خلاصه درس فصل ۱ ریاضی نهم؛ درسنامه و نکات مهم

در گفت‌وگوی روزمره، «چند کتاب خوب» عبارت قابل‌فهمی است؛ اما ممکن است تو و دوستت کتاب‌های متفاوتی انتخاب کنید. در ریاضی، برای مشخص‌کردن یک مجموعه باید بتوانیم دربارهٔ هر چیز تصمیم بگیریم: عضو هست یا نیست؟ این تصمیم نباید به سلیقه یا انتخاب دلخواه وابسته باشد.

مثلاً «شمارنده‌های اوّلِ عدد $60$» دقیق است: فقط $2$، $3$ و $5$ این شرط را دارند. ولی «دو شمارندهٔ اوّلِ عدد $60$» کافی نیست؛ چون می‌توان دو عضو متفاوت از میان آن‌ها انتخاب کرد. پس مشکل این نیست که پاسخ وجود ندارد؛ مشکل این است که پاسخ یکتا نیست.

وقتی اعضای یک مجموعه معلوم شدند، آن‌ها را داخل آکولاد می‌نویسیم و معمولاً نامی مانند $A$ برای مجموعه می‌گذاریم. مثلاً شمارنده‌های اوّلِ عدد $60$ را به شکل $A=\{2,3,5\}$ نمایش می‌دهیم. هرکدام از این عددها یک عضو است؛ بنابراین این مجموعه سه عضو دارد.

در مجموعه، مهم این است که چه اعضایی حضور دارند، نه اینکه کدام را زودتر نوشته‌ایم. نوشتن $\{5,2,3\}$ همان اعضا را نشان می‌دهد. همچنین تکرار، عضو تازه‌ای نمی‌سازد: در $\{2,2,3,5\}$ هنوز فقط سه عضو متمایز داریم. هنگام شمردن اعضا، هر عضو را فقط یک بار حساب کن؛ درست مانند فهرست نام‌های متفاوت، نه تعداد دفعات نوشته‌شدن نام‌ها.

برای گفتن اینکه چیزی عضو یک مجموعه است، از نماد $\in$ استفاده می‌کنیم. اگر $A=\{1,2,3,4\}$ باشد، می‌نویسیم $3\in A$؛ یعنی سه عضو این مجموعه است. برای عضو نبودن، نماد $\notin$ را داریم؛ مثلاً $7\notin A$.

راه تصویری نمایش مجموعه، نمودار ون است: یک منحنی بسته می‌کشیم، نام مجموعه را کنار آن می‌گذاریم و اعضا را داخلش می‌نویسیم. لازم نیست منحنی حتماً دایره باشد؛ بسته‌بودنش مهم است. اگر دو مجموعه عضو مشترک داشته باشند، می‌توان منحنی‌ها را هم‌پوشان کشید. مثلاً برای $A=\{1,2,3\}$ و $B=\{3,4\}$، عدد $3$ در بخش مشترک دو منحنی قرار می‌گیرد، چون عضو هر دو مجموعه است.

گاهی شرط یک مجموعه کاملاً روشن است، اما هیچ چیزی آن شرط را ندارد. مثلاً هیچ عدد طبیعی‌ای بزرگ‌تر از $4$ و کوچک‌تر از $5$ نیست. این عبارت یک مجموعهٔ معین را مشخص می‌کند، ولی مجموعه هیچ عضوی ندارد؛ به آن مجموعهٔ تهی می‌گوییم و با $\varnothing$ یا $\{\ \}$ نمایش می‌دهیم.

تهی‌بودن را با داشتن عضوِ صفر اشتباه نگیر. مجموعهٔ $\{0\}$ یک عضو دارد: خودِ عدد صفر. مجموعهٔ $\{\varnothing\}$ هم یک عضو دارد: یک مجموعهٔ تهی که داخل آکولاد قرار گرفته است. برای تشخیص تعداد اعضا، به چیزهایی نگاه کن که داخل آکولاد قرار دارند؛ «هیچ عضو نداشتن» با «یک عضوِ خاص داشتن» فرق دارد.

برای مقایسهٔ دو مجموعه، به خودِ عضوها نگاه کن، نه جای آن‌ها در نوشته. دو مجموعه وقتی برابرند که هر عضو مجموعهٔ اول در مجموعهٔ دوم باشد و هر عضو مجموعهٔ دوم هم در مجموعهٔ اول پیدا شود. این بررسی دوطرفه مهم است؛ نباید فقط یکی از مجموعه‌ها را بررسی کنی.

