خلاصه درس فصل ۱ فیزیک دهم ریاضی؛ درسنامه و نکات مهم

چرا فیزیک بنیادی است؟

همین گوشی که با آن درس می‌خوانی، چه ارتباطی با شناخت طبیعت دارد؟ صفحه‌اش نور تولید می‌کند و مدارهایش با جریان الکتریکی کار می‌کنند. ساخت چنین وسیله‌ای بدون شناخت رفتار نور و الکتریسیته ممکن نبود.

فیزیک به ما کمک می‌کند قانون‌های طبیعت را بشناسیم؛ قانون‌هایی که مهندسان برای طراحی و ساخت ابزارها به آن‌ها تکیه می‌کنند. به همین دلیل، فیزیک را دانشی بنیادی می‌نامیم؛ یعنی دانشی که پایهٔ بسیاری از دانش‌ها و فناوری‌هاست، نه صرفاً درسی که باید پیش از درس‌های دیگر بخوانیم.

یک ساختمان را تصور کن: بخش‌های گوناگون آن بر پی استوارند. شناخت فیزیکی هم برای مهندسی و فناوری نقشی شبیه پی ساختمان دارد. پس اهمیت فیزیک فقط در پاسخ‌دادن به پرسش‌های مربوط به طبیعت نیست؛ این شناخت، راه ساخت وسایلی را هم باز می‌کند که هر روز از آن‌ها استفاده می‌کنیم.

از مشاهده تا آزمون

اگر چند بار توپی را رها کنی و هر بار به زمین بیفتد، یک رفتار تکرارشونده دیده‌ای. فیزیک‌دان هم از مشاهدهٔ پدیده‌ها شروع می‌کند و می‌پرسد: «چه نظم یا الگویی در این اتفاق‌ها وجود دارد؟» اما دیدن یک الگو، پایان کار نیست.

برای توصیف و توضیح این نظم‌ها، فیزیک‌دانان از قانون، مدل و نظریه کمک می‌گیرند. سپس باید بررسی کنند که پیش‌بینی‌های این توضیح‌ها با نتیجهٔ آزمایش سازگار است یا نه؛ چون فیزیک علمی تجربی است، نه مجموعه‌ای از حدس‌های پذیرفته‌شده.

مثلاً کسی می‌گوید: «هرچه سطح زیر یک ماشین اسباب‌بازی زبرتر باشد، ماشین زودتر می‌ایستد.» برای سنجیدن این ادعا، می‌توان همان ماشین را با شیوهٔ شروع حرکت یکسان، روی سطح‌های متفاوت امتحان کرد و مسافت طی‌شده را مقایسه کرد. فقط منطقی به نظر رسیدنِ ادعا کافی نیست؛ باید دید در آزمایش چه اتفاقی می‌افتد.

تغییر نظریه، پیشرفت شناخت

اگر نظریه‌ای تغییر کند، آیا یعنی دانشمندان شکست خورده‌اند؟ نه؛ گاهی این تغییر نشانهٔ دقیق‌ترشدن شناخت ماست. نظریه باید با شواهد آزمایشی سازگار باشد؛ نه اینکه شواهد را به‌زور با نظریه هماهنگ کنیم!

مثلاً مدل اتم در طول زمان چند بار تغییر کرده است. دانشمندان با مشاهده‌ها و اطلاعات تازه دربارهٔ رفتار اتم‌ها، توضیح‌های قبلی را بازبینی کردند. نتیجهٔ تازه ممکن است به اصلاح یک نظریه یا حتی جایگزینی آن با نظریه‌ای جدید بینجامد؛ البته نه صرفاً به‌خاطر تازه‌بودن یک نظر، بلکه با تکیه بر شواهد.

در زندگی روزمره هم اگر فکر کنی گوشی‌ات فقط هنگام بازی داغ می‌شود، اما هنگام شارژ هم داغ‌شدنش را ببینی، باید توضیح اولیه‌ات را دوباره بررسی کنی.

در فیزیک، جمع‌کردن مشاهده‌ها کافی نیست؛ تفکر نقادانه یعنی بپرسیم: «این نتیجه چقدر با توضیح ما سازگار است؟» پس آزمون‌پذیری و اصلاح‌پذیری، نقطهٔ قوّت فیزیک‌اند، نه ضعف آن.

ردّ فیزیک در فناوری

همین گوشی که با آن درس می‌خوانی، نمونه‌ای از پیوند فیزیک و فناوری است: صفحه‌اش نور تولید می‌کند، بلندگویش صدا می‌سازد و باتری‌اش انرژی لازم برای کارکردن آن را فراهم می‌کند. طراحی هرکدام از این بخش‌ها به شناخت پدیده‌های فیزیکی نیاز دارد.

مهندس برای ساختن یک وسیله، باید بداند طبیعت چگونه رفتار می‌کند. مثلاً در طراحی چراغ مطالعه، فقط ظاهر زیبا کافی نیست؛ باید بتوان انرژی الکتریکی را به نور تبدیل کرد و به گرم‌شدن چراغ هم توجه داشت. شناخت قانون‌های فیزیک کمک می‌کند این تصمیم‌ها بر پایهٔ دانش باشند، نه فقط حدس.

این ارتباط تنها به وسایل پیچیده محدود نیست. از ابزارهای ساده تا فضاپیماها، هرجا وسیله‌ای طراحی می‌شود، قانون‌های طبیعت در کارند. برای پیدا کردن ردّ فیزیک، به یکی از وسایل اطرافت نگاه کن و بپرس: «کار این وسیله به کدام پدیدهٔ طبیعی وابسته است؟»

چرا مدل می‌سازیم؟

دیدن حرکت یک توپ آسان است؛ اما آیا بررسی دقیق آن هم به همین آسانی است؟ توپ هنگام حرکت می‌چرخد، هوا بر آن اثر می‌گذارد و سطحش هم کاملاً صاف نیست. اگر بخواهیم همۀ جزئیات را یک‌جا بررسی کنیم، با مسئله‌ای پیچیده روبه‌رو می‌شویم.

