خلاصه درس فصل ۷ ریاضی هفتم؛ درسنامه و نکات مهم

یک کاغذ را تصور کن که با هر بار تا کردن، تعداد قسمت‌هایش دو برابر می‌شود. پس از یک بار تا کردن، $2$ قسمت داریم؛ پس از دو بار، $2\times2$ قسمت و پس از سه بار، $2\times2\times2$ قسمت. اینجا یک عدد، بارها در خودش ضرب می‌شود.

برای کوتاه نوشتن چنین ضربی، از توان استفاده می‌کنیم: $2\times2\times2=2^3$. عدد $2$ پایه است و عدد کوچک بالای آن، یعنی $3$، توان است. پایه می‌گوید چه عددی تکرار می‌شود و توان می‌گوید چند عامل مساوی داریم.

مراقب باش: $2^3$ با $2\times3$ یکی نیست. اولی ضرب سه عامل مساوی با $2$ است؛ دومی جمع سه عدد مساوی با $2$. برای پیدا کردن توان، تعداد عامل‌ها را بشمار، نه تعداد علامت‌های ضرب را.

پایه لازم نیست عددی صحیح باشد؛ می‌تواند عدد اعشاری، کسر یا حتی یک عبارت جبری باشد. مثلاً $a\times a\times a=a^3$؛ یعنی هر عددی جای $a$ بگذاریم، سه عامل مساوی با همان عدد داریم.

مرز پایه را دقیق ببین. در $(\frac{a}{b})^2$ تمام کسر پایه است؛ پس برای $b\ne0$ داریم: $(\frac{a}{b})^2=\frac{a}{b}\times\frac{a}{b}=\frac{a^2}{b^2}$. اما در $\frac{a^2}{b}$ فقط صورت به توان رسیده است. همچنین $(x+y)^2$ یعنی $(x+y)(x+y)$؛ پایه در اینجا تمام عبارت داخل پرانتز است.

در تجزیهٔ عددها هم توان کمک می‌کند عامل‌های تکراری را جمع‌وجور بنویسیم: $36=2\times2\times3\times3=2^2\times3^2$. عامل‌هایی که متفاوت‌اند، جدا می‌مانند؛ فقط تکرار هر عامل را با توان نشان می‌دهیم.

بعضی توان‌ها نام ویژه دارند. توان دومِ یک عدد را مجذور و توان سوم آن را مکعب می‌نامیم. بنابراین مجذور $a$ برابر $a^2$ و مکعب آن برابر $a^3$ است. این نام‌ها با شکل‌های هندسی ارتباط دارند: مساحت مربعِ ضلع $a$ برابر $a^2$ و حجم مکعبِ ضلع $a$ برابر $a^3$ است.

چند حالت ساده را با معنای ضرب تکراری بررسی کن. در $a^1$ فقط یک عامل داریم؛ پس حاصل خودِ $a$ است. اگر پایه $1$ باشد، هر تعداد عاملِ برابر با $1$ را در هم ضرب کنیم، حاصل $1$ می‌ماند. اگر پایه صفر و توان یک عدد طبیعیِ مثبت باشد، حاصل صفر می‌شود؛ چون همهٔ عامل‌ها صفرند.

پس در همین توان‌های طبیعیِ مثبت، $1^n=1$ و $0^n=0$. دربارهٔ $0^0$ از این توضیح نتیجه‌گیری نمی‌کنیم.

وقتی توان کنار چند عمل دیگر می‌آید، نباید از چپ شروع کنیم و همهٔ کارها را پشت سر هم انجام دهیم. ترتیب عملیات راهنمای ماست: اول داخل پرانتز، بعد توان، سپس ضرب و تقسیم و در پایان جمع و تفریق. در هر پرانتز هم همین ترتیب را رعایت می‌کنیم. عمل‌های هم‌اولویت را از چپ به راست انجام می‌دهیم.

مثلاً در $5\times2^3$، توان فقط متعلق به $2$ است؛ پس باید ابتدا $2^3$ را حساب کنیم. ولی در $(5\times2)^3$، پرانتز می‌گوید حاصل ضرب داخل آن، پایهٔ توان است. این دو عبارت معنای یکسانی ندارند.

