خلاصه درس فصل ۶ ریاضی هفتم؛ درسنامه و نکات مهم

هر جسمی که در اطراف خود می‌بینی، فضایی اشغال می‌کند؛ حتی یک دانهٔ کوچک برنج. اما همهٔ جسم‌ها شکل هندسیِ مشخصی ندارند. مثلاً یک سنگ ناهموار معمولاً غیرهندسی است، ولی جعبهٔ کفش شکلی هندسی دارد.

حجم‌های هندسی را در سه خانوادهٔ اصلی بررسی می‌کنیم: منشوری، کروی و هرمی. جعبهٔ کفش نمونه‌ای منشوری است، توپ به کره شباهت دارد و هرم، قاعده‌ای دارد که سطح‌های جانبی آن به یک رأس می‌رسند. بعضی جسم‌ها هم ترکیبی‌اند؛ مثلاً می‌توان شکلی ساخت که پایین آن یک جعبه و بالای آن یک هرم باشد. طبیعی یا دست‌ساز بودن جسم، به‌تنهایی هندسی بودن آن را تعیین نمی‌کند.

یک جعبه را در ذهن نگه دار. در منشور، دو سطحِ موازی و هم‌شکل را قاعده می‌نامیم و سطح‌های اطراف، وجه‌های جانبی هستند. قاعده لزوماً سطحی نیست که جسم روی آن قرار گرفته؛ با چرخاندن جعبه، ویژگی‌های هندسی آن عوض نمی‌شود.

در منشورهای چندضلعی، محل رسیدن دو وجه به هم یال و گوشهٔ برخورد وجه‌ها رأس نام دارد. برای شمردن، منظم پیش برو: اول رأس‌ها و یال‌های یک قاعده، بعد قاعدهٔ دیگر و در پایان یال‌های وصل‌کننده را بررسی کن. این روش جلوی دوباره‌شماری را می‌گیرد. استوانه هم در دسته‌بندی این درس حجمی منشوری است؛ دو قاعدهٔ دایره‌ای دارد، ولی سطح جانبی آن خمیده است.

فرض کن یک استوانهٔ خمیری را در خیال برش می‌دهی. شکلی که روی سطحِ برش پیدا می‌شود، مقطع است. اگر برش موازی قاعدهٔ استوانه باشد، مقطع دایره‌ای می‌شود. پس برای شناخت مقطع، فقط نام جسم کافی نیست؛ جهت برش هم مهم است.

دید از بالا با مقطع فرق دارد: در دید از بالا جسم را نمی‌بُریم، فقط از یک جهت نگاهش می‌کنیم. استوانهٔ ایستاده از بالا دایره دیده می‌شود و منشورِ ایستاده با قاعدهٔ شش‌ضلعی، شش‌ضلعی. ممکن است دو جسم متفاوت، از یک جهت هم‌شکل دیده شوند یا مقطع‌هایی هم‌شکل داشته باشند؛ مثلاً کره و استوانه می‌توانند مقطع دایره‌ای داشته باشند.

حالا به فضای اشغال‌شدهٔ جسم توجه کن. برای فهمیدن حجم یک منشور، آن را مانند چند لایهٔ یکسان روی هم تصور کن. مساحت قاعده نشان می‌دهد هر لایه چقدر گسترده است و ارتفاع، فاصلهٔ عمودی میان دو قاعده را مشخص می‌کند.

بنابراین رابطهٔ اصلی چنین است: $V=S\times h$؛ در این رابطه، $V$ حجم، $S$ مساحت قاعده و $h$ ارتفاع است. در مکعب‌مستطیل، مساحت قاعده از ضرب طول در عرض به دست می‌آید، پس حجم برابر حاصل‌ضرب طول، عرض و ارتفاع می‌شود. حواست به واحدها باشد: اگر طول‌ها با $\text{سانتی‌متر}$ باشند، مساحت با $\text{سانتی‌متر مربع}$ و حجم با $\text{سانتی‌متر مکعب}$ بیان می‌شود.

یک جعبه را تصور کن که با مکعب‌های کوچک و هم‌اندازه پُر شده است. برای پیدا کردن حجم، می‌خواهیم بدانیم چند مکعب واحد در آن جا می‌شود؛ نه اینکه سطح بیرونی جعبه چقدر است.

در مکعب مستطیل، ضرب طول در عرض، مساحت کف را می‌دهد. ضرب این مساحت در ارتفاع، حجم را مشخص می‌کند. اگر طول، عرض و ارتفاع را با $a$، $b$ و $c$ نشان دهیم، داریم: $V=a\times b\times c$.

