خلاصه درس فصل ۱ ریاضی هشتم؛ درسنامه و نکات مهم

عددهای صحیح شامل عددهای مثبت، صفر و عددهای منفی‌اند؛ مثل طبقه‌های بالا و پایین همکف یک ساختمان. روی محور، هرچه به راست برویم عدد بزرگ‌تر می‌شود و هرچه به چپ برویم عدد کوچک‌تر می‌شود. پس منفی‌ای که به صفر نزدیک‌تر است، بزرگ‌تر است.

برای خواندن حرکت روی محور، اول فاصلهٔ دو درجهٔ کنار هم را بررسی کن؛ ممکن است هر فاصله یک واحد نباشد. حرکت به راست را مثبت و حرکت به چپ را منفی در نظر می‌گیریم.

قرینهٔ دو عدد در دو طرف صفر و با فاصلهٔ برابر از آن قرار می‌گیرد. علامت منفیِ پیش از پرانتز هم می‌تواند دستور «قرینه را پیدا کن» باشد؛ بنابراین قرینهٔ یک عدد منفی، مثبت است. فقط صفر است که قرینه‌اش با خودش برابر می‌شود.

برای جمع عددهای هم‌علامت، اندازه‌هایشان را جمع کن و همان علامت را نگه دار. در جمع دو عدد با علامت متفاوت، اندازهٔ کوچک‌تر را از بزرگ‌تر کم کن و علامت عددی را نگه دار که اندازهٔ بزرگ‌تری دارد. تفریق را می‌توان به جمعِ قرینه تبدیل کرد: $a-b=a+(-b)$.

در ضرب و تقسیم، قانون علامت‌ها متفاوت است: دو عدد هم‌علامت، حاصل مثبت می‌دهند و دو عدد با علامت متفاوت، حاصل منفی. علامت حاصل را مشخص کن، سپس اندازه‌ها را ضرب یا تقسیم کن. تقسیم بر صفر تعریف نشده است.

وقتی چند عمل کنار هم‌اند، اول داخل پرانتز، سپس توان، بعد ضرب و تقسیم، و در پایان جمع و تفریق را انجام بده. عمل‌های هم‌اولویت را از چپ به راست انجام می‌دهیم؛ مثلاً تقسیم لازم نیست منتظر تمام‌شدن ضرب‌ها بماند. این ترتیب مثل دستور پخت است: عوض‌کردن ترتیب مرحله‌ها می‌تواند نتیجه را عوض کند!

یک عبارت می‌تواند چند راه‌حل درست داشته باشد. برای انتخاب راه آسان‌تر، ابتدا تفریق‌ها را به جمعِ عددهای علامت‌دار تبدیل کن. حالا می‌توانی در این جمع، ترتیب عددها یا گروه‌بندی آن‌ها را تغییر بدهی؛ به شرط آنکه علامت هر عدد همراه خودش بماند.

مثلاً در $-43+37-29$ می‌توان دو عدد منفی را کنار هم گذاشت، یا اول دو جمله‌ای را جمع کرد که حسابشان ساده‌تر است. لازم نیست همیشه کوتاه‌ترین راه را انتخاب کنی؛ راهی خوب است که هم درست باشد و هم بتوانی توضیحش بدهی.

حواست باشد تفریق به‌خودی‌خود جابه‌جاپذیر نیست. در $10+3-7-2$، هر دو عدد آخر کم می‌شوند؛ اگر آن‌ها را با هم در نظر بگیری، اثرشان کم‌کردن مجموعشان است، نه کم‌کردن تفاضلشان. پیش از جابه‌جایی، جمعِ عددهای علامت‌دار را در ذهن ببین.

پیش از شروع حساب طولانی، چند لحظه به ساختار عبارت نگاه کن. گاهی جفت‌کردن عددهای ابتدا و انتهای یک جمع، جمع‌های مساوی می‌سازد؛ مانند جفت‌های $1+100$ و $2+99$. آن وقت به‌جای جمع‌کردن تک‌تک عددها، کافی است تعداد جفت‌ها و مجموع هر جفت را پیدا کنی.

