خلاصه درس فصل ۷ منطق دهم؛ درسنامه و نکات مهم

فرض کن همهٔ دانش‌آموزان کلاس کتاب درسی دارند. آیا گفتن اینکه «بعضی از دانش‌آموزان کتاب درسی دارند» درست است؟ بله! در منطق، بعضی یعنی دست‌کم یک مورد؛ نه اینکه بقیه حتماً کتاب ندارند.

با ثابت نگه‌داشتن موضوعِ «دانش‌آموز» و محمولِ «دارای کتاب درسی»، چهار قضیه می‌سازیم و در گوشه‌های مربع تقابل می‌گذاریم:

• بالا راست، موجبهٔ کلیه: هر دانش‌آموزی دارای کتاب درسی است.
• بالا چپ، سالبهٔ کلیه: هیچ دانش‌آموزی دارای کتاب درسی نیست.
• پایین راست، موجبهٔ جزئیه: بعضی از دانش‌آموزان دارای کتاب درسی هستند.
• پایین چپ، سالبهٔ جزئیه: بعضی از دانش‌آموزان دارای کتاب درسی نیستند.

«کلی و جزئی» نشان‌دهندهٔ کمیت هستند؛ یعنی دربارهٔ همه صحبت می‌کنیم یا دست‌کم یک مورد. «موجبه و سالبه» هم کیفیت را نشان می‌دهند؛ یعنی داشتنِ ویژگی را بیان می‌کنیم یا آن را نفی می‌کنیم. مربع تقابل کمک می‌کند رابطهٔ این چهار قضیه را منظم بررسی کنیم.

چگونه نقیض بسازیم؟

فرض کن روی تابلوی کلاس نوشته‌اند: «هر دانش‌آموزی عضو کتابخانه است.» برای ساختن نقیض این قضیه، تنها عوض کردن «است» به «نیست» کافی نیست؛ باید دو ویژگی را با هم تغییر بدهیم:

• کمیت: کلی را جزئی، یا جزئی را کلی کنیم.
• کیفیت: موجبه را سالبه، یا سالبه را موجبه کنیم.

در مثال تابلو، «هر» به «بعضی» و «است» به «نیست» تبدیل می‌شود. پس نقیض آن چنین است: «بعضی از دانش‌آموزان عضو کتابخانه نیستند.» موضوع و محمول را همان نگه می‌داریم؛ همچنان دربارهٔ دانش‌آموزان و عضویت در کتابخانه حرف می‌زنیم.

دو جفت نقیض را این‌طور به خاطر بسپار:

• موجبهٔ کلیه ↔ سالبهٔ جزئیه
• سالبهٔ کلیه ↔ موجبهٔ جزئیه

مثلاً نقیض «هیچ دانش‌آموزی عضو کتابخانه نیست»، می‌شود «بعضی از دانش‌آموزان عضو کتابخانه هستند». هر بار از خودت بپرس: آیا هم کمیت را عوض کردم و هم کیفیت را؟

یکی صادق، دیگری کاذب

دو قضیهٔ متناقض مثل دو پاسخِ مخالف به یک پرسش‌اند: حتماً یکی صادق و دیگری کاذب است. نه می‌توان هر دو را صادق دانست، نه هر دو را کاذب. پس اگر وضعیت یکی را بدانیم، وضعیت دیگری هم قطعی می‌شود.

فرض کن دربارهٔ کتاب‌های یک قفسه می‌گوییم: «همهٔ کتاب‌های این قفسه داستان‌اند.» نقیضش این است: «بعضی از کتاب‌های این قفسه داستان نیستند.» اگر جملهٔ اول صادق باشد، جملهٔ دوم کاذب است. اگر جملهٔ اول کاذب باشد، یعنی دست‌کم یک کتابِ غیرداستانی در قفسه هست؛ پس جملهٔ دوم صادق است.

دقت کن: نادرست بودنِ «همه داستان‌اند» به معنای «هیچ‌کدام داستان نیستند» نیست! برای رد کردن ادعای «همه»، پیدا کردن حتی یک موردِ مخالف کافی است.

اینکه دو نقیض نه با هم صادق می‌شوند و نه با هم کاذب، همان اصلی است که کتاب آن را اصل محال بودن اجتماع و ارتفاع دو نقیض می‌نامد.

