خلاصه درس فصل ۷ ریاضی دهم؛ درسنامه و نکات مهم

از نتیجه‌های ممکن تا پیشامد

فرض کن در یک بازی، تاس می‌اندازی. نتیجه را از قبل نمی‌دانی، اما همهٔ نتیجه‌های ممکن را می‌شناسی؛ پس با یک آزمایش تصادفی روبه‌رو هستی.

مجموعهٔ همهٔ نتیجه‌های ممکن، فضای نمونه‌ای است و آن را با $S$ نشان می‌دهیم. برای یک تاس داریم:

$S=\{1,2,3,4,5,6\}$

هر زیرمجموعهٔ این فضا یک پیشامد است. مثلاً اگر در بازی با آمدن عدد زوج امتیاز بگیری، پیشامد دلخواهت $A=\{2,4,6\}$ است. این پیشامد زمانی رخ می‌دهد که نتیجهٔ تاس یکی از اعضای آن باشد.

هنگام نوشتن نتیجه‌ها، به ترتیب دقت کن! اگر دو تاس آبی و قرمز بیندازی و عدد تاس آبی را اول بنویسی، $(2,5)$ با $(5,2)$ فرق دارد؛ چون عدد هر تاس عوض شده است. برای شمارش همهٔ حالت‌ها نیز می‌توانی از اصل ضرب استفاده کنی: به‌ازای هر نتیجهٔ تاس آبی، همهٔ نتیجه‌های تاس قرمز ممکن‌اند.

اما در انتخاب یک تیم دونفره، انتخاب «سارا و مریم» با «مریم و سارا» همان تیم است؛ پس ترتیب را دوباره نمی‌شماریم.

زبان «یا»، «و» و «ولی نه»

در مسئله‌های احتمال، این سه عبارت کمک می‌کنند بفهمیم کدام نتیجه‌ها را باید انتخاب کنیم. فرض کن یک تاس می‌اندازیم؛ $A$ پیشامد «زوج آمدن» و $B$ پیشامد «بزرگ‌تر از $3$ آمدن» باشد.

• اجتماع، یعنی «یا»: پیشامد $A\cup B$ شامل نتیجه‌هایی است که دست‌کم یکی از دو شرط را دارند. «یا» در اینجا هر دو با هم را هم می‌پذیرد؛ پس $A\cup B=\{2,4,5,6\}$.
• اشتراک، یعنی «و»: برای رخ دادن $A\cap B$، هر دو شرط باید برقرار باشند؛ پس $A\cap B=\{4,6\}$.
• تفاضل، یعنی «ولی نه»: در $A-B$، شرط اول باید برقرار باشد، ولی شرط دوم نباشد؛ پس $A-B=\{2\}$.

مثل انتخاب یک بازی روی گوشی است: «رایگان یا فکری» با «رایگان و فکری» فرق دارد! در اولی داشتن یکی از ویژگی‌ها کافی است، اما در دومی هر دو لازم‌اند.

حواست باشد: در تفاضل، ترتیب مهم است؛ $B-A=\{5\}$ است، نه $\{2\}$.

متمم و ناسازگاری

فرض کن در یک بازی، تاس می‌اندازی و پیشامد $A$ «آمدن عدد زوج» است. متمم آن، یعنی $A'$، همهٔ نتیجه‌هایی است که در آن‌ها $A$ رخ نمی‌دهد؛ اینجا یعنی آمدن عدد فرد. پس هر نتیجه یا در $A$ است یا در $A'$، و هیچ نتیجه‌ای در هر دو نیست:

$A\cup A'=S$ و $A\cap A'=\varnothing$

حالا دو پیشامد «آمدن عدد کمتر از $3$» و «آمدن عدد بیشتر از $4$» را در نظر بگیر. این دو نمی‌توانند در یک بار انداختن تاس با هم رخ بدهند؛ پس ناسازگارند. اما متمم هم نیستند، چون نتیجه‌های $3$ و $4$ در هیچ‌کدام قرار ندارند!

