خلاصه درس فصل ۳ ریاضی هشتم؛ درسنامه و نکات مهم

اول دورِ شکل را با نگاه دنبال کن: آیا مرز آن فقط از پاره‌خط‌ها ساخته شده و دوباره به نقطهٔ شروع می‌رسد؟ اگر بله، هنوز یک شرط دیگر مانده است: ضلع‌ها نباید در میانهٔ مسیر از روی هم رد شوند؛ برخورد فقط در رأس مشترک مجاز است. چنین شکلی چندضلعی است.

حالا برای تشخیص چندضلعی منتظم دو چیز را جداگانه بررسی کن: برابری همهٔ ضلع‌ها و برابری همهٔ زاویه‌ها. هیچ‌کدام به‌تنهایی کافی نیست. مثلاً یک لوزیِ غیرمربع ضلع‌های برابر دارد، اما منتظم نیست؛ یک مستطیلِ غیرمربع هم زاویه‌های برابر دارد، ولی منتظم نیست. مربع هر دو شرط را دارد.

تصور کن شکلی را روی کاغذ بریده‌ای و آن را از روی یک خط تا می‌زنی. اگر دو بخش دقیقاً روی هم قرار بگیرند، آن خط، خط تقارن یا محور تقارن شکل است. فقط برابر بودن اندازهٔ دو بخش کافی نیست؛ جای همهٔ قسمت‌ها باید با هم جور شود.

در یک چندضلعی منتظم، تعداد خط‌های تقارن با تعداد ضلع‌ها برابر است. برای پیدا کردن آن‌ها، به رأس‌ها و وسط ضلع‌ها توجه کن. در مربع بعضی محورهای تقارن از رأس‌های روبه‌رو و بعضی از وسط ضلع‌های روبه‌رو می‌گذرند. پس جست‌وجوی محور تقارن را فقط به خط‌هایی که از رأس‌ها می‌گذرند محدود نکن.

این بار به‌جای تا زدن، شکل را دور یک نقطه بچرخان. اگر با نیم‌دور، یعنی دوران $180^\circ$، تمام شکل دقیقاً روی جای قبلی‌اش بیفتد، آن نقطه مرکز تقارن است. مثلاً مرکز تقارن مستطیل، محل برخورد قطرهای آن است.

برای چندضلعی‌های منتظم، زوج یا فرد بودن تعداد ضلع‌ها تعیین‌کننده است: تعداد ضلع زوج باشد، مرکز شکل مرکز تقارن است؛ تعداد ضلع فرد باشد، مرکز تقارن نداریم. همچنین هر انطباق دورانی نشانهٔ مرکز تقارن نیست: مثلث متساوی‌الاضلاع با دوران $120^\circ$ روی خودش می‌افتد، اما آزمون مرکز تقارن حتماً نیم‌دور است. پس خط تقارن، مرکز تقارن و انطباق با یک دوران دلخواه را از هم جدا نگه دار.

برای کامل‌کردن یک نقش با مرکز تقارن مشخص، لازم نیست شکل را حدس بزنی. هر رأس را به نقطهٔ $O$ وصل کن و همان مسیر را در سوی دیگر ادامه بده؛ فاصلهٔ رأس تازه تا $O$ باید با فاصلهٔ رأس اولیه تا $O$ برابر باشد. به زبان هندسی، $O$ وسط پاره‌خطِ وصل‌کنندهٔ هر نقطه و قرینهٔ آن است.

روی کاغذ شطرنجی، جابه‌جایی افقی و عمودی از $O$ تا رأس را بشمار؛ برای قرینه، همان مقدار را در جهت‌های مخالف برو. سپس رأس‌های تازه را مانند شکل اولیه به هم وصل کن. این کار برای ساختن نقش کاشی هم کاربرد دارد. برای ردکردن مرکز تقارن بودن یک نقطه نیز پیدا کردن تنها یک نقطهٔ بدون جفت کافی است.

حالا به رابطهٔ خط‌ها نگاه کنیم. موازی‌بودن دو خط را با $a\parallel b$ نشان می‌دهیم. اگر خط دیگری هر دو را قطع کند، به آن خط مورب می‌گوییم. زاویه‌هایی که در دو محل برخورد، جایگاه یکسان دارند، برابرند؛ مثلاً زاویهٔ بالای سمت راست در برخورد اول با زاویهٔ بالای سمت راست در برخورد دوم برابر است.