مثلاً دو کیف را در نظر بگیر که هر کدام یک مداد، یک پاک‌کن و یک تراش دارند. جابه‌جا چیدن این وسایل، فهرست وسایل کیف‌ها را تغییر نمی‌دهد. در مجموعه‌ها هم ترتیب نوشتن عضوها اثری بر برابری ندارد.

برابری دو مجموعه را با نماد $A=B$ می‌نویسیم. یک راه مطمئن این است که عضوهای $A$ را یکی‌یکی در $B$ پیدا کنی و بعد مسیر را برعکس بروی. اگر در هیچ‌کدام عضوی اضافه نماند، دو مجموعه برابرند. در این حالت تعداد عضوهایشان هم برابر است؛ اما آیا فقط شمردن عضوها همیشه کافی است؟ در کارت بعد این نکته را بررسی می‌کنیم.

اگر فقط یک عضو پیدا کنی که در یکی از دو مجموعه باشد و در دیگری نباشد، همین برای رد کردن برابری کافی است. نابرابری را با نماد $A\neq B$ نشان می‌دهیم. لازم نیست همهٔ عضوها متفاوت باشند؛ ممکن است بیشتر عضوها مشترک باشند و تنها یک تفاوت، دو مجموعه را نابرابر کند.

پس هم‌تعداد بودن با برابر بودن فرق دارد. دو کیف ممکن است هر کدام سه وسیله داشته باشند، ولی یکی مداد و دیگری خودکار داشته باشد. دربارهٔ مجموعه‌ها هم باید بپرسی «کدام عضوها؟»، نه فقط «چند عضو؟».

هنگام مقایسهٔ عضوهای عددی، به مقدار عدد توجه کن. یک عدد می‌تواند به شکل کسر، اعشار یا عبارت رادیکالی نوشته شود. پیش از تصمیم‌گیری، عبارت‌ها را ساده کن تا تفاوتِ ظاهر را با تفاوتِ مقدار اشتباه نگیری. در سؤال‌های جای خالی هم ابتدا عضوهای هم‌مقدار را پیدا کن؛ سپس ببین هر طرف چه عضوی کم دارد. این روش کمک می‌کند چیزی از قلم نیفتد.

فرض کن مجموعهٔ وسایل داخل کیف تو را $D$ و مجموعهٔ مدادهای داخل همان کیف را $B$ بنامیم. هر چیزی که در $B$ است، در $D$ هم هست؛ پس می‌نویسیم $B\subseteq D$ و می‌خوانیم «$B$ زیرمجموعهٔ $D$ است».

آزمون اصلی این است: آیا تک‌تک عضوهای مجموعهٔ سمت چپ در مجموعهٔ سمت راست هستند؟ داشتن چند عضو مشترک کافی نیست. در نمودار ون، وقتی منحنی یک مجموعه کاملاً داخل منحنی مجموعهٔ دیگر باشد، همهٔ عضوهای مجموعهٔ داخلی در مجموعهٔ بیرونی هم هستند.

لازم نیست زیرمجموعه حتماً عضوهای کمتری داشته باشد. هر مجموعه زیرمجموعهٔ خودش است؛ چون هر عضوش را در خودش پیدا می‌کنیم: $A\subseteq A$.

برای نشان‌دادن اینکه $B$ زیرمجموعهٔ $A$ نیست، لازم نیست همهٔ عضوها را بررسی و گزارش کنی. یک عضو از $B$ که در $A$ نباشد کافی است. آن عضو، شاهد رد رابطه است و می‌نویسیم $B\not\subseteq A$.

مثلاً در نموداری که $A$ داخل $B$ است، اگر عضوی در بخش بیرونی $A$ و داخل $B$ ببینی، می‌توانی بگویی $B$ زیرمجموعهٔ $A$ نیست. پس جهت رابطه مهم است.

حالا مجموعهٔ تهی را در نظر بگیر: هیچ عضوی ندارد که بخواهد بیرون از $A$ باشد! بنابراین هیچ شاهدی برای رد رابطه پیدا نمی‌شود و همیشه $\varnothing\subseteq A$ درست است. تهی‌بودن مانع زیرمجموعه بودن نیست.

در کار در کلاس باید حواست به تفاوت عضو بودن و زیرمجموعه بودن باشد. نماد $\in$ برای عضو بودن است؛ نماد $\subseteq$ برای مقایسهٔ دو مجموعه از نظر زیرمجموعه بودن به کار می‌رود.

