خلاصه درس فصل ۴ علوم نهم؛ درسنامه و نکات مهم

حرکت، حتی وقتی نمی‌بینیم

به مدادی که روی میزت گذاشته‌ای نگاه کن. ظاهراً هیچ حرکتی ندارد؛ اما آیا همین نگاه کردن کافی است تا بگوییم هیچ حرکتی در آن رخ نمی‌دهد؟

اتم‌های سازندهٔ مداد در جای خود نوسان می‌کنند؛ یعنی حرکت‌های ریزِ رفت‌وبرگشتی دارند. ما این حرکت‌ها را با چشم نمی‌بینیم. پس ثابت ماندن مداد روی میز، به معنی بی‌حرکت بودن اتم‌های آن نیست.

از طرف دیگر، مداد و میز و خود تو همراه زمین حرکت می‌کنید! زمین هم به دور خودش می‌چرخد و هم به دور خورشید می‌گردد، هرچند هنگام نشستن در اتاق این حرکت‌ها را احساس نمی‌کنی.

نکتهٔ اصلی: ساکن به نظر رسیدن یک جسم، دلیل نمی‌شود که هیچ حرکتی درون آن یا همراه آن رخ ندهد. برای شناخت حرکت، همیشه نمی‌توانیم فقط به چیزی که با چشم می‌بینیم تکیه کنیم.

مسافت؛ تمام راه طی‌شده

فرض کن برای رفتن از خانه به نانوایی، اول یک کوچه را طی می‌کنی و بعد وارد خیابان می‌شوی. برای اینکه بدانی چقدر راه رفته‌ای، باید طول همهٔ بخش‌های مسیرت را با هم جمع کنی؛ نه اینکه فقط طول یکی از آن‌ها را حساب کنی.

به طول کل راهی که پیموده‌ای، مسافت می‌گوییم و آن را با نماد $l$ نشان می‌دهیم. مثلاً اگر طول کوچه $80\,\mathrm{m}$ و بخشی از خیابان که طی کرده‌ای $120\,\mathrm{m}$ باشد، مسافت تو می‌شود:

$l = 80 + 120 = 200\,\mathrm{m}$

اگر بخشی از راه را برگردی و دوباره طی کنی، آن بخش هم به مسافت اضافه می‌شود. پس برای حساب‌کردن مسافت، انگار قدم‌به‌قدم همراه حرکت پیش می‌رویم و هیچ بخش طی‌شده‌ای را جا نمی‌اندازیم.

جابه‌جایی؛ از شروع تا پایان

فرض کن از خانه به کتابخانه می‌روی و در راه، از چند کوچه می‌گذری. برای نشان دادن جابه‌جایی لازم نیست همهٔ پیچ‌وخم‌های مسیر را رسم کنی؛ فقط جای شروع و پایان حرکت مهم است.

روی نقشه، پاره‌خطی از خانه به کتابخانه بکش و نوک پیکان را سمت کتابخانه بگذار. این پاره‌خط جهت‌دار، بردار جابه‌جایی توست و آن را با $\vec{d}$ نشان می‌دهیم. دقت کن: جهت پیکان از شروع به پایان است، نه برعکس!

اندازهٔ جابه‌جایی یعنی طول همین پاره‌خط مستقیم؛ آن را با $d$ نشان می‌دهیم. مثلاً اگر کتابخانه در فاصلهٔ مستقیم $200\,\mathrm{m}$ در شرق خانه باشد، اندازهٔ جابه‌جایی تو $200\,\mathrm{m}$ و جهت آن به شرق است؛ حتی اگر مسیر کوچه‌ها پرپیچ‌وخم باشد.

