خلاصه درس فصل ۳ فیزیک دهم ریاضی؛ درسنامه و نکات مهم

انرژیِ حرکت

توپی را تصور کن که روی زمین قل می‌خورد. این توپ به دلیل حرکتش انرژی دارد؛ به این انرژی، انرژی جنبشی می‌گوییم. خودروی در حال حرکت، پرندۀ در حال پرواز و حتی قطرۀ بارانِ در حال افتادن هم انرژی جنبشی دارند.

حالا همان توپ را در نظر بگیر که آرام‌آرام کند می‌شود و سرانجام روی زمین می‌ایستد. وقتی توپ ساکن است، دیگر انرژیِ وابسته به حرکت ندارد؛ پس انرژی جنبشی آن صفر است.

دقت کن: صفر بودن انرژی جنبشی به معنی نداشتن هیچ نوع انرژی نیست؛ فقط می‌گوید جسم حرکت نمی‌کند. پس برای تشخیص داشتن انرژی جنبشی، از خودت بپرس: «آیا این جسم در حال حرکت است؟»

جرم و تندی چه اثری دارند؟

برای فهمیدن اثر جرم و تندی، از رابطۀ انرژی جنبشی کمک می‌گیریم:

$K = \frac{1}{2}mv^2$

در این رابطه، $K$ انرژی جنبشی، $m$ جرم و $v$ تندی جسم است. به تفاوت مهم جرم و تندی دقت کن: جرم به توان یک رسیده، اما تندی به توان دو!

اگر تندی ثابت بماند، دو برابر شدن جرم، انرژی جنبشی را دو برابر می‌کند. مثلاً چرخ‌دستیِ پُر، در تندی یکسان، انرژی جنبشی بیشتری از همان چرخ‌دستیِ خالی دارد.

اگر جرم ثابت بماند، دو برابر شدن تندی، انرژی جنبشی را چهار برابر می‌کند؛ چون ضریب تغییر تندی هم به توان دو می‌رسد. پس پاسخ پرسش آغاز درس روشن شد: خودروی یکسان با تندی دو برابر، انرژی جنبشیِ چهار برابر دارد، نه دو برابر.

برای مقایسه، هر بار بپرس: «جرم چند برابر شده؟ مربع تندی چند برابر شده؟» اثر این دو را باید در هم ضرب کنی.

اول یکاها، بعد محاسبه

فرض کن تندی یک خودرو را از روی سرعت‌سنج می‌خوانی. این تندی معمولاً برحسب $\mathrm{km/h}$ است؛ اما نمی‌توانیم همان عدد را مستقیم در رابطۀ انرژی جنبشی بگذاریم و انتظار پاسخ برحسب ژول داشته باشیم!

برای استفاده از رابطۀ $K = \frac{1}{2}mv^2$، اول یکاها را آماده کن:

• جرم باید برحسب کیلوگرم، یعنی $\mathrm{kg}$ باشد.
• تندی باید برحسب متر بر ثانیه، یعنی $\mathrm{m/s}$ باشد.

برای تبدیل تندی از $\mathrm{km/h}$ به $\mathrm{m/s}$، عدد تندی را بر $3.6$ تقسیم کن؛ چون هر کیلومتر $1000$ متر و هر ساعت $3600$ ثانیه است. اول تندی را تبدیل کن، بعد آن را به توان دو برسان.

با این یکاها، یکای پاسخ چنین می‌شود:

$\mathrm{kg}\times(\mathrm{m/s})^2 = \mathrm{kg\cdot m^2/s^2} = \mathrm{J}$

پس ژول نام کوتاه همین یکای ترکیبی است. پیش از هر محاسبه، یک نگاه به یکاهای داده‌ها بینداز؛ این کار جلوی یک خطای رایج را می‌گیرد.

جهت حرکت مهم نیست

دو توپ یکسان را تصور کن که یکی به سمت راست و دیگری به سمت چپ حرکت می‌کند. اگر تندی آن‌ها برابر باشد، انرژی جنبشی‌شان هم برابر است؛ مخالف بودن جهت حرکت، انرژی جنبشی را منفی نمی‌کند.

انرژی جنبشی کمیتی نرده‌ای است؛ یعنی جهت ندارد. در رابطۀ $K = \frac{1}{2}mv^2$ فقط جرم و تندی حضور دارند، نه جهت حرکت. پس حرکت رو به بالا، پایین یا در مسیری مایل، به‌خودی‌خود باعث تفاوت انرژی جنبشی نمی‌شود.

برای مقایسۀ چند جسم، لازم نیست همیشه انرژی هرکدام را جداگانه حساب کنی. چون ضریب $\frac{1}{2}$ برای همه یکسان است، کافی است حاصل‌ضرب جرم در مربع تندی، یعنی $mv^2$، را مقایسه کنی. مراقب باش بزرگی پیکان جهت حرکت حواست را از جرم و تندی پرت نکند!

کارِ نیروی هم‌جهت

تصور کن جعبه‌ای را روی زمین به جلو هل می‌دهی و جعبه هم به جلو جابه‌جا می‌شود. در فیزیک، برای محاسبۀ کار نیروی تو، فقط دانستن نیرو کافی نیست؛ مقدار جابه‌جایی هم مهم است.

اگر نیرو ثابت و با جابه‌جایی هم‌جهت باشد و بتوان از چرخش یا تغییر شکل جسم چشم‌پوشی کرد، داریم:

$W=Fd$

در این رابطه، $F$ اندازۀ نیرو برحسب نیوتون، $d$ اندازۀ جابه‌جایی برحسب متر و $W$ کار آن نیرو برحسب ژول است:

$1\,\mathrm{J}=1\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$

پس با همان نیروی ثابت، هرچه جعبه بیشتر جابه‌جا شود، کار بیشتری انجام می‌دهی. اما اگر جعبه اصلاً جابه‌جا نشود، کار نیروی تو صفر است؛ حتی اگر حسابی خسته شوی!