اگر $A=\{1,3,6,4\}$ باشد، عبارت $3\in A$ درست است؛ چون عدد $3$ یکی از عضوهای نوشته‌شده است. همچنین $\{1,4\}\subseteq A$ درست است؛ چون هر دو عضو مجموعهٔ سمت چپ در $A$ هستند. اما $\{1,4\}\in A$ نادرست است: عضوهای این $A$ عدد هستند، نه مجموعهٔ $\{1,4\}$.

پیش از داوری، به سمت چپ نماد نگاه کن. در این تمرین، عدد تنها را با نماد عضویت بررسی کن و مجموعهٔ داخل آکولاد را با آزمون زیرمجموعه بودن.

برای نوشتن همهٔ زیرمجموعه‌ها، منظم پیش برو تا چیزی جا نماند. ابتدا مجموعهٔ تهی، سپس زیرمجموعه‌های تک‌عضوی، بعد دو‌عضوی و همین‌طور تا خود مجموعه را بنویس. هر بار فقط از عضوهای مجموعهٔ اصلی انتخاب می‌کنیم؛ عضو تازه‌ای اضافه نمی‌کنیم.

برای مجموعهٔ $\{a,b,c\}$، پس از تهی، سه زیرمجموعهٔ تک‌عضوی و سه زیرمجموعهٔ دو‌عضوی داریم و در پایان خود مجموعه را می‌نویسیم. یادت باشد $\{a,b\}$ و $\{b,a\}$ یک مجموعه‌اند، نه دو زیرمجموعهٔ متفاوت.

اگر مجموعه با توضیح داده شده، اول عضوهایش را مشخص کن. مثلاً برای «عددهای طبیعی بین دو عدد»، ابتدا عددهای واقعاً بین آن دو را پیدا کن؛ سپس زیرمجموعه‌ها را بنویس.

برای شمردن کتاب‌های یک قفسه از یک، دو، سه و همین‌طور عددهای بعدی استفاده می‌کنیم. این عددها مجموعهٔ عددهای طبیعی را می‌سازند و نماد آن‌ها $\mathbb{N}$ است:

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,\ldots\}$

سه‌نقطه یعنی فهرست با همین الگو ادامه دارد و تمام نمی‌شود. در قرارداد این کتاب، صفر عضو مجموعهٔ عددهای طبیعی نیست؛ این نکته را از همین ابتدا به خاطر بسپار.

وقتی می‌نویسیم $x\in\mathbb{N}$، منظورمان این است که $x$ یکی از عددهای همین مجموعه است. پس پیش از انتخاب مقدار برای یک حرف، باید ببینیم آن حرف اجازه دارد از کدام مجموعه انتخاب شود.

برای معرفی یک مجموعه، همیشه لازم نیست عضوهایش را ردیف کنیم؛ می‌توانیم قانون عضویت بدهیم. مثلاً مجموعهٔ عددهای طبیعیِ زوج چنین نوشته می‌شود:

$E=\{2k\mid k\in\mathbb{N}\}$

بخشِ پیش از خط عمودی، شکل عددها را نشان می‌دهد و بخشِ پس از آن می‌گوید $k$ از کجا انتخاب می‌شود. برای عددهای طبیعیِ فرد نیز می‌نویسیم $\{2k-1\mid k\in\mathbb{N}\}$.

گاهی به‌جای قانون ساختن، شرط انتخاب داریم؛ مثلاً $\{x\in\mathbb{N}\mid 6<x<11\}$ فقط طبیعی‌های بزرگ‌تر از $6$ و کوچک‌تر از $11$ را می‌خواهد. علامت $<$ سرِ مرز را نمی‌پذیرد، اما $\le$ آن را می‌پذیرد. پس هم مجموعهٔ مجاز و هم شرط را بخوان.

اگر روی قفسه هیچ کتابی نباشد، برای بیان تعداد کتاب‌ها به صفر نیاز داریم. با افزودن صفر به طبیعی‌ها، مجموعهٔ عددهای حسابی ساخته می‌شود:

$W=\{0,1,2,3,\ldots\}$

این مجموعه را می‌توان به شکل $W=\{k-1\mid k\in\mathbb{N}\}$ هم نوشت. برای توصیف چیزهایی مثل دمای زیر صفر، عددهای منفی هم لازم می‌شوند. مجموعهٔ عددهای صحیح شامل طبیعی‌ها، صفر و قرینهٔ طبیعی‌هاست:

$\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$

بنابراین $\mathbb{N}\subseteq W\subseteq\mathbb{Z}$. یعنی هر عضو مجموعهٔ کوچک‌تر در مجموعهٔ بعدی هم هست. دقت کن: نماد $\in$ برای عضویتِ یک عدد و نماد $\subseteq$ برای رابطهٔ میان دو مجموعه است.

