خلاصه درس فصل ۸ ریاضی نهم؛ درسنامه و نکات مهم

دایره شکلی تخت است، اما کره در فضا قرار دارد. همان‌طور که نقطه‌های روی دایره از مرکز آن فاصلهٔ یکسان دارند، همهٔ نقطه‌های روی سطح کره نیز از مرکز کره به یک فاصله‌اند. این فاصله را شعاع می‌نامیم و با $R$ نشان می‌دهیم.

پاره‌خطی که از مرکز می‌گذرد و دو سرش روی سطح کره است، قطر نام دارد؛ پس $d=2R$ و $R=\frac{d}{2}$. برای تصور کردن، یک توپ را در نظر بگیر: فاصلهٔ مرکز تا پوسته شعاع است، نه فاصلهٔ یک سوی توپ تا سوی دیگر.

هنگام محاسبه، تفاوت سطح و فضای درون کره مهم است: مقدار پوشش لازم برای پوسته به مساحت مربوط می‌شود، اما مقدار فضایی که جسم اشغال می‌کند به حجم مربوط است.

تصور کن کره‌ای در استوانه‌ای قرار گرفته و به بالا، پایین و اطراف آن مماس است. در این حالت شعاع قاعدهٔ استوانه $R$ و ارتفاع آن $2R$ است. بنابراین حجم استوانه برابر است با:

$V_{\text{استوانه}}=\pi R^2\times 2R=2\pi R^3$

در آزمایش آبِ کتاب، یک نیم‌کره داخل استوانه قرار می‌گیرد و فضای باقی‌مانده با دو پیمانهٔ نیم‌کره‌ای آب پر می‌شود. پس حجم استوانه برابر حجم سه نیم‌کره است، در حالی که یک کره از دو نیم‌کره تشکیل می‌شود. نتیجه می‌گیریم:

$V_{\text{کره}}=\frac{2}{3}V_{\text{استوانه}}=\frac{4}{3}\pi R^3$

حجم نیم‌کره نصف این مقدار، یعنی $\frac{2}{3}\pi R^3$ است. برای پیدا کردن فضای خالی بین کره و استوانه، حجم کره را از حجم استوانه کم می‌کنیم. اگر شعاع بر حسب $\text{سانتی‌متر}$ باشد، حجم بر حسب $\text{سانتی‌متر مکعب}$ به دست می‌آید.

برای مساحت، به پوستهٔ جسم نگاه می‌کنیم، نه فضای داخل آن. فعالیت کاغذی کتاب کمک می‌کند تصور کنیم که بخش خمیدهٔ یک نیم‌کره، به اندازهٔ دو دایره با همان شعاع مساحت دارد. این فعالیت تقریبی است، اما رابطهٔ دقیق چنین است:

$S_{\text{رویهٔ نیم‌کره}}=2\pi R^2$

یک کره دو نیم‌کره دارد؛ پس مساحت سطح آن برابر است با:

$S_{\text{کره}}=4\pi R^2$

حالا تفاوت مهم را ببین: برای پارچهٔ یک عرقچین نیم‌کروی فقط بخش خمیده را حساب می‌کنیم. اما یک نیم‌کرهٔ چوبی توپر، زیرِ صاف و دایره‌ای هم دارد. اگر تمام سطح آن رنگ شود، باید مساحت قاعده را نیز اضافه کنیم:

$S_{\text{کل نیم‌کره}}=2\pi R^2+\pi R^2=3\pi R^2$

در جسم‌های ترکیبی نیز فقط سطح‌هایی را حساب می‌کنیم که در معرض رنگ‌اند؛ سطح اتصالِ دو قطعه درون جسم پنهان است. پیش از محاسبه، واحد طول‌ها را یکسان کن. واحد مساحت، مربعِ واحد طول است.

یک سقف هرمی را تصور کن: پایین آن یک چندضلعی است و سطح‌های مثلثی‌اش در بالا به یک نقطه می‌رسند. چندضلعیِ پایین، قاعده و نقطهٔ مشترکِ بالا، رأس است. هر ضلع قاعده، مربوط به یک وجه جانبی مثلثی است؛ پس هرم با قاعدهٔ پنج‌ضلعی، پنج وجه جانبی و یک قاعده دارد.

ارتفاع کوتاه‌ترین فاصلهٔ رأس تا صفحهٔ قاعده است؛ یعنی پاره‌خطی که بر قاعده عمود می‌شود. آن را با یال مایل هرم اشتباه نگیر. در هرم منتظم، قاعده یک چندضلعی منتظم است و وجه‌های جانبی هم‌نهشت‌اند. برای قاعدهٔ مربع، پای ارتفاع در مرکز مربع قرار می‌گیرد.