تفاوت مهم همین است: برای ناسازگاری، نداشتن عضو مشترک کافی است؛ اما برای متمم بودن، دو پیشامد باید علاوه بر نداشتن اشتراک، روی‌هم تمام فضای نمونه‌ای را پوشش بدهند. بنابراین هر پیشامد و متممش ناسازگارند، ولی هر دو پیشامد ناسازگار لزوماً متمم یکدیگر نیستند.

شانس را اندازه بگیریم

دانستن اینکه یک پیشامد «ممکن است رخ بدهد» کافی نیست؛ می‌خواهیم بدانیم چقدر شانس دارد. اگر فضای نمونه‌ای متناهی باشد و همهٔ نتیجه‌های آن هم‌شانس باشند، از این نسبت استفاده می‌کنیم:

$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$

در این رابطه، $n(A)$ تعداد نتیجه‌های مطلوب، یعنی عضوهای پیشامد $A$، و $n(S)$ تعداد همهٔ نتیجه‌های ممکن است. مثلاً برای برداشتن تصادفی یک کارت از میان کارت‌های یکسان، باید تعداد کارت‌های مطلوب را با تعداد کل کارت‌ها مقایسه کنیم.

شرط هم‌شانس بودن مهم است! در پرتاب دو تاس سالم، زوج‌های مرتب هم‌شانس‌اند، نه مجموع‌ها؛ چون بعضی مجموع‌ها از راه‌های بیشتری به دست می‌آیند.

همیشه داریم:

$0\leq P(A)\leq 1$

پیشامد ناممکن احتمال $0$ و پیشامد قطعی احتمال $1$ دارد. هرچه احتمال به $1$ نزدیک‌تر باشد، شانس رخداد بیشتر است؛ اما احتمال زیاد، به معنی قطعی بودن نیست.

دو میان‌بُر برای محاسبهٔ احتمال

گاهی لازم نیست همهٔ حالت‌های مطلوب را یکی‌یکی بنویسی؛ رابطهٔ پیشامدها راه کوتاه‌تری پیش پایت می‌گذارد.

میان‌بُر اول: اجتماع. فرض کن در انتخاب تصادفی یک دانش‌آموز، پیشامد $A$ «عضو گروه ورزش بودن» و پیشامد $B$ «عضو گروه موسیقی بودن» باشد. اگر احتمال‌های این دو را جمع کنی، اعضای مشترک را دو بار حساب کرده‌ای؛ پس باید احتمال بخش مشترک را یک بار کم کنی:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

اگر دو پیشامد ناسازگار باشند، بخش مشترکی ندارند و $P(A\cap B)=0$؛ بنابراین جمع سادهٔ احتمال‌ها کافی است.

میان‌بُر دوم: متمم. گاهی شمردن حالت‌های رخ ندادن یک پیشامد آسان‌تر است؛ مثلاً برای «حداقل یک بار رو آمدن» در چند پرتاب سکه، متمم یعنی «همهٔ پرتاب‌ها پشت بیایند» را بررسی می‌کنیم. چون یک پیشامد و متممش همهٔ حالت‌ها را پوشش می‌دهند و اشتراک ندارند:

$P(A)=1-P(A')$

پیش از شروع محاسبه، از خودت بپرس: «بخش مشترک دارم؟ شمردن متمم آسان‌تر نیست؟»

آمار یا علم آمار؟

فرض کن می‌خواهی برای گردش آخر هفته لباس مناسب انتخاب کنی. دمای ثبت‌شدهٔ روزهای گذشته و مقدار بارش، اطلاعاتی دربارهٔ هوا هستند. این اطلاعات را «آمار» می‌نامیم.

اما داشتن اطلاعات به‌تنهایی کافی نیست! باید بدانیم چگونه از آن‌ها استفاده کنیم. روش‌هایی که کمک می‌کنند اطلاعات را جمع‌آوری و بررسی کنیم، معنایشان را بفهمیم و برای آینده تصمیم بگیریم، بخشی از علم آمار هستند. مثلاً کارشناس هواشناسی با بررسی داده‌ها و استفاده از روش‌های مناسب، وضعیت هوای آینده را پیش‌بینی می‌کند؛ تو هم با توجه به این پیش‌بینی لباس انتخاب می‌کنی.

