خلاصه درس فصل ۴ ریاضی نهم؛ درسنامه و نکات مهم

توان طبیعی را از قبل می‌شناسی: در $2^3$، سه عاملِ $2$ در هم ضرب می‌شوند. حالا به جای زیادکردن توان، آن را هر بار یک واحد کم کن؛ مقدار عبارت هر بار بر پایه تقسیم می‌شود. برای پایهٔ $2$، زنجیرهٔ $2^2=4$، سپس $2^1=2$ و بعد $2^0=1$ را داریم. اگر همین الگو را ادامه بدهیم، به $2^{-1}=\frac{1}{2}$ می‌رسیم. پس توان منفی ادامهٔ همان الگوست، نه نشانهٔ منفی‌بودن جواب. یادت باشد قانون توان صفر را برای پایهٔ ناصفر به کار می‌بریم.

قاعدهٔ اصلی این است: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$؛ یعنی برای پایهٔ ناصفر، توان منفی را با معکوسِ توان مثبت می‌نویسیم. راهِ هم‌ارز و راحت‌تر این است که اول پایه را معکوس کنی و بعد توان را مثبت بنویسی: $a^{-n}=\left(\frac{1}{a}\right)^n$. اگر پایه کسر باشد، معکوس‌کردن یعنی جابه‌جایی صورت و مخرج؛ مثلاً $\left(\frac{2}{3}\right)^{-4}=\left(\frac{3}{2}\right)^4$. فقط علامت توان را پاک نکن؛ مثبت‌کردن توان باید همراه با معکوس‌کردن پایه باشد. پایهٔ صفر هم مجاز نیست، چون تقسیم بر صفر تعریف نشده است.

پیش از محاسبه، مشخص کن توان دقیقاً روی چه پایه‌ای قرار گرفته است. در $(-3)^{-2}$، علامت منفی داخل پرانتز و جزئی از پایه است؛ پس بعد از معکوس‌کردن، یک پایهٔ منفی به توان زوج داریم و حاصل مثبت می‌شود. اما در $-3^{-2}$، توان فقط روی $3$ است و منفیِ بیرون در پایان اعمال می‌شود؛ بنابراین حاصل منفی است. برای پایهٔ منفی، توانِ صحیحِ زوج حاصل مثبت و توانِ صحیحِ فرد حاصل منفی می‌دهد. منفی‌بودن خودِ توان فقط به معکوس‌کردن مربوط است، نه تعیین علامت جواب.

اول از همه، علامت منفیِ توان را با علامت منفیِ عدد اشتباه نگیر. توان منفی یعنی معکوسِ توان مثبت: برای پایهٔ ناصفر، $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$. راه دیگر این است که همان ابتدا پایه را معکوس و توان را مثبت کنی: $a^{-n}=\left(\frac{1}{a}\right)^n$.

اگر پایه کسری باشد، صورت و مخرج جابه‌جا می‌شوند؛ اما علامتِ خودِ پایه حفظ می‌شود. پس پایهٔ منفی با توان زوج، حاصل مثبت و با توان فرد، حاصل منفی دارد. به پرانتز هم دقت کن: در $(-5)^2$، منفی بخشی از پایه است؛ ولی در $-5^2$، منفی بیرون از توان قرار دارد. همچنین برای هر پایهٔ ناصفر، $a^0=1$ است. پیش از محاسبه، دور پایه را با نگاهت مشخص کن؛ همین عادت جلوی بسیاری از اشتباه‌ها را می‌گیرد.

قاعدهٔ ضرب توان‌های هم‌پایه فقط برای توان‌های طبیعی نیست؛ برای توان‌های صحیح هم کار می‌کند. اگر پایه ناصفر باشد، داریم: $a^m\times a^n=a^{m+n}$. یعنی پایه ثابت می‌ماند و توان‌ها با علامتشان جمع می‌شوند.

پیش از استفاده از این قانون، دو چیز را بررسی کن: عمل باید ضرب باشد و پایه‌ها باید یکسان باشند. مثلاً در $b^{-2}\times b^{-3}$، توان تازه از جمع دو عدد منفی به دست می‌آید؛ قرار نیست توان‌ها در هم ضرب شوند. اگر عبارت ضریب هم داشته باشد، ضریب‌های عددی را جداگانه در هم ضرب می‌کنیم و توان‌های هر پایه را جدا جمع می‌کنیم. این قانون برای جمعِ عبارت‌ها نیست؛ در $2^{-1}+3^{-1}$ باید ابتدا هر توان را به کسر تبدیل کنیم و سپس کسرها را جمع کنیم.