برای مقایسهٔ حجم هرم‌ها، دو ویژگی مهم‌اند: مساحت قاعده و ارتفاع عمودی. اگر مساحت قاعده‌ها برابر باشد، هرم بلندتر حجم بیشتری دارد. اگر ارتفاع‌ها برابر باشد، هرمی که مساحت قاعدهٔ بیشتری دارد، پُرحجم‌تر است.

حالا یک قاعدهٔ ثابت روی میز را تصور کن و رأس هرم را روی صفحه‌ای موازی میز جابه‌جا کن. هرم ممکن است کج‌تر به نظر برسد، اما فاصلهٔ رأس تا میز تغییر نمی‌کند؛ پس حجم هم ثابت می‌ماند. حتی لازم نیست شکل قاعدهٔ دو هرم یکسان باشد: برابر بودن مساحت قاعده‌ها و ارتفاع‌ها برای برابر بودن حجم کافی است.

در فعالیت کتاب، یک منشور مثلثی به سه هرم تقسیم می‌شود. با مقایسهٔ مساحت قاعده‌ها و ارتفاع‌ها می‌توان نشان داد که این سه هرم هم‌حجم‌اند. در نتیجه، حجم هرکدام یک‌سوم حجم منشور است. رابطهٔ کلی حجم هرم نیز چنین است:

$V=\frac{1}{3}Sh$

در این رابطه، $S$ مساحت قاعده و $h$ ارتفاع عمودی هرم است. اول مساحت قاعده را متناسب با شکل آن پیدا کن، سپس آن را در ارتفاع ضرب کن و حاصل را بر سه تقسیم کن.

اگر فقط طول یال مایل داده شده باشد، هنوز ارتفاع را نداری! در هرم منتظم با قاعدهٔ مربع، اتصال رأس، مرکز مربع و یک رأسِ مربع، مثلث قائم‌الزاویه می‌سازد؛ با فیثاغورس می‌توان ارتفاع را پیدا کرد.

یک هرم منتظم را تصور کن که تعداد ضلع‌های قاعده‌اش بیشتر و بیشتر می‌شود. اگر رأس و ارتفاع را ثابت نگه داریم، قاعده کم‌کم به دایره نزدیک می‌شود و شکل کلی هرم به مخروط نزدیک می‌شود؛ درست شبیه یک کلاه مخروطی.

در مخروطِ مورد بحث این درس، قاعده دایره است و ارتفاع از رأس تا مرکز این دایره رسم می‌شود. فاصلهٔ مایلِ رأس تا یک نقطه روی محیط قاعده، مولد مخروط نام دارد و با ارتفاع فرق می‌کند. رأس مخروط، مرکز قاعده و یک نقطه روی محیط، یک مثلث قائم‌الزاویه می‌سازند: ارتفاع و شعاع، ضلع‌های قائم‌اند و مولد، وتر است.

حجم مخروط هم یک‌سوم حاصل‌ضرب مساحت قاعده در ارتفاع است. چون قاعدهٔ مخروط دایره است، به جای $S$، عبارت $\pi R^2$ را می‌گذاریم:

$V=\frac{1}{3}\pi R^2h$

اینجا $R$ شعاع قاعده و $h$ ارتفاع عمودی است. اگر قطر داده شده، ابتدا نصف آن را پیدا کن. اگر طول مولد داده شده، ابتدا با فیثاغورس ارتفاع را به دست بیاور.

مثلاً برای مقایسهٔ گنجایش یک قیف مخروطی با ظرفی استوانه‌ای، باید شعاع و ارتفاع هر دو را بشناسی. وقتی این دو اندازه یکسان باشند، مخروط فقط یک‌سوم استوانه جا می‌گیرد. اگر طول‌ها بر حسب $\mathrm{cm}$ باشند، واحد حجم $\mathrm{cm^3}$ خواهد بود.

فرض کن یک جعبهٔ مقوایی را از چند لبه ببری و روی میز باز کنی؛ شکل تختی که می‌بینی، گستردهٔ جسم است. هنگام بازشدن، اندازه و مساحت وجه‌ها تغییر نمی‌کند؛ فقط جای آن‌ها عوض می‌شود. بنابراین مساحت کل جسم برابر مجموع مساحت بخش‌های گسترده است.

مکعب شش وجه مربعی هم‌اندازه دارد؛ پس برای ضلع $a$، مساحت کل برابر $S=6a^2$ است. در مکعب‌مستطیل با طول‌های $a$، $b$ و $c$، وجه‌های روبه‌رو برابرند و داریم $S=2(ab+ac+bc)$.

گستردهٔ هرم از یک قاعده و چند مثلث تشکیل می‌شود. مجموع مساحت مثلث‌ها مساحت جانبی است؛ با افزودن مساحت قاعده، مساحت کل به دست می‌آید. برای هر مثلث از رابطهٔ $A=\frac{1}{2}bh$ استفاده کن؛ در این رابطه، $h$ ارتفاع همان مثلث است، نه ارتفاع هرم.