کار کمیتی نرده‌ای است؛ یعنی برخلاف نیرو و جابه‌جایی، بردار و جهت ندارد. همچنین وقتی می‌گوییم «کار نیروی تو»، فعلاً فقط اثر همان نیرو را حساب می‌کنیم، نه همۀ نیروهای وارد بر جعبه.

زاویه، علامت کار را تعیین می‌کند

وقتی دستهٔ چمدان را مایل می‌کشی، نیرو و جابه‌جایی هم‌جهت نیستند. در این حالت، فقط بخشِ نیرو در راستای جابه‌جایی در انجام کار نقش دارد؛ بخش عمود بر جابه‌جایی کاری انجام نمی‌دهد. پس برای نیروی ثابت می‌نویسیم:

$W=Fd\cos\theta$

در این رابطه، $\theta$ زاویهٔ بین نیرو و جابه‌جایی است، نه لزوماً زاویهٔ نیرو با افق. علامت کار را کسینوس همین زاویه مشخص می‌کند:

• اگر زاویه کمتر از $90^\circ$ باشد، کار مثبت است؛ مثل کشیدن چمدان به جلو با دستهٔ مایل.
• اگر زاویه برابر $90^\circ$ باشد، کار صفر است؛ مثل کار نیروی وزن هنگام جابه‌جایی افقی چمدان.
• اگر زاویه بیشتر از $90^\circ$ و تا $180^\circ$ باشد، کار منفی است؛ مثل کار اصطکاکی که خلاف جابه‌جایی است.

حالا به وزنه برگردیم: هنگام بالا بردن، نیروی دست و جابه‌جایی رو به بالا هستند و کار دست مثبت است. هنگام پایین آوردن آرام، نیروی دست هنوز رو به بالاست، اما جابه‌جایی رو به پایین است؛ بنابراین کار دست منفی می‌شود. منفی بودن کار به معنی منفی بودن اندازهٔ نیرو نیست.

کار کل؛ جمع با توجه به علامت

وقتی جعبه‌ای را روی زمین می‌کشی، فقط نیروی دست تو به آن وارد نمی‌شود؛ اصطکاک، وزن و نیروی عمودی سطح هم حضور دارند. برای یافتن کار کل، باید سهم همۀ این نیروها را در نظر بگیری.

راه کار این است: کار هر نیرو را جداگانه از رابطۀ $W=Fd\cos\theta$ پیدا کن، علامتش را نگه دار و سپس کارها را جبری جمع بزن:

$W_t=W_1+W_2+\cdots$

برای جعبه‌ای که روی سطح افقی جابه‌جا می‌شود، نیروی کششِ مایل به جلو کار مثبت و اصطکاک کار منفی انجام می‌دهد. وزن و نیروی عمودی سطح هم چون بر جابه‌جایی عمودند، کارشان صفر است. پس نباید اندازۀ همۀ کارها را بدون توجه به علامت با هم جمع کنی؛ کار منفی، از حاصل جمع کم می‌کند.

یک راه هم‌ارز هم داریم: ابتدا نیروی خالص، یعنی جمع برداری نیروها، را پیدا کنیم و کار آن را حساب کنیم. کار نیروی خالص همان کار کل است؛ نه کاری اضافه که دوباره به مجموع بیفزاییم.

کار مثبت و منفی چه می‌کنند؟

وقتی روی دوچرخه رکاب می‌زنی و تندتر می‌شوی، انرژی جنبشی تو و دوچرخه بیشتر می‌شود. هنگام ترمز گرفتن، تندی و انرژی جنبشی کم می‌شوند. علامت کار کل نشان می‌دهد که نیروها در مجموع انرژی جنبشی جسم را افزایش داده‌اند یا کاهش.

اگر نیروی خالص هم‌جهت با جابه‌جایی باشد، کار کل مثبت است؛ یعنی انرژی جنبشی جسم افزایش می‌یابد. اگر نیروی خالص خلاف جهت جابه‌جایی باشد، کار کل منفی است؛ یعنی انرژی جنبشی جسم کاهش می‌یابد.

پس در پرسش آغاز درس دربارهٔ چترباز، تندتر شدن او به این معنا نیست که همهٔ نیروها کار مثبت انجام می‌دهند؛ کافی است اثر مجموع کارها مثبت باشد.

حواست باشد: «منفی بودن کار» به معنای منفی شدن انرژی جنبشی نیست؛ فقط می‌گوید انرژی جنبشی در پایان، کمتر از آغاز شده است.

پل میان کار و تندی

فرض کن توپی در یک مسیر خمیده حرکت می‌کند. برای ربط دادن کار کل به تغییر تندی آن، آیا لازم است مسیر حتماً مستقیم باشد؟ نه؛ قضیهٔ کار ــ انرژی جنبشی برای مسیر مستقیم و خمیده معتبر است.

این قضیه یک پل میان کار و حرکت می‌سازد:

$W_{\mathrm{t}}=K_2-K_1$

در این رابطه، $W_{\mathrm{t}}$ کار کل، $K_1$ انرژی جنبشی آغازی و $K_2$ انرژی جنبشی پایانی است. پس کار کل برابر انرژی جنبشی پایانی منهای آغازی است، نه خودِ انرژی جنبشی پایانی.

برای استفاده از این پل، دو وضعیت آغاز و پایان را مشخص کن. اگر تندی‌ها را داشته باشی، می‌توانی انرژی جنبشی هر وضعیت را از $K=\frac{1}{2}mv^2$ به دست بیاوری و سپس تفاضل آن‌ها را حساب کنی؛ لازم نیست تندی جسم را در تک‌تک نقطه‌های مسیر بدانی.