برای بیان نصف یک نان یا سهمی از یک مقدار، عددهای صحیح کافی نیستند. عدد گویا عددی است که بتوان آن را به شکل کسری با صورت و مخرج صحیح و مخرجِ ناصفر نوشت:

$Q=\left\{\frac{a}{b}\mid a,b\in\mathbb{Z},\ b\ne0\right\}$

شرط ناصفر بودن مخرج ضروری است، چون تقسیم بر صفر تعریف نشده است. هر عدد صحیح هم گویاست؛ زیرا برای هر $a\in\mathbb{Z}$ داریم $a=\frac{a}{1}$. پس زنجیرهٔ آشنای ما کامل‌تر می‌شود:

$\mathbb{N}\subseteq W\subseteq\mathbb{Z}\subseteq Q$

عددهای گویا را نمی‌توان مانند طبیعی‌ها از کوچک به بزرگ، با «عدد بعدی» فهرست کرد؛ بین دو عدد گویای متفاوت، باز هم عدد گویا پیدا می‌شود.

فرض کن دو فهرست داریم: بازیکنان والیبال و بازیکنان فوتبال. برای پیدا کردن اشتراک، دنبال کسانی می‌گردیم که نامشان در هر دو فهرست باشد؛ یعنی هم والیبال بازی کنند و هم فوتبال. در فعالیت کتاب، علی و رضا چنین وضعی دارند.

نماد اشتراک $A\cap B$ است. هنگام خواندن آن، به واژهٔ «هم» فکر کن: عضو باید هم در $A$ باشد و هم در $B$. در نمودار ون، فقط قسمت هم‌پوشانی دو دایره را انتخاب می‌کنیم، نه همهٔ دو دایره را. اگر هیچ عضو مشترکی نباشد، اشتراک مجموعهٔ تهی، یعنی $\emptyset$، است.

حالا می‌خواهیم فهرست کسانی را داشته باشیم که دست‌کم در یکی از دو تیم بازی می‌کنند. این بار هم بازیکنان مخصوص والیبال، هم بازیکنان مخصوص فوتبال و هم بازیکنان مشترک را برمی‌داریم. این مجموعه اجتماع نام دارد و با $A\cup B$ نشان داده می‌شود.

در نمودار ون، همهٔ فضای داخل هر دو دایره انتخاب می‌شود. عضو مشترک را فقط یک بار می‌نویسیم؛ «یا» در تعریف اجتماع، حضور در هر دو مجموعه را هم می‌پذیرد.

نکتهٔ فعالیت صفحهٔ بعد این است که دانستن اجتماع و اشتراک، همیشه خود دو مجموعه را مشخص نمی‌کند: عضوهای غیرمشترک می‌توانند به شکل‌های مختلف میان دو مجموعه تقسیم شوند، بدون اینکه اجتماع و اشتراک تغییر کنند.

اگر مربی فقط بازیکنان والیبال را بخواهد که فوتبال بازی نمی‌کنند، باید از فهرست والیبال شروع کنیم و نام بازیکنان مشترک را حذف کنیم. این کار تفاضل مجموعه‌ها است. در $A-B$، فقط عضوهایی باقی می‌مانند که در $A$ هستند، اما در $B$ نیستند.

در نمودار ون، بخش مخصوص دایرهٔ اول را انتخاب می‌کنیم و قسمت هم‌پوشانی را کنار می‌گذاریم. حواست به ترتیب باشد: $B-A$ از مجموعهٔ دیگری شروع می‌شود و معمولاً نتیجهٔ دیگری دارد. تفاضل، کم‌کردن عددها نیست؛ حذف‌کردن عضوهاست. به همین دلیل، $A-B$ همیشه زیرمجموعهٔ $A$ است و هیچ عضوی از بیرون $A$ به آن اضافه نمی‌شود.

بعد از ساختن یک مجموعه، ممکن است بخواهیم بدانیم چند عضو دارد. نماد $n(A)$ یعنی تعداد عضوهای مجموعهٔ $A$؛ پس پاسخ آن یک عدد است، نه فهرست عضوها. برای شمردن اجتماع، اول عضوهای تکراری را کنار بگذار و بعد بشمار.