در ضرب‌های طولانی هم بررسی کن آیا عاملی برابر صفر وجود دارد؛ یک عامل صفر، کل حاصل‌ضرب را صفر می‌کند.

همین دقت برای انتخاب علامت‌ها هم کمک می‌کند. اگر بخواهیم حاصل یک عبارت جمع و تفریق بیشترین مقدار را داشته باشد، افزودن عدد مثبت و کم‌کردن عدد منفی به ما کمک می‌کند. مثل حساب بانکی: اضافه‌شدن دارایی و حذف‌شدن بدهی، هر دو وضعیت حساب را بهتر می‌کنند. پس به‌جای امتحان‌کردن بی‌هدف همهٔ حالت‌ها، اثر هر انتخاب را بررسی کن.

عددهای طبیعی در این درس از $1$ شروع می‌شوند. عددهای صحیح، علاوه بر طبیعی‌ها، صفر و قرینهٔ عددهای طبیعی را هم شامل می‌شوند. بنابراین هر عدد طبیعی، صحیح است؛ اما هر عدد صحیح، طبیعی نیست.

برای تشخیص نوع یک عدد، فقط به ظاهرش نگاه نکن؛ مقدار عبارت مهم است. مثلاً $\frac{3}{1}$ با اینکه به شکل کسر نوشته شده، مقدارش یک عدد طبیعی و صحیح است. در مقابل، $0.7$ عدد صحیح نیست، چون بین دو عدد صحیح قرار دارد.

روی محور هم می‌توان مقایسه کرد: بزرگ‌ترین عدد صحیح منفی، نزدیک‌ترین عدد منفی به صفر است؛ اما کوچک‌ترین عدد صحیح منفی نداریم، چون همیشه می‌توان یک واحد دیگر به چپ رفت. وقتی عددهای صحیح «بین» دو عدد خواسته می‌شوند، خود دو سر بازه را نمی‌نویسیم.

روی محور، فاصلهٔ دو عدد صحیحِ پشت‌سرهم را می‌توان به قسمت‌های مساوی تقسیم کرد. برای نشان دادن یک کسر، اول ببین هر واحد به چند قسمت تقسیم شده، سپس از صفر به تعداد لازم قسمت بشمار؛ برای عدد مثبت به راست و برای عدد منفی به چپ برو.

قرینه در طرف دیگر صفر است، اما فاصله‌اش تا صفر تغییر نمی‌کند. پس قرینهٔ یک عدد غیرصفر با عوض‌کردن علامتش به دست می‌آید و قرینهٔ صفر خود صفر است.

عدد مخلوط هم فقط شکل دیگری از نوشتن کسر است. برای تبدیل آن، تعداد واحدهای کامل را در مخرج ضرب کن و صورت را بیفزا؛ مخرج ثابت می‌ماند. در عدد مخلوط منفی، علامت منفی مربوط به تمام عدد است، نه فقط قسمت صحیح.

ممکن است چند کسر، نام‌های متفاوت یک نقطه از محور باشند. اگر صورت و مخرج را در یک عدد غیرصفر ضرب کنیم یا هر دو را بر یک مقسوم‌علیه مشترک تقسیم کنیم، مقدار کسر عوض نمی‌شود. ضرب، قسمت‌بندی را ریزتر می‌کند و تقسیم، نوشتن کسر را ساده‌تر.

برای ساده‌کردن تا حد امکان، تقسیم صورت و مخرج بر عامل مشترک را ادامه بده تا دیگر عامل مشترک بزرگ‌تر از یک نداشته باشند. علامت عدد را هم نگه دار.

برای مقایسه، جای عددها روی محور راهنمای خوبی است: هرچه راست‌تر باشد، بزرگ‌تر است. در میان عددهای منفی، عدد نزدیک‌تر به صفر بزرگ‌تر است؛ مثل دمای زیر صفر که با نزدیک‌شدن به صفر گرم‌تر می‌شود. گاهی مخرج مشترک، مقایسهٔ دو کسر را آسان می‌کند.

