

اگر معادله به شکل $\vec{a}+\vec{x}=\vec{b}$ باشد، از دو طرف $\vec{a}$ کم می‌کنیم و به $\vec{x}=\vec{b}-\vec{a}$ می‌رسیم. این شبیه پیدا کردن بخشِ باقی‌ماندهٔ یک مسیر است: مسیر نهایی را می‌دانی و می‌خواهی حرکتِ لازم پس از بخش اول را پیدا کنی. در پایان، بردار به‌دست‌آمده را در معادلهٔ اولیه بگذار و هر دو مؤلفه را بررسی کن.

برای توصیف هر حرکت روی صفحه می‌توانیم از دو حرکت پایه کمک بگیریم: یک واحد به راست و یک واحد به بالا. بردار واحد در جهت مثبت محور افقی را $\vec{i}$ و بردار واحد در جهت مثبت محور عمودی را $\vec{j}$ می‌نامیم:

$\vec{i}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\qquad \vec{j}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$

پس هر بردار با مؤلفه‌های $x$ و $y$ را می‌توان به شکل زیر نوشت:

$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=x\vec{i}+y\vec{j}$

ضریب $\vec{i}$ مقدار جابه‌جایی افقی و ضریب $\vec{j}$ مقدار جابه‌جایی عمودی را می‌گوید. اگر ضریبی منفی باشد، حرکت در خلاف جهت بردار واحد مربوط است؛ درست مثل دستور حرکت به چپ یا پایین روی نقشهٔ شطرنجی.

برای اندازه‌گیری طول، یک واحد مثل متر انتخاب می‌کنیم. برای بیان جابه‌جایی روی صفحه هم به واحد نیاز داریم؛ اما این بار واحد باید جهت داشته باشد، پس خودش یک بردار است.

در دستگاه مختصات، $\vec{i}$ یک واحد در جهت مثبت محور افقی، یعنی به راست است. بردار $\vec{j}$ هم یک واحد در جهت مثبت محور عمودی، یعنی به بالاست. بنابراین:

$\vec{i}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ و $\vec{j}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$.

صفر در هرکدام مهم است: حرکت کاملاً افقی، جابه‌جایی عمودی ندارد و حرکت کاملاً عمودی، جابه‌جایی افقی ندارد. مثل حرکت روی خانه‌های یک صفحهٔ شطرنجی، این دو دستور پایه می‌توانند جابه‌جایی‌های مختلف را بسازند.

هر بردار را می‌توان با سهم افقی و سهم عمودی‌اش معرفی کرد. اگر سهم افقی $a$ و سهم عمودی $b$ باشد، دو نوشتار زیر یک معنا دارند:

$\vec{v}=a\vec{i}+b\vec{j}=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$.

پس ضریب $\vec{i}$ در ردیف اول و ضریب $\vec{j}$ در ردیف دوم قرار می‌گیرد. ضریب منفی، جهت را برعکس می‌کند: منفیِ افقی یعنی چپ و منفیِ عمودی یعنی پایین.

برای رسم، می‌توانی از مبدأ شروع کنی، به اندازهٔ مؤلفهٔ اول افقی و به اندازهٔ مؤلفهٔ دوم عمودی بروی، سپس از مبدأ تا نقطهٔ نهایی پیکان بکشی. اگر یکی از بردارهای واحد در عبارت دیده نشود، ضریبش صفر است؛ مثلاً $3\vec{i}=\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}$.

برای جمع کردن بردارهای نوشته‌شده با بردارهای واحد، جمله‌های دارای $\vec{i}$ را با هم و جمله‌های دارای $\vec{j}$ را با هم جمع کن. در روش مختصاتی هم مؤلفه‌های هم‌ردیف با هم جمع می‌شوند. هنگام ضرب عدد در بردار، آن عدد باید در هر دو مؤلفه ضرب شود.

معادلهٔ برداری نیز مانند معادلهٔ عددی حل می‌شود: نخست بردارهای معلوم را با انجام عمل یکسان روی دو طرف کنار می‌گذاریم؛ سپس هر دو مؤلفه را بر ضریب مجهول تقسیم می‌کنیم. می‌توانی همهٔ کار را با بردارهای واحد یا با ستون مختصات انجام دهی؛ پاسخ یکسان است.

برای ترکیب چند بردار هم همین قواعد کافی است. روش مختصاتی برای برنامه‌نویسی مناسب است، چون به‌جای اندازه‌گیری از روی شکل، با محاسبهٔ عددها به نتیجه می‌رسیم.