چند رابطه هم به تشخیص سریع کمک می‌کند: اشتراک هر مجموعه با خودش، همان مجموعه است؛ یعنی $A\cap A=A$. اجتماع یک مجموعه با مجموعهٔ تهی چیزی به آن اضافه نمی‌کند: $A\cup\emptyset=A$. اما $A\cap\emptyset=\emptyset$، چون مجموعهٔ تهی هیچ عضوی برای مشترک‌بودن ندارد. همچنین اشتراک، زیرمجموعهٔ هر دو مجموعه است و هر دو مجموعه، زیرمجموعهٔ اجتماعشان هستند.

برای محاسبهٔ احتمال، اول روشن کن چه چیزهایی ممکن است رخ دهد و کدام نتیجه‌ها را می‌خواهی. مجموعهٔ همهٔ نتیجه‌های ممکن را با $S$ و مجموعهٔ نتیجه‌های مطلوب را با $A$ نشان می‌دهیم. نماد $n(S)$ یعنی تعداد عضوهای $S$؛ پس آن را با خود مجموعه اشتباه نگیر.

وقتی همهٔ نتیجه‌های ممکن هم‌شانس باشند، مانند رو شدن وجه‌های یک تاس سالم، داریم: $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$. یعنی تعداد حالت‌های مطلوب را بر تعداد همهٔ حالت‌های ممکن تقسیم می‌کنیم. در تاس، عضوهای $S$ عددهای روی وجه‌ها هستند؛ خود تاس یک حالت به حساب نمی‌آید!

دو سرِ مهم این مقیاس را هم بشناس: اگر هیچ نتیجه‌ای خواستهٔ ما را برآورده نکند، $A=\emptyset$ و $P(A)=0$ است؛ این پیشامد ناممکن است. اگر همهٔ نتیجه‌ها مطلوب باشند، $A=S$ و $P(A)=1$ است؛ این پیشامد حتمی است. بنابراین احتمال از $0$ کمتر و از $1$ بیشتر نمی‌شود.

هر پیشامد را می‌توان به شکل یک زیرمجموعه از $S$ نوشت؛ چون نتیجهٔ مطلوب باید یکی از نتیجه‌های ممکن باشد. مثلاً اگر چرخنده فقط عددهای $1$، $2$ و $3$ را نشان دهد، پیشامد «آمدن عدد فرد» همان مجموعهٔ $\{1,3\}$ است. برای نوشتن مجموعه، تک‌تک نتیجه‌ها را با جملهٔ پیشامد بررسی کن.

رابطه برعکس هم برقرار است: هر زیرمجموعهٔ $S$ یک پیشامد می‌سازد، حتی مجموعهٔ تهی و خود $S$. ممکن است دو جملهٔ متفاوت هم یک مجموعهٔ مطلوب را توصیف کنند.

دو پیشامد را وقتی هم‌شانس می‌نامیم که احتمالشان برابر باشد. در یک آزمایش با نتیجه‌های هم‌شانس، چون مخرج کسر احتمال ثابت است، پیشامدهایی با تعداد عضو برابر، احتمال برابر دارند؛ حتی اگر عضوهایشان متفاوت باشد. مراقب چرخنده‌ها باش: صرفِ وجود چند عدد به معنی برابر بودن شانس آن‌ها نیست؛ برای استفاده از فرمول شمارشی باید برابر بودن شانس نتیجه‌ها را بدانیم.

در سؤال‌های چندمرحله‌ای، مهم‌ترین کار این است که هیچ حالتی را جا نیندازی یا دوبار نشماری. برای دو بار پرتاب تاس، نتیجه را به صورت زوج مرتب $(a,b)$ ثبت کن: عضو اول نتیجهٔ پرتاب اول و عضو دوم نتیجهٔ پرتاب دوم است. پس $(2,5)$ و $(5,2)$ دو حالت متفاوت‌اند. برای هر نتیجهٔ پرتاب اول، شش نتیجه در پرتاب دوم داریم؛ بنابراین $n(S)=6\times6=36$.

در مسئلهٔ سه فرزند هم ترتیب تولد را نگه می‌داریم. مثلاً «دختر، دختر، پسر» با «پسر، دختر، دختر» متفاوت است. در مدل سادهٔ این تمرین، دختر یا پسر بودن را هم‌شانس و مستقل در نظر می‌گیریم تا بتوانیم از فرمول شمارشی استفاده کنیم.

بعد، جملهٔ پیشامد را دقیق بخوان: «و» یعنی هر دو شرط هم‌زمان برقرار باشند؛ «یا» یعنی دست‌کم یکی برقرار باشد؛ «نباشد» یعنی نتیجه‌های دیگر را انتخاب کنیم. «دقیقاً دو دختر» هم یعنی نه کمتر و نه بیشتر از دو دختر.