چگونه نقیض بسازیم؟

فرض کن نمایندهٔ کلاس می‌گوید: «همهٔ دانش‌آموزان تکلیفشان را انجام داده‌اند.» برای ساختن نقیض این جمله، نباید بگوییم «هیچ دانش‌آموزی تکلیفش را انجام نداده است»؛ این تغییر کافی نیست!

هر قضیه را از دو جهت نگاه می‌کنیم:

• کمیت: دربارهٔ همه حرف می‌زند یا بعضی؟ یعنی کلی است یا جزئی؟
• کیفیت: چیزی را تأیید می‌کند یا نفی؟ یعنی موجبه است یا سالبه؟

برای ساختن نقیض، باید هر دو جهت را تغییر بدهیم. پس نقیض جملهٔ نماینده این است: «بعضی از دانش‌آموزان تکلیفشان را انجام نداده‌اند.» «همه» به «بعضی» و «انجام داده‌اند» به «انجام نداده‌اند» تبدیل شد.

مسیر دیگر هم همین‌طور است: نقیض «هیچ دانش‌آموزی غایب نیست»، می‌شود «بعضی از دانش‌آموزان غایب‌اند». در همهٔ این تغییرها، دربارهٔ همان دانش‌آموزان و همان ویژگی صحبت می‌کنیم؛ فقط کمیت و کیفیت عوض می‌شوند.

دو نقیض، دو وضعیت مخالف

فرض کن مسئول کتابخانه می‌گوید: «همهٔ کتاب‌های امانت‌گرفته‌شده برگشته‌اند». نقیض این جمله چنین است: «بعضی از کتاب‌های امانت‌گرفته‌شده برنگشته‌اند».

اگر جملهٔ اول صادق باشد، هیچ کتابی باقی نمانده که برنگشته باشد؛ پس جملهٔ دوم کاذب است. حالا اگر جملهٔ اول کاذب باشد، یعنی دست‌کم یک کتاب برنگشته است؛ بنابراین جملهٔ دوم صادق می‌شود. «بعضی» در اینجا یعنی دست‌کم یکی.

پس دو نقیض مثل دو پاسخ مخالف‌اند: همیشه یکی صادق و دیگری کاذب است. این نتیجه از هر طرف برقرار است؛ وضعیت هرکدام را بدانیم، وضعیت دیگری روشن می‌شود.

این همان نکته‌ای است که اصل «محال بودن اجتماع و ارتفاع دو نقیض» بیان می‌کند: دو نقیض نه می‌توانند با هم صادق باشند، نه می‌توانند با هم کاذب باشند.

تضاد با تناقض فرق دارد

فرض کن دربارهٔ کتاب‌های یک قفسه دو جمله می‌شنوی: «همهٔ کتاب‌های این قفسه داستانی‌اند» و «هیچ کتابی از این قفسه داستانی نیست». هر دو جمله دربارهٔ تمام کتاب‌های همان قفسه حکم می‌دهند؛ پس هر دو کلی‌اند. اما اولی داستانی‌بودن را تأیید می‌کند و دومی آن را نفی می‌کند؛ یعنی یکی موجبه و دیگری سالبه است. رابطهٔ این دو قضیه تضاد نام دارد.

برای ساختن متضادِ یک قضیهٔ کلی، کمیت را کلی نگه می‌داریم و فقط کیفیت را تغییر می‌دهیم. موضوع و محمول هم باید همان بمانند.

این تفاوت را به خاطر بسپار: نقیضِ «همهٔ کتاب‌های این قفسه داستانی‌اند»، جملهٔ «بعضی از کتاب‌های این قفسه داستانی نیستند» است، نه «هیچ کتابی از این قفسه داستانی نیست». در تناقض، هم کمیت و هم کیفیت عوض می‌شود؛ در تضاد، هر دو قضیه کلی می‌مانند.

کاذب است؛ پس چه؟

فرض کن در یک کلاس، بعضی از دانش‌آموزان عضو کتابخانه‌اند و بعضی عضو نیستند. در این حالت، «همهٔ دانش‌آموزان عضو کتابخانه‌اند» کاذب است؛ اما «هیچ دانش‌آموزی عضو کتابخانه نیست» هم کاذب است! پس دو قضیهٔ متضاد می‌توانند هر دو کاذب باشند.