برای کم شدن اشتباه، در هر خط فقط یک مرحله را انجام بده و بقیهٔ عبارت را بدون تغییر بنویس. به‌ویژه علامت‌های جمع و تفریق را نگه دار؛ حساب کردن توان نباید باعث تغییر علامت‌های عبارت شود.

برای حساب‌کردن یک عبارت، فقط از سمت چپ شروع نمی‌کنیم؛ هر عمل نوبت خودش را دارد. ابتدا داخل پرانتز را با رعایت همین ترتیب حساب کن، بعد توان‌ها، سپس ضرب و تقسیم، و در پایان جمع و تفریق. عمل‌های هم‌رتبه را از چپ به راست انجام بده.

مثلاً در $5^2-5\times2$، توان فقط روی اولین عدد پنج اثر دارد؛ نباید ابتدا تفریق را انجام بدهی. خط کسری هم نقش گروه‌بندی دارد: صورت و مخرج را جداگانه حساب کن و بعد تقسیم یا ساده‌کردن را انجام بده. نوشتن هر مرحله در یک خط کمک می‌کند هیچ عدد یا علامتی جا نماند.

وقتی عدد منفی داخل پرانتز است، علامت منفی هم بخشی از پایه است. پس $(-2)^3$ یعنی سه بار ضربِ عدد منفیِ دو در خودش. هر جفت عامل منفی، حاصل مثبت می‌دهد؛ بنابراین توان زوجِ پایهٔ منفی مثبت و توان فردِ آن منفی می‌شود.

اما اگر پرانتز نباشد، باید دقیق‌تر نگاه کنی: در $-2^4$، توان فقط متعلق به عدد دو است و علامت منفی بیرون می‌ماند. در $(-2)^4$، خودِ عدد منفی پایه است. پیش از محاسبه، پایه را با انگشت مشخص کن؛ این کار ساده جلوی اشتباه علامت را می‌گیرد.

به زنجیرهٔ توان‌های دو نگاه کن: $2^3$، سپس $2^2$ و بعد $2^1$. هر بار که توان یک واحد کم می‌شود، حاصل بر دو تقسیم می‌شود. اگر همین الگو را یک گام دیگر ادامه بدهیم، به $2^0=1$ می‌رسیم.

این نتیجه برای هر پایهٔ ناصفر برقرار است: $a^0=1$، به شرط $a\ne0$. پایه می‌تواند مثبت، منفی یا کسری باشد؛ پس $(-9)^0$ و $(\frac{2}{7})^0$ هم برابر یک‌اند. توان صفر را با پایهٔ صفر اشتباه نگیر: $0^5$ یعنی ضرب چند صفر و حاصلش صفر است. این قاعده دربارهٔ $0^0$ چیزی به ما نمی‌گوید.

توان‌ها در نوشتن عددهای معمولی هم به کار می‌آیند. در دستگاه ده‌دهی، ارزش یکان، دهگان و صدگان به‌ترتیب با $10^0$، $10^1$ و $10^2$ نشان داده می‌شود. بنابراین می‌توان نوشت: $305=3\times10^2+0\times10^1+5\times10^0$. ضریب صفر نشان می‌دهد دهگان نداریم.

اگر در یک عبارت حرف وجود دارد، ابتدا مقدار داده‌شده را جای آن بنویس؛ عدد منفی را حتماً داخل پرانتز بگذار و سپس ترتیب عملیات را رعایت کن. همچنین جای پایه و توان مهم است: $4^n$ و $n^4$ لزوماً برابر نیستند. برای مقایسه، مقدار مشخصِ حرف را در هر دو قرار بده؛ ماشین‌حساب هم می‌تواند در محاسبهٔ توان‌های بزرگ کمک کند.

اگر دو توان با پایهٔ یکسان در هم ضرب شوند، می‌توانیم تعداد عامل‌های تکراری را روی هم بگذاریم. در $2^4\times2^3$، چهار عاملِ دو و سه عاملِ دو داریم؛ یعنی در مجموع هفت عاملِ دو. پس پایه ثابت می‌ماند و توان‌ها جمع می‌شوند: $a^m\times a^n=a^{m+n}$.