پس تفاوت اصلی این است: آمار، خودِ اطلاعات است؛ علم آمار، روش‌های کار با اطلاعات و نتیجه‌گیری از آن‌هاست. اگر کسی فقط فهرست دمای روزهای گذشته را داشته باشد، آمار در اختیار دارد؛ اما هنوز لزوماً از روش‌های علم آمار استفاده نکرده است.

از داده تا تصمیم

عددها به‌تنهایی برای ما تصمیم نمی‌گیرند؛ باید مرحله‌به‌مرحله از آن‌ها استفاده کنیم. فرض کن مسئول بوفهٔ مدرسه می‌خواهد بداند برای روزهای آینده چقدر خوراکی آماده کند:

• جمع‌آوری داده‌ها: تعداد خوراکی‌های فروخته‌شده در هر روز را ثبت می‌کند.
• سازمان‌دهی و نمایش: اطلاعات را در جدول یا نمودار می‌چیند تا مقایسهٔ روزها آسان شود.
• تحلیل و تفسیر: بررسی می‌کند فروش در کدام روزها بیشتر بوده و چه تغییری کرده است؛ مثلاً متوجه می‌شود در روزهای دارای برنامهٔ ورزشی، فروش بیشتر است.
• نتیجه‌گیری و پیش‌بینی: با توجه به این بررسی، برای روزهای مشابه خوراکی بیشتری آماده می‌کند.

پس نمایش داده‌ها با تفسیر آن‌ها فرق دارد: نمودار کمک می‌کند تغییرات را ببینیم؛ تفسیر یعنی دربارهٔ معنای این تغییرات فکر کنیم. پیش‌بینی هم حدس بی‌پایه نیست؛ بر داده‌ها و بررسی آن‌ها تکیه دارد، ولی قطعی نیست.

عددهای پنهان در تصویر

عکسی که روی گوشی می‌بینی، چطور می‌تواند به داده تبدیل شود؟ اگر آن را خیلی بزرگ کنی، می‌توانی مربع‌های کوچک سازنده‌اش را ببینی. به هرکدام از این مربع‌ها پیکسل می‌گوییم. برای نشان‌دادن مقدار روشنایی هر پیکسل می‌توان از عدد استفاده کرد؛ پس تصویر را می‌توان به شکل یک جدول عددی نمایش داد.

مثلاً در یک تصویر سادهٔ سیاه‌وسفید، می‌توانیم برای پیکسل سیاه عدد $0$ و برای پیکسل سفید عدد $1$ بگذاریم. جای هر عدد در جدول، با جای همان پیکسل در تصویر مطابقت دارد؛ بنابراین فقط خود عددها مهم نیستند، جای آن‌ها هم مهم است.

این تبدیل کمک می‌کند تصویر را با روش‌های آماری بررسی کنیم؛ مثلاً کیفیت یک عکس مخدوش را با تصویر اصلی مقایسه کنیم. پس کاربرد آمار فقط بررسی نمره‌ها یا وضعیت هوا نیست؛ عکس‌های گوشی هم می‌توانند دادهٔ قابل بررسی باشند!

آمار در خدمت سلامت

آیا فقط با دانستن وزن دو نفر می‌توان وضعیت بدنی آن‌ها را مقایسه کرد؟ قد هم مهم است. برای در نظر گرفتن هم‌زمان وزن و قد، از شاخص تودهٔ بدن استفاده می‌شود:

$\text{شاخص تودهٔ بدن}=\frac{\text{وزن برحسب کیلوگرم}}{(\text{قد برحسب متر})^2}$

یعنی ابتدا قد را برحسب متر به توان دو می‌رسانیم و سپس وزن را بر نتیجه تقسیم می‌کنیم. پس این شاخص فقط به وزن وابسته نیست؛ دو نفر با وزن یکسان و قدهای متفاوت، شاخص یکسانی ندارند.