به واحدها دقت کن: وقتی هر سه طول برحسب سانتی‌متر باشند، واحد حجم سانتی‌متر مکعب است. مکعب واحد در این حالت، مکعبی با ضلع $1\,\text{سانتی‌متر}$ است. پس حجم را با واحد طول یا واحد مساحت نمی‌نویسیم.

حالا به‌جای یک کف مستطیلی، کفی مثلثی یا دایره‌ای را تصور کن. اگر جسم در طول ارتفاع، قاعده‌های هم‌شکل و هم‌اندازه داشته باشد، می‌توان آن را مانند لایه‌های یکسانِ روی هم دید. هرچه مساحت قاعده بیشتر باشد، هر لایه فضای بیشتری می‌گیرد؛ هرچه ارتفاع بیشتر باشد، لایه‌های بیشتری داریم.

اگر مساحت قاعده $S$ و ارتفاع $h$ باشد، رابطهٔ حجم چنین است: $V=S\times h$. این روش برای استوانه هم به کار می‌رود.

حتی اگر مساحت یک قاعده را با شمردن مربع‌های شبکه تقریب بزنیم، می‌توانیم حجم را هم تقریبی پیدا کنیم. در این حالت پاسخ دقیق نیست، چون مساحت اولیه تقریبی بوده است. منظور از ارتفاع، فاصلهٔ عمودی دو قاعده است، نه هر پاره‌خطی که روی شکل می‌بینیم.

گاهی مساحت قاعده در سؤال آماده است؛ آن وقت مستقیم سراغ $V=S\times h$ می‌رویم. اما اگر فقط اندازه‌های قاعده را داشته باشیم، باید اول مساحت قاعده را پیدا کنیم.

برای قاعدهٔ مستطیلی، $S=a\times b$ است. برای مثلث، $S=\frac{b\times t}{2}$ است؛ در اینجا $t$ ارتفاع خودِ مثلث است. برای قاعدهٔ دایره‌ای نیز $S=\pi r^2$ است و $r$ شعاع دایره است، نه قطر آن.

دو ارتفاع را قاطی نکن: ارتفاع مثلث برای محاسبهٔ مساحت قاعده به کار می‌رود، ولی ارتفاع منشور فاصلهٔ دو قاعده است و در مرحلهٔ محاسبهٔ حجم استفاده می‌شود. پیش از شروع، اندازه‌های طول را هم‌واحد کن؛ مثلاً همه را برحسب سانتی‌متر بنویس.

برای جسمی که شکل ساده‌ای ندارد، لازم نیست یک رابطهٔ تازه حفظ کنی. آن را به چند جسم آشنا تقسیم کن؛ حجم قسمت‌هایی را که روی هم نمی‌افتند، جداگانه حساب کن و جمع بزن. اگر جسم سوراخ دارد، حجم فضای خالی را از حجم جسم کامل کم کن.

گاهی هم سؤال دربارهٔ گنجایش یا پُرشدن است. برای تبدیل حجم به گنجایش به یاد داشته باش: $1\,\text{متر مکعب}=1000\,\text{لیتر}$. اگر مقدار آب ورودی در هر دقیقه معلوم باشد، با تقسیم حجم آب موردنیاز بر مقدار آب ورودی در هر دقیقه، زمان برحسب دقیقه پیدا می‌شود؛ واحدها باید سازگار باشند.

در مسئلهٔ چیدن جعبه‌ها، تقسیم حجم کارتن بر حجم یک جعبه به‌تنهایی کافی نیست؛ باید بررسی کنی که جعبه‌ها با چه جهتی واقعاً در طول، عرض و ارتفاع کارتن جا می‌گیرند.

یک جعبهٔ منشوری را تصور کن که فقط دیواره‌هایش را رنگ می‌زنیم؛ دو قاعده را فعلاً کنار می‌گذاریم. مجموع مساحت دیواره‌ها، مساحت جانبی است. در منشورهای این درس، هر دیواره یک مستطیل است.

اگر دیواره‌ها را از کنار هم باز کنیم، یک نوار مستطیلی می‌سازند. یک ضلع این نوار برابر ارتفاع منشور و ضلع دیگر برابر مجموع ضلع‌های قاعده، یعنی محیط قاعده است. پس لازم نیست مساحت تک‌تک دیواره‌ها را جدا حساب کنیم:

$S_{\text{جانبی}}=P\times h$

در این رابطه، $P$ محیط قاعده و $h$ ارتفاع منشور است. حواست باشد اینجا محیط قاعده لازم داریم، نه مساحت آن؛ چون طول نوار را می‌خواهیم.