اگر کار کل صفر باشد، انرژی جنبشی و تندی در آغاز و پایان برابرند؛ اما این به معنای ساکن بودن جسم نیست!

کار کل، نه کار یک نیرو

وقتی چند نیرو به جسم وارد می‌شوند، نمی‌توان کار یکی از آن‌ها را به‌تنهایی برابر تغییر انرژی جنبشی گذاشت. باید کار همهٔ نیروها را با علامتشان جمع کنیم:

$W_{\mathrm{t}}=W_1+W_2+\cdots=K_2-K_1$

مثلاً چتربازی را در حال پایین‌رفتن در نظر بگیر. نیروی وزن رو به پایین و هم‌جهت با جابه‌جایی است؛ پس کار وزن مثبت است. مقاومت هوا رو به بالا و خلاف جابه‌جایی است؛ پس کار آن منفی است.

اگر در بخشی از سقوط، تندی چترباز بیشتر شود، می‌فهمیم مجموع این دو کار مثبت بوده است؛ نه اینکه کار هر دو نیرو مثبت باشد! در این حالت، کار مثبت وزن از اندازهٔ کار منفی مقاومت هوا بیشتر است.

پس برای استفاده از قضیهٔ کار ــ انرژی جنبشی، اول نیروهای وارد بر جسم را مشخص کن، بعد علامت کار هرکدام را تعیین کن و در پایان کارها را جمع کن.

انرژی برابر، تندی برابر؟

دو قایق با جرم‌های متفاوت را روی یخِ بدون اصطکاک تصور کن. هر دو از سکون راه می‌افتند و باد با نیروی یکسان، در جهت حرکت، آن‌ها را به اندازهٔ یکسانی جابه‌جا می‌کند. پس کار کل روی آن‌ها برابر است. چون انرژی جنبشی اولیهٔ هر دو صفر بوده، انرژی جنبشی نهایی آن‌ها هم برابر می‌شود؛ اما تندی آن‌ها نه!

دلیلش در رابطهٔ $K=\frac{1}{2}mv^2$ است: برای انرژی جنبشی یکسان، جسم سنگین‌تر باید تندی کمتری داشته باشد. درست مثل دو چرخ‌دستی سبک و سنگین که برابر بودن انرژی حرکتشان، الزاماً به معنای هم‌تند بودنشان نیست.

نکتهٔ دیگر این است که برای یک جسم با جرم ثابت، کار کل به تغییر مربع تندی بستگی دارد:

$W_{\mathrm{t}}=\frac{1}{2}m(v_2^2-v_1^2)$

پس برای مقایسهٔ کار لازم در دو مرحله، فقط اختلاف تندی‌ها را مقایسه نکن؛ اختلاف مربع تندی‌ها مهم است.

انرژی ذخیره‌شده در سامانه

کوله‌پشتی روی زمین و همان کوله‌پشتی روی یک قفسه، هر دو می‌توانند ساکن باشند. پس انرژی جنبشی ندارند؛ اما اگر کوله‌پشتی از قفسه بیفتد، هنگام پایین آمدن تندی می‌گیرد. این انرژی از کجا می‌آید؟

برای توضیح، باید کوله‌پشتی و زمین را با هم در نظر بگیریم. به مجموعهٔ اجسامی که با هم بررسی می‌کنیم، «سامانه» می‌گوییم. انرژی پتانسیل، انرژی ذخیره‌شده‌ای است که به موقعیت اجزای سامانه نسبت به یکدیگر بستگی دارد، نه صرفاً به حرکت یک جسم.

در این مثال، انرژی پتانسیل گرانشی به سامانهٔ کوله‌پشتی ــ زمین تعلق دارد. وقتی کوله‌پشتی پایین می‌آید، انرژی پتانسیل این سامانه کاهش می‌یابد و می‌تواند به انرژی جنبشی کوله‌پشتی تبدیل شود.

گاهی برای کوتاهی می‌گوییم «انرژی پتانسیل کوله‌پشتی»؛ اما یادت باشد زمین هم یکی از اجزای این سامانه است!

انرژی پتانسیل و ارتفاع

یک کتاب را روی میز تصور کن. برای حساب کردن انرژی پتانسیل گرانشی سامانهٔ کتاب و زمین، باید جرم کتاب و ارتفاعش را بدانیم. نزدیک سطح زمین، که می‌توان شتاب گرانش را ثابت گرفت، داریم:

$U=mgh$

در این رابطه، $m$ جرم برحسب $\mathrm{kg}$، مقدار $g$ شتاب گرانش برحسب $\mathrm{m/s^2}$ و $h$ ارتفاع برحسب $\mathrm{m}$ است. انرژی $U$ برحسب ژول، با نماد $\mathrm{J}$، به دست می‌آید. نزدیک سطح زمین معمولاً $g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$ در نظر گرفته می‌شود.

اما ارتفاع نسبت به کجا؟ ابتدا باید یک مبدأ ارتفاع انتخاب کنیم؛ مثلاً کف اتاق. آن‌وقت ارتفاع کتاب را از کف اتاق می‌سنجیم، نه از سطح میز.

با مبدأ یکسان، هرچه کتاب بالاتر باشد، انرژی پتانسیل گرانشی بیشتر است. همچنین در ارتفاع یکسان و بالاتر از مبدأ، کتاب سنگین‌تر انرژی پتانسیل بیشتری دارد. یادت باشد این انرژی به سامانهٔ کتاب و زمین تعلق دارد، نه به کتاب به‌تنهایی.