حالا قانون مناسب را از روی شکل عبارت انتخاب کن. در تقسیم توان‌های هم‌پایه، $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$؛ یعنی توان مخرج از توان صورت کم می‌شود. اگر توان مخرج منفی باشد، حتماً آن را داخل پرانتز بنویس تا تفریقِ عدد منفی را درست انجام بدهی.

در توانِ یک توان، قانون فرق دارد: $(a^m)^n=a^{mn}$ و توان‌ها در هم ضرب می‌شوند. اگر دو عامل توان یکسان داشته باشند، می‌توان پایه‌ها را ترکیب کرد: $a^m b^m=(ab)^m$. برای تقسیم با توان مشترک هم $\frac{a^m}{b^m}=\left(\frac{a}{b}\right)^m$ برقرار است. در این روابط، پایه‌ها را ناصفر می‌گیریم. یک راه خوب برای جلوگیری از اشتباه این است که قبل از حساب‌کردن بپرسی: «عمل اصلی ضرب است، تقسیم است یا توان‌گرفتن؟»

برای مقایسهٔ عددهای توان‌دار، اول به علامت و بعد به اندازه نگاه کن. هر عدد مثبت از هر عدد منفی بزرگ‌تر است؛ توان منفی به‌تنهایی نشانهٔ منفی‌بودن عدد نیست. اگر پایه بزرگ‌تر از یک باشد، توان بزرگ‌تر، مقدار بزرگ‌تری می‌سازد؛ این موضوع برای توان‌های منفی هم برقرار است.

اگر پایه بین صفر و یک باشد، با افزایش توان، مقدار کوچک‌تر می‌شود؛ چون هر بار در عددی کوچک‌تر از یک ضرب می‌کنیم. برای مقایسهٔ پایه‌های متفاوت هم گاهی می‌توان آن‌ها را با یک پایه نوشت؛ مثلاً $16=2^4$ و $8=2^3$. در تمرین‌هایی که توان مجهول دارند، ابتدا با قوانین ضرب یا تقسیم، دو طرف را به توان‌هایی با پایهٔ مشترک تبدیل کن؛ سپس توان‌ها را مقایسه کن. پرانتزها و علامت‌های بیرونی را در تمام این مراحل نگه دار.

عددهای بسیار بزرگ یا بسیار کوچک، مثل فاصله‌های نجومی یا جرم اتم‌ها، با رشته‌ای از صفرها خواندن و محاسبه را دشوار می‌کنند. نماد علمی راهی منظم برای نوشتن عددهای مثبت است: $c\times10^n$، به شرطی که $1\leq c<10$ و $n$ عددی صحیح باشد. یعنی ضریب فقط یک رقم صحیحِ ناصفر دارد.

برای عددهای بزرگ، ممیز را به چپ می‌بریم و توان مثبت می‌شود؛ برای عددهای کوچک‌تر از یک، ممیز را به راست می‌بریم و توان منفی می‌شود. در ضرب دو نماد علمی، ضریب‌ها را در هم ضرب و توان‌های ده را جمع می‌کنیم. در پایان دوباره ضریب را بررسی کن؛ اگر از بازهٔ مجاز بیرون بود، ممیز و توان را هماهنگ تغییر بده. صرفِ داشتن توان ده کافی نیست؛ ضریب هم باید شرط نماد علمی را داشته باشد.

اول یک ابزار آشنا را به یاد بیاور: ضرب و تقسیم در توان‌های $10$. وقتی عددی را در $10^n$ ضرب می‌کنی و $n$ صحیحِ مثبت است، ممیز $n$ جایگاه به راست می‌رود؛ در تقسیم بر همان توان، ممیز $n$ جایگاه به چپ می‌رود. اگر رقم کافی نباشد، صفر می‌گذاری. مثلاً $9.3\times10^2=930$، اما $9.3\div10^2=0.093$.

حالا مسیر را برعکس کن: می‌توانی یک عدد بزرگ را به شکل حاصل‌ضرب بنویسی؛ مثل $300000000=3\times10^8$. این دو طرف دقیقاً یک مقدار دارند؛ فقط شیوهٔ نوشتنشان فرق کرده است.