پس برای مشخص کردن بردار جابه‌جایی، از خودت بپرس: «از کجا شروع کردم و کجا تمام کردم؟»

چه وقت برابر می‌شوند؟

فرض کن در راهرویی مستقیم از درِ کلاس تا آب‌خوری می‌روی. اگر تمام راه را مستقیم و بدون برگشت طی کنی، طول مسیرت همان فاصلهٔ مستقیمِ شروع تا پایان است؛ پس مسافت و اندازهٔ جابه‌جایی برابرند: $l=d$.

حالا اگر وسط راه چند قدم برگردی تا مدادت را برداری و بعد به آب‌خوری بروی، راه بیشتری پیموده‌ای؛ اما نقطهٔ شروع و پایان عوض نشده‌اند. بنابراین مسافت بیشتر می‌شود، ولی اندازهٔ جابه‌جایی همان می‌ماند.

چرا مسافت نمی‌تواند از اندازهٔ جابه‌جایی کمتر باشد؟ چون فاصلهٔ مستقیم بین شروع و پایان، کوتاه‌ترین راه بین آن‌هاست. هر پیچ‌وخم یا برگشت، طول مسیر را بیشتر می‌کند. پس همیشه داریم: $l\geq d$.

برای برابر شدن این دو، هر دو شرط لازم است: مسیر روی خط راست باشد و در طول حرکت برگشت نداشته باشی. مستقیم بودن مسیر به‌تنهایی کافی نیست!

کل مسیر، کل زمان

برای مقایسهٔ حرکت دو نفر در مسیر خانه تا مدرسه، فقط دانستن مسافت کافی نیست؛ باید بدانیم هر نفر این مسیر را در چه مدت طی کرده است. تندی متوسط این دو اطلاعات را به هم ربط می‌دهد:

$\text{تندی متوسط}=\frac{\text{مسافت پیموده‌شده}}{\text{زمان صرف‌شده}}$

یعنی مسافت کل مسیر را بر زمان کل سفر تقسیم می‌کنیم. اگر مسافت را برحسب $\mathrm{m}$ و زمان را برحسب $\mathrm{s}$ بنویسیم، یکای پاسخ $\mathrm{m/s}$ می‌شود.

فرض کن در راه مدرسه کنار نانوایی می‌ایستی. هنگام توقف، مسافتی به مسیرت اضافه نمی‌شود، اما زمان می‌گذرد! پس برای حساب کردن تندی متوسطِ سفر از خانه تا مدرسه، باید زمان این توقف را هم حساب کنی، نه فقط زمانی را که راه رفته‌ای.

نکتهٔ کلیدی: مسافت و زمان باید مربوط به یک سفر، از همان لحظهٔ شروع تا همان لحظهٔ پایان باشند.

این عدد چه می‌گوید؟

فرض کن تندی متوسط یک دوچرخه‌سوار $14\,\mathrm{m/s}$ باشد. این عدد یعنی او به‌طور متوسط در هر ثانیه $14\,\mathrm{m}$ از مسیر را پیموده است؛ نه اینکه حتماً در تک‌تک ثانیه‌ها همین مسافت را طی کرده باشد.

دوچرخه‌سوار ممکن است جایی آرام‌تر و جایی تندتر رکاب زده باشد، یا حتی برای مدتی توقف کرده باشد. تندی متوسط، خلاصه‌ای از حرکت او در کل زمان سفر است و جزئیات هر لحظه را نشان نمی‌دهد.

مثل وقتی که می‌گویی «به‌طور متوسط هر روز چند صفحه کتاب می‌خوانم»؛ ممکن است یک روز بیشتر و روز دیگر کمتر بخوانی. پس هنگام توضیح معنای تندی متوسط، عبارت «به‌طور متوسط» را فراموش نکن!

یک تندی، دو یکا

ممکن است تندی یک خودرو را با یکای $\mathrm{km/h}$ ببینی، اما تندی یک دونده را با یکای $\mathrm{m/s}$ بیان کنند. برای مقایسهٔ آن‌ها، اول باید هر دو را با یک یکا بنویسیم؛ تغییر یکا، تندی واقعی را تغییر نمی‌دهد!