نقش علم آمار فراتر از محاسبهٔ این شاخص است. پژوهشگران اطلاعات افراد را جمع‌آوری و تحلیل می‌کنند تا عوامل مؤثر بر آن را بشناسند؛ برای نمونه، رژیم غذایی ناسالم و کم‌تحرکی می‌توانند در افزایش این شاخص نقش داشته باشند.

در زندگی روزمره، چنین بررسی‌هایی کمک می‌کنند دلیل توجه به تغذیهٔ سالم و فعالیت بدنی را بهتر بفهمیم؛ مثلاً بدانیم چرا ورزش صبحگاهی و بوفهٔ سالم مدرسه می‌توانند برای سلامت دانش‌آموزان مفید باشند.

جامعه؛ همهٔ اعضای مورد تحقیق

فرض کن می‌خواهیم بدانیم دانش‌آموزان یک مدرسه چطور به مدرسه می‌آیند: پیاده، با سرویس یا با وسیله‌ای دیگر. تحقیق ما دربارهٔ همهٔ دانش‌آموزان آن مدرسه است؛ پس این مجموعه، جامعه یا جمعیت تحقیق ماست. هر دانش‌آموز آن مدرسه هم یک عضو جامعه است.

جامعه همیشه از انسان‌ها تشکیل نمی‌شود. مثلاً اگر بخواهیم کیفیت نان‌های تولیدشدهٔ امروز یک نانوایی را بررسی کنیم، جامعهٔ ما همهٔ نان‌های تولیدشدهٔ امروز آن نانوایی است و هر نان، یک عضو جامعه است.

برای پیدا کردن جامعه، از خودت بپرس: «می‌خواهیم دربارهٔ ویژگیِ چه کسانی یا چه چیزهایی تحقیق کنیم؟» حواست باشد ویژگی مورد بررسی با جامعه فرق دارد: در مثال نانوایی، «کیفیت» ویژگی است، اما «همهٔ نان‌های تولیدشدهٔ امروز» جامعه‌اند.

اندازهٔ جامعه؛ چند عضو؟

وقتی جامعهٔ یک تحقیق را شناختیم، می‌توانیم بپرسیم: «این جامعه چند عضو دارد؟» پاسخ این پرسش، اندازهٔ جامعه است. به اندازهٔ جامعه، حجم جامعه هم می‌گوییم؛ اینجا حجم به معنی فضای اشغال‌شده نیست، بلکه تعداد اعضاست.

فرض کن می‌خواهیم دربارهٔ زمان رفت‌وآمد دانش‌آموزان یک مدرسه تحقیق کنیم. مدرسه $480$ دانش‌آموز دارد. جامعه، «همهٔ دانش‌آموزان آن مدرسه» است؛ اما اندازهٔ جامعه، عدد $480$ است. «زمان رفت‌وآمد» هم ویژگی مورد بررسی است، نه اندازهٔ جامعه.

برای تشخیص این‌ها، به پرسشی که می‌پرسی توجه کن: «چه کسانی یا چه چیزهایی؟» تو را به جامعه می‌رساند و «چند عضو؟» تو را به اندازهٔ جامعه می‌رساند.

نمونه؛ بخش انتخاب‌شده

فرض کن می‌خواهیم دربارهٔ میزان رضایت دانش‌آموزان یک مدرسه از بوفه تحقیق کنیم. پرسیدن نظر همه ممکن است زمان زیادی ببرد؛ پس تعدادی از دانش‌آموزان همان مدرسه را برای پرسش انتخاب می‌کنیم. این گروه انتخاب‌شده، نمونهٔ تحقیق است و هر دانش‌آموزی که در این گروه قرار دارد، عضو نمونه محسوب می‌شود.

فرق جامعه و نمونه در این است: جامعه همهٔ کسانی را در بر می‌گیرد که تحقیق دربارهٔ آن‌هاست، اما نمونه بخشی است که برای مطالعه انتخاب کرده‌ایم. دانش‌آموز انتخاب‌شده همچنان عضو جامعه هم هست؛ انتخاب شدن، او را از جامعه بیرون نمی‌برد!