سطح جانبی مخروط را که باز کنیم، یک قطاع دایره می‌بینیم؛ چیزی شبیه یک تکه بادبزن. شعاع این قطاع، فاصلهٔ رأس مخروط تا لبهٔ قاعده روی سطح مخروط است و آن را طول مولد، با نماد $l$، می‌نامیم. این طول را با شعاع قاعده، یعنی $r$، اشتباه نگیر.

نکتهٔ اصلی این است: طول کمان قطاع، همان محیط قاعدهٔ مخروط می‌شود. اگر قطاع کسری به اندازهٔ $f$ از یک دایره باشد، طول کمان آن $f\times2\pi l$ است. پس با نوشتن $f\times2\pi l=2\pi r$ می‌توان شعاع قاعده را پیدا کرد.

مساحت همان قطاع، مساحت جانبی مخروط است: $S_{\text{جانبی}}=f\pi l^2=\pi rl$. برای مخروطِ دارای قاعده، مساحت کل برابر $S_{\text{کل}}=\pi rl+\pi r^2$ خواهد بود.

اگر یک شکل تخت را حول خطی ثابت بچرخانی، ممکن است جسمی فضایی بسازد. برای شناخت جسم، ابتدا محور دوران را پیدا کن؛ سپس ببین نقطه‌های شکل چقدر از این محور فاصله دارند.

با دوران مستطیل حول یکی از ضلع‌هایش، استوانه ساخته می‌شود. ضلعِ روی محور، ارتفاع $h$ و ضلع عمود بر آن، شعاع قاعده $r$ است. حجم آن از رابطهٔ $V=\pi r^2h$ به دست می‌آید.

با دوران مثلث قائم‌الزاویه حول یکی از ضلع‌های قائم، مخروط ساخته می‌شود. ضلع قائمِ روی محور ارتفاع و ضلع قائم دیگر شعاع قاعده است؛ پس $V=\frac{1}{3}\pi r^2h$.

همچنین دوران ربع دایره حول یکی از شعاع‌های مرزی‌اش، نیم‌کره می‌سازد؛ حجم آن $V=\frac{2}{3}\pi r^3$ است. پیش از جای‌گذاری عددها، همیشه شکل حاصل، شعاع و ارتفاع را مشخص کن.

دیدن یک جسم از بالا، روبه‌رو یا چپ، با بریدن آن تفاوت دارد. نما تصویری از جسم در یک جهت است؛ ولی مقطع سطحی است که صفحهٔ برش درون جسم ایجاد می‌کند.

در جسم‌های ساخته‌شده از مکعب‌های هم‌اندازه، برای نمای بالا جای ستون‌ها را مشخص می‌کنیم، نه تعداد مکعب‌های هر ستون را. در نمای روبه‌رو، بلندترین ستونِ واقع در هر راستای نگاه تعیین‌کننده است؛ مکعب‌های پشت سر هم ممکن است یکدیگر را بپوشانند. نمای بالای هرم منتظم نیز مرزی هم‌شکل قاعده دارد و تصویر یال‌ها درون آن دیده می‌شود.

برش کره با صفحه، اگر فقط تماس نباشد، دایره است. هرچه صفحه به مرکز نزدیک‌تر شود، دایره بزرگ‌تر می‌شود؛ بزرگ‌ترین مقطع از مرکز می‌گذرد. برای مکعب، شکل مقطع به جای صفحه و جهت برش بستگی دارد؛ بدون دانستن برش، نمی‌توان آن را حتماً مربع دانست.

حجم می‌گوید جسم چقدر فضا اشغال می‌کند؛ مساحت کل می‌گوید برای پوشاندن تمام سطح آن چقدر ماده لازم است. مثلاً برای یک ظرف، حجم با گنجایش و مساحت با مقدار پوشش بدنه ارتباط دارد. واحد مساحت مانند $\mathrm{cm}^2$ و واحد حجم مانند $\mathrm{cm}^3$ است.

برای مقایسهٔ شکل‌های تمرین، این رابطه‌ها کمک می‌کنند:

• مکعب به ضلع $a$: حجم $V=a^3$ و سطح $S=6a^2$.
• کره به شعاع $a$: حجم $V=\frac{4}{3}\pi a^3$ و سطح $S=4\pi a^2$.
• استوانه: حجم $V=\pi r^2h$ و سطح کل $S=2\pi r^2+2\pi rh$.

در استوانه، دو قاعده را فراموش نکن. همچنین اگر قطر داده شده باشد، نخست از $r=\frac{d}{2}$ شعاع را به دست بیاور. برای مقایسهٔ نسبت $\frac{V}{S}$، حجم هر جسم را بر مساحت کل همان جسم تقسیم کن؛ این نسبت واحد طول دارد.