خلاصه درس فصل ۴ ریاضی هفتم؛ درسنامه و نکات مهم

اول زبان شکل‌ها را بشناسیم. نقطه را معمولاً با حرف بزرگ انگلیسی، مثل $A$، نام می‌گذاریم. پاره‌خط دو سر مشخص دارد؛ پس با نام دو سرش، مانند $AB$، شناخته می‌شود. در این درس، $\overline{AB}$ یعنی طول آن پاره‌خط، نه نام یک نقطه.

خط راست در هر دو جهت ادامه دارد، ولی نیم‌خط یک سر مشخص دارد و فقط در یک جهت ادامه پیدا می‌کند. برای نام نیم‌خط، اول سر آن را می‌نویسیم؛ پس نیم‌خط $AB$ از $A$ شروع می‌شود و از $B$ می‌گذرد. خط را می‌توان با حرف کوچک، مثل $x$، هم نامید. روی کاغذ پیکان‌ها کمک می‌کنند ادامه‌داشتن خط را از پایان پاره‌خط تشخیص بدهیم.

روی کاغذ سه نقطه به ترتیب $A$، $B$ و $C$ روی یک خط بگذار؛ یعنی $B$ بین دو نقطهٔ دیگر باشد. برای رفتن از $A$ به $C$، اول بخش $AB$ و بعد بخش $BC$ را طی می‌کنی. پس طول کل از جمع دو بخش به دست می‌آید:

$\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AC}$

اگر طول کل و یکی از بخش‌ها را داشته باشیم، بخش دیگر با تفریق پیدا می‌شود. مثلاً $\overline{AC}-\overline{BC}=\overline{AB}$. مثل این است که از طول یک روبان، طول قسمت بریده‌شده را کم کنی. فقط هم‌خط بودن کافی نیست؛ ترتیب نقطه‌ها مهم است. همچنین عوض‌کردن ترتیب نام دو سر، طول را تغییر نمی‌دهد: $\overline{AB}=\overline{BA}$.

حالا نقطهٔ $B$ را از روی پاره‌خط $AC$ کنار ببر. سه نقطه دیگر روی یک خط نیستند و مثلث $ABC$ را می‌سازند؛ آن را با $\Delta ABC$ نشان می‌دهیم. این بار رفتن از $A$ به $C$ از راه $B$، از مسیر مستقیم طولانی‌تر است:

$\overline{AB}+\overline{BC}>\overline{AC}$

این ویژگی فقط برای یک جفت ضلع نیست؛ مجموع طول هر دو ضلع مثلث از طول ضلع سوم بیشتر است. پس می‌توانی هر بار یک ضلع را تنها بگذاری و دو ضلع دیگر را با هم جمع کنی. تفاوت مهم با کارت قبل این است: آنجا نقطهٔ واسطه روی مسیر مستقیم بود و تساوی داشتیم؛ اینجا مسیر شکسته است و علامت «بزرگ‌تر» می‌گذاریم.

برای نشان‌دادن پاره‌خط‌های هم‌اندازه، روی آن‌ها علامت‌های یکسان می‌گذاریم. به علامت‌ها توجه کن، نه فقط به ظاهر شکل؛ نقاشی ممکن است دقیق نباشد.

اگر $M$ وسط پاره‌خط $AB$ باشد، دو نکته می‌دانیم: $M$ روی پاره‌خط و بین دو سر آن است، و $\overline{AM}=\overline{MB}$. بنابراین کل از دو بخش مساوی ساخته شده است:

$\overline{AB}=2\overline{AM}$ و $\overline{AM}=\frac{1}{2}\overline{AB}$.

تا کردن یک نوار کاغذی از وسط، تصویر خوبی از این رابطه است. اگر چند بخش پیاپی هم‌اندازه باشند، طول هر پاره‌خط را با شمردن بخش‌هایش می‌سنجیم؛ مثلاً در ترتیب $A,B,C,D,E$ با فاصله‌های مساوی، پاره‌خط $AD$ سه بخش دارد و طولش $3\overline{AB}$ است.

در هندسه همیشه لازم نیست خط‌کش برداریم؛ گاهی از دانسته‌ها نتیجه می‌گیریم. اگر $\overline{AB}=\overline{DC}$ و $\overline{DC}=\overline{EF}$ باشد، می‌توانیم بنویسیم $\overline{AB}=\overline{EF}$. اگر طول آخر از $\overline{GH}$ کمتر باشد، طول اول هم از آن کمتر است. علامت $\Rightarrow$ یعنی «نتیجه می‌گیریم».