برای محاسبه هم به یکاها دقت کن: اگر پاسخ را برحسب $\mathrm{m/s}$ می‌خواهی، مسافت را به متر و زمان را به ثانیه تبدیل کن، سپس تقسیم را انجام بده. مثلاً نباید مسافت برحسب متر را بر زمان برحسب دقیقه تقسیم کنی و پاسخ را متر بر ثانیه بنامی.

چرا ضریب تبدیل $3.6$ است؟ چون هر کیلومتر $1000\,\mathrm{m}$ و هر ساعت $3600\,\mathrm{s}$ است:

$1\,\mathrm{km/h}=\frac{1000\,\mathrm{m}}{3600\,\mathrm{s}}=\frac{1}{3.6}\,\mathrm{m/s}$

پس راه تبدیل این است:

• از $\mathrm{km/h}$ به $\mathrm{m/s}$: تقسیم بر $3.6$.
• از $\mathrm{m/s}$ به $\mathrm{km/h}$: ضرب در $3.6$.

یادت بماند: برای یک تندی مشخص، عددِ بیان‌شده با یکای متر بر ثانیه، کوچک‌تر از عددِ کیلومتر بر ساعت است.

از آزمایش تا رابطه

یک بادکنک را تصور کن که به نی چسبیده و نی روی نخی کشیده‌شده حرکت می‌کند. وقتی دهانهٔ بادکنک را رها می‌کنیم، بادکنک راه می‌افتد. چطور می‌توانیم حرکتش را با یک کمیت توصیف کنیم؟

دو اندازه‌گیری لازم داریم: بردار جابه‌جایی بادکنک از محل شروع تا محل پایان و مدت زمان حرکت. با متر، فاصلهٔ مستقیم شروع و پایان را اندازه می‌گیریم و جهت جابه‌جایی را مشخص می‌کنیم؛ با زمان‌سنج هم مدت حرکت را می‌سنجیم.

حالا از این رابطه استفاده می‌کنیم:

$\text{سرعت متوسط}=\frac{\text{بردار جابه‌جایی}}{\text{مدت زمان}}$

یعنی جابه‌جایی را بر زمانِ همان حرکت تقسیم می‌کنیم. واژهٔ «متوسط» یادآوری می‌کند که کل بازهٔ حرکت را بررسی می‌کنیم؛ لازم نیست بادکنک در تمام لحظه‌ها یکسان حرکت کرده باشد. برای اطمینان بیشتر به اندازه‌گیری‌ها، آزمایش را چند بار تکرار می‌کنیم.

جهت را فراموش نکن

فرض کن دو دوچرخه‌سوار با سرعت متوسطی به اندازهٔ $4\ \mathrm{m/s}$ حرکت کرده‌اند؛ یکی به‌طرف شرق و دیگری به‌طرف غرب. آیا سرعت متوسط آن‌ها یکسان است؟ نه! اندازه‌ها برابرند، اما جهت‌ها فرق دارند.

سرعت متوسط یک کمیت برداری است؛ یعنی برای مشخص‌کردنش، هم اندازه لازم داریم و هم جهت. پس گفتنِ «سرعت متوسط برابر $4\ \mathrm{m/s}$ است» کافی نیست؛ باید جهت را هم بگوییم، مثلاً «به‌طرف شرق».

برای پیدا کردن جهت، کافی است نقطهٔ شروع را به نقطهٔ پایان با یک پیکان وصل کنی. جهت این پیکان، همان جهت سرعت متوسط است، حتی اگر مسیر حرکت پیچ‌وخم داشته باشد. مثلاً اگر از خانه تا کتابخانه از چند کوچه بگذری، اما کتابخانه درست در شمال خانه باشد، جهت سرعت متوسطت به‌طرف شمال است؛ نه لزوماً جهت آخرین کوچه‌ای که از آن گذشته‌ای.