برای تشخیص نمونه از خودت بپرس: «از میان اعضای جامعه، کدام افراد یا اشیا را برای مطالعه انتخاب کرده‌ایم؟» دقت کن که نمونه باید از همان جامعه باشد؛ دانش‌آموز مدرسه‌ای دیگر نمی‌تواند عضو نمونهٔ این تحقیق باشد.

اندازهٔ نمونه؛ چند عضو انتخاب شده؟

وقتی نمونه را انتخاب کردیم، کافی است اعضای انتخاب‌شده را بشماریم. این تعداد، اندازهٔ نمونه یا حجم نمونه است. پس «نمونه» نام یک مجموعه است، اما «اندازهٔ نمونه» می‌گوید آن مجموعه چند عضو دارد.

فرض کن کتابخانهٔ مدرسه $600$ کتاب دارد و برای بررسی سالم‌بودن برگه‌ها، $30$ کتاب را انتخاب می‌کنیم. نمونه، همان کتاب‌های انتخاب‌شده است و اندازهٔ نمونه برابر با $30$ است؛ نه $600$ که تعداد همهٔ کتاب‌های کتابخانه است.

برای اینکه این دو اندازه را جابه‌جا نکنی، از خودت بپرس: «چند عضو در کل داریم؟» و «چند عضو را برای مطالعه انتخاب کرده‌ایم؟» پاسخ پرسش دوم، اندازهٔ نمونه است. چون اعضای نمونه از میان اعضای جامعه انتخاب می‌شوند، اندازهٔ نمونه نمی‌تواند از اندازهٔ جامعه بیشتر باشد.

ویژگی یا مقدار آن؟

فرض کن می‌خواهی قد دانش‌آموزان کلاست را بررسی کنی. دانش‌آموزان، اعضای جامعهٔ مورد بررسی تو هستند و قد، ویژگی‌ای است که درباره‌شان مطالعه می‌کنی؛ به این ویژگی متغیر می‌گوییم. قد معمولاً از یک دانش‌آموز به دانش‌آموز دیگر فرق می‌کند.

حالا قد یکی از دانش‌آموزان را اندازه می‌گیری و عدد $165$ سانتی‌متر را ثبت می‌کنی. «قد» نام متغیر است، اما $165$ سانتی‌متر مقدار این متغیر برای آن دانش‌آموز است.

برای تشخیص این دو، به تفاوت سؤال و پاسخ توجه کن: «چه ویژگی‌ای را بررسی می‌کنیم؟» ما را به نام متغیر می‌رساند؛ «برای این عضو چه چیزی ثبت کرده‌ایم؟» ما را به مقدار آن می‌رساند. مثلاً در بررسی هلوها، «وزن هلو» متغیر است و $200$ گرم می‌تواند مقدار آن برای یک هلوی مشخص باشد.

متغیرهای کمی

برای رفتن از خانه به مدرسه چقدر زمان لازم داری؟ می‌توانی با ساعت، مدت مسیر را اندازه بگیری؛ مثلاً $15$ دقیقه. «مدت مسیر» یک متغیر کمی است، چون مقدارش از اندازه‌گیری به دست می‌آید.

گاهی هم به‌جای ابزار اندازه‌گیری، شمارش می‌کنیم. برای مشخص‌کردن تعداد فرزندان یک خانواده، آن‌ها را می‌شماریم؛ مثلاً $3$ فرزند. پس تعداد فرزندان هم متغیر کمی است.

بنابراین، برای تشخیص متغیر کمی از خودت بپرس: «آیا مقدار این ویژگی با اندازه‌گیری یا شمارش به دست می‌آید؟» قد، وزن و تعداد کتاب‌های کیف تو همگی این ویژگی را دارند. فقط یادت باشد نام ویژگی با مقدار آن فرق دارد: «قد» متغیر است و $170$ سانتی‌متر می‌تواند مقدار آن برای یک نفر باشد.