همچنین اگر روی دو طول برابر، یک کار یکسان انجام دهیم، برابری حفظ می‌شود؛ مثلاً نصف‌های دو طول برابر هم برابرند. در مثلث متساوی‌الساقین با $\overline{AB}=\overline{AC}$، اگر $M$ و $N$ وسط این ضلع‌ها باشند، داریم $\overline{AM}=\frac{1}{2}\overline{AB}$ و $\overline{AN}=\frac{1}{2}\overline{AC}$؛ پس $\overline{AM}=\overline{AN}$. دلیل ما برابری ساق‌ها و نصف‌بودن بخش‌هاست، نه شبیه‌بودن آن‌ها در تصویر.

برای حرف زدن دربارهٔ یک زاویه، باید معلوم کنیم منظورمان کدام زاویه است. در نام $x\hat{O}y$، حرف وسط یعنی $O$ رأس است و دو حرف دیگر جهت ضلع‌های زاویه را نشان می‌دهند. همین زاویه را می‌توان $y\hat{O}x$ هم نامید. اگر چند زاویه در یک رأس باشند، نوشتن فقط نام رأس ممکن است مبهم باشد.

زاویهٔ تند از $90^\circ$ کوچک‌تر است؛ زاویهٔ راست $90^\circ$، زاویهٔ باز بین $90^\circ$ و $180^\circ$ و زاویهٔ نیم‌صفحه $180^\circ$ است.

حالا تصور کن نیم‌خطی داخل یک زاویه کشیده‌ای. اندازهٔ دو بخش با هم برابر اندازهٔ کل زاویه است. اگر آن نیم‌خط نیم‌ساز باشد، دو بخش برابرند؛ درست مثل تقسیم یک برش پیتزا به دو قسمت با زاویه‌های برابر.

بعضی رابطه‌ها کمک می‌کنند بدون اندازه‌گیری، زاویهٔ ناشناخته را پیدا کنیم. دو زاویه متمم هستند اگر مجموعشان $90^\circ$ باشد و مکمل هستند اگر مجموعشان $180^\circ$ باشد. برای متمم یا مکمل بودن، لازم نیست زاویه‌ها حتماً کنار هم باشند؛ مجموع اندازه‌ها مهم است.

وقتی دو خط همدیگر را قطع می‌کنند، هر جفت زاویهٔ کنار هم یک زاویهٔ نیم‌صفحه می‌سازد؛ پس مکمل‌اند. زاویه‌های روبه‌روی هم نیز متقابل به رأس نام دارند و برابرند.

چرا برابرند؟ هرکدام از دو زاویهٔ روبه‌رو، با یک زاویهٔ مشترک مجموعی برابر $180^\circ$ دارند. اگر آن زاویهٔ مشترک را از هر دو مجموع کم کنیم، دو اندازهٔ برابر باقی می‌ماند. پس برابری آن‌ها یک دلیل دارد، نه اینکه فقط در شکل شبیه هم دیده شوند.

در هر مثلث، مجموع سه زاویه $180^\circ$ است. پس اگر دو زاویه را بدانی، برای یافتن سومی باید مجموع آن دو را از $180^\circ$ کم کنی.

مثلث‌ها از نظر زاویه سه دسته‌اند: تندزاویه که هر سه زاویه‌اش تند است؛ قائم‌الزاویه که یک زاویهٔ راست دارد؛ و باززاویه که یک زاویهٔ باز دارد. مثلث نمی‌تواند دو زاویهٔ راست داشته باشد، چون همان دو زاویه تمام $180^\circ$ را پُر می‌کنند و برای زاویهٔ سوم چیزی باقی نمی‌ماند. دو زاویهٔ باز هم امکان‌پذیر نیست.

دسته‌بندی از نظر ضلع، موضوع دیگری است. مثلاً یک مثلث متساوی‌الساقین می‌تواند تندزاویه، قائم‌الزاویه یا باززاویه باشد؛ اما مثلث متساوی‌الاضلاع همیشه سه زاویهٔ برابرِ $60^\circ$ دارد و تندزاویه است.

برای دسته‌بندی چندضلعی‌ها هم می‌توانیم به زاویه‌های داخلی نگاه کنیم. اگر هیچ زاویهٔ داخلی بزرگ‌تر از $180^\circ$ نباشد، چندضلعی محدب است. اگر دست‌کم یک زاویهٔ داخلی بزرگ‌تر از $180^\circ$ داشته باشد، مقعر است. در شکل‌های معمول، قسمت فرورفته سرنخ خوبی برای پیدا کردن چنین زاویه‌ای است؛ اما معیار اصلی، اندازهٔ زاویه است.