فیزیک‌دان‌ها برای روبه‌رو شدن با این پیچیدگی، مدل‌سازی می‌کنند: پدیدۀ واقعی را ساده‌تر و آرمانی در نظر می‌گیرند تا بتوانند آن را بررسی و تحلیل کنند. «آرمانی» یعنی با فرض‌های ساده‌کننده توصیف شده، نه اینکه در واقعیت دقیقاً همان‌طور باشد.

مثلاً نقشۀ مسیر خانه تا مدرسه، همۀ پنجره‌ها و درخت‌های خیابان را نشان نمی‌دهد؛ اما برای پیدا کردن مسیر مفید است. مدل فیزیکی هم قرار نیست کپی کامل واقعیت باشد؛ قرار است بررسی پدیده را امکان‌پذیر کند.

از توپ واقعی تا مدل ذره‌ای

توپ بسکتبال اندازه دارد، سطحش کاملاً صاف نیست و هنگام پرتاب می‌چرخد. برای بررسی ساده‌تر حرکت آن، به‌جای دنبال‌کردن همۀ این جزئیات، یک مدل آرمانی می‌سازیم:

• توپ را ذره در نظر می‌گیریم: از اندازه و شکل آن چشم می‌پوشیم و مکانش را با یک نقطه نشان می‌دهیم. این به معنی کوچک‌شدن واقعی توپ نیست؛ فقط شیوۀ نمایش ما ساده شده است.
• حرکت را در خلأ فرض می‌کنیم: یعنی در مدل ما هوا وجود ندارد؛ پس مقاومت هوا و اثر باد را در نظر نمی‌گیریم.
• وزن توپ را ثابت فرض می‌کنیم: تغییر وزن بر اثر تغییر فاصله از مرکز زمین را در این مدل کنار می‌گذاریم.

مثلاً برای بررسی مسیر یک پرتاب به سمت سبد، به‌جای توجه به درزهای توپ، حرکت همان نقطۀ نمایندۀ توپ را دنبال می‌کنیم. با این فرض‌ها، بررسی حرکت آسان‌تر می‌شود؛ هرچند مدل، همۀ جزئیات توپ واقعی را نشان نمی‌دهد.

چه چیزی را نباید حذف کرد؟

آیا هرچه مدل ساده‌تر باشد، بهتر است؟ نه! مدل باید ساده باشد، اما ویژگی‌های تعیین‌کنندۀ پدیده را نگه دارد. هدف ما فقط کم‌کردن جزئیات نیست؛ می‌خواهیم هنوز بتوانیم رفتار پدیده را توضیح دهیم.

فرض کن توپ بسکتبال را رو به بالا پرتاب می‌کنی. در یک مدل ساده، می‌توانیم از اثر مقاومت هوا چشم‌پوشی کنیم؛ اما جاذبۀ زمین را باید نگه داریم. همین جاذبه باعث می‌شود توپ هنگام بالا رفتن کند شود و سرانجام برگردد.

اگر جاذبه را هم حذف کنیم، مدل پیش‌بینی می‌کند توپ پس از رهاشدن، در خطی مستقیم همچنان بالا برود! چنین مدلی ساده است، ولی رفتار آشنای توپ را توضیح نمی‌دهد.

پس هنگام حذف هر اثر از خودت بپرس: آیا با حذف این اثر، رفتار اصلی پدیده عوض می‌شود؟ اگر پاسخ مثبت باشد، آن اثر را نباید کنار گذاشت.

مدل‌سازی مسیر نور

وقتی با گوشی از یک منظره عکس می‌گیری، نور چگونه از منظره به دوربین می‌رسد؟ برای دنبال‌کردن مسیر نور، لازم نیست همۀ ویژگی‌های آن را بررسی کنیم؛ می‌توانیم از مدل پرتو نور کمک بگیریم.

در این مدل، پرتو را با خطی نشان می‌دهیم که پیکان روی آن، جهت انتشار نور را مشخص می‌کند. مثلاً برای نمایش مسیر یک باریکۀ لیزر، خطی پیکان‌دار می‌کشیم. این خط، نمایش ساده‌شدۀ مسیر نور است؛ نه اینکه خود نور واقعاً یک خطِ کشیده‌شده باشد!

برای بررسی عکس‌گرفتن از یک جسم روشن‌شده، مسیر را این‌طور دنبال می‌کنیم: نور از چشمه به جسم می‌تابد؛ بخشی از نور از جسم بازتاب می‌شود و به دوربین می‌رسد. عدسی دوربین، نور رسیده از جسم را روی حسگر جمع می‌کند تا تصویر تشکیل شود. رسم پرتوها کمک می‌کند این مسیر و چگونگی تشکیل تصویر را ساده‌تر بررسی کنیم.

چه چیزی را اندازه می‌گیریم؟

فرض کن می‌خواهی بدانی گوشی‌ات در جیب یک کیف جا می‌شود یا نه. گفتنِ «گوشی من بزرگ است» کمک زیادی نمی‌کند؛ اما می‌توانی طول آن را با خط‌کش اندازه بگیری و با اندازۀ جیب مقایسه کنی.

در فیزیک، هر ویژگیِ اندازه‌گرفتنی را کمیت فیزیکی می‌نامیم؛ مثل طول گوشی، جرم کیف یا زمان رسیدن به مدرسه. اندازه‌گیری به ما کمک می‌کند به‌جای توصیف‌های کلی، اطلاعاتی قابل مقایسه داشته باشیم.