این کار وقتی مفید است که با فاصلهٔ سیاره‌ها یا سرعت نور سروکار داریم. به‌جای دنبال کردن تعداد زیادی صفر، یک ضریب و یک توان را می‌خوانیم. نکتهٔ مهم این است که جابه‌جایی ممیز باید با توان مناسب جبران شود تا مقدار عدد تغییر نکند.

هر نوشتنی با توان $10$، نماد علمی نیست! شکل استاندارد آن $a\times10^n$ است؛ ضریب باید شرط $1\le a<10$ را داشته باشد و توان باید عددی صحیح باشد. یعنی قبل از ممیزِ ضریب، دقیقاً یک رقم غیرصفر قرار می‌گیرد.

برای تبدیل یک عدد مثبت، ابتدا ممیز را طوری جابه‌جا کن که ضریب در این بازه قرار بگیرد؛ سپس تعداد و جهت جابه‌جایی را بررسی کن. برای عددهای بزرگ، ممیز به چپ می‌رود و توان مثبت می‌شود: $124000=1.24\times10^5$. برای عددهای مثبتِ کوچک‌تر از $1$، ممیز به راست می‌رود و توان منفی می‌شود: $0.000007=7\times10^{-6}$. عددهای از $1$ تا کمتر از $10$ هم توان صفر دارند؛ مثلاً $5=5\times10^0$.

برای برگشت به نمایش اعشاری، همین مسیر را برعکس برو: توان مثبت یعنی حرکت ممیز به راست و توان منفی یعنی حرکت به چپ. یادت باشد توان منفی، عدد را منفی نمی‌کند؛ فقط نشان می‌دهد با کسری از واحد سروکار داریم، مانند ضخامت بسیار کم یک برگهٔ کاغذ.

وقتی عددها به نماد علمی نوشته شدند، می‌توانی ضریب‌ها و توان‌ها را جداگانه حساب کنی. در ضرب، ضریب‌ها را ضرب و توان‌های هم‌پایه را جمع کن:

$(a\times10^m)(b\times10^n)=(ab)\times10^{m+n}$

در تقسیم، ضریب‌ها را تقسیم و توانِ مخرج را از توانِ صورت کم کن:

$\dfrac{a\times10^m}{b\times10^n}=\dfrac{a}{b}\times10^{m-n}$

اما کار هنوز تمام نشده است: ضریبِ حاصل باید دوباره بررسی شود. اگر از بازهٔ $1\le a<10$ بیرون بود، ممیز را جابه‌جا کن و توان را طوری تغییر بده که مقدار ثابت بماند. مثلاً $12\times10^4$ با $1.2\times10^5$ برابر است، ولی فقط دومی نماد علمی است.

برای مقایسهٔ دو عدد مثبت در نماد علمی هم اول توان‌ها را ببین. توان بزرگ‌تر، عدد بزرگ‌تری می‌دهد؛ اگر توان‌ها برابر بودند، ضریب‌ها تعیین‌کننده‌اند. این روش برای مقایسهٔ فاصلهٔ سیاره‌ها خیلی کاربرد دارد. البته اول مطمئن شو هر دو ضریب در بازهٔ استاندارد هستند و واحدها یکسان‌اند.

ریشه‌گیری را می‌توان جست‌وجوی عددی دانست که توانِ آن را می‌شناسیم. برای پیدا کردن ریشه‌های دوم یک عدد می‌پرسیم: «چه عددهایی با توان دوم به این عدد می‌رسند؟» چون $3^2=9$ و $(-3)^2=9$، عدد $9$ دو ریشهٔ دوم دارد.

اما یک تفاوت مهم را به خاطر بسپار: نماد $\sqrt{9}$ فقط ریشهٔ نامنفی را نشان می‌دهد؛ پس $\sqrt{9}=3$ و ریشهٔ دیگر $-\sqrt{9}=-3$ است. برای عدد مثبت دو ریشهٔ دوم داریم، ولی صفر فقط یک ریشهٔ دوم دارد: خود صفر.

در مجموعهٔ عددهای حقیقی، عدد منفی ریشهٔ دوم ندارد؛ چون مربع هیچ عدد حقیقی منفی نمی‌شود. مثلاً وقتی از مساحت یک مربع به طول ضلعش می‌رسیم، مقدار نامنفی ریشه به کارمان می‌آید.