کار وزن و علامت منفی

وقتی کوله‌پشتی را بالا می‌بری، نیروی وزن رو به پایین است؛ پس کار وزن منفی می‌شود، درحالی‌که انرژی پتانسیل گرانشی افزایش می‌یابد. هنگام پایین آوردن کوله‌پشتی، برعکس است: کار وزن مثبت و تغییر انرژی پتانسیل منفی است.

این ارتباط را چنین می‌نویسیم:

$W_{\text{وزن}}=-\Delta U=mg(h_1-h_2)$

در این رابطه، $h_1$ ارتفاع آغاز و $h_2$ ارتفاع پایان است. علامت منفی یعنی کار وزن و تغییر انرژی پتانسیل، علامت‌های مخالف دارند. بنابراین برای محاسبهٔ کار وزن، اول مشخص کن جسم در پایان بالاتر است یا پایین‌تر.

حالا به کوله‌پشتی برگردیم: چه آن را با آسانسور بالا ببری، چه از راه‌پله، اگر نقطهٔ آغاز و پایان یکسان باشند، کار نیروی وزن یکسان است. طولانی‌تر شدن مسیر، کار وزن را بیشتر نمی‌کند؛ فقط اختلاف ارتفاع اهمیت دارد. دقت کن این نتیجه دربارهٔ کار نیروی وزن است، نه لزوماً کار کل نیروها.

صفر انرژی را کجا بگذاریم؟

فرض کن کتابی را از روی میز به قفسه‌ای بالاتر می‌بری. برای اندازه‌گیری ارتفاع، می‌توانی کف اتاق یا سطح میز را مبدأ بگیری. با عوض شدن مبدأ، عددِ ارتفاع کتاب تغییر می‌کند؛ پس مقدار انرژی پتانسیل آن، یعنی $U=mgh$، هم تغییر می‌کند.

اما کتاب در هر دو حالت به یک اندازه بالا رفته است! بنابراین اختلاف ارتفاع و تغییر انرژی پتانسیل ثابت می‌مانند:

$\Delta U=mg(h_2-h_1)$

چون کار نیروی وزن برابر $W_{\text{وزن}}=-\Delta U$ است، انتخاب مبدأ روی این کار هم اثری ندارد. فقط باید ارتفاع ابتدا و انتها را نسبت به یک مبدأ مشترک بسنجی.

حتی می‌توانی سطح قفسه را مبدأ بگیری؛ آن‌وقت انرژی پتانسیل کتاب روی میز منفی می‌شود. این منفی بودن اشکالی ندارد: فقط می‌گوید کتاب پایین‌تر از ترازِ صفرِ انتخابی قرار دارد، نه اینکه محاسبه اشتباه است.

کار دست هنگام بلند کردن

کتابی را از روی میز بردار و روی قفسه‌ای بالاتر بگذار؛ کتاب هم در آغاز و هم در پایان ساکن است. دستت روی کتاب کار مثبت انجام می‌دهد، اما چرا انرژی جنبشی نهایی آن بیشتر نشده است؟ چون کار دست، تنها کار انجام‌شده روی کتاب نیست؛ نیروی وزن هم کار می‌کند.

اگر مقاومت هوا ناچیز باشد و فقط دست و وزن به کتاب نیرو وارد کنند، طبق قضیهٔ کار ــ انرژی جنبشی داریم:

$W_{\text{دست}}+W_{\text{وزن}}=\Delta K$

ساکن بودن در ابتدا و انتها یعنی $\Delta K=0$؛ پس کار این دو نیرو یکدیگر را خنثی می‌کند. با جای‌گذاری $W_{\text{وزن}}=-\Delta U$ نتیجه می‌گیریم:

$W_{\text{دست}}=\Delta U=mg(h_2-h_1)$

بنابراین هنگام بالابردن کتاب، کار دست مثبت و هنگام پایین‌آوردن آن، با همین شرایط، منفی است. صفر بودن کار کل به معنی صفر بودن کار تک‌تک نیروها نیست. همچنین لازم نیست کتاب در تمام مسیر با تندی ثابت حرکت کند؛ برای این نتیجه، ساکن بودن در دو سر مسیر کافی است.

انرژی جابه‌جا می‌شود

توپی را تصور کن که از دستت رها می‌شود. هرچه پایین‌تر می‌آید، ارتفاعش کمتر و تندی‌اش بیشتر می‌شود. اگر مقاومت هوا ناچیز باشد، فقط نیروی وزن روی توپ کار می‌کند؛ پس کاهش انرژی پتانسیل گرانشی، به افزایش انرژی جنبشی می‌انجامد.

اما آیا این دو تغییر فقط هم‌زمان رخ می‌دهند؟ نه؛ مقدار کاهش یکی دقیقاً برابر مقدار افزایش دیگری است. برای دیدن دلیلش، دو موقعیت از سقوط توپ را در نظر بگیر:

• کار نیروی وزن برابر منفیِ تغییر انرژی پتانسیل است: $W_{\text{وزن}}=-(U_2-U_1)$.
• طبق قضیهٔ کار و انرژی جنبشی، چون فقط وزن کار می‌کند، همین کار برابر تغییر انرژی جنبشی است: $W_{\text{وزن}}=K_2-K_1$.

پس داریم:

$K_2-K_1=-(U_2-U_1)$

علامت منفی یعنی تغییر این دو انرژی خلاف جهت یکدیگر است: در سقوط، تغییر انرژی پتانسیل منفی و تغییر انرژی جنبشی مثبت است. انرژی پتانسیلِ کاهش‌یافته گم نشده؛ به انرژی جنبشی تبدیل شده است.