نتیجۀ اندازه‌گیری را معمولاً با عدد و یکای مناسب بیان می‌کنیم. مثلاً اگر طول گوشی $15\,\mathrm{cm}$ باشد، $15$ عدد و سانتی‌متر با نماد $\mathrm{cm}$ یکاست. اگر فقط بگوییم «طول گوشی پانزده است»، معلوم نیست منظورمان پانزده سانتی‌متر است یا یکای دیگری؛ پس گزارش اندازه‌گیری کامل نیست.

کمیت‌های بدون جهت

فرض کن می‌خواهی جرم کوله‌پشتی‌ات را به دوستت بگویی. می‌گویی: «جرمش $3\,\mathrm{kg}$ است.» آیا لازم است اضافه کنی «به سمت شمال»؟ نه؛ جهت، بخشی از بیان جرم نیست!

به کمیتی که برای بیان آن عدد و یکای مناسب کافی است، «کمیت نرده‌ای» می‌گوییم. جرم، طول و زمان نمونه‌هایی از کمیت‌های نرده‌ای‌اند. مثلاً برای بیان طول یک مداد، گفتن $18\,\mathrm{cm}$ کافی است؛ عدد، مقدار را مشخص می‌کند و یکا می‌گوید این مقدار با چه مقیاسی بیان شده است.

دقت کن که بی‌نیازی از جهت، به معنای بی‌نیازی از یکا نیست. اگر فقط بگویی «طول مدادم $18$ است»، شنونده نمی‌داند منظورت سانتی‌متر است یا یکای دیگری. پس برای بیان یک کمیت نرده‌ای، عدد و یکا را کنار هم بیاور.

جهت هم مهم است

فرض کن دو نفر از یک میدان راه افتاده‌اند. یکی می‌گوید جابه‌جایی‌اش $2\,\mathrm{km}$ به سمت شرق بوده و دیگری همین مقدار به سمت غرب جابه‌جا شده است. اندازۀ جابه‌جایی آن‌ها برابر است، اما مقصدشان یکی نیست؛ جهت هم بخشی از اطلاعات جابه‌جایی است.

کمیت‌هایی مثل جابه‌جایی، سرعت، شتاب و نیرو را برداری می‌نامیم. برای بیان کامل آن‌ها، علاوه بر عدد و یکا، جهت را هم مشخص می‌کنیم. مثلاً «نیروی $10\,\mathrm{N}$ به سمت بالا» هم اندازه و هم جهت نیرو را بیان می‌کند.

در نوشتن نماد این کمیت‌ها، بالای حرف یک پیکان می‌گذاریم: $\vec{F}$ یعنی بردار نیرو. اما $F$، بدون پیکان، فقط اندازۀ نیرو را نشان می‌دهد؛ مثلاً $F=10\,\mathrm{N}$. حذف پیکان به این معنا نیست که نیرو دیگر برداری نیست؛ فقط یعنی در این نوشته، از اندازۀ آن حرف می‌زنیم.

یک زبان مشترک برای اندازه‌گیری

فرض کن برای اندازه‌گیری طول میز، تو از وجب خودت و دوستت از وجب خودش استفاده کند. چون اندازۀ وجب‌ها یکسان نیست، ممکن است برای یک میز دو نتیجۀ متفاوت به دست بیاورید. پس به یکاهایی مشترک نیاز داریم که تغییر نکنند و در مکان‌های مختلف بتوان آن‌ها را بازتولید کرد؛ یعنی بتوان همان یکا را دوباره در دسترس داشت.

دانشمندان برای داشتن این زبان مشترک، از دستگاه بین‌المللی یکاها یا $\mathrm{SI}$ استفاده می‌کنند. این دستگاه بر هفت کمیت اصلی بنا شده است. هرکدام هم یکای اصلی خود را دارد:

• طول: متر، $\mathrm{m}$
• جرم: کیلوگرم، $\mathrm{kg}$
• زمان: ثانیه، $\mathrm{s}$
• دما: کلوین، $\mathrm{K}$
• مقدار ماده: مول، $\mathrm{mol}$
• جریان الکتریکی: آمپر، $\mathrm{A}$
• شدت روشنایی: شمع یا کاندلا، $\mathrm{cd}$

دقت کن: کمیت، چیزی است که اندازه می‌گیریم؛ یکا، معیار بیان اندازۀ آن است. مثلاً «جرم» نام کمیت است و «کیلوگرم» نام یکای اصلی آن.

ساختن یکاهای فرعی

آیا برای هر کمیت فیزیکی باید یکای کاملاً مستقلی تعریف کنیم؟ نه! بسیاری از کمیت‌ها با هم رابطه دارند؛ پس می‌توانیم یکای آن‌ها را هم از یکاهای اصلی بسازیم. به این یکاها یکاهای فرعی می‌گوییم.

مثلاً وقتی با دوچرخه به مدرسه می‌روی، تندی متوسط تو از تقسیم مسافت پیموده‌شده بر زمان حرکت به دست می‌آید:

$\text{تندی متوسط}=\dfrac{\text{مسافت}}{\text{زمان}}$

اگر مسافت را با متر و زمان را با ثانیه بیان کنیم، یکای تندی می‌شود متر بر ثانیه، یعنی $\mathrm{m/s}$. پس این یکای فرعی از دو یکای اصلی، متر و ثانیه، ساخته شده است.

بعضی یکاهای فرعی برای راحتی گفتن و نوشتن، نام ویژه دارند. مثلاً یکای نیرو را نیوتون با نماد $\mathrm{N}$ می‌نامیم:

$\mathrm{N}=\mathrm{kg\cdot m/s^2}$

داشتن نام ویژه، نیوتون را به یکای اصلی تبدیل نمی‌کند؛ هنوز می‌توان آن را برحسب یکاهای اصلی نوشت.