برای پیدا کردن ریشهٔ سوم می‌پرسیم: «کدام عدد اگر به توان سوم برسد، عدد داده‌شده را می‌سازد؟» مثلاً چون $2^3=8$، می‌نویسیم $\sqrt[3]{8}=2$. این بار عدد منفی هم می‌تواند زیر رادیکال باشد: از $(-2)^3=-8$ نتیجه می‌گیریم $\sqrt[3]{-8}=-2$.

تفاوت اصلی اینجاست: هر عدد حقیقی دقیقاً یک ریشهٔ سوم دارد. ریشهٔ سومِ عدد مثبت، مثبت است؛ ریشهٔ سومِ عدد منفی، منفی است؛ و ریشهٔ سوم صفر، صفر است. پس برای ریشهٔ سوم، دو جوابِ مثبت و منفی نمی‌نویسیم.

این فکر برای کسرها هم کار می‌کند: برای بررسی پاسخ، کافی است صورت و مخرجِ کسر پیشنهادی را به توان سوم برسانی. در یک مکعب نیز می‌توان با دانستن حجم، طول ضلع را با ریشهٔ سوم پیدا کرد.

گاهی زیر رادیکال دوم، مربعِ یک عدد یا یک عبارت را می‌بینیم. در این حالت نباید بدون توجه به علامت، توان و رادیکال را حذف کنیم. قانون درست این است: $\sqrt{x^2}=|x|$. قدرمطلق یعنی فاصلهٔ عدد از صفر؛ بنابراین همیشه نامنفی است.

اگر $x$ نامنفی باشد، $|x|=x$؛ اما اگر $x$ منفی باشد، $|x|=-x$. مثلاً برای $x=-6$ داریم $\sqrt{(-6)^2}=|-6|=6$، نه $-6$.

اگر به جای یک عدد، عبارتی مثل $1-\sqrt{2}$ دیدی، اول علامتش را بررسی کن. چون $\sqrt{2}>1$، این عبارت منفی است؛ پس قدرمطلق آن با عوض کردن علامتِ کل عبارت به دست می‌آید. پیش از حذف قدرمطلق، علامتِ داخل آن را پیدا کن؛ این کار جلوی اشتباه‌های زیادی را می‌گیرد.

برای ضرب و تقسیم رادیکال‌ها می‌توان محاسبه را به بخش‌های ساده‌تر شکست. برای ریشهٔ دوم و عددهای نامنفی داریم $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$. همچنین اگر $b>0$ باشد، $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

همین الگو برای ریشهٔ سوم هم برقرار است: $\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{b}$ و، به شرط $b\ne0$، $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$. در ریشهٔ سوم، عامل‌ها می‌توانند منفی هم باشند؛ چون عددهای منفی ریشهٔ سوم دارند.

این رابطه‌ها کمک می‌کنند به جای ریشه‌گیری از یک حاصل‌ضرب یا کسر، از بخش‌های ساده‌تر ریشه بگیریم. اما قانون ضرب را به جمع گسترش نده: به‌طور کلی جمع ریشه‌ها برابر ریشهٔ مجموع نیست. پیش از استفاده از هر قانون، نگاه کن بین عبارت‌ها علامت ضرب است، تقسیم است یا جمع.

گاهی دو رادیکال به‌تنهایی ظاهر سختی دارند، اما ضرب یا تقسیمشان ساده است. برای ریشهٔ دوم، اگر $a$ و $b$ مثبت باشند، داریم: $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ و $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$.

همین الگو برای ریشهٔ سوم هم برقرار است: $\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}$. در تقسیم نیز $\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}=\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}$، به شرط آنکه $b\ne0$ باشد؛ چون تقسیم بر صفر تعریف نشده است.

تفاوت مهم: زیر ریشهٔ سوم می‌توانیم عدد منفی هم داشته باشیم. پس قانون ضرب ریشه‌های سوم برای عددهای منفی نیز کاربرد دارد.

اگر بیرون رادیکال‌ها ضریب داریم، ضریب‌ها را جدا و عددهای زیر رادیکال را جدا ضرب می‌کنیم. مثلاً الگوی کار چنین است: $(m\sqrt[3]{a})(n\sqrt[3]{b})=mn\sqrt[3]{ab}$. فقط رادیکال‌های هم‌درجه را با این قانون ترکیب کن؛ ریشهٔ دوم و سوم را نمی‌توان مستقیم زیر یک رادیکال برد.