مجموعی که ثابت می‌ماند

توپی را تصور کن که رو به بالا پرتاب کرده‌ای. هنگام بالا رفتن، تندی توپ کم می‌شود؛ پس انرژی جنبشی آن کاهش می‌یابد. در عوض، ارتفاع و انرژی پتانسیل گرانشی‌اش بیشتر می‌شود. آیا این یعنی انرژی مکانیکی توپ تغییر کرده است؟

انرژی مکانیکی، مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل است و آن را با $E$ نشان می‌دهیم:

$E=K+U$

اگر مقاومت هوا ناچیز باشد، در حرکت توپ فقط نیروی وزن کار انجام می‌دهد. در این حالت، کاهش یکی از این دو انرژی دقیقاً با افزایش دیگری جبران می‌شود؛ بنابراین برای هر دو نقطه از مسیر داریم:

$K_1+U_1=K_2+U_2$

یعنی $E_1=E_2$. این ثابت ماندن مجموع را پایستگی انرژی مکانیکی می‌نامیم.

پس «پایسته بودن» به معنی ثابت بودن جداگانهٔ انرژی جنبشی و پتانسیل نیست؛ مثل پولی است که بین دو جیب جابه‌جا می‌کنی: مقدار پول هر جیب عوض می‌شود، ولی مجموع پولت ثابت می‌ماند.

از پایستگی تا حل مسئله

فرض کن می‌خواهی تندی سورتمه را در میانهٔ یک سرسره پیدا کنی. لازم نیست حرکتش را لحظه‌به‌لحظه دنبال کنی؛ دو وضعیت مناسب کافی است: وضعیتی که اطلاعاتش را می‌دانی و وضعیتی که تندی یا ارتفاعش مجهول است.

ابتدا بررسی کن که فقط نیروی وزن کار انجام دهد؛ مثلاً اصطکاک و مقاومت هوا ناچیز باشند و نیروی عمودی مسیر هم کاری انجام ندهد. سپس ارتفاع هر دو وضعیت را از یک مبدأ مشترک بسنج و بنویس:

$\frac{1}{2}mv_1^2+mgh_1=\frac{1}{2}mv_2^2+mgh_2$

چون جرم در همهٔ جمله‌ها وجود دارد، با تقسیم دو طرف بر $m$ حذف می‌شود. بنابراین برای پیدا کردن تندی، دانستن جرم لازم نیست.

نکتهٔ جالب این است که شکل و طول مسیر هم در این معادله نیست! با تندی آغازین و اختلاف ارتفاع یکسان، تندی پایانی یکسان می‌شود؛ هرچند زمان رسیدن ممکن است متفاوت باشد. دو وضعیت انتخابی هم لازم نیست حتماً ابتدا و انتهای کل مسیر باشند؛ هر دو نقطه‌ای که پایستگی بین آن‌ها برقرار است، مناسب‌اند.

انرژی درون جسم

یک لیوان آب روی میز بی‌حرکت است. آیا می‌توان گفت هیچ انرژی‌ای ندارد؟ نه! بی‌حرکت بودنِ کل لیوان به این معنی نیست که ذره‌های سازندۀ آب هم بی‌حرکت‌اند.

هر جسم از ذره‌های بسیار ریزی ساخته شده است که انرژی دارند. مجموع انرژی‌های این ذره‌ها را انرژی درونی جسم می‌نامیم. پس انرژی درونی را نباید با انرژی جنبشیِ حرکت کل جسم یکی بدانیم؛ حتی جسمی که روی میز ساکن است، انرژی درونی دارد.

انرژی درونی به دو چیز بستگی دارد: تعداد ذره‌ها و انرژی هر ذره. مثلاً اگر مقدار معینی آب را گرم‌تر کنیم، تعداد ذره‌هایش تغییر نمی‌کند، اما معمولاً انرژی ذره‌ها و در نتیجه انرژی درونی آب بیشتر می‌شود.

از طرف دیگر، اگر دو ظرف از یک نوع آب و در دمای یکسان داشته باشیم، ظرفی که آب بیشتری دارد، ذره‌های بیشتری هم دارد؛ بنابراین انرژی درونی آب آن بیشتر است. پس برای مقایسۀ انرژی درونی، تنها نگاه کردن به دما کافی نیست.

تلف شدن، نه نابود شدن

وقتی راننده ترمز می‌کند و چرخ‌ها روی آسفالت کشیده می‌شوند، خودرو کند می‌شود و سرانجام می‌ایستد. آیا انرژی جنبشی خودرو ناپدید شده است؟ نه؛ برای پیدا کردنش باید به گرم‌تر شدن لاستیک‌ها و سطح جاده توجه کنیم.

نیروی اصطکاک برخلاف جهت جابه‌جایی خودرو است، پس روی آن کار منفی انجام می‌دهد و انرژی جنبشی‌اش را کاهش می‌دهد. در همین فرایند، انرژی درونی لاستیک‌ها و سطح جاده افزایش می‌یابد؛ یعنی انرژی از یک شکل به شکل دیگری تبدیل می‌شود.

نمونۀ آشنای آن، مالیدن دست‌ها به یکدیگر است: دست‌ها گرم‌تر می‌شوند و انرژی درونی‌شان افزایش می‌یابد.

پس چرا می‌گوییم انرژی «تلف شده» است؟ چون انرژیِ تبدیل‌شده به انرژی درونی را معمولاً نمی‌توان در عمل دوباره برای همان کار، مثلاً حرکت دادن خودرو، به کار گرفت. تلف شدن یعنی از دست رفتن امکان استفادۀ دوبارۀ مفید، نه نابود شدن انرژی.