یک زبان مشترک برای اندازه‌گیری

فرض کن دو نفر طول یک میز را اندازه می‌گیرند؛ یکی با وجب خودش و دیگری با وجب دوستش! برای مقایسهٔ نتیجه‌ها، به یک یکای مشترک و ثابت نیاز داریم. دستگاه بین‌المللی یکاها، یا $\mathrm{SI}$، همین زبان مشترک اندازه‌گیری است.

در این دستگاه، هفت کمیت اصلی و یکای آن‌ها مشخص شده‌اند:

• طول: متر، $\mathrm{m}$
• جرم: کیلوگرم، $\mathrm{kg}$
• زمان: ثانیه، $\mathrm{s}$
• دما: کلوین، $\mathrm{K}$
• مقدار ماده: مول، $\mathrm{mol}$
• جریان الکتریکی: آمپر، $\mathrm{A}$
• شدت روشنایی: شمع یا کاندلا، $\mathrm{cd}$

اما لازم نیست برای هر کمیت، یکای مستقلی بسازیم. مثلاً تندی متوسطِ دوچرخه از تقسیم مسافت بر زمان به دست می‌آید؛ پس یکای آن هم از تقسیم متر بر ثانیه ساخته می‌شود: $\mathrm{m/s}$. این یک یکای فرعی است.

فرعی بودن یعنی ساخته‌شدن از یکاهای اصلی، نه کم‌اهمیت بودن! حتی یکای فرعی ممکن است نام مخصوص داشته باشد؛ مثل نیوتون، یکای نیرو.

طول، جرم و زمان

فرض کن قد یک میز را با وجب اندازه بگیری و دوستت هم همین کار را بکند. احتمالاً تعداد وجب‌ها یکی نمی‌شود؛ چون اندازهٔ دست‌هایتان متفاوت است! برای مقایسهٔ اندازه‌گیری‌ها، به معیاری مشترک و مستقل از بدن افراد نیاز داریم.

سه کمیت اصلی پرکاربرد و یکاهایشان این‌ها هستند:

• طول: متر، با نماد $\mathrm{m}$
• جرم: کیلوگرم، با نماد $\mathrm{kg}$
• زمان: ثانیه، با نماد $\mathrm{s}$

استانداردهای این یکاها با پیشرفت علم دقیق‌تر شده‌اند. امروزه تعریف متر به حرکت نور در خلأ وابسته است و استاندارد ثانیه بر پایهٔ ساعت‌های اتمی است. کیلوگرم هم دیگر با جرم یک استوانهٔ فلزی تعریف نمی‌شود؛ تعریف امروزی آن به ثابت پلانک وابسته است. فعلاً لازم نیست جزئیات این تعریف‌ها را حفظ کنی؛ مهم، داشتن معیاری مشترک و بازتولیدپذیر است.

در اندازه‌گیری زمان، معمولاً فاصلهٔ زمانی میان آغاز و پایان یک رویداد را می‌خواهیم؛ این همان «بازهٔ زمانی» است. مثلاً در یک مسابقهٔ دو، مدت بین شروع حرکت و رسیدن به خط پایان را اندازه می‌گیریم، نه ساعتِ رسیدن دونده را.

تبدیل یکا، بدون تغییر کمیت

طول یک میز با عوض‌کردن یکای گزارش آن تغییر نمی‌کند؛ فقط عدد و یکایی که می‌نویسیم عوض می‌شوند. تبدیل یکا یعنی بیان همان کمیت با یکایی دیگر.

چون $1\,\mathrm{m}=100\,\mathrm{cm}$ است، کسر $\frac{1\,\mathrm{m}}{100\,\mathrm{cm}}$ برابر یک است؛ صورت و مخرج آن یک طول یکسان را نشان می‌دهند. ضرب‌کردن در چنین کسری، خودِ کمیت را تغییر نمی‌دهد.

در روش تبدیل زنجیره‌ای، جهت کسر را طوری انتخاب می‌کنیم که یکای قبلی حذف شود. مثلاً برای تبدیل سانتی‌متر به متر، سانتی‌متر باید در مخرج ضریب تبدیل باشد تا با سانتی‌مترِ مقدار اولیه ساده شود. پس فقط به عددهای کسر نگاه نکن؛ یکاها راهنمای تو هستند!

پیش از جایگذاری در رابطه‌های فیزیکی هم باید یکاها را سازگار کنیم. مثلاً در $F=ma$، اگر نیرو را برحسب نیوتون می‌خواهیم و شتاب برحسب $\mathrm{m/s^2}$ است، جرم باید برحسب کیلوگرم باشد، نه گرم. نوشتن یکا کنار عدد، بخشی از حل مسئله است.

پیشوندها؛ کوتاه‌نویسی یکاها

روی بستهٔ دارو ممکن است «میلی‌گرم» ببینی و برای فاصلهٔ دو شهر «کیلومتر» بشنوی. پیشوند، ضریبی است که پیش از نام یکا می‌آید تا نوشتن اندازه‌های خیلی کوچک یا بزرگ راحت‌تر شود؛ کمیت تازه‌ای نمی‌سازد.

چند پیشوند پرکاربرد را بشناس:

• کیلو، با نماد $\mathrm{k}$: ضریب $10^3$
• مگا، با نماد $\mathrm{M}$: ضریب $10^6$
• سانتی، با نماد $\mathrm{c}$: ضریب $10^{-2}$
• میلی، با نماد $\mathrm{m}$: ضریب $10^{-3}$
• میکرو، با نماد $\mu$: ضریب $10^{-6}$
• نانو، با نماد $\mathrm{n}$: ضریب $10^{-9}$

برای خواندن یکای پیشونددار، کافی است پیشوند را با ضریبش جایگزین کنی؛ مثلاً $1\,\mu\mathrm{m}=10^{-6}\,\mathrm{m}$. پس میکرومتر یکای طول است، اما اندازهٔ هر میکرومتر یک‌میلیونیم متر است.