متغیرهای کیفی و کدهای عددی

رنگ چشم تو چیست؟ پاسخ، نام یک رنگ است، نه نتیجهٔ اندازه‌گیری یا شمارش. متغیر کیفی ویژگی‌ای است که مقدار آن یک دسته یا صفت را نشان می‌دهد؛ مثل رنگ چشم، گروه خونی یا میزان علاقه به آشپزی.

گاهی برای ثبت راحت‌تر این دسته‌ها، به آن‌ها عدد می‌دهیم. مثلاً در فهرست خودروهای یک پارکینگ، رنگ مشکی را با کد $1$ و رنگ سفید را با کد $2$ ثبت می‌کنیم. این عددها فقط برچسب هستند؛ کد $2$ به معنای دو برابر بودن رنگ سفید نیست! می‌توانیم کدها را جابه‌جا کنیم، بدون اینکه رنگ خودروها عوض شود.

درجهٔ کیفیت هلو هم همین‌طور است: «درجهٔ یک» و «درجهٔ دو» دسته‌های کیفیت را نشان می‌دهند، نه مقدار اندازه‌گیری‌شدهٔ کیفیت.

پس برای تشخیص نوع متغیر، فقط به ظاهر عددی پاسخ نگاه نکن؛ بپرس: «این عدد نتیجهٔ اندازه‌گیری یا شمارش است، یا فقط نام یک دسته؟»

پیوسته؛ هر مقدار بین دو مقدار

وقتی قدت را اندازه می‌گیری، لازم نیست نتیجه حتماً یک عدد صحیح باشد؛ قد می‌تواند $160$ سانتی‌متر، $160.5$ سانتی‌متر یا مقداری بین این دو باشد.

متغیر کمی پیوسته متغیری است که اگر دو مقدار را بتواند بگیرد، هر مقدار بین آن دو هم برایش ممکن باشد. مثلاً اگر وزن بتواند $46$ و $47$ کیلوگرم باشد، مقدارهای $46.2$ و $46.25$ کیلوگرم و هر مقدار دیگری بین آن دو نیز ممکن‌اند. قرار نیست همهٔ این وزن‌ها واقعاً در کلاس شما دیده شوند؛ مهم این است که برای وزن، ممکن باشند.

ممکن است ترازوی خانه وزن را فقط تا یک رقم اعشار نشان بدهد. این محدودیتِ نمایش ترازوست، نه محدودیتِ مقدارهای ممکن وزن؛ پس وزن همچنان پیوسته است.

برای تشخیص، از خودت بپرس: «آیا هر مقدار بین دو مقدار ممکن این متغیر هم می‌تواند رخ بدهد؟»

گسسته؛ با فاصله میان مقدارها

تعداد فرزندان یک خانواده می‌تواند $2$ یا $3$ باشد، اما آیا $2.5$ فرزند هم معنی دارد؟ نه؛ بین دو مقدار ممکن، عددی پیدا کردیم که این متغیر نمی‌تواند بگیرد. پس تعداد فرزندان گسسته است.

متغیر کمی گسسته، پیوسته نیست؛ یعنی لازم نیست هر عدد بین دو مقدار ممکنش، خودش هم مقداری ممکن باشد. برای تشخیص گسسته بودن، کافی است دو مقدار ممکن پیدا کنی که دست‌کم یک عدد بین آن‌ها برای متغیر ناممکن باشد.

مثلاً تعداد کتاب‌های داخل کیف می‌تواند $4$ یا $5$ باشد، ولی $4.5$ کتاب را به‌عنوان تعداد کتاب‌ها نمی‌شماریم. اینجا با شمارش سروکار داریم، نه اندازه‌گیری وزن یا قد.

حواست باشد: فقط صحیح بودن عددی که ثبت کرده‌ای، نشانهٔ گسسته بودن نیست؛ قدی که به عدد صحیح گرد شده، همچنان مربوط به متغیری پیوسته است. باید ببینی خود متغیر چه مقدارهایی می‌تواند بگیرد.