بدنهٔ یک استوانه را در امتداد ارتفاع ببُر و در ذهن باز کن. شکل بازشده مستطیل است: یک ضلعش ارتفاع استوانه و ضلع دیگرش محیط دایرهٔ قاعده است. برای شعاع $r$ و ارتفاع $h$ داریم:

$S_{\text{جانبی}}=2\pi rh$

اما این مستطیل، در و کف قوطی را ندارد! گستردهٔ یک استوانهٔ بسته از همین مستطیل و دو دایرهٔ هم‌اندازه تشکیل می‌شود. مساحت هر دایره $\pi r^2$ است، پس:

$S_{\text{کل}}=2\pi rh+2\pi r^2$

برای منشور هم همین فکر را به کار می‌بریم: مساحت کل برابر مساحت جانبی به‌اضافهٔ مساحت دو قاعده است. در گسترده، لبهٔ هر قاعده باید دقیقاً با لبه‌های مربوط به آن روی بدنه جور شود.

قبل از انتخاب فرمول، بپرس: «دقیقاً کدام قسمت‌ها باید پوشانده شوند؟» برای رنگ‌کردن دیواره‌های یک ستون، فقط مساحت جانبی لازم است. برای کادوکردن یک جعبهٔ بسته، همهٔ وجه‌ها را حساب می‌کنیم. اما برای رنگ‌کردن بدنه و سقف یک مخزن، کف را کنار می‌گذاریم و فقط یک قاعده را به مساحت جانبی اضافه می‌کنیم.

مساحت پوشش را با واحدهای مربعی، مثل $\text{cm}^2$ یا $\text{m}^2$، می‌نویسیم. اگر هزینهٔ پوشاندن هر واحد سطح داده شده باشد، مساحت لازم را در آن هزینه ضرب می‌کنیم.

«حداقل کاغذ» یعنی فقط به‌اندازهٔ سطح جعبه؛ در عمل ممکن است برای هم‌پوشانی لبه‌ها یا دورریز، کاغذ بیشتری مصرف شود.

یک کاغذ مستطیلی را می‌توان از دو جهت لوله کرد. در هر حالت، یک ضلعِ کاغذ ارتفاع استوانه می‌شود و ضلع دیگر دور قاعده می‌پیچد. پس پیش از هر محاسبه باید مشخص کنیم کدام ضلع ارتفاع و کدام ضلع محیط قاعده است.

اگر ضلعِ دورپیچ را $L$ بنامیم، داریم:

$2\pi r=L\quad\Rightarrow\quad r=\frac{L}{2\pi}$

با عوض‌کردن جهت لوله‌کردن، مقدار مقوای بدنه تغییر نمی‌کند؛ بنابراین مساحت جانبی ثابت می‌ماند. اما شعاع و ارتفاع عوض می‌شوند و حجم ممکن است متفاوت شود:

$V=\pi r^2h$

این نکته برای بسته‌بندی مهم است: مقدار برابر ورقِ بدنه، لزوماً گنجایش برابر نمی‌سازد. البته برای مقایسهٔ ورقِ یک قوطی بسته، در و کف را هم باید حساب کرد.

این بار به‌جای لوله‌کردن کاغذ، یک مستطیل را مانند پرچمی کوچک به مداد بچسبان و مداد را دور خودش بچرخان. اگر محور چرخش روی یکی از ضلع‌ها باشد، مستطیل هنگام حرکت فضای یک استوانه را می‌پیماید.

طول ضلعِ روی محور، ارتفاع استوانه است. طول ضلعِ عمود بر محور هم شعاع قاعده است، چون فاصلهٔ محور تا دورترین لبه را نشان می‌دهد. بعد از شناخت این دو اندازه، می‌توان حجم را با $V=\pi r^2h$ پیدا کرد.

این کار با لوله‌کردن فرق دارد: هنگام لوله‌کردن، یک ضلع به محیط دایره تبدیل می‌شود؛ هنگام دوران حول ضلع، ضلعِ عمود بر محور شعاع است. با عوض‌کردن محور، جای شعاع و ارتفاع عوض می‌شود و حجم ممکن است تغییر کند.