بزرگی و کوچکی حروف نماد مهم است: $\mathrm{M}$ یعنی مگا، ولی $\mathrm{m}$ در جایگاه پیشوند یعنی میلی. همچنین در $\mathrm{mm}$، حرف اول پیشوند «میلی» و حرف دوم نماد «متر» است.

عددهای بزرگ و کوچک، خوانا و ساده

نوشتن فاصله‌های نجومی یا اندازهٔ یک اتم با ردیفی از صفرها، هم خواندن را سخت می‌کند و هم احتمال اشتباه را بالا می‌برد. نمادگذاری علمی راهی برای کوتاه و روشن نوشتن همین مقدارهاست، بدون اینکه مقدار کمیت عوض شود.

شکل کلی آن چنین است:

$a\times 10^n\;\text{یکا}$

در این نوشتار، ضریب باید شرط $1\leq a<10$ را داشته باشد و توان، یعنی $n$، عددی صحیح باشد. یکای کمیت را هم نباید فراموش کنیم.

برای تشخیص توان، به جابه‌جایی ممیز فکر کن: اگر برای رسیدن به ضریب مناسب، ممیز را به چپ ببری، توان مثبت می‌شود؛ اگر به راست ببری، توان منفی می‌شود. تعداد جابه‌جایی‌ها، اندازهٔ توان را تعیین می‌کند.

مثلاً در گزارش قطر یک تار مو، توان منفی به نوشتن یک طول بسیار کوچک برحسب متر کمک می‌کند. دام رایج: هر حاصل‌ضربی در توانی از ده، نمادگذاری علمی استاندارد نیست؛ ضریب آن هم باید در بازهٔ گفته‌شده باشد.

خطای کمتر، نه خطای صفر

فرض کن می‌خواهی طول پاک‌کن را اندازه بگیری. آیا با دقیق‌ترین خط‌کش هم می‌توانی مطمئن باشی که نتیجه هیچ خطایی ندارد؟ هیچ اندازه‌گیری‌ای کاملاً بدون خطا نیست؛ ولی می‌توانیم خطایش را کمتر کنیم.

دو کار مهم به ما کمک می‌کند:

• ابزار مناسب انتخاب کنیم. خط‌کشی که فاصلهٔ کوچک‌ترین خط‌هایش یک میلی‌متر است، از خط‌کشی با درجه‌بندی سانتی‌متری دقیق‌تر است. دقت ابزار مدرج برابر کوچک‌ترین فاصلهٔ درجه‌بندی آن است؛ پس دقت خط‌کش میلی‌متری برابر $1\,\mathrm{mm}$ است.
• درست به درجه‌ها نگاه کنیم. هنگام خواندن طول پاک‌کن، چشم را درست روبه‌روی محل خواندن قرار بده، به‌طوری‌که نگاهت بر صفحهٔ خط‌کش عمود باشد. نگاه‌کردن از کنار می‌تواند جای انتهای پاک‌کن را نسبت به درجه‌ها جابه‌جا نشان دهد؛ به این خطا، «خطای اختلاف منظر» می‌گوییم.

پس ابزار دقیق به‌تنهایی کافی نیست؛ روش استفاده از آن هم مهم است.

یک بار اندازه‌گیری کافی نیست

اگر طول یک میز را چند بار اندازه بگیری، ممکن است هر بار دقیقاً به یک عدد نرسی؛ مثلاً جای خط‌کش یا نحوهٔ خواندن تو کمی تغییر کند. پس بهتر است به‌جای تکیه بر یک بار اندازه‌گیری، آن را چند بار تکرار کنی.

برای گزارش نتیجه، معمولاً میانگین اندازه‌ها را به کار می‌بریم؛ یعنی عددهای حاصل را جمع می‌کنیم و بر تعدادشان تقسیم می‌کنیم. با این کار، اثر تفاوت‌های کوچک بین اندازه‌گیری‌ها کمتر می‌شود؛ البته خطا کاملاً از بین نمی‌رود.

اما پیش از میانگین‌گیری، به نتیجه‌ها نگاه کن: اگر یک یا دو عدد اختلاف خیلی زیادی با بقیه دارند، آن‌ها را در میانگین حساب نمی‌کنیم. حواست باشد هر عدد متفاوتی را حذف نکنی؛ تفاوت کوچک طبیعی است و فقط نتیجه‌های بسیار دور از بقیه کنار گذاشته می‌شوند.

نمایش دقیق، نتیجهٔ درست؟

فرض کن دماسنج دیجیتال عدد $23.2\,^\circ\mathrm{C}$ را نشان می‌دهد. دقت این ابزار چقدر است؟ باید به جایگاه آخرین رقم نگاه کنی، نه به مقدار خود آن رقم. آخرین رقم در جایگاه دهم درجه است؛ پس دقت دماسنج $0.1\,^\circ\mathrm{C}$ است، نه $0.2\,^\circ\mathrm{C}$.

اما آیا نمایش رقم‌های بیشتر تضمین می‌کند که نتیجه درست است؟ نه! دقت و درستی یکی نیستند. دقت نشان می‌دهد ابزار تا چه مرتبه‌ای اندازه را نمایش می‌دهد؛ درستی یعنی نتیجه چقدر به مقدار واقعی نزدیک است.

مثلاً ساعت دیجیتالی که ثانیه را هم نشان می‌دهد، دقتی برابر $1\,\mathrm{s}$ دارد. ولی اگر چند دقیقه عقب باشد، زمان را درست نشان نمی‌دهد. در مقابل، ساعتی بدون ثانیه‌شمار ممکن است زمان درست را نشان بدهد، اما دقت کمتری داشته باشد. پس برای اعتماد به یک اندازه‌گیری، فقط به ریز بودن نمایش ابزار توجه نکن؛ درست کار کردن آن هم مهم است.