یک خط‌کش را تصور کن که فقط نشانه‌های سانتی‌متر دارد. اضافه‌کردن نشانه‌های ریزتر، فاصلهٔ میان دو نشانه را از بین نمی‌برد؛ فقط نقطه‌های بیشتری را نام‌گذاری می‌کند. روی محور هم می‌توانیم هر فاصله را باز به قسمت‌های مساوی کوچک‌تر تقسیم کنیم.

اعشارهای پایان‌پذیر نیز به شکل کسر نوشته می‌شوند: یک رقم اعشار یعنی دهم، دو رقم یعنی صدم، و همین‌طور ادامه دارد. بنابراین عددهای اعشاری روی همان محورِ کسرها قرار می‌گیرند.

بین دو عدد کسری متفاوت، نقطهٔ وسط هم یک عدد کسری است. سپس می‌توان فاصلهٔ یکی از دو سر تا این نقطهٔ تازه را دوباره نصف کرد. چون این کار پایان ندارد، بین آن دو عدد بی‌شمار کسر هست؛ حتی اگر هر دو منفی یا بسیار نزدیک به هم باشند.

حالا می‌توانیم برای این خانوادهٔ عددها یک نام بگذاریم: عدد گویا عددی است که بتوان آن را به صورت $\frac{a}{b}$ نوشت؛ در این نمایش، صورت و مخرج صحیح‌اند و مخرج صفر نیست. کسر، حاصل تقسیم صورت بر مخرج را نشان می‌دهد؛ تقسیم بر صفر تعریف نشده است.

لازم نیست عدد از ابتدا به شکل کسر نوشته شده باشد. هر عدد صحیح با مخرج یک نوشته می‌شود و هر اعشار پایان‌پذیر هم نمایش کسری دارد. پس صحیح‌ها و طبیعی‌ها عضو خانوادهٔ گویاها هستند.

برای علامت کسر، قانون علامت‌های تقسیم را به یاد بیاور: صورت و مخرج هم‌علامت، حاصل مثبت می‌دهند و ناهم‌علامت، حاصل منفی. منفیِ پشت کسر هم علامتِ حاصل را عوض می‌کند. پیش از ساده‌کردن، علامت نهایی را مشخص کن تا منفی‌ها گم نشوند.

حرکت‌های کسری روی محور، درست مثل حرکت‌های صحیح‌اند؛ فقط ممکن است طول حرکت، بخشی از یک واحد باشد. عدد مثبت یعنی حرکت به راست و عدد منفی یعنی حرکت به چپ. برای نمایش جمع، از صفر شروع کن، حرکت اول را انجام بده و حرکت دوم را از همان نقطهٔ پایان ادامه بده.

نقطه‌ای که در پایان به آن می‌رسی، حاصل جمع است. پس منفی‌بودن یک عدد به معنی «کم‌بودن طول حرکت» نیست؛ جهت حرکت را مشخص می‌کند.

وقتی مخرج‌ها برابرند، اندازهٔ قسمت‌ها یکسان است؛ بنابراین صورت‌های علامت‌دار را جمع می‌کنیم و مخرج را نگه می‌داریم. اگر مخرج‌ها متفاوت باشند، اول کسرهای مساوی با مخرج مشترک می‌نویسیم تا قسمت‌هایی هم‌اندازه داشته باشیم.

محور عددها فقط برای عددهای صحیح نیست؛ فاصلهٔ میان دو عدد صحیح را می‌توان به قسمت‌های مساوی تقسیم کرد و کسرها را هم روی آن نشان داد. مثلاً برای نمایش سوم‌ها، هر فاصلهٔ واحد را به سه قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم.

برای نمایش جمع، از صفر به عدد اول می‌رویم. سپس عدد دوم را به شکل یک حرکت اجرا می‌کنیم: عدد مثبت یعنی حرکت به راست و عدد منفی یعنی حرکت به چپ. طول حرکت به اندازهٔ عدد بستگی دارد، نه علامت آن. نقطهٔ پایان، حاصل جمع است.

مثل قدم زدن در یک مسیر است: ممکن است اول به چپ بروی و بعد بخشی از مسیر را به راست برگردی. لازم نیست طول قدم‌ها حتماً یک واحد کامل باشد.