این روش فقط برای ضربِ توان‌های هم‌پایه است؛ نباید آن را برای جمع به کار ببری یا توان‌ها را در هم ضرب کنی. پایه‌های ظاهراً متفاوت را هم بررسی کن: $0.5$ و $\frac{1}{2}$ یک عددند. برعکس، می‌توان یک توان را به چند عامل هم‌پایه شکست؛ کافی است مجموع توان‌های آن‌ها با توان اولیه برابر باشد.

توان، شکل کوتاهِ ضرب عامل‌های برابر است. مثلاً $3^2$ یعنی دو عاملِ $3$ و $3^4$ یعنی چهار عاملِ $3$. وقتی این دو را در هم ضرب می‌کنیم، شش عاملِ یکسان کنار هم داریم؛ بنابراین $3^2\times3^4=3^6$.

پس در ضرب با پایه‌های مساوی، پایه را نگه می‌داریم و توان‌ها را جمع می‌کنیم:

$a^m\times a^n=a^{m+n}$

حواست باشد توان‌ها را ضرب نمی‌کنیم؛ آن‌ها تعداد عامل‌ها هستند. این رابطه را می‌توان برعکس هم خواند و یک توان را به چند عامل شکست. همچنین عددی مثل $7$ همان $7^1$ است؛ پس توانِ نوشته‌نشدهٔ آن را فراموش نکن.

حالا عبارت $2^3\times5^3$ را ببین. این بار پایه‌ها متفاوت‌اند، اما توان‌ها برابرند. با باز کردن توان‌ها، سه عاملِ $2$ و سه عاملِ $5$ داریم. می‌توانیم هر عاملِ $2$ را کنار یک عاملِ $5$ بگذاریم؛ در نتیجه سه عاملِ $10$ ساخته می‌شود.

پس در ضرب با توان‌های مساوی، پایه‌ها را ضرب می‌کنیم و توان مشترک را نگه می‌داریم:

$a^n\times b^n=(a\times b)^n$

این قانون برعکس هم کاربرد دارد: می‌توان توانِ یک حاصل‌ضرب را بین عامل‌هایش پخش کرد. برای پایه‌های منفی نیز همین قانون برقرار است؛ فقط علامت حاصل‌ضرب پایه‌ها و پرانتز را دقیق نگه دار.

گاهی یک عبارت با یک بار استفاده از قانون‌ها ساده نمی‌شود. اول دنبال بخش‌هایی بگرد که پایه یا توان برابر دارند. آن‌ها را ساده کن و بعد دوباره عبارت تازه را بررسی کن؛ شاید حالا بتوانی قانون دیگر را به کار ببری.

مثل مرتب کردن وسایل است: اول چیزهای هم‌نوع را کنار هم می‌گذاری، بعد گروه‌ها را یک‌جا جمع می‌کنی. در ضرب چند عامل هم می‌توانی ترتیب و گروه‌بندی عامل‌ها را تغییر بدهی.

ظاهر متفاوت همیشه به معنی پایهٔ متفاوت نیست. برای نمونه، $0.5$ و $\frac{1}{2}$ یک عددند. پیش از انتخاب قانون، پایه‌ها را به یک شکل بنویس تا برابری پنهان آن‌ها را ببینی.

پیش از استفاده از هر قانون، دو چیز را بررسی کن: عمل بین عبارت‌ها چیست و چه چیزی برابر است؟ اگر عمل ضرب و پایه‌ها برابر باشند، توان‌ها جمع می‌شوند. اگر عمل ضرب و توان‌ها برابر باشند، پایه‌ها ضرب می‌شوند.

اما برای جمع، چنین قانون‌هایی نداریم. مثلاً $2^2+3^2$ را نمی‌توان به $(2+3)^2$ تبدیل کرد؛ چون طرف اول $13$ و طرف دوم $25$ است. برای اطمینان از یک تساوی مشکوک، باز کردن توان‌ها یا حساب کردن دو طرف کمک می‌کند.