کدام رقم‌ها بامعنا هستند؟

وقتی نتیجهٔ اندازه‌گیری را می‌نویسی، رقم‌های ثبت‌شده اطلاعاتی دربارهٔ اندازه‌گیری دارند؛ به آن‌ها رقم‌های بامعنا می‌گوییم. اما هر صفری که می‌بینی، بامعنا نیست!

برای شمردن این رقم‌ها، این راهنما را دنبال کن:

• رقم‌های غیرصفر همیشه بامعنا هستند.
• صفرهای میان رقم‌های غیرصفر هم بامعنا هستند؛ مثلاً $408$ سه رقم بامعنا دارد.
• صفرهای ابتدایی، پیش از نخستین رقم غیرصفر، فقط جای ممیز را مشخص می‌کنند و بامعنا نیستند. مثلاً در $0.00408\,\mathrm{m}$، فقط رقم‌های $4$، $0$ و $8$ بامعنا هستند.
• صفرهای انتهایی ممکن است در گزارش‌های مختلف معنای متفاوتی داشته باشند؛ اما طبق قرارداد این کتاب، همهٔ آن‌ها را بامعنا می‌گیریم. پس طول $230\,\mathrm{mm}$ در این کتاب سه رقم بامعنا دارد.

اگر طول تکه‌ای نخ را ثبت کردی، برای شمردن رقم‌های بامعنایش فقط به تعداد صفرها نگاه نکن؛ جای صفرها تعیین‌کننده است.

نتیجه را چقدر دقیق بنویسیم؟

ماشین‌حساب ممکن است رقم‌های زیادی نشان بدهد؛ اما همهٔ آن‌ها با دقت اندازه‌گیری‌های ما سازگار نیستند. محاسبه، دقت تازه‌ای به داده‌ها اضافه نمی‌کند. برای گزارش نتیجه، اول به نوع عمل نگاه کن:

• ضرب و تقسیم: رقم‌های بامعنای هر داده را بشمار. نتیجه را به اندازهٔ داده‌ای که کمترین رقم بامعنا دارد، گرد کن.
• جمع و تفریق: تعداد رقم‌های اعشار هر داده را بررسی کن. نتیجه باید به اندازهٔ داده‌ای که کمترین رقم اعشار دارد، رقم اعشار داشته باشد.

مثلاً هنگام جمع‌کردن طول دو تکه روبان، اگر یکی تا دهم سانتی‌متر و دیگری تا صدم سانتی‌متر اندازه‌گیری شده باشد، مجموع را تا دهم سانتی‌متر گزارش می‌کنیم؛ نه تا صدم.

پس پیش از نوشتن پاسخ از خودت بپرس: «باید رقم‌های بامعنا را مقایسه کنم یا رقم‌های اعشار را؟» رقم‌های اضافی را در محاسبه نگه دار و گردکردن را در پایان انجام بده.

جرم در یک حجم یکسان

تصور کن دو مکعب هم‌اندازه، یکی از آهن و دیگری از آلومینیم، در دست داری. حجمشان برابر است، اما مکعب آهن جرم بیشتری دارد. برای بیان این تفاوت می‌گوییم آهن چگالی بیشتری دارد؛ یعنی در حجم یکسان، جرم بیشتری از آن وجود دارد.

چگالی، جرمِ واحد حجم است. برای مادهٔ همگن، یعنی ماده‌ای که ترکیب و ویژگی‌هایش در همه‌جا یکسان است، داریم:

$\rho=\frac{m}{V}$

در این رابطه، $\rho$ «رو» خوانده می‌شود و نماد چگالی است؛ $m$ جرم و $V$ حجم ماده است. پس برای یافتن چگالی، جرم را بر حجم تقسیم می‌کنیم.

نکتهٔ مهم این است که چگالی با جرم فرق دارد: اگر یک قطعهٔ آهن همگن را نصف کنیم، جرم و حجم هر دو نصف می‌شوند؛ بنابراین نسبت آن‌ها و در نتیجه چگالی تغییر نمی‌کند. پس بزرگ‌تر بودن یک تکه از همان ماده، به معنی چگال‌تر بودن آن نیست.

یکاها را هماهنگ کن

اگر جرم را با گرم و حجم را با سانتی‌متر مکعب اندازه بگیری، از رابطهٔ $\rho=\frac{m}{V}$ چگالی با یکای $\mathrm{g/cm^3}$ به دست می‌آید. برای گزارش چگالی در دستگاه بین‌المللی، باید جرم بر حسب $\mathrm{kg}$ و حجم بر حسب $\mathrm{m^3}$ باشد.

نکتهٔ مهم، تبدیل حجم است: چون $1\,\mathrm{cm}=10^{-2}\,\mathrm{m}$، با به توان سه رساندن دو طرف داریم:

$1\,\mathrm{cm^3}=10^{-6}\,\mathrm{m^3}$

پس تبدیل چگالی به این صورت است:

$1\,\mathrm{g/cm^3}=\frac{10^{-3}\,\mathrm{kg}}{10^{-6}\,\mathrm{m^3}}=1000\,\mathrm{kg/m^3}$

مثلاً چگالی آب تقریباً $1\,\mathrm{g/cm^3}$ است؛ همین مقدار را می‌توان $1000\,\mathrm{kg/m^3}$ نوشت. ماده عوض نشده؛ فقط یکای گزارش عوض شده است. برای تبدیل از $\mathrm{g/cm^3}$ به $\mathrm{kg/m^3}$، عدد را در $1000$ ضرب کن و برای تبدیل برعکس، بر $1000$ تقسیم کن.