حساب کردن انرژی کاهش‌یافته

توپی که روی زمین حرکت می‌کند، بر اثر اصطکاک کم‌کم کند می‌شود. برای حساب کردن اثر اصطکاک، انرژی مکانیکی توپ را در آغاز و پایان مسیر مقایسه می‌کنیم. یادت هست که انرژی مکانیکی مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل است:

$E = K + U$

اگر به‌جز گرانش، فقط نیروهای اتلافی مانند اصطکاک و مقاومت هوا روی جسم کار کنند، کار این نیروهای اتلافی از رابطۀ زیر به دست می‌آید:

$W_f = E_2 - E_1$

در این رابطه، $E_1$ انرژی مکانیکی آغاز و $E_2$ انرژی مکانیکی پایان مسیر است. ترتیب تفریق مهم است: انرژی پایان منهای انرژی آغاز. وقتی اصطکاک یا مقاومت هوا کار منفی انجام می‌دهد، انرژی مکانیکی پایان کمتر از آغاز است؛ بنابراین $W_f < 0$ می‌شود.

این علامت منفی نشانۀ نابود شدن انرژی نیست؛ نشان می‌دهد بخشی از انرژی مکانیکی به انرژی درونی جسم و محیط تبدیل شده است. همچنین، کار نیروهای اتلافی را با کار کل نیروها اشتباه نگیر: کار کل نیروها برابر تغییر انرژی جنبشی است، نه تغییر انرژی مکانیکی.

انرژی کل پایسته است

آیا کم شدن انرژی مکانیکی یعنی قانون پایستگی انرژی نقض شده است؟ نه؛ باید همۀ شکل‌های انرژی را حساب کنیم، نه فقط انرژی جنبشی و پتانسیل را.

به مجموعه‌ای که بررسی می‌کنیم «سامانه» می‌گوییم. اگر این سامانه نه از محیط انرژی بگیرد و نه به آن انرژی بدهد، سامانۀ منزوی است. در چنین سامانه‌ای مجموع انرژی‌ها ثابت می‌ماند؛ هرچند سهم هر شکل انرژی می‌تواند تغییر کند.

مثلاً دست‌هایت را به هم بمال: گرم شدن آن‌ها نشانه‌ای از افزایش انرژی درونی است. انرژی تازه‌ای خلق نشده؛ انرژی از شکلی به شکل دیگر تبدیل شده است. البته دست‌ها به‌تنهایی الزاماً سامانۀ منزوی نیستند، چون می‌توانند با بدن و هوای اطراف انرژی مبادله کنند.

پس نکته این است: پایستگی انرژی کل با پایستگی انرژی مکانیکی فرق دارد. در سامانۀ منزوی، کاهش انرژی مکانیکی می‌تواند با افزایش انرژی درونی جبران شود، بدون آنکه انرژی کل تغییر کند.

کار یکسان، زمان متفاوت

فرض کن دو بالابر، بارهای یکسانی را تا ارتفاع یکسان بالا می‌برند. کار مفید هر دو یکسان است؛ اما بالابری که زودتر می‌رسد، همان کار را در زمان کمتری انجام می‌دهد. می‌گوییم توان متوسط بیشتری دارد.

توان نشان می‌دهد کار با چه آهنگی انجام می‌شود؛ یعنی در واحد زمان چقدر کار انجام می‌شود:

$P_{\mathrm{av}}=\frac{W}{\Delta t}$

در این رابطه، $W$ کار انجام‌شده و $\Delta t$ مدت انجام آن است. پس برای مقایسهٔ توان، دانستن مقدار کار به‌تنهایی کافی نیست؛ زمان را هم باید بدانیم. برای کار یکسان، هرچه زمان کمتر باشد، توان متوسط بیشتر است.

توان با انرژی یا نیرو یکی نیست: انرژی به مقدار انرژی منتقل‌شده مربوط است، نیرو اثر متقابل اجسام را توصیف می‌کند، اما توان سرعت انجام کار را نشان می‌دهد. واژهٔ «متوسط» هم یعنی کار کل را بر کل بازهٔ زمانی تقسیم کرده‌ایم؛ لازم نیست آهنگ انجام کار در تمام لحظه‌ها یکسان باشد.

توان را با چه یکایی بسنجیم؟

روی یک وسیله «وات» نوشته شده و توان موتور یک خودرو را با «اسب بخار» معرفی می‌کنند. برای مقایسهٔ این توان‌ها، اول باید یکاهایشان را یکسان کنیم؛ بزرگ‌تر بودن عدد به‌تنهایی کافی نیست.

یکای توان در دستگاه بین‌المللی یکاها، وات با نماد $\mathrm{W}$ است:

$1\mathrm{W}=1\mathrm{J/s}$

یعنی دستگاهی با توان یک وات، در هر ثانیه یک ژول کار انجام می‌دهد. حواست باشد: $W$ در رابطهٔ توان نماد کار است، اما $\mathrm{W}$ کنار عدد، یکای وات است.

برای توان‌های بزرگ‌تر از کیلووات و مگاوات استفاده می‌کنیم:

$1\mathrm{kW}=1000\mathrm{W}$

$1\mathrm{MW}=10^6\mathrm{W}$

اسب بخار هم یکای توان است، نه نیرو یا انرژی:

$1\mathrm{hp}=746\mathrm{W}$

پس هنگام مقایسهٔ اطلاعات دو موتور، همهٔ توان‌ها را مثلاً به وات تبدیل کن. برای تبدیل کیلووات به وات، عدد را در هزار ضرب می‌کنیم؛ در مسیر برعکس، بر هزار تقسیم می‌کنیم.

از تغییر انرژی تا توان موتور

برای پیدا کردن توان موتور، اول بپرس: موتور چه مقدار کار انجام داده است؟ کار موتور همیشه با کار کل نیروها برابر نیست؛ ممکن است نیروهای دیگری هم روی جسم کار کنند.