دقت کن: قرار نیست همهٔ زاویه‌های شکل برابر باشند! زاویه‌های مجاور روی یک خط راست، مکمل‌اند و مجموعشان $180^\circ$ است. اگر خط قطع‌کننده بر یکی از دو خط موازی عمود باشد، بر دیگری هم عمود می‌شود؛ چون زاویهٔ هم‌موقعیت با زاویهٔ قائمه نیز $90^\circ$ است.

دو خط موازی در یک صفحه، هرقدر ادامه پیدا کنند، به هم نمی‌رسند. موازی بودن را با $a \parallel b$ و موازی نبودن را با $a \nparallel b$ نشان می‌دهیم. خطی که هر دو را قطع می‌کند، در این درس «خط مورب» نام دارد؛ لازم نیست در نقاشی حتماً کج به نظر برسد.

در هر تقاطع، چهار زاویه ساخته می‌شود. اگر خط‌های موازی را افقی تصور کنی، زاویهٔ بالا و راستِ تقاطع اول با زاویهٔ بالا و راستِ تقاطع دوم برابر است. به این‌ها زاویه‌های هم‌مکان می‌گوییم. پس منظور از برابر بودن زاویه‌ها، برابر بودنِ همهٔ زاویه‌های شکل نیست!

برعکس، اگر یک خط، دو خط را قطع کند و زاویه‌های هم‌مکان برابر باشند، می‌توان موازی بودن آن دو خط را نتیجه گرفت؛ حتی اگر شکل با دقت رسم نشده باشد.

برای پیدا کردن زاویه‌های مجهول، لازم نیست همهٔ آن‌ها را جداگانه حفظ کنی. سه رابطه کافی است: زاویه‌های هم‌مکان در دو خط موازی برابرند؛ زاویه‌های متقابل به رأس برابرند؛ و دو زاویهٔ مجاور که یک زاویهٔ نیم‌صفحه می‌سازند، مکمل‌اند، یعنی مجموعشان $180^\circ$ است.

دو خط موازی افقی و یک خط قطع‌کننده تصور کن. اگر خط بالایی را بدون چرخاندن روی خط پایینی ببری، زاویه‌های هم‌مکان روی هم می‌افتند. زاویه‌ای که کنار یکی از آن‌ها روی یک خط راست قرار دارد، با آن مکمل است. پس پیش از حساب کردن، جای زاویه را مشخص کن: «برابر» است یا «مکمل»؟

برای رسم موازی روی کاغذ شطرنجی هم می‌توانی الگوی حرکت یک خط را تکرار کنی؛ مثلاً هر بار سه خانه به راست و دو خانه به بالا بروی. تکرار همین الگو از نقطه‌ای بیرون خط، خطی موازی می‌سازد.

وقتی دو خط زاویهٔ راست می‌سازند، بر هم عمودند. نماد $a \perp b$ یعنی خط $a$ بر خط $b$ عمود است. اندازهٔ زاویهٔ راست $90^\circ$ است و در شکل معمولاً با یک مربع کوچک مشخص می‌شود.

در یک صفحه، سه نتیجهٔ کاربردی داریم:

• اگر دو خط متمایز بر یک خط عمود باشند، با هم موازی‌اند.
• اگر خطی بر یکی از دو خط موازی عمود باشد، بر دیگری هم عمود است.
• اگر دو خط متمایز با یک خط موازی باشند، با هم موازی‌اند.

برای تصور نتیجهٔ اول، دو پایهٔ عمودی یک قفسه را در نظر بگیر که هر دو بر یک طبقهٔ افقی عمودند؛ این دو پایه موازی‌اند. نتیجهٔ دوم هم از برابری زاویه‌های هم‌مکان می‌آید: وقتی یکی از آن‌ها راست باشد، دیگری نیز راست است. این رابطه‌ها را از علامت‌ها و داده‌ها نتیجه بگیر، نه فقط از ظاهر نقاشی.