سنگین‌تر، لزوماً فرورونده نیست

یک تکه چوب بزرگ ممکن است روی آب بماند، اما یک سنگ‌ریزهٔ سبک در آب فرو برود. پس جرم به‌تنهایی تعیین‌کننده نیست؛ باید ببینیم جرم جسم نسبت به حجمش چقدر است، یعنی چگالی آن را با چگالی مایع مقایسه کنیم.

برای جسمی که در مایع رها می‌شود، اگر چگالی متوسط جسم از چگالی مایع کمتر باشد، جسم بالا می‌آید و روی مایع شناور می‌ماند؛ اگر بیشتر باشد، فرو می‌رود. اگر این دو برابر باشند، جسم می‌تواند درون مایع معلق بماند. منظور از چگالی متوسط، جرم کل جسم تقسیم بر حجم کل آن، با درنظرگرفتن فضاهای خالی درون آن است.

حالا به پرتقال فکر کن: پوست پرتقال فضاهای هوادار دارد و می‌تواند چگالی متوسط آن را کمتر از آب کند. با پوست‌گرفتن، هم جرم کم می‌شود و هم حجم؛ اما اگر حجم به نسبت بیشتری کم شود، چگالی متوسط افزایش می‌یابد. بنابراین ممکن است پرتقالِ سبک‌ترشده در آب فرو برود!

چگالی را اندازه بگیر

اگر بخواهی چگالی یک سنگ کوچک یا مقداری روغن را پیدا کنی، به جرم خود ماده و حجم همان ماده نیاز داری؛ سپس از رابطهٔ $\rho=\frac{m}{V}$ استفاده می‌کنی.

سنگ نامنظم: جرم سنگ را با ترازو اندازه بگیر. برای حجمش، ابتدا حجم آب داخل استوانهٔ مدرج را بخوان؛ سپس سنگ را آرام در آب فرو ببر تا کاملاً زیر آب باشد. افزایش حجم خوانده‌شده، همان حجم سنگ است:

$V_{\text{سنگ}}=V_{\text{بعد}}-V_{\text{قبل}}$

این روش برای جسمی مناسب است که در آب حل نشود و آب را جذب نکند. حباب‌های چسبیده به جسم هم می‌توانند اندازه‌گیری را نادرست کنند.

مایع: یک سرنگ مدرج خالی را وزن کن، بعد مقداری مایع داخل آن بکش و دوباره جرمش را اندازه بگیر. جرم خود مایع از این اختلاف به دست می‌آید:

$m_{\text{مایع}}=m_{\text{سرنگ پر}}-m_{\text{سرنگ خالی}}$

حجم مایع را از درجه‌بندی سرنگ بخوان. یادت باشد جرم سرنگ جزو جرم مایع نیست؛ واردکردن آن در محاسبه، چگالی را بیش از مقدار واقعی نشان می‌دهد.

کدام مایع پایین می‌ماند؟

اگر آب و روغن را در ظرفی بریزی و کمی صبر کنی، روغن بالای آب جمع می‌شود. چرا؟ این دو مایع با هم مخلوط نمی‌شوند و چگالی روغن کمتر از آب است.

مایع‌های مخلوط‌نشدنی با چگالی‌های متفاوت، پس از آرام گرفتن، لایه‌لایه می‌شوند؛ چگال‌ترین مایع پایین و کم‌چگال‌ترین مایع بالا قرار می‌گیرد. پس برای پیدا کردن ترتیب لایه‌ها، چگالی‌ها را از بیشترین به کمترین مرتب کن؛ این ترتیب از پایین به بالای ظرف است.

حواست باشد: پایین‌تر بودن یک مایع به این معنی نیست که جرم کل آن حتماً بیشتر است. حتی مقدار کمی از مایع چگال‌تر می‌تواند زیر مقدار زیادی از مایع کم‌چگال‌تر قرار بگیرد.

شرط مخلوط‌نشدنی بودن هم مهم است؛ این قاعده را نمی‌توان برای هر دو مایعی به کار برد. مثلاً آب و الکل با هم مخلوط می‌شوند و دو لایهٔ جدا و پایدار تشکیل نمی‌دهند.

خواندن دقت از درجه‌بندی

وقتی عقربهٔ تندی‌سنج حرکت می‌کند، عددهای بزرگ روی صفحه زود به چشم می‌آیند؛ اما برای تشخیص دقت ابزار مدرج باید فاصلهٔ بین دو خطِ پشت‌سرهم را بشناسی. در اینجا، دقت ابزار را برابر کوچک‌ترین فاصلهٔ درجه‌بندی آن می‌گیریم.

لازم نیست کنار همهٔ خط‌ها عدد نوشته شده باشد. دو خطِ عدددار را انتخاب کن، اختلاف عددهایشان را به دست بیاور و بشمار میان آن‌ها چند فاصلهٔ مساوی وجود دارد. سپس از این رابطه استفاده کن:

$\text{دقت ابزار}=\frac{\text{اختلاف دو عدد مشخص}}{\text{تعداد فاصله‌های مساوی میان آن‌ها}}$

حواست باشد: فاصله‌ها را بشمار، نه خط‌ها را! برای شمردن می‌توانی نوک انگشتت را از یک خط به خط بعدی ببری؛ هر جابه‌جایی، یک فاصله است.

همین روش برای خط‌کش و دماسنج مدرج هم کاربرد دارد. هرچه فاصلهٔ درجه‌بندی از نظر مقدار کوچک‌تر باشد، ابزار تغییرات کوچک‌تری را نشان می‌دهد. چون درجه‌بندی شکل تندی‌سنج کتاب در متن ارسالی دیده نمی‌شود، نمی‌توانیم برای همان شکل دقت عددی تعیین کنیم؛ اما روش کار همین است.