برای تفریق عددهای گویا، همان راه عددهای صحیح را ادامه می‌دهیم: عدد اول را نگه دار، تفریق را به جمع تبدیل کن و قرینهٔ عدد دوم را بنویس. قرینهٔ هر عدد، هم‌اندازهٔ آن و با علامت مخالف است. پس کم کردنِ عدد مثبت، حرکت به چپ و کم کردنِ عدد منفی، حرکت به راست ایجاد می‌کند.

حواست باشد علامت عدد اول بی‌دلیل تغییر نکند؛ فقط عددی که از آن کم می‌شود، قرینه می‌شود.

گاهی پیش از حساب دقیق، یک برآورد سریع لازم داریم. هر عدد را به نزدیک‌ترین عدد صحیح گرد می‌کنیم و بعد با رعایت علامت‌ها حساب می‌کنیم. این کار مثل بررسی تقریبی جمع هزینه‌های خرید است. جوابِ گرد‌شده تقریبی است؛ برای آن از نشانهٔ $\simeq$ استفاده می‌کنیم، نه تساوی دقیق.

برای جمع کردن کسرها باید تکه‌هایی هم‌اندازه داشته باشیم؛ همان‌طور که نمی‌توان تعداد برش‌های کوچک و بزرگِ نان را بدون توجه به اندازه‌شان جمع کرد. مخرج نشان می‌دهد هر واحد به چند قسمت مساوی تقسیم شده است.

اگر مخرج‌ها برابر باشند، فقط صورت‌ها را با توجه به علامتشان جمع یا تفریق می‌کنیم و مخرج ثابت می‌ماند. اگر مخرج‌ها متفاوت باشند، ابتدا کسرهای مساوی با مخرج مشترک می‌سازیم. برای این کار، صورت و مخرج هر کسر را در یک عدد یکسان ضرب می‌کنیم؛ مقدار کسر تغییر نمی‌کند.

می‌توانیم کوچک‌ترین مضرب مشترکِ مخرج‌ها را انتخاب کنیم تا حساب کوتاه‌تر شود. سپس صورت‌های علامت‌دار را حساب می‌کنیم و در پایان، اگر ممکن بود کسر را ساده می‌کنیم. یادت باشد مخرج‌ها را با هم جمع نمی‌کنیم!

وقتی عدد صحیح کنار کسر قرار می‌گیرد، می‌توانیم عدد صحیح را کسری با مخرج یک بنویسیم و بعد مخرج مشترک بگیریم. عدد مخلوط هم از یک بخش صحیح و یک بخش کسری ساخته شده است؛ اما علامت منفیِ عدد مخلوط به هر دو بخش مربوط می‌شود. برای نمونه، در $-2\frac{1}{2}$ هم دو واحد و هم نیم واحد در سمت منفی قرار دارند. آن را نباید منفی دو به‌اضافهٔ نیمِ مثبت بخوانیم.

برای محاسبه، می‌توانیم عدد مخلوط را به کسر تبدیل کنیم؛ سپس همان قواعد جمع و تفریق کسرها را اجرا کنیم.

عددهای اعشاری هم از همین قواعد علامت پیروی می‌کنند. در محاسبهٔ ستونی، ممیزها را زیر هم می‌گذاریم تا دهم‌ها با دهم‌ها و صدم‌ها با صدم‌ها حساب شوند. می‌توانیم برای هم‌تعداد شدن رقم‌های اعشاری، در انتهای بخش اعشاری صفر بنویسیم؛ مقدار عدد تغییر نمی‌کند.

برای ضرب عددهای گویا، اول به علامت‌ها نگاه کن: دو عدد هم‌علامت حاصل مثبت دارند و دو عدد با علامت متفاوت حاصل منفی. سپس صورت‌ها را در هم و مخرج‌ها را در هم ضرب کن. برخلاف جمع و تفریق، اینجا لازم نیست مخرج مشترک بگیری.

برای کوتاه‌شدن حساب، می‌توانی پیش از ضرب، عامل‌های مشترکِ صورت و مخرج را ساده کنی. دقت کن که ساده‌کردن باید میان عامل‌های صورت و مخرج باشد، نه میان دو صورت. اگر عدد مخلوط داری، ابتدا آن را به کسر تبدیل کن؛ علامت منفیِ جلوی عدد مخلوط به تمام آن تعلق دارد. مثلاً برداشتن بخشی از یک مقدار، مانند نصفِ سه‌چهارمِ یک نوار، با ضرب بیان می‌شود.