حالا از توازی و تعامد برای ساختن شکل استفاده کن. برای رسم مثلث متساوی‌الساقین با قاعدهٔ $AB$، وسط قاعده را پیدا کن و از آن، خطی عمود بر قاعده بکش. این خط، عمودمنصفِ قاعده است. هر نقطه‌ای روی آن، به‌جز وسط قاعده، می‌تواند رأس سوم مثلث باشد؛ چون فاصله‌اش از دو سر قاعده برابر است.

خطی که کشیدی، خط تقارن مثلث هم هست: اگر شکل را روی آن تا کنی، دو نیمه روی هم می‌افتند. بنابراین دو زاویهٔ کنار قاعده برابرند و خط تقارن، زاویهٔ رأس را هم نصف می‌کند.

برای ساختن متوازی‌الاضلاع از سه نقطهٔ غیرهم‌خط، اگر $A$ رأس مشترک دو ضلع باشد، از $B$ موازی $AC$ و از $C$ موازی $AB$ بکش. برخورد این دو خط، رأس چهارم است. با تغییر انتخابِ رأس مشترک، می‌توان شکل‌های متفاوتی ساخت.

چهارضلعی‌ای که هر دو جفت ضلع روبه‌رویش موازی باشند، متوازی‌الاضلاع است. اگر رأس‌ها به‌ترتیب $A$، $B$، $C$ و $D$ باشند، داریم $AB \parallel CD$ و $AD \parallel BC$.

برای کشف ویژگی‌هایش، محل برخورد قطرها را $O$ بنام. اگر شکل را دور $O$ به اندازهٔ $180^\circ$ بچرخانی، دوباره روی خودش قرار می‌گیرد. در این چرخش، $A$ با $C$ و $B$ با $D$ جابه‌جا می‌شوند. پس ضلع‌های روبه‌رو و زاویه‌های روبه‌رو برابرند.

همچنین $OA=OC$ و $OB=OD$؛ یعنی قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند. دقت کن: این ویژگی نمی‌گوید خودِ دو قطر حتماً هم‌اندازه‌اند!

از موازی بودن ضلع‌ها نیز نتیجه می‌گیریم که زاویه‌های مجاور مکمل‌اند. پس متوازی‌الاضلاع لزوماً چهار زاویهٔ برابر ندارد؛ برای شناخت آن باید رابطه‌های درست را بررسی کنیم، نه اینکه فقط به کج یا راست بودن شکل نگاه کنیم.

یک چهارضلعی را در نظر بگیر که هر دو ضلع روبه‌رویش موازی باشند؛ این شکل متوازی‌الاضلاع است. اگر آن را حول محل برخورد قطرهایش نیم‌دور، یعنی $180^\circ$، بچرخانی، بر خودش منطبق می‌شود. در این چرخش، رأس‌های روبه‌رو جای هم می‌نشینند؛ پس ضلع‌های روبه‌رو برابرند و زاویه‌های روبه‌رو هم برابرند.

زاویه‌های مجاور، یعنی زاویه‌های دو سر یک ضلع، مکمل یکدیگرند: مجموعشان $180^\circ$ است. همچنین قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند؛ اگر محل برخوردشان $O$ باشد، داریم $OA=OC$ و $OB=OD$. دقت کن: این ویژگی نمی‌گوید دو قطر با هم برابرند؛ فقط هر قطر به دو قسمت برابر تقسیم می‌شود.

حالا خانوادهٔ متوازی‌الاضلاع‌ها را دقیق‌تر بشناسیم. مستطیل متوازی‌الاضلاعی با زاویه‌های قائمه است. اگر فقط بدانیم یکی از زاویه‌های متوازی‌الاضلاع قائمه است، بقیه هم قائمه می‌شوند؛ چون زاویه‌های مجاور مکمل‌اند و زاویه‌های روبه‌رو برابرند.

لوزی متوازی‌الاضلاعی است که چهار ضلع برابر دارد. مربع هر دو ویژگی را با هم دارد: چهار ضلع برابر و چهار زاویهٔ قائمه. بنابراین هر مربع هم لوزی است، هم مستطیل و هم متوازی‌الاضلاع؛ ولی هر مستطیل یا هر لوزی لزوماً مربع نیست.

این خانواده‌ها ویژگی‌های متوازی‌الاضلاع را هم دارند. برای نمونه، قطرهای هر لوزی یکدیگر را نصف می‌کنند، چون لوزی خودش نوعی متوازی‌الاضلاع است.