مثلاً هنگام سبقت‌گرفتن خودرو در مسیر افقی، اگر نیروهای اتلافی را نادیده بگیریم، کار موتور برابر افزایش انرژی جنبشی خودرو است:

$W_{\text{موتور}}=\Delta K=\frac{1}{2}m(v_2^2-v_1^2)$

اما اگر مقاومت هوا وجود داشته باشد، موتور باید علاوه بر افزایش انرژی جنبشی، انرژی تلف‌شده را هم تأمین کند؛ پس کار و توان موردنیازش بیشتر می‌شود.

در بالابری که بار را از حالت سکون در پایین به حالت سکون در بالا می‌رساند، تغییر انرژی جنبشی صفر است؛ ولی کار موتور صفر نیست! وزن کار منفی انجام می‌دهد و موتور، در نبود اتلاف، به اندازهٔ افزایش انرژی پتانسیل گرانشی کار می‌کند:

$W_{\text{موتور}}=mg\Delta h$

در هر دو موقعیت، پس از یافتن کار موتور، توان متوسط را به دست می‌آوریم:

$P_{\mathrm{av}}=\frac{W_{\text{موتور}}}{\Delta t}$

همهٔ انرژی ورودی مفید نیست

وقتی موتور بالابر برق مصرف می‌کند، تمام انرژی دریافتی صرف بالا بردن اتاقک نمی‌شود؛ بخشی هم موتور و کابل‌ها را گرم می‌کند. این بخش نابود نشده است، اما برای هدف ما مفید نیست.

بازده نشان می‌دهد چه سهمی از انرژی ورودی به انرژی مفیدِ موردنظر تبدیل شده است:

$\text{بازده درصدی}=\frac{E_{\text{خروجی مفید}}}{E_{\text{ورودی}}}\times 100$

پس منظور از «خروجی» در محاسبهٔ بازده، خروجیِ مفید است، نه مجموع همهٔ انرژی‌های خارج‌شده از دستگاه. در دستگاه‌های واقعی، به علت اتلاف، بازده کمتر از $100$ درصد است.

می‌توان همین مقایسه را با توان‌ها انجام داد. چون $P_{\mathrm{av}}=\frac{\Delta E}{\Delta t}$، اگر توان ورودی و توان خروجی مفید را برای یک بازهٔ زمانی مشترک حساب کنیم، زمان از نسبت حذف می‌شود:

$\text{بازده درصدی}=\frac{P_{\text{خروجی مفید}}}{P_{\text{ورودی}}}\times 100$

مثلاً برای مقایسهٔ دو تلمبه، فقط توان مصرفی بیشتر کافی نیست؛ باید ببینیم چه سهمی از آن به بالا بردن آب کمک می‌کند.

توان و بازده در زندگی

وقتی چراغ اتاقِ خالی را خاموش می‌کنی، فقط مصرف همان چراغ را کم نکرده‌ای؛ به کاهش مصرف منابع در نیروگاه هم کمک کرده‌ای. چرا؟ چون انرژی از نیروگاه تا وسیلهٔ خانه، مسیری همراه با اتلاف را طی می‌کند.

در نیروگاه، همهٔ انرژی سوخت به انرژی الکتریکی تبدیل نمی‌شود. هنگام انتقال برق نیز بخشی از انرژی به شکل گرما به محیط می‌رود. در لامپ رشته‌ای هم تنها بخشی از انرژی دریافتی به نورِ موردنیاز تبدیل می‌شود. انرژی ناپدید نشده است؛ اما همهٔ آن به شکل دلخواه ما در دسترس نیست.

پس کم‌کردن مصرف غیرضروری می‌تواند نیاز به مصرف سوخت و پیامدهای زیست‌محیطی آن را کاهش دهد، بدون اینکه از روشناییِ موردنیازمان صرف‌نظر کنیم.

هنگام خرید وسیله هم برچسب انرژی کمک می‌کند آگاهانه‌تر انتخاب کنیم. برای مقایسهٔ دو یخچال، فقط ظاهرشان را نبین؛ ظرفیت، امکانات و اطلاعات مصرف انرژی آن‌ها را هم مقایسه کن. هدف این است که خدمت موردنیاز را با مصرف انرژی کمتر دریافت کنیم.

انرژی جنبشی؛ نقش پررنگ تندی

یک توپ آرام و همان توپ با تندی زیاد، هنگام برخورد اثر یکسانی ندارند. برای سنجیدن انرژیِ مربوط به حرکت، از انرژی جنبشی استفاده می‌کنیم:

$K=\frac{1}{2}mv^2$

در این رابطه، جرم $m$ را برحسب $\mathrm{kg}$ و تندی $v$ را برحسب $\mathrm{m/s}$ می‌گذاریم تا انرژی $K$ برحسب ژول، $\mathrm{J}$، به دست آید. پس در مسئله‌های شهاب‌سنگ، پیش از جای‌گذاری باید تندیِ داده‌شده برحسب $\mathrm{km/s}$ را به $\mathrm{m/s}$ تبدیل کنیم؛ هر $1\,\mathrm{km/s}$ برابر $1000\,\mathrm{m/s}$ است.

تندی در این رابطه به توان دو می‌رسد. بنابراین برای جرم ثابت، دوبرابر شدن تندی، انرژی جنبشی را چهاربرابر می‌کند؛ اما دوبرابر شدن جرم در تندی ثابت، انرژی را فقط دوبرابر می‌کند.

برای مقایسهٔ انرژی دو جسم، همیشه لازم نیست انرژی هرکدام را جدا حساب کنی. نسبت جرم‌ها و مربع نسبت تندی‌ها را بررسی کن. حواست باشد یکاهای متناظرِ دو جسم یکسان باشند.