اگر نه پایه‌ها برابرند و نه توان‌ها، این دو قانون مستقیماً قابل استفاده نیستند؛ نباید به زور عبارت را به یک توان تبدیل کنیم.

وقتی طول ضلع یک مربع را بدانیم، با ضرب آن در خودش مساحت را پیدا می‌کنیم. حالا مسیر را برعکس برو: اگر مساحت معلوم باشد، باید بپرسی «چه عددی در خودش ضرب شده است؟» این پرسش ما را به ریشهٔ دوم می‌رساند.

ریشهٔ دوم یک عدد، عددی است که توان دومش برابر آن عدد شود. برای نمونه، هم $3^2=9$ و هم $(-3)^2=9$؛ پس $9$ دو ریشهٔ دوم دارد: $3$ و $-3$. این دو عدد قرینهٔ یکدیگرند.

اما در مسئلهٔ زمین، طول ضلع نمی‌تواند منفی باشد. پس از میان دو ریشه، فقط مقدار مثبت را برای طول انتخاب می‌کنیم. یادت باشد «ریشهٔ دوم» لزوماً به معنی یک جواب نیست.

برای اینکه معلوم باشد کدام ریشه را می‌خواهیم، از نماد رادیکال استفاده می‌کنیم. عبارت $\sqrt{9}$ را «جذرِ نه» می‌خوانیم و مقدارش فقط $3$ است، نه هم‌زمان $3$ و $-3$. برای نشان دادن ریشهٔ منفی، علامت منفی را بیرون رادیکال می‌گذاریم: $-\sqrt{9}=-3$.

این تفاوت را به خاطر بسپار: «ریشه‌های دوم» یک عدد مثبت، دو عدد هستند؛ ولی «جذر» آن فقط ریشهٔ مثبت است. جذر صفر هم خود صفر است: $\sqrt{0}=0$.

برای کسرها نیز همان پرسش اصلی را داریم: چه عدد نامنفی‌ای در خودش ضرب شود تا کسر داده‌شده به دست آید؟ مثلاً چون $(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$، داریم $\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$.

بعضی عددها مثل $4$ و $9$، مربعِ یک عدد طبیعی‌اند؛ به آن‌ها مربع کامل می‌گوییم. اما ممکن است عددی مانند $8$ مربع کامل نباشد. این به معنی نداشتن جذر نیست؛ فقط جذرش عدد طبیعی نیست.

برای پیدا کردن جای جذر، دو مربع کاملِ اطراف عدد را پیدا کن. چون $4<8<9$، طول ضلع مربعی با مساحت $8$ از طول ضلع مربع با مساحت $4$ بیشتر و از طول ضلع مربع با مساحت $9$ کمتر است؛ یعنی $2<\sqrt{8}<3$.

برای تقریب دقیق‌تر، عددهای اعشاریِ داخل این بازه را به توان دوم می‌رسانیم و حاصل‌ها را با عدد زیر رادیکال مقایسه می‌کنیم. این همان حدس و آزمایش است، اما با حدس‌هایی حساب‌شده؛ در مثال حل‌شده آن را تمرین می‌کنیم.

تا اینجا با ریشهٔ مثبت و منفی آشنا شدی؛ حالا مراقب باش «ریشهٔ منفی» را با «جذرِ عدد منفی» اشتباه نگیری. عدد $-5$ می‌تواند ریشهٔ دومِ $25$ باشد، چون $(-5)^2=25$؛ اما ریشهٔ دومِ $-25$ نیست.

دلیل ساده است: حاصل ضرب دو عدد مثبت، مثبت است و حاصل ضرب دو عدد منفی هم مثبت می‌شود. پس توان دوم هر عددِ ناصفر مثبت است. توان دوم صفر هم صفر است؛ بنابراین توان دوم هیچ‌کدام از عددهایی که تا اینجا می‌شناسیم، منفی نمی‌شود.

در نتیجه، در همین مجموعهٔ عددها، عددهای منفی جذر ندارند. به جای علامت منفی دقت کن: $-\sqrt{25}$ معنا دارد، ولی $\sqrt{-25}$ در این پایه معنا ندارد.