قطرها کمک می‌کنند تفاوت مستطیل و لوزی را بهتر ببینیم. در هر دو شکل، قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند؛ این ویژگی مشترک از متوازی‌الاضلاع‌بودن آن‌ها می‌آید. اما یک تفاوت مهم دارند: قطرهای مستطیل برابرند و قطرهای لوزی بر هم عمودند.

برای تصور این تفاوت، یک مستطیل کاغذی و یک لوزی کاغذی بساز. تا کردن مستطیل روی محورهای تقارنش، برابری قطرها را نشان می‌دهد. در لوزی، خود قطرها محور تقارن‌اند و در محل برخورد، زاویهٔ قائمه می‌سازند.

مربع چون هم مستطیل است و هم لوزی، هر دو ویژگی را دارد: قطرهایش برابرند، بر هم عمودند و یکدیگر را نصف می‌کنند. این ویژگی‌ها را به همهٔ متوازی‌الاضلاع‌ها تعمیم نده!

وسط ضلع‌های یک مربع را به‌ترتیب به هم وصل کن. شکل تازه ممکن است نسبت به مربع اول چرخیده به نظر برسد؛ اما ظاهر کج یا راست، نوع شکل را تعیین نمی‌کند.

برای شناخت آن، دو استدلال کتاب را کنار هم بگذار. با تا کردن مربع روی محورهای تقارنِ موازی ضلع‌ها، ضلع‌های شکل داخلی روی هم می‌افتند؛ پس چهار ضلع آن برابرند. با تا کردن روی قطرهای مربع، زاویه‌های شکل داخلی روی هم می‌افتند؛ پس همه برابرند. مجموع زاویه‌های چهارضلعی $360^\circ$ است، بنابراین هرکدام $90^\circ$ می‌شوند.

حالا شکل داخلی هم چهار ضلع برابر دارد و هم زاویه‌های قائمه؛ پس مربع است. برای تشخیص شکل، باید همهٔ شرط‌های تعریف را بررسی کنیم، نه فقط جهت قرارگرفتن آن را.

در پایان این صفحه‌ها، شکل‌ها را در کاشی‌کاری می‌بینیم. برای پوشاندن سطح، کاشی‌ها نباید روی هم بیفتند یا بینشان شکاف بماند. به‌ویژه، زاویه‌های کاشی‌ها دور هر نقطهٔ داخلی باید روی هم یک دور کامل، یعنی $360^\circ$، بسازند. اگر مجموع کمتر باشد، شکاف می‌ماند؛ اگر بیشتر باشد، کاشی‌ها روی هم می‌افتند.

در کاشی‌کاری مثلثی کتاب، مثلث‌ها با انتقال یا دوران جابه‌جا شده‌اند. این جابه‌جایی‌ها اندازهٔ زاویه‌ها را تغییر نمی‌دهند؛ پس زاویه‌های متناظر برابر می‌مانند. با دنبال‌کردن زاویه‌های متناظر می‌توان سه زاویهٔ مثلث را کنار هم روی یک خط راست پیدا کرد. این همان رابطهٔ آشنای $\hat A+\hat B+\hat C=180^\circ$ را نشان می‌دهد.

فرض کن می‌خواهی کف اتاق را با کاشی بپوشانی. کافی نیست کاشی‌ها زیبا و هم‌شکل باشند؛ باید بدون شکاف و بدون هم‌پوشانی کنار هم بنشینند. در جایی که گوشه‌های کاشی‌ها دور یک نقطه جمع می‌شوند، مجموع زاویه‌ها باید یک دور کامل، یعنی $360^\circ$ باشد.

در طرح مثلثیِ کتاب، جابه‌جایی یا چرخاندن یک مثلث اندازهٔ زاویه‌هایش را عوض نمی‌کند. پس می‌توان زاویه‌های متناظر را دنبال کرد و دید سه زاویهٔ مثلث چگونه کنار هم یک زاویهٔ نیم‌صفحه، یعنی $180^\circ$، می‌سازند. همین ویژگی مثلث، کلید محاسبهٔ زاویه‌های چندضلعی‌هاست.