یک ویژگی دیگر، منتظم بودن است: باید هم همهٔ ضلع‌ها برابر باشند و هم همهٔ زاویه‌ها. مربع هر دو شرط را دارد، پس منتظم است. یک مستطیلِ غیرمربع فقط زاویه‌های برابر دارد و منتظم نیست؛ یک لوزیِ غیرمربع هم فقط ضلع‌های برابر دارد و منتظم نیست. پس هنگام بررسی منتظم بودن، هیچ‌کدام از دو شرط را جا نینداز.

تصور کن یک شکل را روی کاغذ شفاف کشیده‌ای. حالا کاغذ را روی میز سُر می‌دهی، بدون اینکه آن را بچرخانی یا پشت‌ورو کنی. این حرکت انتقال است؛ شکل به جای تازه‌ای می‌رود، اما اندازه و جهتی که به آن نگاه می‌کند عوض نمی‌شود.

در انتقال، همهٔ نقطه‌های شکل به یک اندازه و در یک جهت جابه‌جا می‌شوند. مثلاً اگر یک رأس را چند خانه به راست ببری، بقیهٔ رأس‌ها هم باید همان تعداد خانه به راست بروند. پس کشیدن فقط یک گوشهٔ شکل و ثابت نگه داشتن بقیه، انتقال نیست؛ چون شکل تغییر می‌کند.

برای تشخیص تصویر انتقال‌یافته، هم اندازه را بررسی کن و هم جهت را. یک پیکان رو به بالا پس از انتقال همچنان رو به بالاست، حتی اگر به گوشهٔ دیگری از صفحه برود.

این بار به جای سُر دادن کاغذ، آن را روی یک خط تا کن. جای تازهٔ شکل، قرینهٔ آن نسبت به آن خط است. آن خط را محور تقارن می‌نامیم. تصویر، هم‌اندازهٔ شکل اولیه است، اما مثل تصویر در آینه، برگردانده شده است.

برای پیدا کردن قرینهٔ یک نقطه، از آن نقطه عمود بر محور حرکت کن و در طرف دیگر، به همان فاصله از محور برو. مثلاً اگر نقطه‌ای روی کاغذ شطرنجی دو خانه سمت راستِ یک محور عمودی باشد، قرینه‌اش دو خانه سمت چپ آن قرار می‌گیرد و ارتفاعش تغییر نمی‌کند. نقطه‌ای که روی خود محور باشد، سر جایش می‌ماند.

برای قرینه کردن یک چندضلعی، قرینهٔ رأس‌ها را پیدا کن و آن‌ها را به همان ترتیب به هم وصل کن. فاصله را از محور بسنج، نه از لبهٔ صفحه!

وقتی کاغذ شفاف را با نوک مداد در یک نقطه ثابت می‌کنی و می‌چرخانی، دوران انجام می‌دهی. نقطهٔ ثابت، مرکز دوران است. اندازهٔ شکل عوض نمی‌شود و فاصلهٔ هر نقطهٔ شکل از مرکز هم ثابت می‌ماند؛ درست مثل حرکت سرِ عقربهٔ ساعت دور مرکز ساعت.

برای توصیف دوران، مرکز و زاویه را مشخص می‌کنیم. در دوران $90^\circ$، یعنی یک ربع‌دور، جهت هم مهم است: حرکت در جهت عقربه‌های ساعت با حرکت خلاف آن تصویر یکسانی نمی‌دهد. از بالای یک ساعت شروع کن؛ یک ربع‌دور در هر جهت تو را به دو جای متفاوت می‌رساند.

اما دوران $180^\circ$ یک نیم‌دور است. چه از راست بچرخی و چه از چپ، به نقطهٔ مقابل می‌رسی؛ پس برای این زاویه تعیین جهت لازم نیست. خودِ مرکز دوران هم در تمام این حرکت ثابت می‌ماند.

انتقال، تقارن و دوران هیچ‌کدام شکل را نمی‌کشند و بزرگ یا کوچک نمی‌کنند. بنابراین اگر با یکی از این تبدیل‌ها، یا چند تبدیل پشت سر هم، بتوانی دو شکل را کاملاً روی هم بیندازی، آن دو هم‌نهشت هستند. ممکن است جای آن‌ها یا جهت قرار گرفتنشان متفاوت باشد؛ مهم، انطباق کامل است.

هنگام منطبق شدن، هر رأس روی یک رأس، هر ضلع روی یک ضلع و هر زاویه روی یک زاویه می‌افتد. این جفت‌ها را متناظر می‌نامیم و اندازه‌هایشان برابر است.

ترتیب نام‌ها در نوشتن هم‌نهشتی راهنمای ماست. مثلاً در $ABC\cong DEF$، رأس‌های $A$ و $D$ متناظرند؛ همین‌طور $B$ با $E$ و $C$ با $F$. پس ضلع $AB$ با ضلع $DE$ برابر است، نه هر ضلع دلخواهِ مثلث دوم. فقط به نزدیکی رأس‌ها در تصویر اعتماد نکن؛ تناظر را دنبال کن.