یکاها و تبدیل آن‌ها

وقتی جابه‌جایی را بر زمان تقسیم می‌کنی، یکای پاسخ هم از تقسیم یکاهای آن‌ها به دست می‌آید. اگر جابه‌جایی برحسب $\mathrm{m}$ و زمان برحسب $\mathrm{s}$ باشد، یکای سرعت متوسط $\mathrm{m/s}$ می‌شود. اگر از $\mathrm{km}$ و $\mathrm{h}$ استفاده کنی، پاسخ برحسب $\mathrm{km/h}$ خواهد بود.

مثلاً ممکن است سرعت متوسط دوچرخه‌سواری را برحسب $\mathrm{m/s}$ حساب کنی، اما بخواهی آن را با مقداری برحسب $\mathrm{km/h}$ مقایسه کنی. اول باید یکاها را یکسان کنی:

این ضریب از آنجا می‌آید که هر ساعت $3600$ ثانیه و هر کیلومتر $1000$ متر است؛ پس ضریب تبدیل برابر $\frac{3600}{1000}=3.6$ می‌شود. برای تبدیل برعکس، بر $3.6$ تقسیم می‌کنیم.

تبدیل یکا، حرکت را عوض نمی‌کند. فقط عدد و یکای بیان آن تغییر می‌کنند؛ جهت سرعت متوسط همان جهت قبلی می‌ماند.

تندی و سرعت؛ دو حساب متفاوت

فرض کن از خانه تا نانوایی می‌روی و به خانه برمی‌گردی. برای تندی متوسط، تمام راهِ رفت‌وبرگشت حساب می‌شود؛ اما برای سرعت متوسط، فقط جابه‌جایی از نقطهٔ شروع تا پایان مهم است:

$\text{تندی متوسط}=\frac{\text{مسافت طی‌شده}}{\text{مدت زمان}}$

$\text{سرعت متوسط}=\frac{\text{بردار جابه‌جایی}}{\text{مدت زمان}}$

چون به خانه برگشته‌ای، جابه‌جایی‌ات صفر است؛ پس سرعت متوسطت هم صفر می‌شود، با اینکه تندی متوسطت صفر نیست. این یعنی «راه رفتن» همیشه به معنی «دور شدن از نقطهٔ شروع» نیست!

حالا اگر از خانه در یک مسیر مستقیم تا نانوایی بروی و جهتت را عوض نکنی، مسافت و اندازهٔ جابه‌جایی برابر می‌شوند. چون زمانِ هر دو محاسبه هم یکی است، تندی متوسط با اندازهٔ سرعت متوسط برابر خواهد بود. البته سرعت متوسط همچنان جهت دارد.

پس پیش از حساب کردن، از خودت بپرس: «کل مسیر را لازم دارم، یا جابه‌جایی از شروع تا پایان را؟»

تندی در همین لحظه

فرض کن در خودرویی نشسته‌ای که پشت چراغ قرمز ایستاده است. تندی خودرو در آن لحظه صفر است. چراغ سبز می‌شود و خودرو راه می‌افتد؛ با بیشترشدن تندی، عدد تندی‌سنج هم بیشتر می‌شود.

تندی لحظه‌ای یعنی جسم همین حالا چقدر تند حرکت می‌کند. برای فهمیدن تندی لحظه‌ای خودرو، کافی است در همان لحظه به تندی‌سنج نگاه کنی. مثلاً اگر تندی‌سنج عدد $40\ \mathrm{km/h}$ را نشان دهد، تندی خودرو در همان لحظه همین مقدار است؛ نه اینکه حتماً از ابتدای مسیر تا حالا با این تندی حرکت کرده باشد.

پس تندی‌سنج گزارش کل سفر را نمی‌دهد؛ وضعیت همان لحظه را نشان می‌دهد. در علوم هم وقتی فقط می‌گوییم «تندی خودرو»، معمولاً منظورمان همین تندی لحظه‌ای است.