حالا یک ترمز مهم! قانونی که برای ضرب و تقسیم یاد گرفتیم، اجازه نمی‌دهد جمع را هم به زیر رادیکال ببریم. در حالت کلی، $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ با $\sqrt[3]{a+b}$ برابر نیست.

برای بررسی یک ادعا، لازم نیست همیشه قانون تازه‌ای حفظ کنیم؛ گاهی یک مثال نقض کافی است. دو طرف تساوی پیشنهادی را جداگانه بررسی کن: سمت چپ، جمعِ دو ریشه است؛ سمت راست، ریشهٔ یک جمع. این دو دستور محاسبه متفاوت‌اند.

پس پیش از ترکیب رادیکال‌ها، به علامت میان آن‌ها نگاه کن. دیدن علامت جمع به معنی ممنوع بودن هر نوع ساده‌سازی نیست؛ فقط نمی‌توان قانون ضرب را به جای قانون جمع به کار برد.

قانون ضرب را می‌توان برعکس هم به کار برد: عدد زیر رادیکال را به چند عامل تبدیل کن تا بخشی از آن از رادیکال بیرون بیاید. برای ریشهٔ دوم، دنبال عاملِ مربع کامل بگرد؛ یعنی عاملی که مربع یک عدد صحیح باشد. برای ریشهٔ سوم، دنبال عاملِ مکعب کامل بگرد.

مثلاً ساختار ساده‌سازی ریشهٔ دوم چنین است: $\sqrt{k^2m}=|k|\sqrt{m}$. وجود قدرمطلق مهم است، چون ریشهٔ دومِ اصلی همیشه نامنفی است. در نتیجه $\sqrt{x^2}=|x|$، نه اینکه همیشه برابر با $x$ باشد.

برای ریشهٔ سوم داریم $\sqrt[3]{k^3m}=k\sqrt[3]{m}$؛ اینجا خودِ $k$ با علامتش بیرون می‌آید. به همین دلیل، $\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$.

وقتی پس از ضرب یا تقسیم به عدد بزرگی زیر رادیکال رسیدی، فوراً سراغ تقریب نرو. اول بررسی کن آیا یک مربع کامل یا مکعب کامل در آن پنهان شده است؛ این کار جواب را دقیق و ساده نگه می‌دارد.

وقتی چهار ضلع برابر یک مربع را جمع می‌کنی، در واقع چهار بار یک طول یکسان را می‌شماری. جمع رادیکال‌های یکسان هم همین‌طور است: در $3\sqrt{2}+7\sqrt{2}$، سه تا و هفت تا از یک مقدار داریم. پس فقط ضریب‌های بیرون رادیکال جمع می‌شوند و قسمت رادیکالی تغییر نمی‌کند.

در تفریق هم همین قانون برقرار است؛ تعدادها را از هم کم می‌کنیم، نه عددهای زیر رادیکال را. ضریبِ نوشته‌نشدهٔ یک رادیکال نیز $1$ است.

اما برای این کار، تمام قسمت رادیکالی باید یکسان باشد: هم عدد یا عبارت زیر رادیکال و هم نوع ریشه. بنابراین $\sqrt{2}$ و $\sqrt{3}$ را نمی‌توان به یک جمله تبدیل کرد. همچنین $\sqrt{2}$ و $\sqrt[3]{2}$ هم‌نوع نیستند، هرچند عدد زیر هر دو یکسان است.

گاهی دو رادیکال در نگاه اول متفاوت‌اند، اما بعد از ساده شدن، قسمت رادیکالی یکسانی پیدا می‌کنند. پس پیش از تصمیم گرفتن دربارهٔ جمع یا تفریق، هر رادیکال را ساده کن.

برای ریشهٔ دوم، دنبال عامل مربع کامل بگرد؛ مثلاً در $\sqrt{12}$ می‌توان نوشت $12=4\times3$ و عامل $4$ را به صورت $2$ بیرون آورد. برای ریشهٔ سوم، عامل مکعب کامل لازم داریم؛ مانند $8$ یا $27$.

بعد از این کار، جمله‌ها را بر اساس قسمت رادیکالی دسته‌بندی کن و ضریب‌های هر دسته را جداگانه جمع یا تفریق کن. علامت منفی هر جمله را هم همراه آن نگه دار. اگر در پایان یک جمله با ریشهٔ دوم و جمله‌ای با ریشهٔ سوم باقی ماند، لازم نیست آنها را یکی کنی؛ ممکن است پاسخ ساده‌شده همچنان چند جمله داشته باشد.