دقت ابزارهای رقمی

فرض کن می‌خواهی قطر یک سیم نازک را اندازه بگیری. اگر تغییر قطر سیم از فاصلهٔ درجه‌های خط‌کش کوچک‌تر باشد، خط‌کش برای این کار مناسب نیست. کولیس و ریزسنج ابزارهایی هستند که برای اندازه‌گیری دقیق‌تر طول به کار می‌روند و هر دو، نوع مدرج و رقمی دارند.

در ابزار رقمی، به‌جای خواندن جای عقربه یا درجه‌ها، عدد نمایشگر را می‌خوانیم. برای تشخیص دقت آن در این درس، می‌پرسیم: آخرین رقم نمایشگر چه ارزشی دارد؟ اگر طول برحسب میلی‌متر نمایش داده شود و آخرین رقم در جایگاه صدم باشد، دقت ابزار $0.01\,\mathrm{mm}$ است؛ یعنی نمایشگر تغییر طول را با گام‌های یک‌صدم میلی‌متر نشان می‌دهد.

پس فقط تعداد رقم‌های اعشار را نشمار؛ یکای نمایشگر هم مهم است. همچنین، نمایش رقم‌های بیشتر به‌تنهایی تضمین نمی‌کند که اندازه‌گیری بدون خطا باشد؛ درست قرار دادن جسم و استفادهٔ صحیح از ابزار همچنان ضروری است.

چگالی؛ جرم در حجم برابر

آیا هر قطعهٔ فلزی که سنگین‌تر باشد، به طلای خالص نزدیک‌تر است؟ نه لزوماً؛ شاید فقط قطعهٔ بزرگ‌تری باشد! برای بررسی جنس ماده، باید جرم را در حجم برابر مقایسه کنیم.

چگالی یعنی جرمِ واحد حجم یک ماده و از این رابطه به دست می‌آید:

$\rho=\frac{m}{V}$

در این رابطه، $\rho$ چگالی، $m$ جرم و $V$ حجم جسم است. اگر جرم را برحسب $\mathrm{kg}$ و حجم را برحسب $\mathrm{m^3}$ بنویسیم، یکای چگالی در دستگاه SI برابر $\mathrm{kg/m^3}$ خواهد بود. یکای رایج دیگر هم $\mathrm{g/cm^3}$ است.

مثلاً دو قطعهٔ توپُر و هم‌حجم از آهن و چوب را تصور کن؛ قطعهٔ آهن جرم بیشتری دارد، پس چگالی آن بیشتر است.

برای بررسی ادعای طلای خالص بودنِ یک قطعهٔ توپُر، جرم و حجم آن را اندازه می‌گیریم و چگالی‌اش را با چگالی طلای خالص مقایسه می‌کنیم. متفاوت بودن چگالی‌ها نشانه‌ای علیه این ادعاست؛ اما برابر بودن آن‌ها به‌تنهایی، خلوص را قطعی ثابت نمی‌کند.

از جابه‌جایی آب تا چگالی

حجم یک سنگ کوچک با شکل نامنظم را چطور پیدا کنیم؟ خط‌کش اینجا چندان به کار نمی‌آید، اما جابه‌جایی آب کمکمان می‌کند.

ابتدا حجم آب را در استوانهٔ مدرج می‌خوانیم. سپس جسم را کاملاً در آب فرو می‌بریم و حجم تازه را می‌خوانیم. اگر جسم در آب حل نشود و حبابی به آن نچسبد، افزایش حجم آب برابر حجم جسم است:

$V_{\text{جسم}}=V_{\text{نهایی}}-V_{\text{اولیه}}$

دقت کن: عدد نهایی، حجم آب و جسم با هم است؛ حجم جسم به‌تنهایی نیست! جرم جسم را هم با ترازو اندازه می‌گیریم و سپس از رابطهٔ $\rho=\frac{m}{V}$ استفاده می‌کنیم.

یکاها را هماهنگ کن. هر $1\,\mathrm{mL}$ برابر $1\,\mathrm{cm^3}$ است؛ پس اگر جرم برحسب $\mathrm{g}$ باشد، چگالی برحسب $\mathrm{g/cm^3}$ به دست می‌آید. برای بیان همان چگالی برحسب $\mathrm{g/L}$، مقدار عددی را در $1000$ ضرب می‌کنیم، چون هر لیتر شامل هزار سانتی‌متر مکعب است.

جرم بزرگ در حجم کوچک

آیا یک قوطی کبریت می‌تواند جرمی بسیار بیشتر از یک خودرو داشته باشد؟ اگر از مادهٔ یک کوتولهٔ سفید پُر شده باشد، بله! چگالی این ماده حدود $10^8\,\mathrm{kg/m^3}$ است؛ یعنی در هر $1\,\mathrm{m^3}$ آن، حدود $10^8\,\mathrm{kg}$ جرم جای می‌گیرد.

برای پیدا کردن جرم، رابطهٔ چگالی را بازنویسی می‌کنیم:

$m=\rho V$

پس در حجم برابر، مادهٔ چگال‌تر جرم بیشتری دارد. مثلاً دو ظرف هم‌اندازه را تصور کن که یکی از آب و دیگری از ماده‌ای چگال‌تر پُر شده است؛ جرم مادهٔ داخل ظرف دوم بیشتر است.

اگر جرم را بدانیم و دنبال حجم باشیم، می‌نویسیم:

$V=\frac{m}{\rho}$

این بار برای جرم برابر، مادهٔ چگال‌تر حجم کمتری اشغال می‌کند. به همین دلیل، در فرض ناممکن کتاب، اگر مادهٔ بدن انسان‌ها چگالی کوتولهٔ سفید را داشت، همان جرم در فضای بسیار کوچک‌تری جا می‌گرفت.

حواست به یکاها باشد: اگر چگالی برحسب $\mathrm{kg/m^3}$ باشد، برای به‌دست‌آوردن جرم برحسب $\mathrm{kg}$ باید حجم را برحسب $\mathrm{m^3}$ وارد کنی.