حالا اگر فقط بدانیم «همهٔ دانش‌آموزان عضو کتابخانه‌اند» نادرست است، چه می‌فهمیم؟ فقط اینکه دست‌کم یک دانش‌آموز عضو نیست. شاید بقیه عضو باشند، شاید هم هیچ‌کس عضو نباشد؛ بنابراین وضعیت قضیهٔ متضاد هنوز مشخص نیست.

در مقابل، اگر «همهٔ دانش‌آموزان عضو کتابخانه‌اند» صادق باشد، «هیچ دانش‌آموزی عضو کتابخانه نیست» حتماً کاذب است. دو متضاد نمی‌توانند هر دو صادق باشند.

تفاوت مهم را به خاطر بسپار: در تناقض، کذب یکی یعنی صدق دیگری؛ اما در تضاد، از کذب یکی نمی‌توان دربارهٔ دیگری حکم قطعی داد.

تداخل؛ تفاوت فقط در کمیت

«همهٔ دانش‌آموزان این کلاس ورزشکارند» و «بعضی از دانش‌آموزان این کلاس ورزشکارند» چه تفاوتی دارند؟ موضوع هر دو، دانش‌آموزان همین کلاس است و محمول هر دو، ورزشکار بودن. هر دو هم موجبه‌اند؛ یعنی ورزشکار بودن را تأیید می‌کنند. فقط کمیت عوض شده است: یکی دربارهٔ همه سخن می‌گوید و دیگری دربارهٔ بعضی. این دو قضیه متداخل‌اند.

تداخل میان دو قضیهٔ سالبه هم برقرار می‌شود. مثلاً «هیچ مدادی در این جامدادی قرمز نیست» و «بعضی از مدادهای این جامدادی قرمز نیستند» متداخل‌اند؛ چون هر دو قرمز بودن را نفی می‌کنند، اما یکی کلی و دیگری جزئی است.

پس برای پیدا کردن متداخل یک قضیه، موضوع، محمول و کیفیت را نگه دار و فقط کمیت را تغییر بده. اگر همراه با کمیت، تأیید را هم به نفی تبدیل کنی، دیگر رابطهٔ تداخل نخواهی داشت.

صدق از کلی به جزئی

فرض کن می‌دانیم «همهٔ دانش‌آموزان این کلاس به‌موقع رسیده‌اند» درست است. پس حتماً «بعضی از دانش‌آموزان این کلاس به‌موقع رسیده‌اند» هم درست است؛ چون وقتی حکم دربارهٔ همه برقرار باشد، دربارهٔ بعضی از همان افراد هم برقرار است.

این نتیجه‌گیری برای قضیه‌های منفی هم معتبر است: اگر «هیچ دانش‌آموزی غایب نیست» صادق باشد، «بعضی از دانش‌آموزان غایب نیستند» نیز صادق است.

اما مسیر برگشت قطعی نیست. اگر فقط بدانیم بعضی از دانش‌آموزان به‌موقع رسیده‌اند، دربارهٔ بقیه خبری نداریم: شاید همه به‌موقع رسیده باشند و شاید تعدادی دیر رسیده باشند. پس قضیهٔ کلی نه حتماً صادق است و نه حتماً کاذب؛ با این اطلاعات، وضعیتش نامعلوم است.

یادت بماند: در دو قضیهٔ متداخل، صدق از کلی به جزئی می‌رود، نه برعکس.

کذب از جزئی به کلی

اگر قضیهٔ جزئی کاذب باشد، قضیهٔ کلیِ متداخل با آن هم کاذب است. چرا؟ چون اگر کلی صادق بود، جزئی هم باید صادق می‌بود؛ پس نمی‌شود جزئی کاذب باشد، ولی کلی صادق بماند.

مثلاً فرض کن جملهٔ «بعضی از چراغ‌های این اتاق روشن‌اند» کاذب باشد؛ یعنی حتی یک چراغ هم روشن نیست. در این صورت، جملهٔ «همهٔ چراغ‌های این اتاق روشن‌اند» هم حتماً کاذب است.