توان، راه کوتاه نوشتن ضرب عامل‌های مساوی است. در $2^3=2\times2\times2$، عدد $2$ پایه و عدد $3$ توان است؛ توان می‌گوید پایه چند بار به‌صورت عامل تکرار شده است، نه اینکه پایه را در توان ضرب کنیم. توان دوم یک عدد را مجذور و توان سوم آن را مکعب می‌نامیم.

برای محاسبهٔ عبارت‌ها، اول داخل پرانتز را حساب کن؛ در هر بخش هم ترتیب توان، ضرب و تقسیم، جمع و تفریق را رعایت کن. عمل‌های هم‌رتبه از چپ به راست انجام می‌شوند.

در پایهٔ منفی، پرانتز تعیین‌کننده است: $(-2)^4=16$، ولی $-2^4=-16$. اگر پایهٔ منفی داخل پرانتز باشد، توان زوج نتیجه را مثبت و توان فرد نتیجه را منفی می‌کند.

دو نکته را هم جدا نگه دار: برای $a\ne0$ داریم $a^0=1$؛ اما صفر با توان طبیعیِ مثبت، مانند $0^4$، برابر صفر است. این دو قاعده را با هم اشتباه نگیر.

برای ساده‌کردن ضرب عددهای تواندار، اول ببین چه چیزی برابر است.

اگر پایه‌ها برابر باشند، توان‌ها را جمع می‌کنیم:

$a^m\times a^n=a^{m+n}$

مثلاً $3^2\times3^4=3^6$؛ چون در مجموع شش عاملِ برابر با $3$ داریم.

اگر توان‌ها برابر باشند، پایه‌ها را ضرب می‌کنیم و توان را نگه می‌داریم:

$a^n\times b^n=(ab)^n$

مثلاً $2^3\times5^3=10^3$. این دو قانون شبیه‌اند، اما شرط استفاده از آن‌ها متفاوت است.

گاهی برابری پایه‌ها پنهان است. با تجزیه می‌توانیم آن را پیدا کنیم؛ مثلاً $4^2=(2\times2)(2\times2)=2^4$ و $8^3=2^9$. همچنین $6^2=(2\times3)^2=2^2\times3^2$. حالا عامل‌های هم‌پایه را راحت‌تر کنار هم می‌گذاریم. برای کسرها هم همین قانون‌ها برقرارند؛ مثلاً $\frac{1}{4^5}=(\frac14)^5$.

توان‌ها در رابطه‌های هندسی هم کاربرد دارند: مساحت مربع با ضلع $a$ برابر $a^2$ و حجم مکعب با ضلع $a$ برابر $a^3$ است. پس توان فقط یک روش کوتاه‌نویسی نیست؛ به ساده‌کردن رابطه‌ها هم کمک می‌کند.

جذرگیری ما را از مربع یک عدد به خود آن برمی‌گرداند. مثلاً چون $8^2=64$، داریم $\sqrt{64}=8$. عددهایی مانند $1$، $4$، $9$ و $64$ که مربع یک عدد صحیح‌اند، مربع کامل نام دارند.

اما بین «جذر» و «ریشه‌های دوم» تفاوتی مهم هست. نماد $\sqrt{64}$ فقط مقدار نامنفی، یعنی $8$، را نشان می‌دهد؛ درحالی‌که ریشه‌های دومِ $64$ دو عدد $8$ و $-8$ هستند، چون مربع هر دو برابر $64$ است. اگر منفی بیرون نماد جذر باشد، آن را بعد از جذرگیری اعمال می‌کنیم: $-\sqrt{64}=-8$.

برای عددی که مربع کامل نیست، از مربع‌های کامل نزدیک کمک می‌گیریم. مثلاً از $16<20<25$ نتیجه می‌شود $4<\sqrt{20}<5$. برای تقریب دقیق‌تر، مربع عددهای اعشاریِ این بازه را با $20$ مقایسه می‌کنیم.

این کار کاربرد هندسی هم دارد: اگر مساحت یک مربع را بدانی، با جذرگرفتن از مساحت، طول ضلعش را پیدا می‌کنی.