معکوس یک عدد، عددی است که ضرب آن در عدد اصلی برابر $1$ می‌شود. برای پیدا کردن معکوسِ یک کسرِ غیرصفر، جای صورت و مخرج را عوض می‌کنیم؛ علامت تغییر نمی‌کند. پس معکوسِ یک عدد منفی نیز منفی است.

عدد صحیح را می‌توان با مخرج $1$ نوشت و بعد معکوس کرد. برای عدد مخلوط هم اول باید کسرِ متناظر آن را بنویسی؛ جابه‌جاکردن بخش صحیح و بخش کسری روش درستی نیست. صفر استثناست: هر عددی را در صفر ضرب کنی، حاصل صفر می‌شود، نه $1$. پس هیچ عددی نمی‌تواند معکوس صفر باشد. برای بررسی پاسخت همیشه از خودت بپرس: «آیا ضرب این دو عدد واقعاً یک می‌شود؟»

برای تقسیم دو عدد گویا، عدد اول را نگه دار، تقسیم را به ضرب تبدیل کن و عدد دوم را معکوس کن. بعد همان قواعد ضرب را به کار ببر: علامت را مشخص کن، عامل‌های مشترک را ساده کن و حاصل را بنویس. لازم نیست هر دو کسر را معکوس کنی؛ فقط عددی که بر آن تقسیم می‌کنی تغییر می‌کند.

این روش وقتی مجاز است که عدد دوم صفر نباشد. اگر عدد دوم صحیح، مخلوط یا اعشاری است، نوشتن آن به صورت کسر می‌تواند کار را روشن‌تر کند. همچنین تقسیم $1$ بر هر عدد غیرصفر، معکوس آن عدد را می‌دهد. در مسئله‌های روزمره، مثل پیدا کردن تعداد ظرف‌های کوچک از مقدار معینی نوشیدنی، تقسیم می‌تواند شمارِ سهم‌ها را مشخص کند.

خط کسر خودش معنای تقسیم دارد؛ بنابراین برای تبدیل کسر به عدد اعشاری، صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم. نمایش اعشاری بعضی کسرها پس از چند رقم تمام می‌شود؛ به این‌ها اعشاری پایان‌پذیر می‌گوییم. در بعضی دیگر، یک رقم یا یک گروه از رقم‌ها پیوسته تکرار می‌شود؛ این نمایش دوره‌ای است.

وقتی با ماشین‌حساب کار می‌کنی، حواست باشد نمایشگر فقط تعداد محدودی رقم نشان می‌دهد. تمام‌شدن جای نمایشگر، به معنی تمام‌شدن رقم‌های عدد نیست! اگر عدد را کوتاه یا گرد کرده‌ای، باید به‌جای تساوی دقیق از نشانهٔ $\simeq$ استفاده کنی. این تفاوت در محاسبهٔ قیمت یا اندازه‌گیری مهم است: مقدار دقیق و مقدار تقریبی یک نقش ندارند.

در تمرین‌های ترکیبی، دانستنِ روش هر عمل کافی نیست؛ باید ترتیب عملیات را هم نگه داری. اول داخل پرانتزها را حساب کن، سپس ضرب و تقسیم را از چپ به راست انجام بده و در پایان سراغ جمع و تفریق برو. برای جمع و تفریق کسرها مخرج مشترک لازم است، اما برای ضرب و تقسیم روش دیگری داریم؛ این دو روش را با هم قاطی نکن.

برای مرور فصل، بتوانی با زبان خودت بگویی عدد طبیعی، صحیح و گویا چیست. عدد گویا به صورت نسبتِ دو عدد صحیح با مخرج غیرصفر نوشته می‌شود؛ عددهای صحیح هم گویا هستند. روی محور نیز مقدار عدد مهم است، نه ظاهر کسر. این مهارت‌ها بعداً هنگام ساده‌کردن عبارت‌های جبری و حل معادله‌ها دوباره به کارت می‌آیند.