اما مسیر برعکس قطعی نیست. اگر فقط بدانیم «همهٔ چراغ‌های این اتاق روشن‌اند» کاذب است، دو حالت داریم: شاید چند چراغ روشن و چند چراغ خاموش باشند؛ شاید هم همه خاموش باشند. پس هنوز نمی‌دانیم «بعضی از چراغ‌ها روشن‌اند» صادق است یا کاذب.

این قاعده برای دو قضیهٔ سالبهٔ متداخل هم برقرار است: کذبِ «بعضی از چراغ‌ها روشن نیستند»، کذبِ «هیچ چراغی روشن نیست» را نشان می‌دهد.

یادت بماند: در تداخل، کذب از جزئی به کلی می‌رود، نه برعکس.

یک استثنا هم کافی است

فرض کن فروشنده‌ای بگوید: «همهٔ خودکارهای این بسته سالم‌اند.» یکی از خودکارها را امتحان می‌کنی و می‌بینی خراب است. آیا لازم است بقیهٔ خودکارها را هم بررسی کنی تا ادعای او را رد کنی؟ نه؛ ادعای «همه» یعنی هیچ مورد مخالفی وجود ندارد. همین خودکار خراب، مثال نقض ادعای اوست.

حالا اگر فروشنده بگوید: «این یکی را نادیده بگیر؛ باز هم می‌گویم همه سالم‌اند!» دچار مغالطهٔ «استثنای قابل چشم‌پوشی» شده است؛ چون استثنا را دیده، اما هنوز بر کلی بودن ادعایش پافشاری می‌کند.

دقت کن: با پیدا شدن یک خودکار خراب، نمی‌توانیم بگوییم «همهٔ خودکارها خراب‌اند». فقط فهمیده‌ایم ادعای «همه سالم‌اند» نادرست است. برای اصلاح ادعا، فروشنده می‌تواند بگوید: «به‌جز این خودکار، بقیه سالم‌اند»؛ البته سالم بودن بقیه هم باید بررسی شود.

جابه‌جایی با یک پرسش مهم

هر گردویی گرد است؛ اما آیا توپ هم گردو است؟ همین مثال نشان می‌دهد که عوض کردن جای دو بخش یک جمله، لزوماً حقیقت را حفظ نمی‌کند!

در قضیهٔ «هر گردویی گرد است»، موضوع چیزی است که درباره‌اش حکم می‌دهیم: «گردو». محمول ویژگی‌ای است که به آن نسبت می‌دهیم: «گرد». اگر جای موضوع و محمول را عوض کنیم، قضیهٔ «هر چیز گردی گردو است» به دست می‌آید. این کار را عکس کردن قضیه می‌نامیم.

قضیهٔ نخست درست است، ولی قضیهٔ دوم درست نیست؛ چون چیزهای گرد دیگری، مثل توپ، هم وجود دارند. پس باید دو پرسش را جدا کنیم: «آیا موضوع و محمول جابه‌جا شده‌اند؟» و «آیا نتیجه حتماً درست است؟» پاسخ مثبت به پرسش اول، پاسخ مثبت به دومی را تضمین نمی‌کند.

از «هر» به «بعضی»

فرض کن می‌دانیم «هر گنجشکی پرنده است». آیا می‌توانیم بگوییم «هر پرنده‌ای گنجشک است»؟ نه؛ کبوتر هم پرنده است، اما گنجشک نیست!

قضیهٔ نخست موجبهٔ کلیه است: دربارهٔ همهٔ اعضای موضوع، حکمی مثبت می‌دهد. برای به دست آوردن عکس مستویِ آن، دو کار می‌کنیم:

• جای موضوع و محمول را عوض می‌کنیم.
• «هر» را به «بعضی» تغییر می‌دهیم.

پس از «هر گنجشکی پرنده است» نتیجه می‌گیریم: «بعضی پرندگان گنجشک‌اند.» گنجشک‌ها همان نمونه‌هایی هستند که این نتیجه را درست می‌کنند؛ اما دربارهٔ همهٔ پرندگان چنین حکمی نداریم.

الگوی قاعده این است: «هر الف ب است» ← «بعضی ب الف است».