وقتی تندی ثابت می‌ماند

فرض کن در یک مسیر، تندی‌سنج خودرو تمام مدت عدد $60\ \mathrm{km/h}$ را نشان بدهد. چون تندی تغییر نمی‌کند، تندی لحظه‌ای خودرو در هر لحظه با تندی متوسط آن در کل این مسیر برابر است. یعنی برای این حرکت، عددی که تندی‌سنج نشان می‌دهد با تندی متوسط یکی است؛ اما این برابری را نباید به هر سفری نسبت بدهیم، چون خودروها معمولاً کند و تند می‌شوند.

شکل مسیر هم در نام‌گذاری حرکت مهم است:

• اگر خودرو با تندی ثابت روی مسیری مستقیم حرکت کند، حرکتش «یکنواخت روی خط راست» است.
• اگر با تندی ثابت روی مسیری دایره‌ای، مثل دور یک میدان، حرکت کند، حرکتش «دایره‌ای یکنواخت» است.

پس برای تشخیص این دو نوع حرکت، دو چیز را بررسی کن: آیا تندی ثابت مانده است؟ مسیر مستقیم است یا دایره‌ای؟

سرعت؛ تندی همراه با جهت

در گفت‌وگوی روزمره شاید «تندی» و «سرعت» را به یک معنا به کار ببریم، اما در علوم تفاوت دارند: تندی می‌گوید جسم چقدر تند حرکت می‌کند؛ سرعت علاوه بر تندی، جهت حرکت را هم مشخص می‌کند.

مثلاً «دوچرخه با تندی $5\ \mathrm{m/s}$ حرکت می‌کند» فقط تندی را بیان می‌کند. اگر بگوییم «دوچرخه با تندی $5\ \mathrm{m/s}$ به‌طرف شمال حرکت می‌کند»، سرعت آن را مشخص کرده‌ایم.

حالا به دو خودروی دوراهی فکر کن: حتی اگر عدد تندی‌سنج آن‌ها برابر باشد، وقتی یکی رو به شمال و دیگری رو به شرق می‌رود، سرعت یکسانی ندارند؛ چون جهت حرکتشان متفاوت است.

این تفاوت کاربرد مهمی دارد: دو قایق در هوای مه‌آلود، برای بررسی احتمال برخورد، تنها با دانستن تندی یکدیگر اطلاعات کافی ندارند؛ باید بدانند هر قایق به کدام سمت می‌رود.

شتاب فقط تندتر شدن نیست

وقتی می‌شنوی «دوچرخه شتاب دارد»، شاید فقط به تندتر شدن آن فکر کنی؛ اما در علوم، شتاب داشتن یعنی سرعت در حال تغییر باشد. این تغییر می‌تواند تندتر شدن، کندتر شدن یا عوض شدن جهت حرکت باشد.

مثلاً وقتی رکاب می‌زنی و تندتر می‌روی، حرکتت شتاب دارد. وقتی ترمز می‌گیری و کندتر می‌شوی هم حرکتت شتاب دارد؛ چون سرعتت تغییر می‌کند.

حالا به دور زدن دور یک میدان فکر کن. حتی اگر عدد سرعت‌سنج دوچرخه ثابت بماند، جهت حرکتت پیوسته عوض می‌شود. سرعت علاوه بر اندازه، جهت هم دارد؛ پس در این حالت هم سرعت تغییر می‌کند و حرکت شتاب دارد.

بنابراین برای تشخیص شتاب، فقط نپرس «تندتر شد؟»؛ بپرس «اندازه یا جهت سرعت تغییر کرد؟»

تغییر سرعت در چه مدتی؟

دو دوچرخه‌سوار را تصور کن که در مسیری مستقیم، سرعتشان به یک اندازه زیاد می‌شود؛ اما یکی زودتر به سرعت تازه می‌رسد. کدام‌یک شتاب متوسط بیشتری دارد؟ آن‌که همین تغییر سرعت را در زمان کوتاه‌تری انجام داده است.