علامت مؤلفه‌ها جهت بردار را مشخص می‌کند: مؤلفهٔ اولِ مثبت یعنی راست و منفی یعنی چپ؛ مؤلفهٔ دومِ مثبت یعنی بالا و منفی یعنی پایین. در این بحث، «طول» و «عرض» نام مؤلفه‌های افقی و عمودی‌اند؛ طولِ مختصاتی را با اندازهٔ پیکان اشتباه نگیر.

حاصل جمع بردارها لزوماً پیکانی بلندتر نمی‌سازد. دو حرکت هم‌اندازه و خلاف‌جهت یکدیگر را خنثی می‌کنند؛ مثل رفتن از خانه تا نانوایی و برگشتن از همان راه.

در چنین رفت‌وبرگشتی، مسافت طی‌شده صفر نیست، اما جابه‌جایی نهایی صفر است. برای مسافت، همهٔ بخش‌های مسیر را می‌شماریم؛ برای جابه‌جایی، فقط تغییر مکان از آغاز تا پایان مهم است.

بردار هم اندازه دارد و هم جهت؛ برای جمع‌کردن بردارها باید هر دو را در نظر بگیریم. در روش سر‌به‌ته، ابتدای بردار دوم را به انتهای بردار اول می‌بریم، بدون آنکه طول یا جهتش تغییر کند. بردارِ وصل‌کنندهٔ ابتدای اول به انتهای دوم، برایند است. اگر دو بردار از یک نقطه شروع شوند، می‌توانیم متوازی‌الاضلاع بسازیم؛ قطرِ خارج‌شده از نقطهٔ مشترک همان برایند است.

در ضرب عدد در بردار، ضریب مثبت جهت را نگه می‌دارد و ضریب منفی آن را برعکس می‌کند. طول بردار نیز در قدرمطلق ضریب ضرب می‌شود؛ ضریب صفر، بردار صفر می‌دهد. بنابراین، تفریق یک بردار یعنی جمع‌کردن قرینهٔ آن. مثلاً هنگام رفتن به مدرسه و برگشتن از همان مسیر، بردارهای رفت و برگشت هم‌اندازه و خلاف‌جهت‌اند؛ برایندشان صفر است.

مختصات بردار می‌گوید از ابتدای آن تا انتهایش چقدر در راستای افقی و چقدر در راستای عمودی حرکت می‌کنیم. اگر ابتدا و انتها معلوم باشند، مؤلفه‌های بردار را از مختصات انتها منهای مختصات ابتدا به دست می‌آوریم. راست و بالا مثبت‌اند؛ چپ و پایین منفی‌اند.

بردارهای واحد مختصات، قدم‌های پایهٔ ما هستند: $\vec{i}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ در جهت مثبت افقی و $\vec{j}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ در جهت مثبت عمودی است. پس $\vec{v}=\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix}=p\vec{i}+q\vec{j}$. این نوشتن، بردار را به سهم افقی و عمودی‌اش تجزیه می‌کند؛ مثل توضیح یک حرکت با «چقدر به راست یا چپ» و «چقدر به بالا یا پایین».

در جمع مختصاتی، مؤلفه‌های هم‌جایگاه را جمع می‌کنیم؛ در ضرب عدد، هر دو مؤلفه در آن عدد ضرب می‌شوند. برای حل معادلهٔ برداری نیز می‌توانیم دو طرف را جمع، تفریق یا بر عدد ناصفر تقسیم کنیم. نکتهٔ مهم این است که هر عمل باید روی هر دو مؤلفه انجام شود.

بردارها فقط برای رسم پیکان نیستند؛ در علوم، کمیت‌هایی مانند نیرو و جابه‌جایی را با آن‌ها بررسی می‌کنیم. وقتی چند نیرو به جسم وارد می‌شوند، برایند نشان می‌دهد اثر مجموع آن‌ها چیست. به همین دلیل، جهت هر نیرو به اندازهٔ بزرگی آن مهم است.

تمرین‌های ترکیبی این فصل نیز همین مهارت‌ها را کنار هم می‌گذارند. برای رسم $\vec{d}=2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}$، ابتدا مضرب هر بردار را با طول و جهت درست می‌سازیم، سپس آن‌ها را سر‌به‌ته قرار می‌دهیم. پیکان از شروع زنجیره تا پایان آن، بردار خواسته‌شده است. اگر مختصات داده شده باشد، همین کار را مؤلفه‌به‌مؤلفه انجام می‌دهیم. اگر فقط شکل داریم، باید ابتدا اندازه و جهت بردارها را از شکل بخوانیم؛ نمی‌توانیم مختصات دلخواه برایشان انتخاب کنیم.