در گفت‌وگوهای روزمره هم مراقب باش: اگر همهٔ اعضای یک تیم ورزشکار باشند، نمی‌توان گفت همهٔ ورزشکاران عضو آن تیم‌اند. عکس مستوی فقط می‌گوید بعضی ورزشکاران عضو آن تیم‌اند.

دو قاعده با کمترین تغییر

در دو نوع قضیه، برای ساختن عکس مستوی کافی است جای موضوع و محمول را عوض کنیم؛ مقدار و مثبت یا منفی بودن حکم تغییر نمی‌کند.

موجبهٔ جزئیه: «بعضی دانش‌آموزان ورزشکارند.» عکس مستوی آن می‌شود: «بعضی ورزشکاران دانش‌آموزند.» چرا؟ همان افرادی که هم دانش‌آموزند و هم ورزشکار، در هر دو جمله نمونهٔ درست‌اند. پس «بعضی» و مثبت بودن حکم حفظ می‌شود.

سالبهٔ کلیه: «هیچ ماهی‌ای پرنده نیست.» عکس مستوی آن می‌شود: «هیچ پرنده‌ای ماهی نیست.» وقتی دو گروه هیچ عضو مشترکی ندارند، فرقی نمی‌کند از کدام طرف این جدایی را بیان کنیم. پس «هیچ» و منفی بودن حکم حفظ می‌شود.

برای به‌خاطر سپردن این دو قاعده، به اشتراک بعضی اعضا در مثال اول و جدایی کامل دو گروه در مثال دوم فکر کن؛ جابه‌جایی گروه‌ها هیچ‌کدام از این رابطه‌ها را تغییر نمی‌دهد.

وقتی تضمینی نداریم

قضیهٔ سالبهٔ جزئیه می‌گوید بعضی اعضای یک گروه، عضو گروه دیگر نیستند. آیا با جابه‌جا کردن دو گروه، باز هم حتماً به حرف درستی می‌رسیم؟

این مثال را ببین: «بعضی میوه‌ها سیب نیستند» درست است؛ مثلاً پرتقال میوه است، اما سیب نیست. حالا جابه‌جا کنیم: «بعضی سیب‌ها میوه نیستند». این یکی نادرست است، چون همهٔ سیب‌ها میوه‌اند.

اما جابه‌جایی همیشه هم نتیجهٔ نادرست نمی‌دهد. «بعضی دانش‌آموزان ورزشکار نیستند» و «بعضی ورزشکاران دانش‌آموز نیستند» می‌توانند هر دو درست باشند؛ مثلاً ورزشکاری را در نظر بگیر که تحصیلش تمام شده است.

پس وقتی می‌گوییم سالبهٔ جزئیه عکس لازم‌الصدق ندارد، منظورمان این نیست که عکسش همیشه نادرست است؛ منظور این است که درست بودن قضیهٔ اصلی، درست بودن عکس را تضمین نمی‌کند. برای داوری دربارهٔ جملهٔ جابه‌جاشده، به اطلاعات بیشتری نیاز داریم.

دامِ ایهام انعکاس

فرض کن در تبلیغ یک کفش بشنوی: «بعضی ورزشکاران موفق این کفش را می‌پوشند؛ پس هرکس این کفش را بپوشد، ورزشکار موفقی است!» آیا نتیجه از گفتهٔ اول به دست می‌آید؟

نه! گفتهٔ اول فقط دربارهٔ بعضی ورزشکاران موفق است. عکس مستویِ آن هم باید جزئی باشد: «بعضی از پوشندگان این کفش، ورزشکار موفق‌اند.» نمی‌توان این حکم را به همهٔ پوشندگان کفش گسترش داد.

وقتی جای موضوع و محمول را عوض کنیم، اما قواعد عکس مستوی را رعایت نکنیم و نتیجه را معتبر بدانیم، گرفتار مغالطهٔ ایهام انعکاس شده‌ایم؛ یعنی جابه‌جایی، ظاهری درست دارد، ولی نتیجه تضمین‌شده نیست.