پس فقط مقدار تغییر سرعت مهم نیست؛ مدت زمان این تغییر هم مهم است:

در حرکت مستقیم و بدون تغییر جهت، تغییر سرعت را از کم‌کردن سرعت اولیه از سرعت نهایی به دست می‌آوریم، نه از جمع آن‌ها.

اگر سرعت را بر حسب $\mathrm{m/s}$ و زمان را بر حسب $\mathrm{s}$ بنویسیم، یکای شتاب متر بر مربع ثانیه، یعنی $\mathrm{m/s^2}$، می‌شود. برای آماده‌کردن داده‌ها، سرعتِ داده‌شده بر حسب $\mathrm{km/h}$ را بر $3.6$ تقسیم کن تا به $\mathrm{m/s}$ تبدیل شود؛ زمانِ بر حسب دقیقه را هم به ثانیه تبدیل کن.

یادت باشد: شتاب متوسط، تغییر سرعت در کل بازه را به مدت آن بازه ربط می‌دهد؛ نه فقط سرعت نهایی را.

جهت شتاب را فراموش نکن

فرض کن دو خودرو در یک خیابان مستقیم، یکی رو به شرق و دیگری رو به غرب، تندتر می‌شوند. حتی اگر اندازهٔ شتابشان برابر باشد، شتاب آن‌ها یکسان نیست؛ چون جهت شتابشان متفاوت است.

شتاب متوسط، مانند سرعت، کمیتی برداری است؛ پس برای بیان کامل آن، هم اندازه و هم جهت لازم است. نوشتنِ «شتاب متوسط برابر $3\ \mathrm{m/s^2}$ است» به‌تنهایی کافی نیست؛ باید جهت را هم اضافه کنیم، مثلاً «به‌طرف شرق».

در حرکت مستقیمِ تندشونده، جهت شتاب با جهت حرکت یکی است. مثلاً وقتی دوچرخه‌ات رو به شمال حرکت می‌کند و تندتر می‌شود، شتابش هم رو به شمال است؛ چون تغییر سرعت در همین جهت رخ داده است.

حواست باشد: هم‌جهت بودن شتاب و حرکت را اینجا برای حرکت مستقیمِ تندشونده گفتیم؛ نباید آن را به همهٔ حرکت‌ها تعمیم بدهیم.

زمان را پیدا کن

گاهی می‌دانیم سرعت یک وسیله چقدر تغییر کرده و شتاب متوسطش چقدر بوده است، اما می‌خواهیم بدانیم این تغییر چقدر طول کشیده است. برای پیدا کردن زمان، رابطهٔ شتاب متوسط را بازنویسی می‌کنیم:

$\text{مدت زمان تغییر سرعت}=\frac{\text{تغییر سرعت}}{\text{شتاب متوسط}}$

مثلاً هواپیمایی از سکون روی عرشه شروع به حرکت می‌کند. سرعتش به $62\ \mathrm{m/s}$ به‌طرف شرق می‌رسد و شتاب متوسطش $31\ \mathrm{m/s^2}$ به‌طرف شرق است. چون از سکون شروع کرده، تغییر سرعتش همان $62\ \mathrm{m/s}$ است؛ پس:

$\text{زمان}=\frac{62}{31}=2\ \mathrm{s}$

برای استفاده از این رابطه، سرعت‌ها را بر حسب $\mathrm{m/s}$ و شتاب را بر حسب $\mathrm{m/s^2}$ بنویس تا زمان بر حسب $\mathrm{s}$ به دست بیاید. اول تغییر سرعت را پیدا کن، نه فقط سرعت پایانی را؛ این دو تنها وقتی برابرند که حرکت از سکون آغاز شده باشد.