کار نیروها و تغییر تندی

وقتی به جسمی نیرو وارد می‌کنی، فقط بزرگی نیرو مهم نیست؛ جهت نیرو نسبت به جابه‌جایی هم تعیین می‌کند چقدر کار انجام شود. کار یک نیروی ثابت از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:

$W=Fd\cos\theta$

در این رابطه، $\theta$ زاویهٔ بین نیرو و جابه‌جایی است. نیروی هم‌جهت با جابه‌جایی کار مثبت، نیروی خلاف جهت کار منفی و نیروی عمود بر جابه‌جایی کار صفر انجام می‌دهد. مثلاً هنگام حمل سطل با تندی ثابت در مسیر افقی، نیروی رو به بالای دست بر سطل کاری انجام نمی‌دهد؛ هرچند دستت خسته شود!

برای فهمیدن تغییر تندی، باید جمع کار همهٔ نیروها را بررسی کنیم، نه فقط کار یک نیرو:

$W_{\text{کل}}=\Delta K=K_2-K_1$

پس برای جسمی با جرم ثابت، اگر تندی کم شود، انرژی جنبشی کاهش می‌یابد و کار کل منفی است؛ درست مثل وقتی که دوچرخه ترمز می‌کند. کار منفی به معنی «انجام‌نشدن کار» نیست؛ یعنی نیروها در مجموع انرژی جنبشی جسم را کاهش داده‌اند.

ارتفاع مهم است، نه مسیر

اگر دو نفر هم‌جرم به یک طبقه برسند، یکی با آسانسور و دیگری از پله‌ها، آیا انرژی پتانسیل گرانشی آن‌ها متفاوت است؟ با مرجع یکسان، نه! طول مسیر و زمان رسیدن، این انرژی را تعیین نمی‌کنند.

نزدیک سطح زمین، انرژی پتانسیل گرانشیِ سامانهٔ جسم و زمین از رابطهٔ $U=mgh$ به دست می‌آید؛ $h$ ارتفاع نسبت به تراز مرجعی است که خودمان انتخاب می‌کنیم. مثلاً می‌توانیم کف حیاط را ترازِ انرژی پتانسیل صفر بگیریم. بالاتر از آن، انرژی پتانسیل مثبت و پایین‌تر از آن، منفی است؛ پس منفی‌بودن این انرژی اشکالی ندارد.

کار نیروی وزن برابر است با:

$W_g=-\Delta U=mg(h_1-h_2)$

هنگام بالا رفتن، انرژی پتانسیل افزایش می‌یابد و کار وزن منفی است؛ هنگام پایین آمدن، برعکس است. بنابراین برای جرم یکسان، کار وزن فقط به ارتفاع آغاز و پایان بستگی دارد، نه به شکل یا طول مسیر. حواست باشد: این نتیجه دربارهٔ کار نیروی وزن است، نه لزوماً کار همهٔ نیروها.

ردگیری انرژی در طول حرکت

توپی که رو به بالا پرتاب می‌شود، هنگام بالا رفتن کندتر می‌شود؛ اما انرژی جنبشیِ کم‌شده کجا می‌رود؟ اگر مقاومت هوا ناچیز باشد، به انرژی پتانسیل گرانشی تبدیل می‌شود. هنگام پایین آمدن، این تبدیل برعکس است.

انرژی مکانیکی مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل است: $E=K+U$. در حرکت‌های این مسئله‌ها، اگر اصطکاک و مقاومت هوا وجود نداشته باشند، می‌نویسیم:

$K_i+U_i=K_f+U_f$

پس برای مقایسهٔ وضعیت آغاز و پایان، لازم نیست جزئیات مسیر را بدانیم. مثلاً توپ‌های هم‌جرمی که از ارتفاع یکسان با تندی یکسان، ولی در جهت‌های متفاوت پرتاب می‌شوند، انرژی مکانیکی اولیهٔ یکسانی دارند؛ بدون مقاومت هوا، انرژی جنبشی آن‌ها هنگام رسیدن به زمین برابر است.

با وجود نیروهای مقاوم، انرژی نابود نمی‌شود. بخشی از انرژی مکانیکی به انرژی درونی جسم و محیط تبدیل می‌شود؛ مثل گرم‌شدن دست‌ها هنگام مالش. در این حالت، نباید مجموع $K+U$ را در آغاز و پایان برابر بگیریم.

توان و بازده؛ انرژی در چه زمانی؟

دو بالابر، بارهای یکسانی را تا ارتفاع یکسان بالا می‌برند؛ اما یکی زودتر کار را تمام می‌کند. انرژی مفید منتقل‌شده یکسان است، ولی بالابر سریع‌تر توان متوسط بیشتری دارد:

$P_{\mathrm{av}}=\frac{E_{\mathrm{transferred}}}{\Delta t}$

اگر انرژی برحسب $\mathrm{J}$ و زمان برحسب $\mathrm{s}$ باشد، توان برحسب وات، یعنی $\mathrm{W}$، به دست می‌آید. پس پیش از محاسبه، زمانِ داده‌شده برحسب دقیقه را به ثانیه تبدیل کن.

در مسئله‌های موتور، باید توان مفید را از توان ورودی جدا کنیم. مثلاً اگر خروجی مفید موتور خودرو افزایش انرژی جنبشی باشد، داریم:

$P_{\mathrm{useful}}=\frac{\Delta K}{\Delta t}$

همهٔ انرژی ورودی به خروجی مفید تبدیل نمی‌شود؛ بخشی به شکل‌های دیگر، مانند انرژی درونی، منتقل می‌شود. بازده سهم خروجی مفید از ورودی است:

$\eta=\frac{P_{\mathrm{useful}}}{P_{\mathrm{in}}}$

برای یافتن توان ورودی، توان مفید را بر بازده تقسیم کن؛ بازدهِ درصدی را ابتدا به عدد اعشاری تبدیل کن. همچنین:

$P_{\mathrm{loss}}=P_{\mathrm{in}}-P_{\mathrm{useful}}$