برای پیدا کردن این دام، فقط به جابه‌جایی واژه‌ها نگاه نکن؛ بپرس: «آیا مقدار حکم هم طبق قاعده تغییر کرده است؟ آیا اصلاً این نوع قضیه عکس لازم‌الصدق دارد؟»

جابه‌جایی، اما با قاعده

از «همهٔ گربه‌ها حیوان‌اند» می‌توان نتیجه گرفت «همهٔ حیوان‌ها گربه‌اند»؟ نه؛ سگ هم حیوان است! پس جابه‌جایی موضوع و محمول همیشه حقیقت را حفظ نمی‌کند.

در عکس مستوی، جای موضوع و محمول عوض می‌شود، اما باید قاعده را هم رعایت کنیم:

• موجبهٔ کلیه به موجبهٔ جزئیه تبدیل می‌شود: از «همهٔ گربه‌ها حیوان‌اند» به «بعضی حیوان‌ها گربه‌اند» می‌رسیم، نه «همهٔ حیوان‌ها گربه‌اند».
• سالبهٔ جزئیه عکسِ لازم‌الصدق ندارد: از «بعضی حیوان‌ها گربه نیستند» نمی‌توان نتیجه گرفت «بعضی گربه‌ها حیوان نیستند». جملهٔ نخست درست است، ولی دومی نادرست است.

«لازم‌الصدق ندارد» یعنی درست بودن قضیهٔ نخست، درست بودن جملهٔ جابه‌جاشده را تضمین نمی‌کند؛ نه اینکه جملهٔ جابه‌جاشده همیشه نادرست باشد.

اگر بدون رعایت این قواعد، جملهٔ جابه‌جاشده را نتیجهٔ قطعیِ جملهٔ نخست بدانیم، گرفتار مغالطهٔ ایهام انعکاس شده‌ایم.

دام تبلیغاتیِ «بعضی» و «همه»

تصور کن در تبلیغ یک قهوه‌ساز، چند فرد موفق را هنگام استفاده از آن نشان می‌دهند. پیام پنهان تبلیغ این است: «تو هم این قهوه‌ساز را داشته باش تا موفق باشی!» اما آیا تصویری از چند فرد موفق، چنین نتیجه‌ای را ثابت می‌کند؟

ادعای آغازین این است: بعضی افراد موفق، دارندهٔ این قهوه‌سازند. با جابه‌جایی درست موضوع و محمول، فقط می‌توان گفت: بعضی دارندگان این قهوه‌ساز، موفق‌اند. این همان عکسِ موجبهٔ جزئیه است؛ هنوز دربارهٔ «بعضی» حرف می‌زنیم، نه «همه».

تبلیغ ما را به نتیجه‌ای بزرگ‌تر می‌کشاند: «همهٔ دارندگان این قهوه‌ساز موفق‌اند.» این نتیجه از ادعای نخست به دست نمی‌آید؛ ممکن است دارندگان دیگری موفق نباشند. این جابه‌جاییِ نادرست، نمونه‌ای از مغالطهٔ ایهام انعکاس است.

پس هنگام دیدن تبلیغ از خودت بپرس: آیا فقط چند نمونه دیده‌ام، یا واقعاً دربارهٔ همهٔ دارندگان آن کالا دلیل دارم؟

بخش اختیاری: معمای دروغگو

فرض کن دوستی فقط این جمله را بگوید: «این سخن من دروغ است». منظورش از «این سخن»، همین جمله‌ای است که دارد می‌گوید. آیا می‌توانی آن را راست یا دروغ بدانی؟

بیایید هر دو راه را امتحان کنیم:

• اگر جمله راست باشد، باید حرفش را بپذیریم؛ اما حرفش این است که خودش دروغ است! پس از راست بودن به دروغ بودن می‌رسیم.
• اگر جمله دروغ باشد، ادعای «این سخن من دروغ است» درست نیست؛ پس همان سخن باید راست باشد! این بار از دروغ بودن به راست بودن می‌رسیم.

این رفت‌وبرگشت را پارادوکس دروغگو می‌نامند؛ منطق‌دانان مسلمان آن را «شبههٔ جذر اصم» نامیده‌اند. نکته این نیست که گوینده گاهی راست و گاهی دروغ می‌گوید؛ دربارهٔ همان یک جمله، هر فرض ما را به حالت مقابل می‌رساند. این معما با یک دروغ معمولی فرق دارد: جمله دربارهٔ دروغ بودنِ خودش داوری می‌کند.