برای مرور فصل، اول واژه‌ها را با یک تصویر ذهنی به یاد بیاور. حجم هندسی یک شکل سه‌بعدی است؛ مثل مکعب یا مخروط. حجمِ یک جسم مقدار فضایی است که آن جسم اشغال می‌کند؛ این دو کاربرد واژهٔ «حجم» را اشتباه نگیر.

منشور دو قاعدهٔ هم‌شکل و موازی دارد. در منشورهای این فصل، وجه‌های جانبی مستطیل‌اند. مکعب و مکعب‌مستطیل هم منشورند. در مقابل، مخروط از قاعده به سوی یک رأس باریک می‌شود. استوانه هم دو قاعدهٔ دایره‌ای دارد، اما سطح کناری آن خمیده است.

روی یک جعبهٔ مقوایی، هر سطح صاف یک وجه، محل برخورد دو وجه یک یال و محل رسیدن یال‌ها یک رأس است. گسترده هم شکلِ بازشدهٔ سطح جسم روی صفحه است؛ مثل جعبه‌ای که لبه‌هایش را باز کرده‌ای.

یک منشور را مانند دسته‌ای از لایه‌های هم‌اندازه تصور کن. اگر آن را موازی قاعده برش بزنی، مقطع حاصل با قاعده هم‌شکل و هم‌اندازه است. این تصویر کمک می‌کند رابطهٔ حجم را به خاطر بسپاری: مساحت هر لایه در ارتفاع جسم ضرب می‌شود.

اگر مساحت قاعده را با $B$ و ارتفاع را با $h$ نشان دهیم، داریم: $V=Bh$. ارتفاع، فاصلهٔ عمودی بین دو قاعده است؛ نه هر ضلعی که در شکل می‌بینی.

برای مکعب‌مستطیل با طول و عرض $a$ و $b$، مساحت قاعده $B=ab$ است. برای استوانه با شعاع $r$ نیز $B=\pi r^2$ و در نتیجه $V=\pi r^2h$ است. حجم با واحد مکعبی، مانند $\mathrm{cm^3}$، بیان می‌شود؛ چون فضای سه‌بعدی را اندازه می‌گیریم.

برای پیدا کردن مقدار مقوای یک جعبه، به سطح نیاز داریم، نه حجم. مساحت جانبی، مجموع مساحت سطح‌های دور جسم است و قاعده‌ها را شامل نمی‌شود. اگر محیط قاعده $P$ و ارتفاع $h$ باشد، برای منشور راست داریم: $S_{\text{جانبی}}=Ph$. برای استوانه نیز این رابطه به صورت $S_{\text{جانبی}}=2\pi rh$ نوشته می‌شود.

برای جسم بسته، دو قاعده را هم اضافه کن: $S_{\text{کل}}=S_{\text{جانبی}}+2B$. واحد مساحت، مربعی است؛ مانند $\mathrm{cm^2}$.

گسترده کمک می‌کند سطحی را جا نیندازی. ضلع‌های مشترک وجه‌های جعبه باید هم‌اندازه باشند. همچنین از حرکت سطح می‌توان جسم ساخت: دوران یک مستطیل حول یکی از ضلع‌هایش، استوانه می‌سازد. یادت باشد یکسان بودن مساحت ورقِ سازندهٔ سطح جانبی، لزوماً به معنی یکسان بودن حجم نیست.

حالا قبل از انتخاب رابطه، از خودت بپرس: چه چیزی را می‌خواهم اندازه بگیرم؟ برای فضای اشغال‌شده یا گنجایش، سراغ حجم می‌رویم؛ برای مقدار ورق و مقوا، سراغ مساحت سطح.

در شکل‌های ترکیبی، لازم نیست یک رابطهٔ تازه حفظ کنی. جسم را به چند منشور ساده و بدون هم‌پوشانی تقسیم کن، حجم هر قسمت را جدا به دست بیاور و سپس حجم‌ها را جمع کن. گاهی هم راحت‌تر است حجم یک جسم بزرگ‌تر را حساب کنی و حجم قسمت خالی را از آن کم کنی.

اما برای مساحت سطح مراقب باش: سطح‌هایی که دو قطعه از آنجا به هم چسبیده‌اند، داخل جسم قرار می‌گیرند. پس برای پوشاندن بیرون جسم، نباید آن‌ها را حساب کنی. پیش از محاسبه، قسمت‌های بیرونی را روی شکل مشخص کن.