زاویه‌ای که بین دو ضلع و درون شکل قرار می‌گیرد، زاویهٔ داخلی است. برای پیدا کردن مجموع این زاویه‌ها، شکل را به مثلث تقسیم می‌کنیم؛ چون مجموع زاویه‌های هر مثلث $180^\circ$ است.

یک چهارضلعی محدب بکش و یک قطر آن را رسم کن: دو مثلث می‌بینی. حالا در یک پنج‌ضلعی محدب، از یک رأس به رأس‌های غیرمجاور قطر بکش: سه مثلث به دست می‌آید. این الگو ادامه دارد؛ یک چندضلعی محدب با $n$ ضلع به $n-2$ مثلث تقسیم می‌شود. بنابراین مجموع زاویه‌های داخلی آن برابر است با:

$S=(n-2)\times180^\circ$

برای این مجموع، لازم نیست ضلع‌ها یا زاویه‌ها برابر باشند؛ تعداد ضلع‌ها تعیین‌کننده است.

تا اینجا مجموع زاویه‌ها را پیدا کردیم؛ اما مجموع با اندازهٔ هر زاویه فرق دارد. چندضلعیِ منتظم هم ضلع‌های برابر دارد و هم زاویه‌های برابر. پس در چنین شکلی، مجموع زاویه‌های داخلی به طور مساوی بین همهٔ رأس‌ها تقسیم می‌شود.

اگر تعداد ضلع‌ها $n$ باشد، اندازهٔ هر زاویهٔ داخلی را با تقسیم مجموع بر $n$ به دست می‌آوریم:

$\alpha=\frac{(n-2)\times180^\circ}{n}$

مثل این است که مقدار مشخصی را به سهم‌های مساوی تقسیم کنیم. حواست باشد این تقسیم، اندازهٔ هر زاویه را فقط در چندضلعی منتظم می‌دهد؛ در یک چندضلعی نامنتظم ممکن است زاویه‌ها سهم‌های متفاوتی از مجموع داشته باشند.

حالا دوباره به کاشی‌کاری برگردیم. برای بررسی یک کاشی منتظم، اول اندازهٔ زاویهٔ داخلی‌اش را پیدا می‌کنیم. سپس می‌پرسیم: آیا تعداد صحیحی از این زاویه‌ها کنار هم دقیقاً $360^\circ$ می‌سازند؟ اگر کمتر شوند، شکاف می‌ماند؛ اگر بیشتر شوند، کاشی‌ها روی هم می‌افتند.

مثلث متساوی‌الاضلاع و مربع این شرط را دارند. شش‌ضلعی منتظم هم گزینهٔ دیگری است: زاویهٔ داخلی آن $120^\circ$ است و سه گوشهٔ آن یک دور کامل می‌سازند. بنابراین می‌توان شش‌ضلعی‌های منتظم را مانند خانه‌های لانهٔ زنبور کنار هم چید. این بررسی نشان می‌دهد «منتظم بودن» به‌تنهایی برای کاشی‌کاری کافی نیست.

اگر در یک رأسِ چندضلعی محدب، یکی از ضلع‌ها را ادامه بدهیم، بین این امتداد و ضلع دیگر زاویه‌ای بیرون شکل ساخته می‌شود؛ این همان زاویهٔ خارجی است. زاویهٔ داخلی و زاویهٔ خارجیِ کنار آن، با هم یک زاویهٔ نیم‌صفحه می‌سازند. پس:

$\text{زاویهٔ خارجی}=180^\circ-\text{زاویهٔ داخلی}$

اگر به‌جای ضلع اول، ضلع دیگر را امتداد بدهی، اندازهٔ زاویهٔ خارجی تغییر نمی‌کند؛ چون باز هم مکمل همان زاویهٔ داخلی است. در هر مثلث نیز اگر از هر رأس یک زاویهٔ خارجی بگیری، مجموع آن‌ها $360^\circ$ می‌شود. زاویهٔ خارجی را با تمام فضای بیرونِ زاویهٔ داخلی اشتباه نگیر؛ معیار، ضلع و امتداد ضلع دیگر است.