فرض کن دور یک تکه مقوا را روی کاغذ خط کشیده‌ای. حالا مقوا را کمی کنار ببر، بچرخان یا پشت‌ورو کن. اگر دوباره دور آن خط بکشی، شکل تازه با شکل قبلی هم‌نهشت است؛ چون با حرکت‌دادن مقوا می‌توانی آن را دقیقاً روی ردّ قبلی بگذاری.

در انتقال، شکل بدون چرخیدن جابه‌جا می‌شود. در دوران، شکل دور یک نقطه می‌چرخد. در تقارن محوری، شکل نسبت به یک خط قرینه می‌شود؛ مثل تصویر در آینه. هیچ‌کدام از این تبدیل‌ها شکل را بزرگ یا کوچک نمی‌کنند.

ممکن است برای انطباق دو شکل، یک تبدیل کافی نباشد. چند تبدیل پشت سر هم هم مجاز است؛ مهم این است که در پایان، همهٔ قسمت‌های دو شکل دقیقاً روی هم قرار بگیرند.

وقتی دو شکل هم‌نهشت را روی هم می‌گذاریم، هر رأس روی یک رأس، هر ضلع روی یک ضلع و هر زاویه روی یک زاویه می‌افتد. به این جفت‌ها اجزای متناظر می‌گوییم. اجزای متناظر با هم برابرند.

ترتیب نام رأس‌ها راهنمای ماست. اگر بنویسیم $ABC\cong DEF$، یعنی $A$ با $D$، رأس $B$ با $E$ و رأس $C$ با $F$ متناظر است. پس مثلاً $AB=DE$ و $\widehat{B}=\widehat{E}$.

برای پیدا کردن ضلع متناظر، هر دو سر آن را دنبال کن؛ نه اینکه فقط به بالا یا پایین بودن ضلع در تصویر نگاه کنی. با چرخیدن شکل، جای ظاهری ضلع‌ها عوض می‌شود، اما تناظر آنها عوض نمی‌شود.

حواست باشد: هم‌نهشتی برابری اجزای متناظر را نتیجه می‌دهد؛ ولی در چهارضلعی‌ها، تنها برابر بودن ضلع‌ها برای اثبات هم‌نهشتی کافی نیست؛ زاویه‌ها ممکن است متفاوت باشند.

به نقش‌های تکراری یک کف‌پوش فکر کن. گاهی می‌توان یک کاشی را فقط با انتقال روی کاشی کناری گذاشت؛ گاهی هم لازم است آن را بچرخانیم. اگر کاشی‌ها از یک شکل با این تبدیل‌ها ساخته شده باشند، همگی با آن شکل هم‌نهشت‌اند.

در پوشاندن صفحه، فقط هم‌نهشتی کافی نیست: شکل‌ها باید کنار هم قرار بگیرند، بدون اینکه بینشان فضای خالی بماند یا روی هم بیفتند. پس هم‌نهشتی دربارهٔ شکل و اندازه است، اما پوشاندن صفحه به چیدمان هم مربوط می‌شود.

برای بررسی یک الگوی تکراری، یک شکل را انتخاب کن و حرکتش را در ذهن دنبال کن. ببین با انتقال، دوران یا تقارن به کدام شکل می‌رسد. لازم نیست همهٔ کاشی‌ها هم‌جهت باشند تا هم‌نهشت محسوب شوند.

در مرور فصل، فقط حفظ‌کردن اسم‌ها کافی نیست؛ باید بتوانی بگویی چه کاری انجام داده‌ای و چرا نتیجه درست است. برای یک مسئلهٔ ترکیبی، ابتدا رأس‌ها و زاویه‌ها را روشن نام‌گذاری کن. سپس تبدیل‌ها را به همان ترتیبی که خواسته شده انجام بده و در پایان، اجزای متناظر را مشخص کن.

مثلاً اگر نخست قرینهٔ یک مثلث و بعد دوران‌یافتهٔ تصویر آن را بخواهند، دوران را باید روی شکلِ حاصل از تقارن انجام بدهی، نه دوباره روی شکل اولیه. برای گم‌نکردن رأس‌ها، کنار تصویر هر رأس علامت تازه‌ای بگذار.

در پاسخ نهایی هم دلیل بیاور: چون هر دو تبدیل اندازه‌ها را حفظ کرده‌اند، شکل اول و آخر هم‌نهشت‌اند. همین روشِ دنبال‌کردن شکل و حفظ اندازه‌ها در طراحی نقش‌ها و گرافیک رایانه‌ای کاربرد دارد.