اگر کنار یک پرانتز، عامل ضربی قرار دارد، آن عامل باید در تک‌تک جمله‌های پرانتز ضرب شود. این همان خاصیت توزیع‌پذیری است و برای رادیکال‌ها هم کاربرد دارد. مثلاً ساختار $\sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c})$ به دو حاصل‌ضرب تبدیل می‌شود، نه فقط یکی.

در ضرب ریشه‌های دوم با عددهای نامنفی، می‌توان عددهای زیر رادیکال را ضرب کرد: $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$. این قانون مخصوص ضرب است؛ آن را به جمع تعمیم نده! می‌توانی رادیکال‌ها را پیش از ضرب ساده کنی یا حاصل ضرب را بعداً ساده کنی؛ پاسخ باید یکسان باشد.

اگر مقسوم‌علیه یک پرانتز شامل جمع و تفریق رادیکال‌هاست، ابتدا همان پرانتز را ساده کن. چیزی را از میان جمله‌های جمع یا تفریق حذف نکن؛ شاید پس از محاسبهٔ کل پرانتز، تقسیم بسیار آسان شود.

پیش از کار با کسرهای رادیکالی، خوب است خودِ رادیکال‌ها را ساده کنیم. در ریشهٔ دوم، دنبال عاملِ مربع کامل بگرد؛ مثلاً $\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}$. در ریشهٔ سوم، عاملِ مکعب کامل را بیرون بیاور؛ مانند $\sqrt[3]{24}=2\sqrt[3]{3}$.

برای جمع و تفریق، جمله‌ها باید هم‌نوع باشند: هم فرجهٔ ریشه و هم عبارتِ زیر رادیکالشان یکسان باشد. آن‌وقت فقط ضریب‌ها را جمع یا کم می‌کنیم؛ درست مانند جمع کردن تعداد بسته‌های یکسان. پس $2\sqrt{3}+4\sqrt{3}=6\sqrt{3}$، اما $\sqrt{2}$ و $\sqrt[3]{2}$ هم‌نوع نیستند. در ضربِ عبارت‌های پرانتزی هم هر جمله را در همهٔ جمله‌های پرانتز دیگر ضرب می‌کنیم و سپس ساده می‌کنیم.

گویا کردن مخرج یعنی کسر را به شکلی مساوی با آن بنویسیم که مخرجش عددی گویا باشد. لازم نیست رادیکالِ صورت هم از بین برود. قانون اصلی همان قانون آشنای کسرهاست: اگر صورت و مخرج را در یک عبارتِ ناصفر ضرب کنیم، مقدار کسر تغییر نمی‌کند.

اگر مخرج شامل ریشهٔ دوم باشد، معمولاً ضرب در همان بخش رادیکالی کمک می‌کند؛ چون $\sqrt{b}\times\sqrt{b}=b$ برای $b>0$. مثلاً برای مخرجِ $2\sqrt{3}$، عامل مناسب $\sqrt{3}$ است؛ ضریبِ بیرون رادیکال سر جای خود می‌ماند و مخرج به $6$ تبدیل می‌شود. در پایان، حتماً بررسی کن آیا صورت و مخرج عامل مشترکی برای ساده کردن دارند یا نه.

برای مخرجِ دارای ریشهٔ سوم، هدف این است که عبارتِ زیر رادیکال به مکعب کامل تبدیل شود. به‌جای اینکه همیشه در همان رادیکال ضرب کنی، از خودت بپرس: «چه عاملی کم دارم تا توان به مضربی از سه برسد؟»

مثلاً $\sqrt[3]{5}$ به عاملِ $\sqrt[3]{5^2}$ نیاز دارد، چون حاصل‌ضربشان $\sqrt[3]{5^3}=5$ است. اما برای $\sqrt[3]{z^2}$، عاملِ $\sqrt[3]{z}$ کافی است و حاصل برابر $z$ می‌شود. اینجا باید $z\ne0$ باشد تا مخرج صفر نشود؛ منفی بودنِ $z$ مانعی ندارد، چون ریشهٔ سومِ عدد منفی تعریف شده است. مانند قبل، عامل انتخاب‌شده را هم در صورت و هم در مخرج ضرب کن و در پایان کسر را ساده کن.