سوال ۳۸ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

چون در صورت سؤال شرطِ «بدون تکرار» نیامده است، تکرار ارقام مجاز است. برای شمارش، مانند روش جایگاه‌ها در کتاب، ابتدا محدودیت رقم یکان را در نظر می‌گیریم و سپس از اصل ضرب و اصل جمع استفاده می‌کنیم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۲۳).

گام اول: شرط بخش‌پذیری را مشخص می‌کنیم.
عدد بر $6$ بخش‌پذیر است اگر هم زوج باشد و هم مجموع ارقامش بر $3$ بخش‌پذیر باشد؛ بنابراین یکان باید $4$ یا $6$ باشد.

از میان ارقام داده‌شده، $3$ و $6$ مضربِ $3$ هستند و رقم $4$ در تقسیم بر $3$ باقی‌ماندهٔ $1$ دارد. پس اگر تعداد رقم‌های $4$ را $k$ بنامیم، شرط بخش‌پذیری مجموع ارقام بر $3$ چنین است:
$k\equiv 0\pmod{3}$
چون عدد چهاررقمی است، فقط دو حالت داریم: $k=0$ یا $k=3$.

گام دوم: حالتِ بدون رقم $4$ را می‌شماریم.
در این حالت فقط از ارقام $3$ و $6$ استفاده می‌کنیم. برای زوج‌بودن، یکان حتماً $6$ است و هر یک از سه جایگاه دیگر دو انتخاب دارد. طبق اصل ضرب:
$2\times2\times2\times1=8$

گام سوم: حالتِ وجود سه رقم $4$ را می‌شماریم.
رقم چهارم یا $3$ است یا $6$:

ـ اگر رقم چهارم $3$ باشد، برای زوج‌بودن نمی‌تواند در یکان قرار بگیرد. پس برای جایگاه آن سه انتخاب داریم و بقیهٔ جایگاه‌ها با $4$ پر می‌شوند؛ بنابراین $3$ عدد ساخته می‌شود.

ـ اگر رقم چهارم $6$ باشد، همهٔ ارقام زوج‌اند. رقم $6$ می‌تواند در هر یک از چهار جایگاه قرار بگیرد و بقیهٔ جایگاه‌ها با $4$ پر می‌شوند؛ بنابراین $4$ عدد ساخته می‌شود.

پس تعداد این حالت برابر است با:
$3+4=7$

گام چهارم: حالت‌های جدا از هم را جمع می‌کنیم.
طبق اصل جمع، تعداد کل عددهای مطلوب برابر است با:
$8+7=15$

پاسخ: گزینهٔ ۲