یک مثلث روی کاغذ بکش و یکی از ضلع‌هایش را از یک رأس ادامه بده. زاویه‌ای که بیرون شکل، میان این امتداد و ضلع دیگر ساخته می‌شود، زاویهٔ خارجی آن رأس است. زاویهٔ داخلی و خارجیِ کنار هم، یک زاویهٔ نیم‌صفحه می‌سازند؛ بنابراین همیشه داریم: $\text{داخلی}+\text{خارجی}=180^\circ$.

پس برای پیدا کردن زاویهٔ خارجی، زاویهٔ داخلی را از $180^\circ$ کم می‌کنیم. اگر به‌جای ضلع اول، ضلع دیگرِ همان رأس را امتداد بدهی، باز زاویه‌ای با همین اندازه به دست می‌آید؛ چون هر دو مکملِ یک زاویهٔ داخلی‌اند. یادت باشد «خارجی» یعنی زاویهٔ مشخصی کنار رأس، نه هر زاویه‌ای که بیرون شکل دیده شود.

در مثلث، یک راه میان‌بُر هم داریم: برای یافتن زاویهٔ خارجی، دو زاویهٔ داخلیِ غیرمجاور را جمع کن. «غیرمجاور» یعنی دو زاویه‌ای که در رأس‌های دیگرند، نه زاویهٔ داخلیِ چسبیده به زاویهٔ خارجی.

چرا این روش همیشه درست است؟ زاویهٔ داخلیِ رأس موردنظر را $a$، دو زاویهٔ دیگر را $b$ و $c$ و زاویهٔ خارجی را $e$ بنامیم. از مثلث داریم $a+b+c=180^\circ$؛ از خط راست هم داریم $a+e=180^\circ$. با کنار گذاشتن $a$ از هر دو مجموع، می‌بینیم $e=b+c$.

این دلیل برای هر مثلث کار می‌کند؛ برخلاف بررسی چند نمونه که به‌تنهایی اثبات نیست. این ویژگی را هم نباید بدون دلیل به چهارضلعی‌ها تعمیم بدهیم.

حالا از هر رأسِ یک چندضلعی محدب، فقط یک زاویهٔ خارجی انتخاب کن؛ همه را هم در یک جهت، مثلاً جهت حرکت دور شکل. مجموع این زاویه‌ها همیشه $360^\circ$ است، حتی اگر ضلع‌ها و زاویه‌ها برابر نباشند.

برای فهمیدن دلیل، تعداد ضلع‌ها را $n$ بگیر. در هر رأس، زاویهٔ داخلی و خارجی روی هم $180^\circ$ هستند؛ پس مجموع همهٔ این جفت‌ها $n\times180^\circ$ می‌شود. از درس قبل می‌دانیم مجموع داخلی‌ها $(n-2)\times180^\circ$ است. با کم کردن آن، مجموع خارجی‌ها برابر می‌شود با $n\times180^\circ-(n-2)\times180^\circ=360^\circ$.

حرکت لاک‌پشت هم همین را نشان می‌دهد: پس از یک دورِ کامل و برگشتن به جهت آغاز، مجموع چرخش‌هایش یک دور کامل است.

در چندضلعی منتظم، همهٔ زاویه‌های داخلی برابرند؛ پس زاویه‌های خارجی هم برابر می‌شوند. حالا مجموع ثابتِ $360^\circ$ را به تعداد رأس‌ها تقسیم می‌کنیم. اگر تعداد ضلع‌ها $n$ باشد، اندازهٔ هر زاویهٔ خارجی از رابطهٔ $e=\frac{360^\circ}{n}$ به دست می‌آید.

بعد از یافتن زاویهٔ خارجی، برای زاویهٔ داخلی کافی است بنویسیم $i=180^\circ-e$. به این ترتیب، بدون محاسبهٔ جداگانهٔ مجموع زاویه‌های داخلی هم می‌توانیم اندازهٔ هر زاویهٔ داخلی را پیدا کنیم.

حواست به واژهٔ «منتظم» باشد: مجموع خارجی‌ها در هر چندضلعی محدب ثابت است، اما تقسیم این مجموع به قسمت‌های برابر فقط وقتی درست است که زاویه‌های خارجی برابر باشند. در باغچه‌های منتظم، هرچه گوشه‌ها بیشتر شوند، چرخش در هر گوشه کمتر می‌شود.