دسته‌بندی، نه اندازه‌گیری

فرض کن برای خرید هلو، دو سؤال می‌پرسی: «وزن این هلو چقدر است؟» و «کیفیت این هلو چگونه است؟» هر دو دربارهٔ یک میوه‌اند، اما جنس پاسخ‌هایشان فرق دارد.

برای پاسخ به سؤال وزن، از ترازو استفاده می‌کنی و یک مقدار عددی همراه با واحد به دست می‌آوری؛ پس وزن یک متغیر کمّی است. اما برای کیفیت، هلو را در دسته‌هایی مثل «عالی»، «متوسط» یا «ضعیف» قرار می‌دهی؛ پس کیفیت یک متغیر کیفی است.

کتاب می‌گوید: «متغیرهای کیفی قابل اندازه‌گیری نیستند.» یعنی خودِ ویژگی کیفی را مانند وزن یا قد با یک مقدار عددی اندازه نمی‌گیریم؛ آن را با دسته‌ها توصیف می‌کنیم.

برای تشخیص، به پاسخ سؤال نگاه کن: «چه مقدار؟» معمولاً به یک کمیت می‌رسد، اما «از چه نوع یا در کدام دسته؟» به یک ویژگی کیفی. مثلاً مقدار بارندگی کمّی است، ولی نوع بارندگی، مانند باران یا برف، کیفی است.

کیفیِ ترتیبی

فرض کن از تو بپرسند: «چقدر به دوچرخه‌سواری علاقه داری؟» و پاسخ‌ها «خیلی کم، کم، متوسط، زیاد، خیلی زیاد» باشند. این پاسخ‌ها عددِ حاصل از اندازه‌گیری نیستند؛ دسته‌هایی برای توصیف علاقه‌اند. بااین‌حال، می‌توانی آن‌ها را از علاقهٔ کمتر به بیشتر بچینی. پس میزان علاقه با این پاسخ‌ها، یک متغیر کیفیِ ترتیبی است.

نکتهٔ اصلی، وجود ترتیب طبیعی است؛ یعنی ترتیب از معنای خود دسته‌ها می‌آید، نه از سلیقهٔ ما در چیدن آن‌ها. مثلاً مراحل رشد انسان، از نوزادی تا کهن‌سالی، ترتیب طبیعی دارند.

حواست باشد: مرتب بودن دسته‌ها به این معنا نیست که فاصلهٔ میان آن‌ها برابر است. مثلاً می‌دانیم «زیاد» بالاتر از «متوسط» است، اما نمی‌توانیم بگوییم اختلاف آن‌ها دقیقاً چقدر است.

برای تشخیص، از خودت بپرس: «آیا معنای این دسته‌ها جای آن‌ها را در یک ترتیب مشخص می‌کند؟»

کیفیِ اسمی

رنگ موی افراد را در نظر بگیر: مشکی، قهوه‌ای و طلایی. این‌ها نامِ دسته‌ها هستند؛ هیچ‌کدام به‌خودی‌خود رتبهٔ بالاتر یا پایین‌تری ندارد. متغیر کیفی‌ای که دسته‌هایش ترتیب طبیعی ندارند، «اسمی» نامیده می‌شود. گروه خونی هم از همین نوع است.

ممکن است برای ثبت پاسخ‌ها در گوشی، به رنگ مشکی کد $1$، قهوه‌ای کد $2$ و طلایی کد $3$ بدهیم. این عددها فقط برچسب هستند؛ نه مقدار رنگ مو را اندازه می‌گیرند و نه رتبهٔ آن را نشان می‌دهند. حتی می‌توانیم کدها را جابه‌جا کنیم، بی‌آنکه معنای رنگ‌ها عوض شود.

پس برای تشخیص نوع متغیر، فقط به ظاهر عددی پاسخ نگاه نکن. از خودت بپرس: «این عدد مقدار یا رتبه‌ای واقعی را نشان می‌دهد، یا فقط نامِ یک دسته است؟» مرتب‌کردن دلخواه دسته‌ها با داشتن ترتیب طبیعی فرق دارد.