اول شکل را بشناس، بعد سراغ محاسبه برو. چندضلعی از پاره‌خط‌هایی ساخته می‌شود که یک مسیر بسته می‌سازند و جز در رأس‌های مشترک، همدیگر را قطع نمی‌کنند. اگر همهٔ زاویه‌های داخلی آن کمتر از $180^\circ$ باشند، محدب است؛ اگر زاویه‌ای بیشتر از $180^\circ$ داشته باشد، مقعر است و در شکل فرورفتگی می‌بینی.

منتظم یعنی هم ضلع‌ها برابر باشند و هم زاویه‌ها؛ برابر بودن ضلع‌ها به‌تنهایی کافی نیست.

برای بررسی مرکز تقارن، شکل را در ذهن دور یک نقطه نیم‌دور، یعنی $180^\circ$، بچرخان. اگر دقیقاً روی خودش افتاد، آن نقطه مرکز تقارن است. مثلاً مستطیل مرکز تقارن دارد، اما مثلث متساوی‌الاضلاع، با وجود منتظم بودن، ندارد. در نقش کاشی‌ها هم می‌توان این ویژگی‌ها را جست‌وجو کرد.

وقتی یک خط مورب دو خط موازی را قطع می‌کند، لازم نیست تک‌تک زاویه‌ها را جداگانه حساب کنی. زاویه‌های متناظر، یعنی زاویه‌هایی که در دو محل برخورد جای مشابه دارند، برابرند. زاویه‌های داخلی متناوب هم برابرند؛ این‌ها بین دو خط موازی و در دو سوی خط مورب قرار دارند.

اما زاویه‌های داخلیِ هم‌جهت، یعنی زاویه‌های بین دو خط موازی در یک سوی مورب، مکمل‌اند: مجموعشان $180^\circ$ است. همچنین دو زاویهٔ مجاور روی یک خط راست مکمل‌اند، حتی اگر خط موازی دیگری نداشته باشیم. پس پیش از محاسبه، جای زاویه‌ها را مشخص کن؛ «برابر» و «مکمل» را نباید جابه‌جا به کار برد.

متوازی‌الاضلاع چهارضلعی‌ای است که ضلع‌های روبه‌رویش موازی‌اند. در آن ضلع‌های روبه‌رو و زاویه‌های روبه‌رو برابرند و قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند؛ یعنی نقطهٔ برخورد، وسط هر دو قطر است. همین نقطه مرکز تقارن شکل هم هست.

مستطیل متوازی‌الاضلاعی با زاویه‌های قائمه است؛ قطرهایش نیز برابرند. لوزی متوازی‌الاضلاعی با چهار ضلع برابر است؛ قطرهایش بر هم عمودند، ولی لزوماً برابر نیستند. مربع هم مستطیل است و هم لوزی و ویژگی‌های هر دو را دارد.

برای جدول کتاب، چهار ویژگی اول در هر چهار شکل برقرارند. اما برابر بودن قطرها فقط برای مستطیل و مربع تضمین می‌شود. دقت کن: «قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند» با «قطرها برابرند» دو ویژگی متفاوت‌اند.

برای محاسبهٔ زاویه‌ها، اول بپرس: «داخلی یا خارجی؟ مجموع یا یک زاویه؟» زاویهٔ داخلی درون شکل است. زاویهٔ خارجیِ مورد نظر، بین یک ضلع و امتداد ضلع کناری ساخته می‌شود و با زاویهٔ داخلی همان رأس مجموعی برابر با $180^\circ$ دارد.

یک چندضلعی محدب با $n$ ضلع را می‌توان از یک رأس به $n-2$ مثلث تقسیم کرد؛ پس مجموع زاویه‌های داخلی آن $(n-2)\times180^\circ$ است. اگر شکل منتظم باشد، اندازهٔ هر زاویهٔ داخلی برابر است با $\frac{(n-2)\times180^\circ}{n}$.

در یک چندضلعی محدب، اگر در هر رأس یک زاویهٔ خارجی در یک جهت بگیریم، مجموعشان $360^\circ$ است؛ بنابراین هر زاویهٔ خارجیِ شکل منتظم $\frac{360^\circ}{n}$ است. در مثلث نیز زاویهٔ خارجی برابر مجموع دو زاویهٔ داخلیِ غیرمجاور با آن است.